Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân tuyến tính volterra (LV01849)

BÙI THỊ NINHMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... BÙI THỊ NINHMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌ

BÙI THỊ NINH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

BÙI THỊ NINH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Khuất Văn Ninh, người thầy

đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luậnvăn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, toàn thểcác thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, độngviên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Người thực hiện

BÙI THỊ NINH

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn

Ninh, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " Một số phương pháp

bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả, không trùng lặp với bất cứluận văn nào khác

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kếtquả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Người thực hiện

BÙI THỊ NINH

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Danh mục kí hiệu thường dùng iv

Mở đầu 1 1 Các kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm 3

1.1.1 Không gian metric 3

1.1.2 Định lí về sự tồn tại nghiệm 4

1.1.3 Không gian định chuẩn 5

1.1.4 Không gian Hilbert 6

1.1.5 Không gian L(X, Y) 7

1.1.6 Một số không gian hàm 8

1.2 Một số kiến thức về giải tích 10

1.2.1 Định nghĩa tích phân xác định 10

1.2.2 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa 11

1.2.3 Biến đổi Laplace 13

1.3 Một số kiến thức về giải tích số 16

1.3.1 Số gần đúng 16

1.3.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số 16

1.3.3 Sai số 16

1.3.4 Sai phân và các tính chất 17

2 PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA 18 2.1 Giới thiệu 18

2.2 Một số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2 18

2.2.1 Phương pháp khai triển Adomian 19

2.2.2 Phương pháp biến đổi Laplace 232.2.3 Phương pháp chuỗi lũy thừa 282.2.4 Phương pháp biến đổi phương trình vi - tích phân Volterra

về phương trình giá trị ban đầu 332.2.5 Phương pháp biến đổi phương trình vi - tích phân Volterra

về phương trình tích phân Volterra 37

3 PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN

3.1 Phương pháp số 433.1.1 Phương pháp cầu phương 433.1.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình vi – tích

phân tuyến tính Volterra 443.1.3 Sai số 463.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tích phân tuyến

tính Volterra loại 2 47

Danh mục kí hiệu thường dùng

Rn Không gian Euclidnchiều

C[a,b] Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn[a, b]

C[a,b]n Không gian các hàm xác định trên đoạn[a, b]

và có đạo hàm liên tục đến cấpn

M = (X, d) Không gian metric

d(x, y) Khoảng cách giữa các phần tửxvà y

∆f (x) Sai phân củaf (x)

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiềutác giả quan tâm nghiên cứu Trong đó lớp phương trình vi – tích phân đóng vaitrò quan trọng Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật

lí, hóa học, sinh học cũng như trong việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, quân

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình vi - tích phân,

dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: " Một số

thực hiện luận văn của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi – tích phân tuyếntính Volterra

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu:

- Phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra loại 2

+) Phạm vi nghiên cứu:

- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, các phương pháp giải xấp

xỉ phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra

- Ứng dụng vào giải xấp xỉ phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterraloại 2 cụ thể

5 Phương pháp nghiên cứu

- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích, Giải tích

số, lập trình máy tính

- Thu thập các tài liệu liên quan tới phương trình vi – tích phân tuyến tínhVolterra

- Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức có liên quan tới phương trình

vi – tích phân tuyến tính Volterra

6 Đóng góp của luận văn

- Luận văn hệ thống một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi – tíchphân tuyến tính Volterra

- Áp dụng giải một số phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra loại 2

cụ thể

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 ChoX là một tập tùy ý, X khác rỗng Một metric trong X

là một ánh xạ

d : X × X → R

thỏa mãn các tiên đề sau đây:

i)(∀x, y ∈ X) d (x, y) > 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);

ii)(∀x, y ∈ X) d (x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng);

iii)(∀x, y, z ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y), (tiên đề tam giác);

Ánh xạdgọi là metric trênX

Sốd (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tửxvà y

Các phần tử của X gọi là các điểm

Ba tiên đề i, ii, iii gọi là hệ tiên đề về metric

M = (X, d)gọi là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M = (X, d) Một tập con bất kìX0

khác rỗng của tậpX cùng với metricdtrênX lập thành một không gian metric.Không gian metricM0 = (X0, d)gọi là không gian metric con của không gianmetric đã cho

Định nghĩa 1.1.3 Một dãy các điểm(xn), n = 1, 2, trong không gian ric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim

met-n→∞d(a, xn) = 0 Khi đó ta kíhiệu lim

n→∞xn = a hoặc xn → akhin → ∞

Định nghĩa 1.1.4 Dãy điểmxn được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trongkhông gian metric X nếu với mọiε > 0 cho trước, tồn tại một sốn0 ∈ N∗ saocho với mọin ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có

d(xn, xm) < ε

Nói cách khác ta có

lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.1.5 Cho M1 = (X, dX) và M2 = (Y, dY) là hai không gianmetric tùy ý Một ánh xạf : M1 → M2 được gọi là một ánh xạ co, nếu tồn tạimột sốα với0 ≤ α < 1sao cho

với hằng số α < 1và ∀x, y ∈ X Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X

sao cho f (x∗) = x∗ Hơn nữa,x0 ∈ X, dãy xn, n ∈ N xác định bởi xk+1 =

f (xk), ∀k ∈ N hội tụ đếnx∗ đồng thời ta có ước lượng

Chứng minh. Theo công thức số gia hữu hạn, ta có:

|ϕ (x) − ϕ (y)| = ϕ0(ζ) |x − y| ≤ q |x − y|

Vậyϕlà ánh xạ co

Không gian X = [a, b] với metric d (x, y) := |x − y| là không gian metric

đủ Áp dụng nguyên lí ánh xạ co Banach ta suy ra điều phải chứng minh

1.1.3 Không gian định chuẩn

ChoX là một không gian vectơ trên trườngP (P = R hoặc C).

Định nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiêuk · ktrong X là một ánh xạ từ X vào Rthỏa mãn các điều kiện:

i)kxk ≥ 0với mọix ∈ X;

ii)kxk = 0khi và chỉ khix = θ (θ là kí hiệu phần tử không);

iii)kλxk = |λ| kxk với mọi sốλ ∈ P và với mọi x ∈ X;

iv)kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi,y ∈ X

Sốkxk được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơx ∈ X

Định nghĩa 1.1.7 Một không gian vectơX cùng với một chuẩn xác định trongkhông gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theoP làthực hoặc phức)

Định lý 1.1.3 Giả sửX là một không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X đặt

d(x, y) = kx − yk

Khi đód là một metric trênX.

Định nghĩa 1.1.8 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụđếnx0 ∈ X nếu lim

Định nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian tuyến tínhX vàY trên trườngP Ánh

xạAtừ không gianX vào không gianY được gọi là tuyến tính nếuAthỏa mãni)A(x + y) = Ax + Ay với mọix, y ∈ X;

ii)A(αx) = αAx, α ∈ P

Acũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó nếuAchỉ thỏa mãn i) thì Ađượcgọi là toán tử cộng tính, nếuA chỉ thỏa mãn ii) thìA được gọi là toán tử thuầnnhất KhiY = P thì toán tử tuyến tínhAđược gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian định chuẩnX vàY Toán tử tuyến tính A

từ không gianX vào không gianY gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng sốc ≥ 0saocho

kAxk ≤ c kxk , với mọix ∈ X

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.13 Cho không gian tuyến tính X trên trường số P (P =

R hoặcP = C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ

X × X vào trườngP, kí hiệu (·, ·)thỏa mãn các tiên đề:

(i)(y, x) = x, y, với mọi x, y ∈ X; x, ylà số phức liên hợp của(x, y);

(ii)(x + y, z) = (x, z) + (y, z), với mọix, y, z ∈ X;

(iii)(αx, y) = α(x, y) với mọi sốα ∈ P và mọix, y ∈ X;

(iv)(x, x) > 0nếu x 6= θ(θlà kí hiệu phần tử không);

(v)(x, x) = 0nếu x = θ, với mọi x ∈ X

Các phần tửx, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số(x, y)gọi là tích

vô hướng củaxvà y Các tiên đề i, ii, iii, iv, v gọi là các tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.14 Không gian tuyến tínhX trên trường P cùng với một tích

vô hướng trênX gọi là không gian tiền Hilbert

Định lý 1.1.4 Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi x ∈ X, ta đặt

kxk = p(x, x) Khi đó ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz)

1)H là không gian tiền Hilbert;

2)H là không gian Banach với chuẩnkxk = p(x, x)với x ∈ X

1.1.5 Không gian L(X, Y)

Cho hai không gian định chuẩnX vàY Ta kí hiệuL(X, Y )là tập hợp tất cảcác toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Ta trang bị choL(X, Y ) hai phéptoán sau:

a) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác địnhbằng hệ thức

(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X;

b) Tích của vô hướngα ∈ P (P = R hoặcP = C) với toán tử A ∈ L(X, Y )

là toán tử, kí hiệuαA xác định bằng hệ thức

Vì vậy dãy toán tử (An) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gian

L(X, Y ) VậyL(X, Y )là không gian Banach

Bây giờ ta giả sử X = Y, nghĩa là ta xét không gian L(X, X) các toán tửtuyến tính liên tục trong X Khi ấy ta có thể định nghĩa phép nhân hai toán tửnhư sau:

Tích của hai toán tửA, B trong X là toán tử AB trongX sao cho

Do vậy ta cóL(X, X) là:

i) Một vành;

ii) Một không gian định chuẩn;

iii) Thỏa mãn điều kiệnkABk ≤ kAk kBk ;

iv) Có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhấtI vớikIk = 1

Trong đó L(X, X)là một vành định chuẩn Trong vành L(X, X)đương nhiên

có thể nói đến các lũy thừa của một toán tử

A0 = I, An = An−1A, (n = 1, 2, )

1.1.6 Một số không gian hàm

Không gian Rn

Rn là không gian vectơ

Rn là không gian metric với metricd(x, y) =

Rn là không gian metric đầy

Rn là không gian định chuẩn

Rn là không gian định chuẩn đủ (không gian Banach).

Rn là không gian Hilbert

Không gian C[a,b]

C[a,b] = {x(t)xác định, liên tục∀t ∈ [a, b]} , −∞ < a < b < +∞

Không gianC[a,b] là không gian metric

Không gianC[a,b] là không gian Banach

Không gianC[a,b] là không gian tách được

Tập tất cả các đa thức hệ số hữu tỷ trù mật trongC[a,b]

Gỉa sử f (x) là một hàm xác định và bị chặn trên đoạn ∆i, trên mỗi đoạn con

∆i với các đầu mútxi−1, xi ta lấy một điểmξi tùy ý và thành lập tổng

Giới hạn đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàmf trên đoạn

∆với hai đầu múta, bvà kí hiệu

I =

Z b a

f (x) dx

Định nghĩa 1.2.2 (Tích phân với cận trên thay đổi)

Giả sử f : [a, b] → R là một hàm khả tích trên[a, b] Khi đó mỗi x ∈ [a, b]

thìf cũng khả tích trong[a, x] Ta xác định hàm

F (x) =

Z x a

f (t) dt

F là một hàm xác định trên[a, b]

Công thức Newton - Leibniz

Gỉa sửf : [a, b] → R là một hàm liên tục Khi đóF (x) = Raxf (t) dt là mộtnguyên hàm củaf (x)trong [a, b]

Nếu φlà một nguyên hàm khác của f trong[a, b]thì ta có

φ (x) = F (x) + C =

Z x a

f (t) dt + φ (a)

hay

Z x a

Nếu tại x0 ∈ U chuỗi số P∞

n=1un(x0) hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ củachuỗi hàm (1.7), nếu P∞

n=1un(x0) phân kì thì ta nói chuỗi hàm (1.7) phân kìtạix0

Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ củachuỗi hàm đó

Giả sử A là một miền hội tụ của chuỗi hàm (1.7), khi đó với x ∈ A chuỗi

Định nghĩa 1.2.4 (Chuỗi lũy thừa)

Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng:

∞

X

n=0

an(x − x0)n

trong đó x0, a0, a1, a2, là những số thực Điểm x0 được gọi là tâm củachuỗi lũy thừa, chuỗi lũy thừa luôn luôn hội tụ tại điểmx = x0

Định lý 1.2.1 gia sử chuỗi lũy thừa P∞

n=0an(x − x0)n có bán kính hội tụ

R > 0, vàf (x) = P∞

n=0an(x − x0)n, x ∈ (x0 − R, x0 + R) Khi đó

i) f là hàm khả vi vô hạn trong(x0 − R, x0 + R).

ii) an = f

n(x0)n! , ∀n = 0, 1, 2, và

n

, ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R)

Định nghĩa 1.2.5 (chuỗi Taylor)

Cho tập hợp mởU ⊂ R Giả sử hàmf : U →R khả vi đến cấpntrong mộtlân cận nào đó của x0 ∈ U và fn(x) liên tục tại x0 Khi đó x ở trong lân cậnnói trên củax0 ta có

f (x) = f (x0) + f

0

(x0)1! (x − x0) + +

fn(x0)n! (x − x0)

fn(0)n! (x)

n

+

được gọi là chuỗi khai triển Mac - Laurin của hàm f (x)

Khai triển Mac - Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản

1) ex = 1 + x + x

2

2! +

x33! +

x44! + =

∞

X

n=0

xnn!;2) e−x = 1 − x + x

2

2! +

x44! + =

∞

X

n=0

(−1)n2n! x

2n;4) sin x = x − x

3

3! +

x55! + =

∞

X

n=0

(−1)n(2n + 1)!x

2n+1

1.2.3 Biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.2.6 Biến đổi Laplace của một hàm f (x), xác định với x ≥ 0,được định nghĩa bởi:

F (s) = Lf (x) =

Z ∞ 0

trong đó s là số thực, và L gọi là toán tử biến đổi Laplace Biến đổi Laplace

F (s) có thể chưa đủ để tồn tại Nếu f (x) có vô hạn điểm gián đoạn hoặc nếu

nó tăng nhanh, thì F (s) không tồn tại Thêm vào đó, một điều kiện cần quantrọng cho sự tồn tại của biến đổi LaplaceF (s) làF (s)phải triệt tiêu khistiếnđến vô cực Nghĩa là:

lim

Tính chất của biến đổi Laplace

Fk, k = 1, 2, 3, , n Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f củacác hàmfk(t) = Pn

với miền xác định Rep > maxαk.

L[eλtf (t)] = F (p − λ), Rep > α0 + Reλ

c), Rep > cα0

Bảng một số biến đổi Laplace cơ bản

x sinh ax (s22as−a 2 ) 2, s > |a|

x cosh ax (ss22−a+a22) 2, s > |a|

xneax (s−a)n!n+1, s > a, nsố nguyên dương

1.3 Một số kiến thức về giải tích số

1.3.1 Số gần đúng

Định nghĩa 1.3.1 Ta nói rằngalà số gần đúng của số a∗ nếu akhông sai khác

a∗ nhiều Hiệu số∆ = a∗− alà sai số thực sự củaa,nếu ∆ > 0thìalà giá trịgần đúng thiếu, nếu∆ < 0thì alà giá trị gần đúng thừa củaa∗

Nói chung, vì a∗ không biết nên cũng không biết ∆ Tuy nhiên có thể thấy,tồn tại∆a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:

Nếu(p − s) ≥ 0 thìalà số nguyên, nếu(p − s) = −k(k > 0)thìacó phần lẻgồmk chữ số, nếup − s → −∞thìalà số thập phân vô hạn

Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a gọnhơn và gần đúng với sốa

Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn làΓa Như vậy |a − a| = Γa,

= ∆f (x + h) − ∆f (x)được gọi là sai phân cấp2củaf (x) tạix.

Tương tự, ta có ∆kf = ∆∆k−1f được gọi là sai phân cấpk của f tại x

Các tính chất của sai phân

Phương trình (2.1) kết hợp giữa toán tử vi phân và toán tử tích phân, trong đó

u (0), u0(0), , un(0)là các điều kiện ban đầu cho trước, K(x, t)là các hạch

2.2 Một số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình

vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2

Định nghĩa 2.2.1 Dạng chuẩn của các phương trình vi - tích phân tuyến tính

Volterra loại 2 được cho bởi

u(n)(x) = f (x) + λ

Z x 0

u(0) = a0, u0(0) = a1, · · · , u(n−1) = an−1

trong đó hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) được cho bởi các hàm giá trị thực, và

un(x)là đạo hàm cấpncủa hàm u(x)

Sau đây ta sẽ trình bày một số phương pháp được sử dụng.

2.2.1 Phương pháp khai triển Adomian

Phương pháp khai triển Adomian cho nghiệm trong chuỗi vô hạn, các thành

phần có thể được xác định một cách dễ dàng thông qua quan hệ truy hồi Chuỗi

thu được có thể cho nghiệm chính xác nếu nghiệm đó tồn tại Trái lại, chuỗi cho

nghiệm xấp xỉ với độ chính xác cao

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử phương trình vi - tích phân Volterra

loại2được cho bởi

u00(x) = f (x) +

Z x 0

K(x, t)u(t)dt, u (0) = a0, u0 (0) = a1 (2.3)Lấy tích phân2lần cả hai vế của (2.3) với cận từ0đến xta được

u (x) = a0 + a1x + L−1(f (x))

+ L−1

Z x 0

Trong đó u (0)và u0 (0) là các điều kiện ban đầu, và L−1 là tích phân hai lần

Sau đó ta sử dụng chuỗi khai triển

u0(x) + u1(x)+ = a0 + a1(x) + L−1(f (x)) + L−1

Z x 0

K (x, t) u0(t) dt



+ L−1

Z x 0

K (x, t) u1(t) dt



+ L−1

Z x 0

K (x, t) u2(t) dt



+ ,

Để xác định các thành phầnu0(x), u1(x), u2(x), của nghiệm u(x), ta đặt

u0(x) = a0 + a1(x) + L−1(f (x)) ,

uk+1(x) = L−1

Z x 0

k=0uk(x) được coi như xấp xỉ vớinghiệmu (x)

Nhận xét 2.1 Phương pháp khai triển Adomian được giới thiệu giải phương

trình vi - tích phân Volterra bậc 2 trước Đối với bậc khác, chúng ta có thểthực hiện theo các bước tương tự như trên, trong đó phương trình vi - tích phânVolterra bậc 1, 2, 3, 4 sẽ được nghiên cứu chi tiết trong các ví dụ minh họa ởphía dưới

Nhận xét 2.2 Phương pháp khai triển Adomian mà ta đã sử dụng ở trên có thể

dùng để giải phương trình vi - tích phân Volterra bậc bất kì

Nhận xét 2.3 Hiện tượng số hạng nhiễu âm được trình bày ở phương trình tích

phân Volterra có thể sử dụng ở đây nếu số hạng nhiễu âm xuất hiện

Phương pháp khai triển Adomian nêu ra để giải trình vi - tích phân Volterra loại hai được minh họa bằng các ví dụ sau Phương trình được chọn là

tương tự vậy

Ví dụ 2.2.1 Dùng phương pháp khai triển Adomian giải phương trình vi - tích

phân tuyến tính Volterra sau

u0 (x) = 1 +

Z x 0

Lấy tích phân với cận đi từ0đếnxcả hai vế của phương trình (2.8) và sử dụng

điều kiện ban đầuu (0) = 0 ta được

u (x) = x + L−1

Z x 0

u (t) dt



Trong đóL−1 là toán tử tích phân được xác định bởi

L−1(.) =

Z x 0

u0(t) dt



= 13!x

3,

u2 = L−1

Z x 0

u1(t) dt



= 15!x

5,

u3 = L−1

Z x 0

u2(t) dt



= 17!x

5 + 17!x

Ví dụ 2.2.2 Dùng phương pháp khai triển Adomian giải phương trình vi - tích

phân tuyến tính Volterra sau

u00(x) = −1 +

Z x 0

(x − t) u (t) dt, u (0) = 1, u0 (0) = 0 (2.11)

Lấy tích phân hai lần với cận đi từ 0đến x cả2vế của phương trình (2.11) và

sử dụng điều kiện ban đầuu (0) = 1, u0(0) = 0ta được

Trong đó L−1 là tích phân hai lần cận từ 0 đến x Sử dụng chuỗi khai triển

(2.5), và quan hệ truy hồi (2.7) ta đươc

(x − t) u0(t) dt



= 14!x

4 − 16!x

6,

Cho nghiệm dưới dạng chuỗi

u (x) = 1 − x

2

2! +

14!x

4 − 16!x

6 + ,

Do đó nghiệm chính xác được cho bởi

Ví dụ 2.2.3 Dùng phương pháp khai triển Adomian giải phương trình vi - tích

phân tuyến tính Volterra sau

u000 (x) = 1 + x + 1

3!x

3 +

Z x 0

(x − t) u (t) dt, (2.14)

u (0) = 1, u0 (0) = 0, u00(0) = 1

Lấy tích phân 3lần với cận đi từ 0đến x cả hai vế của phương trình (2.14) và

sử dụng điều kiện ban đầuu (0) = 1, u0 (0) = 0, u00(0) = 1ta được

u (x) = 1 + x

2

2! +

13!x

3

+ 16!x

6

+ L−1

Z x 0

(x − t) u (t) dt



, (2.15)

Trong đóL−1 là tích phân ba lần cận từ0đếnx Sử dụng chuỗi khai triển chuỗi

(2.5), và quan hệ truy hồi (2.7) ta đươc

u0 = 1 + x

2

2! +

13!x

3 + 14!x

(x − t) u0(t) dt



= 15!x

5 + 17!x

7 + 18!x

8 + 19!x

3 + 14!x

4 + 15!x

5 + 16!x

6 +

Và do đó nghiệm chính xác được cho bởi

Ví dụ 2.2.4 Dùng phương pháp khai triển Adomian giải phương trình vi - tích

phân tuyến tính Volterra sau

u(iv)(x) = 1 + x −

Z x 0

u (0) = u0(0) = 1, u00(0) = u000(0) = −1

Lấy tích phân 4lần với cận đi từ 0đến x cả hai vế của phương trình (2.17) và

sử dụng điều kiện ban đầuu (0) = u0(0) = 1, u00(0) = u000(0) = −1, ta được

u (x) = 1 + x − L−1

Z x 0

(x − t) u (t) dt



Trong đó L−1 là tích phân bốn lần cận từ 0 đến x Sử dụng chuỗi khai triển

(2.5), và quan hệ truy hồi (2.7) ta đươc

x55!,

u1 = −L−1

Z x 0

7 + 18!x

8 + 19!x

3

+ 14!x

4

+ 15!x

5 − 16!x

2.2.2 Phương pháp biến đổi Laplace

Trước khi ta bắt đầu áp dụng phương pháp này, ta tóm tắt một số khái niệm

về phương pháp biến đổi Laplace Trong định lý tích chập của biến đổi Laplace,

đã chỉ ra rằng nếu hạt nhânK(x, t)của phương trình tích phân

u(n)(x) = f (x) + λ

Z x 0

phụ thuộc vào sai phân x − t, thì nó được gọi là hạt nhân sai phân Ví dụ củahạt nhân sai phân là ex−t, cos(x − t) và x − t Phương trình vi - tích phân cóthể biểu diễn như sau

u(n)(x) = f (x) + λ

Z x 0

Xét hai hàm f1(x) và f2(x)mà có những điều kiện cần cho sự tồn tại của biếnđổi Laplace ở mỗi hàm Biến đổi Laplace cho các hàmf1(x) vàf2(x)được chobởi

f1(x − t)f2(t)dt,

hay

(f2 ∗ f1)(x) =

Z x 0

và tương tự cho đạo hàm bậc cao hơn.

Phương pháp biến đổi Laplace có thể áp dụng qua một số bước như sau:

- Đầu tiên lấy Laplace cả hai vế của (2.21), sử dụng phép biến đổi Laplacecho các thành phần củau(x), và sau đó giảiU (s)

- Tiếp theo ta áp dụng phương pháp biến đổi Laplace ngược cho cả hai vế củaphương trình kết quả để thu được nghiệmu(x) của phương trình

Phương pháp biến đổi Laplace giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra được minh họa qua việc tìm hiểu các ví dụ sau

Ví dụ 2.2.5 Giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra bằng phép

biến đổi Laplace

3!

s4 + 1

s2U (s) , (2.27)

phương trình (2.27) thu được khi áp dụng (2.22) Dùng điều kiện ban đầu

u(0) = 1và giải (2.27) theoU (s) ta được

Áp dụng biến đổi Laplace ngược ở cả hai vế của (2.28), nghiệm chính xác được

cho bởi

Ví dụ 2.2.6 Giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra bằng phép

biến đổi Laplace

u00(x) = −x +

Z x 0

phương trình (2.31) thu được khi áp dụng (2.23) Dùng điều kiện ban đầu

u(0) = 1, u0(0) = 1và giải (2.31) theoU (s) ta được

Ví dụ 2.2.7 Giải phương trình vi - tích tuyến tính phân Volterra bằng phép

biến đổi Laplace

u000(x) = 1 + x − 2x2 +

Z x 0

Phương trình (2.35) thu được khi áp dụng (2.24) Dùng điều kiện ban đầu

u(0) = 5, u0(0) = u00(0) = 1và giải (2.35) theoU (s)ta được :

Ví dụ 2.2.8 Giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra bằng phép

biến đổi Laplace

u(iv)(x) = 3ex+ e2x −

Z x 0

Phương trình (2.39) thu được khi áp dụng (2.25) Dùng điều kiện ban đầu

u(0) = 0, u0(0) = 1, u00(0) = 2, u000(0) = 3 và giải (2.39) theo U (s) ta được

Áp dụng biến đổi Laplace ngược cả hai vế của (2.40), nghiệm chính xác được

cho bởi

2.2.3 Phương pháp chuỗi lũy thừa

Một hàm thựcu(x)được gọi là giải tích nếu nó có đạo hàm mọi cấp sao chochuỗi Taylor tại điểm bbất kỳ nằm trong miền xác định của nó

Trong phần này ta sẽ áp dụng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình

vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2 Ta sẽ giả sử rằng nghiệm u(x) củaphương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra

u(n)(x) = f (x) + λ

Z x 0

a0 + a1x + a2x2 + · · ·
(n) = T (f (x)) + λ

Z x 0

K (x, t) a0 + a1t + a2t2 + · · ·
dt,

(2.47)Trong đó T (f (x)) là chuỗi Taylor của hàm f (x) Phương trình vi - tích phân

tuyến tính Volterra (2.44) sẽ chuyển thành một phương trình tích phân trong

(2.46) hoặc (2.47), trong đó thay bằng lấy tích phân của hàm ẩnu(x), ta lấy tích

phân các số hạngtn, n ≥ 0 Chú ý rằng vì ta đang tìm chuỗi lũy thừa, nên nếu

f (x)chứa các hàm sơ cấp như hàm lương giác, hàm mũ, thì khai triển Taylor

cho các hàm lũy thừa chứa trongf (x)được sử dụng

Đầu tiên ta tính tích phân vế phải của tích phân trong (2.46) hay (2.47), và

nhóm các hệ số của xcùng lũy thừa Tiếp theo ta cân bằng hệ số các lũy thừa

cùng bậc ở cả hai vế của phương trình, kết quả thu được quan hệ truy hồi trong

aj, j ≥ 0 Giải quan hệ truy hồi ta sẽ tìm được các hệ số aj, j ≥ 0 Trong đó

một vài hệ số được xác định từ điều kiện ban đầu Khi đã xác định được các hệ

sốaj, j ≥ 0, chuỗi lũy thừa được tìm ra trực tiếp sau đó bằng phép thế các hệ

số đã xác định vào (2.43) Nghiệm chính xác có thể thu được nếu như nghiệm

chính xác tồn tại Nếu nghiệm chính xác không tồn tại, thì chuỗi thu được có

thể được dùng cho mục đích số

Ví dụ 2.2.9 Giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra bằng phương

pháp chuỗi lũy thừa

u0(x) = 1 + x +

Z x 0

n+2

,

hay tương đương

khi đó ta thu gọn các số hạng chứaxvới cùng số mũ ở hai vế và sử dụnga0 = 1

từ điều kiện ban đầu Đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ở cả hai vế của (2.50) cho ta quan hệ truy hồi

hội tụ tới nghiệm chính xác

u(x) = ex

Ví dụ 2.2.10 Giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra bằng phương

pháp chuỗi lũy thừa

u00(x) = 1 +

Z x 0

Lấy đạo hàm vế trái với ẩnx, tính tích phân ở vế phải cho ta

khi đó ta thu gọn các số hạng chứa x với cùng số mũ ở hai vế và sử dụng

a0 = 1, a1 = 0 từ điều kiện ban đầu Đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc củaxở cả hai vế của (2.57) cho ta quan hệ truy hồi

Ví dụ 2.2.11 Giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra bằng phương

pháp chuỗi lũy thừa

u000(x) = 1 + x + 1

3!x

3 +

Z x 0

u(0) = 1, u0(0) = 0, u00(0) = 1

Thếu(x) bởi chuỗi

n+2,

(2.64)

khi đó ta thu gọn các số hạng chứa x với cùng số mũ ở hai vế và sử dụng

a0 = 1, a1 = 0, a2 = 2!1 từ điều kiện ban đầu Đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc củaxở cả hai vế của (2.68) cho ta quan hệ truy hồi

a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1

2!,

a3 = 13!, a4 =

14!, a5 =

15!, a6 =

16!,

Thế kết quả này vào (2.66) dẫn tới chuỗi lũy thừa

n

hội tụ tới nghiệm chính xác

u(x) = ex− x

Ví dụ 2.2.12 Giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra bằng phương

pháp chuỗi lũy thừa

u(iv)(x) = 1 + x − 1

2!x

2 − 13!x

3 +

Z x 0

(x − t)u(t)dt, (2.66)

u(0) = u0(0) = 2, u00(0) = u000(0) = 1