Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán phổ thông

Nguyễn Văn Hùng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán p h ổ thông được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác

N G U Y ỄN T H Ị NGÂN

PHÉP NỘI SUY

MỘT SỐ DẠNG

YÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, toàn thể các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi ữong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Người thự c hiện

Nguyễn T hị Ngân

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng,

luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán p h ổ thông được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của

bản thân tác giả, không ữùng lặp với bất cứ luận văn nào khác

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Ngưòi thự c hiện

Nguyễn T hị Ngân

1.1.5 Bài toán ngươc của sai s ố

1.2 Môt số khái niêm cơ bản của đai số

1.2.1 Một số vấn đề của đại số tuyến tính

1.2.2 Định nghĩa và tính chất của đa thức

1.3 Môt số khái niêm cơ bản của giải tích

1.3.1 Giới hạn của dãy số

1.3.2 Giới hạn của hàm số

1.3.3 Công thức Taylor

2 Phép nội suy

2.1 Bài toán nội suy tổng quát

2.2 Công thức nội suy Lagrange

2.2.1 Công thức nội suy Lagrange

2 2.2 Sai số của phép nội suy

iii133344

6 6

7710

1 1

1 1

1 2141515161618

2.2.3 Mốc nội s u y

2.3 Công thức nội suy N e w to n

2.3.1 Đa thức nội suy có mốc nội suy không cách đều nhau 2.3.2 Đa thức nội suy có mốc nội suy cách đều n h a u

2.4 Các công thức nội suy trung tâm

2.4.1 Công thức nội suy Gauss I

2.4.2 Công thức nội suy Gauss I I

2.5 Bài toán nội suy ngược

2.5.1 Sử dụng đa thức nội suy LagrangeI

2.5.2 Trường hợp các mốc nội suy Xi (ỉ — 0, rì) cách đều 2.6 Hàm nội suy S p l i n e

3 ứ n g dụng của phép nội suy giải m ột số dạng toán phổ thông 3.1 ứ ng dung của công thức nôi suy Lagrange 3.1.1 Bài tâp áp d u n g

3.1.2 Bài toán nôi suy Lagrange

3.2 ứ ng dụng của công thức nội suy Newton 3.2.1 Các bài toán về xác định đa thức 3.2.2 Tính t ổ n g

3.3 ứ ng dụng của một số các công thức nội suy khác 3.3.1 Công thức nội suy T a y ỉo rị

3.3.2 Công thức nội suy H e r m ì t e

3.4 ứ ng dụng Maple tính giá trị đa t h ứ c

3.4.1 Đa thức nội suy Lagrangeị

3.4.2 Đa thức nội suy N ew ton\

K ết luận

18

20 20

23 28 28 29 30 30 31 32 39 39 39 53 55 55 61 63 63

66

69 69 73 78

Mỏ đầu

1 Lí do chọn đề tài

Các bài toán nội suy ra đời từ rất sớm, rất nhiều nhà toán học nổi tiếng

đã nghiên cứu về nội suy trước hết phải kể đến các công trình của Lagrange, Newton, Hermit, Tuy nhiên, việc xây dựng các bài toán nội suy tổng quát, các

thuật toán tìm nghiệm của nó và những vấn đề liên quan đến nội suy vẫn đang được các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu Bởi nó không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết tối ưu, ., nó đóng một vai trò rất quan trọng trong việc thiết lập các đa thức thỏa mãn hệ các điều kiện ràng buộc đặc biệt Ngoài ra, các đặc ưưng cơ bản của nội suy còn được sử dụng trong nhiều bài toán chẳng hạn ữong toán cao cấp, toán ứng dụng, trong những mô hình thực tế và toán phổ thông Tuy nhiên, ở các trường phổ thông lý thuyết về các bài toán nội suy chưa được đề cập, có chăng chỉ là sử dụng chúng

để giải quyết các bài toán khó

Vì vậy, việc hình thành một chuyên đề chọn lọc những vấn đề cơ bản nhất về các bài toán nội suy, dưới góc độ toán phổ thông, đặc biệt là những ứng dụng của nó trong quá trình giải một số dạng toán khó là rất cần thiết Nên tôi đã lấy

tên luận văn của mình là Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán p h ổ thông nhằm đưa khái niệm nội suy và ứng dụng của nó đến gần hơn với thầy cô

và học sinh các trường phổ thông

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lại các phép nội suy và ứng dụng chúng giải một số bài toán phổ thông như các bài toán về đa thức, các dạng toán khai triển, đồng nhất thức, các bài toán xác định giới hạn của biểu thức cho trước, các bài toán về tính chia hết của đa thức, ứng dụng vào tính giới hạn của một số dạng vô định, Hệ thống lại một số dạng toán và sáng tác ra nhiều bài tập mới

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về một số bài toán nội suy cổ điển, các công thức nội suy

ứ n g dụng các công thức nội suy vào giải một số dạng toán phổ thông

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Với mục đích như trên, luận văn tập trung vào nghiên cứu về các công thức

nội suy: Công thức nội suy Lagrange, công thức nội suy Taylor, khai triển Tay­ lor, công thức nội suy Newton trong phạm vi ứng dụng trong chương ữình phổ

thông, giải quyết một sô bài toán khó ữong chương ữình phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của giải tích và giải tích số

6 Đóng góp của luận văn

Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên, học viên cao học về ứng dụng của phép nội suy giải một số dạng toán phổ thông

Khi đó: A a được gọi là sai số tuyệt đối của a, ỗa = —7 là sai số tương đối của

\a\

a Rõ ràng A a, ỗa càng nhỏ càng tốt.

Hai số gần đúng a của a* và b của b* có cùng sai số tuyệt đối A a = A6, số

nào có giá trị lớn tuyệt đối lớn hơn thì sẽ chính xác hơn Chẳng hạn a = 100,

b = 1, A a = A 6 = 0, 01 khi đó số a* € [99, 99; 100, 01], b* G [0,99; 1,01], tức là số a sẽ chính xác hơn số b so với giá trị đúng của nó Đại lượng nào sẽ

phản ánh độ sai số của một số, hay nói cách khác độ chính xác của phép tính được phản ánh qua đại lượng nào Ở ví dụ trên, nếu |a| càng lớn thì khoảng xác

định của a* càng rộng, vì vậy tỉ số ỗa = —7 có thể đặc trưng cho độ chính xác

| ữ |

của một phép đo tính toán, ổa được gọi là sai số tương đối của số a.

1.1.2 Sai số th u gọn

Trong quá trinh tính toán, số gần đúng a của a* đôi khi là số thập phân vô

hạn các số sau dấu phẩy, hoặc hữu hạn nhưng số lượng các chữ số sau dấu phẩy rất lớn buộc chúng ta phải ngắt bớt một số chữ số sau dấu phẩy Việc ngắt bớt

đó được gọi là thu gọn số a để được số ã ngắn gọn hơn và gần đúng số a.

Qui tắc thu gọn một số a như sau: Giả sử số a = A , a ! a2a 3 a¿ an, trong

đó A là phần trị nguyên, dj E 0 ,1 , 2 , 3 , 9 (j = 1, n ) là các chữ số sau dấu phẩy (phần thập phân) Muốn làm ữòn số ã từ số a với i chữ số sau dấu phẩy ta làm như sau: giữ nguyên A , ữi, a2, ■ , ữj_i Xét ữị+1

- Nếu ữị_|_i < 5 thì ã — A , a 1a2a3 a i-1ai,

- Nếu ai+ 1 > 5 thì ã = A , a ia 2a 3 a¿_ia¡, với áị = dị + 1.

Ví dụ 1.1.1 Cho số a* = n , a = 3,141592 Khi đó số thu gọn của a là:

- Số thu gọn sau dấu phẩy 2 chữ số: ã = 3,14.

- Số thu gọn sau dấu phẩy 3 chữ số: ã = 3,141.

- Số thu gọn sau dấu phẩy 4 chữ số: ã = 3,1416.

Đặt: Ta = |a — ãỊ, T a được gọi là sai số thu gọn của số a.

1.1.3 Sai số tín h to án

Các số dùng để tính toán vốn đã là các số gần đúng (có sai số), còn xuất hiệnthêm sai số của kết quả Sai số này được gọi là sai số tính toán Trong đề tài này,tập trung nghiên cứu các giá trị gần đúng liên quan đến sai số tính toán

Giả sử cần tính giá trị đầu ra y với các giá trị đầu vào là X\, x 2, , x n Mọi liên hệ giữa đầu vào và đầu ra được xác định bởi y* = f ( x [ , x2, , Æ*) ở đây

y * , x Ị , x2, , æ* là các giá trị đúng của giá trị hàm và các biến tương ứng Thực

tiễn, không thể xác định được y * , x \ , x2, , mà chỉ xác định được giá trị gần

đúng tương ứng của nó với các sai số tương ứng A y , A x ị Sai số giá trị A y của

y = f ( x I , x 2, , x n) được gọi là sai số tính toán.

Giả sử y = f ( x i , x 2, , x n) là hàm khả vi, liên tục theo các biến Xị Theo

giải tích, ta có:

y - y * = f ( x u 32, - , x n) - f(x l,x * 2: , < ) = E f'Xi{X)-(Xi - x*i ) ,

2—1trong đó: X là điểm nằm giữa các điểm ( x i , x 2, , x n) và (x*, ^2, X*), cónghĩa là, ta có: |y - y*| < E 14 ( ^ ) 1 -AíCi

Giải.

Ta có Sx = SỂ 0,29%, Sz = f f f - = o, 016%

Vậy: ôy = ôx + ôz = o, 306%

Sai số của y = Inx

Ta có: (ln x ) = — =>■ A y — -—- = ỗx

Sai số tuyệt đối của y bằng sai số tương^ối của X.

Sai số của thương

i= 11.1.4 Sự ổn đ ịn h củ a q u á tr ìn h tín h

Để tính một đại lượng có khi phải tính nhiều lần lặp đi lặp lại Quá trình tính gọi là ổn định nếu sai số tính toán (quy tròn số) tích lũy lại không tăng ra vô hạn Nếu quá ữình tính sai số đó tăng ra vô hạn thì ta nói quá trình tính là không

ổn định

Để khắc phục điều đó thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra ở một bước tính Xem giá trị mới đó là đúng, tính bước kế tiếp Nếu tích lũy một số bước thấy sai số tăng đáng kể thì xem như quá trình tính không ổn định (đây là vấn

đề khó, cần nghiên cứu tiếp về sau)

1.1.5 B ài to á n ngược củ a sai số

Giả sử cần tính y = f i x 1 , X 2 ,

A x ị

, x n) với sai số A y < a Hãy xác định các

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có

n

A y = Ẽ

i= 1

d f dxi A x ị < a.

Giả sử rằng

d ĩ dxi A x ị = c o n stịỉ = 1, 2 , n) ( 1.1)

Khi đó nếu A x ị < a thì bất đẳng thức A y < a được thỏa mãn Điều

dxị

kiện (Ịl.lỊ) thường được gọi là nguyên lý ảnh hưởng đều

Ví dụ 1.1.3 M ột hình trụ có chiều cao h = 3m , bán kính đáy R = 2ra, hỏi rằng lấy A h , A R , số lĩ như thế nào thì th ể tích V của hình trụ được tính chính xác đến 0 ,l m 3.

A lt = < 0,003, A R = < 0,001, A h = < 0,003

thì yêu cầu của bài toán là thỏa mãn.

Vậy chọn A R < 0,001, A lt < 0, 003, A h < 0,003 sẽ thu được th ể tích V chính xác đến 0 ,l m 3.

1.2 Một số khái niệm cơ bản của đại số

1.2.1 M ộ t số vấn đề củ a đ ại số tu y ến tín h

Giả sử K là một trường.

Định nghĩa 1.2.1 Tập hợp y / 0 được gọi là một không gian vectơ trên K

nếu nó được trang bị hai phép toán, gồm

(i) Phép cộng vectơ

+ : V x V ^ V (a , /3) I-4 a + Ị3

(ii) Phép nhân vectơ với vô hướng

• - K x V ^ V (a, a) !->■ a a

Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây

Khi K = R, V được gọi là một không gian vectơ thực.

Khi K = c , V được gọi là một không gian vectơ phức.

Ví dụ 1.2.1.

a) Tập hợp cấc đa thức K [X] (của một ẩn X , với hệ số trong K ) với phép cộng

đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thông thường lập nên một không gian vectơ trên trường K

b) K là một không gian vectơ trên chính nó đối với phép cộng và phép nhân của trưởng K M vừa là một Q - không gian vectơ vừa là một K - không gian vectơ,

c là một không gian vectơ đồng thời trên các trường Q, M và c .

c) Tập hợp c [a, 6] các hàm thực liên tục trên đoạn [a, 6] c M là một không gian vectơ thực với các phép toán thông thường

( / + 9 ) (z) = f { x ) + 9 {x) ,

( a / ) (z) = a f (X)

Định nghĩa 1.2.2 (Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính)

(i) M ột tổ hợp tuyến tính của các vectơ «1 , a n £ V là một biểu thức dạng

N hận xét 1.1 M ột vectơ có thể có nhiều biểu thị tuyến tính khác nhau qua một hệ vectơ Ta nói hệ ( a i , , a n) biểu thị tuyến tính được qua hệ (/?1 , , ¡3m)

nếu mỗi vectơ a¿, trong đó 1 < ỉ < n, biểu thị tuyến tính được qua ( ¡ 3 ị , ¡ 3 m) Giả sử ( a 1? , a n) biểu thị tuyến tính được qua hệ (/3 i, , Pm), và hệ (/?!, ,/3m)

biểu thị tuyến tính được qua hệ (7 i , , 7 fc) Khi đó, rõ ràng ( a i , , a n) cũng biểu thị tuyến tính được qua hệ (7 1 , , 7 fc)

Định nghĩa 1.2.3 (Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính)

(i) Hệ ( « ! , , a n) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức ữ ia i + .

+ ana n = 0, chỉ xảy ra khi dị = = an = 0.

(ii) Hệ ( al5 , a n) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính

1.2.2 Đ ịnh n g h ĩa và tín h c h ấ t c ủ a đ a th ứ c

Định nghĩa 1.2.4 Một đa thức bậc n của ẩn X là biểu thức có dạng

p n (x) — anx n + ữn_ lÆ 71-1 + + a,ịX + ữ0, trong đóxác hệ số an, ữn_ 1 , , ữo là những số thực hoặc phức và an Ỷ 0j

n ẽ l

(i) Bậc của đa thức Pn {x) là deg Pn (æ) D ovậy deg Pn (æ) = n.

(ii) an— hệ số cao nhất của đa thức.

(iii) aữ— hệ số tự do của đa thức.

(iv) anx n- hạng tử cao nhất.

C hú ý 1.2.1 Sau đây ta thưởng chỉ xét đa thức với các hệ số của nó đều là thực

và gọi tắt là đa thức thực.

Định nghĩa 1.2.5 Cho đa thức

p n (æ) = anx n + a n_!Æn_1 + + CLịX + aQ, với f l „ / 0 , ữ G C , được gọi là nghiệm của đa thức Pn (x) nếu Pn (o¡) = 0 Nếu tồn tại k E N, k > 1 sao cho Pn (æ) :(æ — a ) k nhưng Pn (x) không chia hết cho (x — a )fc+1 thì a được gọi là nghiệm bội k của đa thức Pn (æ)

Đặc biệt khi k = 1 thì a được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì a được gọi là

nghiệm kép

Định lý 1.2.1 (Gauss)

Mọi đa thức n > 1 trên trường c đều có đúng n nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng bội của nó.

Định lý 1.2.2 Mọi đa thức với hệ số thực đều có th ể biểu diễn dưới dạng

p n (x) = a0(x - a>i)ni (x - a r)nr( x 2 + PiX + Ợi)mi (a^2+ p sx + qs) m‘

trong đó n>i + m i = n, PĨ - 4ợj < 0, ỉ = 1 , s,

i= 1 i= 1

va OL OL\ Oír Ị P\ Ợi, Ps qs G

Định lý 1.2.3 Mỗi đa thức bậc n đều có không quá n nghiệm thực.

Hệ quả 1.2.1 Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không.

Hệ quả 1.2.2 Nếu đa thức có bậc < n mà nhận cùng một giá trị tại n + 1 điểm khác nhau của đối số thì đa thức đó là đa thức hằng.

Hệ quả 1.2.3 Hai đa thức bậc < n mà nhận n + 1 giá trị bằng nhau tại n + 1 giá trị khác nhau của đối số thì đồng nhất bằng nhau.

1.3.1 Giới h ạ n củ a dãy số

Định nghĩa 1.3.1 Cho dãy số {an, n = 1, 2, .} (an € K )

Ta nói rằng dãy { an, n = 1, 2, .} có giới hạn a , f l G l nếu

Các tiêu chuẩn hội tụ của dãy số

Đinh lý 1.3.1 (Nguyên lý hội tụ Cauchy)

Điều kiện cần và đủ đ ể cho dãy {ữn, n = 1 ,2 , } hội tụ là:

Sự bảo toàn thứ tự qua giói hạn trong bất đẳng thức

Giả sử lim an= a, lim bn= 6, a, be K Khi đó

Định nghĩa 1.3.2 Cho tập con ^ 4 c l R , / : ^ 4 ^ 1 R v à a l à một điểm tụ của tập

A Khi đó: số thực l được gọi là giới hạn của hàm số / (X) tại điểm a nếu:

Ve > 0, 3Ổ = ổ (ữ, e) , \/x e A :, 0 < \x — a\ < ổ I/ (x) — Z| < e.

Ký hiệu: lim f (x) = l hay / (X) —> l, (x —>■ a )

x— ^a

Nếu hàm số f (x) có giới hạn tại điểm a thì giới hạn đó là duy nhất.

Nếu a (X) là hàm số xác định trên A và lim a (x) — 0 thì a (X) được gọi là

x —>a

một đại lượng vô cùng bé khi X —> a.

Sự bảo toàn tbứ tự qua giới bạn

Nếu tồn tại các giới hạn: lim / (X) = A, lim g (X) = B , A, B G R Khi đó

1 ) lim [ / (x) ± g (x)] = lim / (X) ± lim g (x) = A ± B

2) lim [ / (x) g (a;)] = lim / ( x ) lim g (a;) = A B

f ( x ) ỉ ™ / í ® ) A 3) Nếu B í 0 thì lim = ự a =

g X) lim g (X) B

x —>a 4) Nếu / (a;) < g (x) trong một lân cận của a thì: lim / (x) < lim g ( x )

Cho a ( x ) , /3 ( x ) là các vô cùng bé khi X a

1) Nếu lim a =■ m Ỷ 0 thì ta nói a ( x ) , ¡3 (x) là các vô cùng bé cùng bậc

Trong việc tìm giới hạn người ta có thể thay các vô cùng bé bới các vô cùng

bé tương đương

2) Nếu a (æ) ~ m ( x — a ) fc, (k > 0) khi X —>• a thì m ị x — a) k được gọi là phần chính của a (x) khi X —> a.

3) Các cặp vô cùng bé tương đương đáng lưu ý: Khi X — > a ta có

sin X ~ X, t g X ~ x : arcsin X ~ X, arctg X ~ X, ln (1 + x ) ~

K-trong đó o ((x — ữ)n) là vô cùng bé bậc cao hơn (X — a)n khi X —> a.

Khai triển Taylor của các hàm số sơ cấp cơ bản

+ 0 ( z n)

5) ln (1 + x) = X - + + ( - l ) n_1— + o (xn).

Chương 2

Phép nội suy

2.1 Bài toán nội suy tổng quát

Giả sử hàm số y = f ( x ) được cho bởi bảng (2.1)

Bảng 2.1hoặc bởi một biểu thức khá phức tạp Ta phải tính giá trị hoặc đạo hàm của hàm

số tại một điểm bất kì sẽ gặp nhiều khó khăn Vì vậy, ta sẽ tìm một hàm dễ tính

toán và có sai số với f ( x ) là nhỏ nhất Phép tìm một hàm như vậy gọi là phép

nội suy Trong lớp các hàm số liên tục và khả vi thì đa thức là một hàm dễ tính toán nhất và đặc biệt ta có kết quả của Weierstrass như sau: với hàm / (:c) liên

tục trên đoạn [a, b] và với mọi số £ > 0 đều tồn tại một đa thức xác định trên

đoạn [a, 6] sao cho I / (x) — p (x)| < £, \/x G [a, b].

Vì vậy, chúng ta hay tìm đa thức làm hàm gần đúng với / (x), đa thức như

vậy gọi là đa thức nội suy

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính thực (hoặc phức) n chiều Cho trước các phiếm hàm tuyến tính Lị £ X * (i = 1, Tỉ) và các số thực (phức) ĩji (ỉ = 1, rì) Tìm X & X sao cho

Lị (x) =Vi (i = 1, n) (2.1)

Bài toán (2.1|) được gọi là bài toán nội suy tổng quát.

Nếu Hi = 0 (i = 1, n ) thì bài toán (2A_) trở thành bài toán: Tìm X ẽ X sao

cho

Khi đó ( 22) được gọi là bài toán nội suy thuần nhất.

Định lý 2.1.1 Bài toán nội suy tổng quát (Ị2.1Ị) có lời giải duy nhất khi và chỉ khi các phiếm hàm { Lị } ị c X* là độc lập tuyến tính.

Hệ quả 2.1.1 Bài toán (Ị 2 1 Ị) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán (Ị2 2Ị) chỉ có nghiệm tầm thường X = 0.

Định lý 2.1.2 Giả sử các phiếm hàm {Lị}™ c X* độc lập tuyến tính Khỉ đó,

1 ) Tồn tại duy nhất các phần tử {Xj }” c X * sao cho:

2.2.1 C ông th ứ c nội suy Lagrange

Giả sử, hàm số f ( x ) được cho bởi bảng (2.1) Các giá trị X0, X ị , , x n được

gọi là các mốc nội suy

Để xây dựng công thức nội suy Lagrange của hàm f ( x ) trên đoạn [xo, x n], trước hết ta xây dựng các đa thức bậc n sao cho tại các điểm x ữ, X i , , x n các

đa thức này thỏa mãn:

Pị (xj ) Jÿ 0, * 7é 3

M = 3

Đa thức P ị (X) có n nghiệm Xo, X i , , Xj_i, Xj+1, , x n nên nó phải có dạng

được gọi là công thức nội suy Lagrange.

Ví du 2.2.1 Hàm f ( x ) được cho bằng bảng sau

2.2.2 Sai số củ a p h ép nội suy

Giả sử P (X) là đa thức nội suy bậc n của / (X) trên [ữ, 6], tức là p (Xị) =

/ ( X j ), ỉ = 0, n Giả sử / (x) là hàm khả vi liên tục đến cấp n + 1 ký hiệu

M = sup |/(n+1) (æ) I ta có công thức đánh giá sai số như sau

Từ giả thiết f ( x ) xác định trên đoạn [a; 6], bằng một phép đổi biến

Do đó, Tn (X) là đa thức đại số với bậc n và hệ số cao nhất là 2n_1 Đa thức

Tn (a?) được gọi là đa thức Chebyshev.

N hận xét 2.1 1) Tn (X) có đúng n nghiệm và các nghiệm là X = cos ( - 1

ỉ = 0 , 1 , ( n — 1) Khi đó, các nghiệm của Tn (:r) đều thuộc [—1; 1].

2) m ax \Tn (x) I = 1 khi X = Xi = cos — với ỉ = 0, n Hơn nữa Tn (xì) = 1

Giả sử có đa thức P (X) G -E 1 sao cho f ( P (x)) < —— Khi đó xét Q (X) =

Từ định lý trên ta có: Nếu chọn các mốc nội suy chính là các nghiệm của đa

thức Chebyshev thì hàm số U )n + 1 (x) = — T n + 1 (æ) làm cực tiểu phiếm hàm ip

và ước lượng tốt nhất của phép nội suy là

R n (s) = I p (x) - / (a:)| < n \ J I V ) J U I - ^ 7 ^ 2"■

Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm đơn giản, dễ lập ữình, song cũng có

nhược điểm lớn là mỗi lần thêm một mốc nội suy mới ta lại phải tính toán lại từ

đầu mà không sử dụng được các kết quả tính toán trước khi bổ sung Newton đã đưa ra một phương pháp khác khắc phục hạn chế của Lagrange, các dữ liệu đã

có trước khi bổ sung mốc mới được sử dụng lại, giảm đi khối lượng tính toán

2.3.1 Đ a th ứ c nội suy có m ốc nội suy k h ô n g cách đ ều n h a u

"t'i X ị — I

là sai phân cấp một của hàm f ( x )

Tỷ sai phân của tỷ sai phân cấp 1 là tỷ sai phân cấp 2, ký hiệu là

Ta thấy tỷ sai phân cấp một cần hai mốc nội suy, tỷ sai phân cấp hai cần ba

mốc nội suy, tỷ sai phân cấp n cần n + 1 mốc nội suy

T ính chất 2.3.1 Tính chất của tỷ sai phân

1) Tỷ sai phân cấp k của tổng hai hàm số f ( x ) và g( x) bằng tổng các tỷ sai phân cùng cấp

(y “h ớ ) (■£* •> •t'i+1 ■ > ■ • ■ ■ ) Xị+ỵ ) f {xị, Xị-ị-1 J • 5 3?j-|_fc) “h 9 {.Xị 1 *®i+l 5 ■ • ■ J ®i+fc)

2) Hằng số nhăn c được đưa ra ngoài dấu tỷ sai phân

(¿'ĩ') (Xị, Xị-ị- 1, Xị+ỵ) c f (xị, Xị^- 1, Xj-|_/j)

Chứng minh các tính chất trên bằng phương pháp quy nạp.

3) Tỷ sai phân các cấp có tính chất đối xứng

f {xịl Xị+1 , 3?j-|-fc) f {xị + ỵ , X;

Tính chất này d ễ dàng được suy ra từ định nghĩa.

4) Tỷ sai phân của hằng số bằng 0.

5) Tỷ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:

i) Nếu m = n thì tỉ sai phân cấp n là hằng số.

ii) Nếu m > n thì tỉ sai phân cấp m bằng 0.

ii) Nếu f (x) = P (X) = ữ0 + CLịX + a2x 2 + + anx n (an ^ 0)

là đa thức cấp A: — 1 Áp dụng tính chất 1 và xét tỷ sai phân cấp hai, ta được đa

thức cấp k — 2 Sau k lần ta được tỷ sai phân cấp k của hàm h (x) = x k là hằng

Đa thức nội suy Newton trên mốc không cách đều

Từ định nghĩa tỷ sai phân, suy ra

P ( x ) = p (x0) + (x - Xo) p (x, Xo)

p (x, Xo) = P ( x 0, Xi) + (x - Xi) p (x, Xo, Xi)

p (x, Xo, Xi) = p (x0, Xi, x 2) + (x - x 2) p (x, Xo, Xi, x 2)

cách đều

thức nội suy N e w to n với mốc nội suy không

2.3.2 Đ a th ứ c nội suy có m ốc nội suy cách đ ều n h a u

Sai phân

Định nghĩa 2.3.2 Giả sử y = / (x) là hàm số xác định trên tập X , h là hằng

số lớn hơn 0 Ký hiệu A x = h là số gia của đối số.

Biểu thức A / (x) = / (x + h) — f (x) được gọi là sai phân cấp 1 của / (x)

được gọi là sai phân cấp 2 của f { x) tại X.

Tương tự, ta có A kf (:r) = A [A fc_1/ (:r)] được gọi là sai phân cấp k của

Giả sử hàm số y = f ( x ) được cho bằng bảng (2.1) tại các mốc Xi cách đều

X ị + 1 — Xị = h = c o ns t, ( ỉ > 0) Khi đó, sai phân của dãy Di được xác định như sau

A Vi = y i+ 1 - Vi, i = 0 , n - l

A 2Vi = A (A Vi) = A y i+1 - A Pi, i = Q , n - 2 ,

A nVi = An_1 (Ayị) = A n~1yị+1 - A n~1yi

Ta lâp bâng

Da thiic nôi suy Newton tien, lui

Giâ sü hàm s6 y = f ( x ) ta chï biét mot so giâ tri cüa no là y 0, yi, .,y n tai câc diem tüOng üng là x 0, x^, ., x n và giâ thiét x^ = x 0 + ih (i — 0, n)

D a thufc nôi suy Newton tien

Giâ sü rang moc nôi suy X q < X\ < < x n Ta tim da thüc nôi suy P (a;) cô

Tương tự, thay lần lượt X bằng £ 3, X 4 , , Xn- 1 , ta tính được

3!fc3 •J ®ri

A-yb

n!/inVậy ta có,

Công thức (Ị2.4Ị) là đa thức nội suy Newton tiến.

Đa thứ c nội suy Newton lùi

Giả sử rằng, các mốc nội suy vẫn thỏa mãn như phần trên Đa thức nội suy

Newton lùi p (x) được tìm có dạng,

p (x) = a 0+ ữ i (x - x n)+ a 2 {x - x n) (:X - x n_ i)+ + a n (x - x n) [x - Xi) Tương tự, như phép nội suy Newton tiến, thay lần lượt X bằng x n, Xn- 1 , X i

Áp dụng công thức nội suy Newton tiến, ta có

Trong mục 2.2.3 ta đã xét các đa thức nội suy Newton tiến, lùi có mốc cách đều nhau, bước là h > 0 Khi cần tính giá ữ ị gần đúng tại điểm X gần x 0 ta sử dụng công thức tiến, còn X gần x n ta sử dụng công thức lùi, các công thức đó mang đặc trưng một phía Trong nhiều ưường hợp cần tính X ở giữa bảng, công thức một phía (tiến hoặc lùi) sẽ bị hạn chế (nhiều mốc nội suy không được sử dụng để tính) Vì vậy ta đưa ra công thức sử dụng cả hai phía và gọi là các công thức nội suy trung tâm

Đa thức nội suy tìm dưới dạng "tiến, lùi"

p (X) = ữ0 + ữi (x - Xo) + ữ2 (x - Xo) (X - Xị)

+ + a2 n - 1 (x - £_(„_!)) (x - x _ i) (x - X q ) (x - x n_i)+ a2n (x - x _ (n_i)) (x - x _ i) (x - Xo) (x - x n_i) (x - x n)

Cho X = Xị (i = 0, ± 1 , ± n ) ta thu được

Cho X = Xị (i = 0, n ) ta thu được

Công thức (Ị2.7Ị) được gọi là đa thức nội suy Gauss II.

Trong các mục trước ta đã xét bài toán: Tìm giá trị gần đúng của hàm f ( x ) tại điểm Xnào đó không có trong bảng số Bây giờ xét bài toán ngược, nghĩa là

từ bảng số đã cho dạng y = f (a;); từ giá trị ỹ đã cho có ữong bảng, hãy tìm X tương ứng

2 5 1 S ử d ụ n g đ a th ứ c n ộ i su y Lagrange

Từ bảng số đã cho trong dạng y = f (X), có ỹ hãy tìm X tương ứng, nghĩa là

xem X = (p (y) là hàm ngược của hàm y = f (x).

Ta xem yi (i — 0, rì) là các mốc nội suy (nói chung các mốc yi {ỉ — 0, rì)

là không đều nhau) Bằng đa thức nội suy Lagrange ta sẽ thu được giá trị gần

Xem Ui (ỉ — 0, 3) là cấc mốc nội suy Áp dụng đa thức nội suy Lagrange, ta có:

(y - 2,4109) (y - 2,4133) (ý - 2,4157)(2,4181 - 2,4109) (2,4181 - 2,4133) (2,4181 - 2,4157)

Thay ỹ — 2.4142 vào vế phải, ta được

x ^ p 3 (ỹ) = p 3 (2.4142) = 0.88137.

Trường hợp này ta có thể sử dụng phương pháp lặp

Quá trình lặp được tính theo công thức

tm — (t"m —1) 1 tn — 1, 2,

y - y 0

A y 0

( 2 10 )

Sau m bước ta xem t « t m =>- X « xữ + h tm

2.6 Hàm nội suy Spline

Ta đã biết, phương pháp nội suy bằng đa thức như đã xét trong các mục trước của chương, công thức tính khá thuận lợi, song nhược điểm chính là số mốc nội suy tăng lên thì bậc của đa thức cũng tăng theo, không thuận lợi cho tính toán

Trong mục này, xét một thuật toán: từ n + 1 mốc nội suy ta xây dựng một đa thức bậc thấp hơn n trên từng khúc, mà khi nối chúng lại vẫn đạt độ trơn cao,

gọi là sự ghép trơn từng khúc

Khái niệm về sự ghép trơn (Spline)

Xét một cách chia đoạn [a, 6] như sau (hay còn gọi là phân hoạch)

A = [a, b] = [a = x 0 < Xi < x 2 < < x n = b]

Định nghĩa 2.6.1 Hàm ghép trơn (Spline) S ( x ) bậc m < n trên đoạn A là

hàm số có tính chất sau:

1) s ( x ) e c™^1(m > 1) là lớp hàm liên tục và có đạo hàm liên tục đến cấp

m — 1 trên đoạn [a, 6]

2) Trên mỗi đoạn nhỏ A j = [x j-i,X j] , j = 1 , n thì S ( x ) là đa thức bậc m Gọi Pm là tập hợp các đa thức bậc m , ơm là tập hợp các hàm ghép ươn trên đoạn A , thì Pm c ơm Dễ dàng chỉ ra ơm là không gian tuyến tính Giả sử

s (x) ẽ ơm, thì S ( x ) được tạo ra bởi n đa thức bậc m mỗi đa thức bậc m cần

m + 1 hệ số chưa xác định Như vậy để có s (:r) thì cần xác định n (m + 1) hệ

_Ắ

SÔ.

Nhưng theo cách chia đoạn A = [a, 6] = { x ị, i = 0, n } thì có n — 1 điểm nối (khớp) Xi, ỉ = 1, n — 1 Tại các điểm đó thì hàm s (x) có đạo hàm liên tục đến

cấp m — 1 nghĩa là đã có m (n — 1) điều kiện Vì vậy, còn thiếu n ( m + 1) —

m (n — 1) = n + m điều kiện Nhưng tại điểm Xị thì s (Xị) = y% = f (Xị) , ỉ =

0, n đã có từ bảng số, nên còn thiếu (n + m ) — (n + 1) = m — 1 điều kiện,

m — 1 điều kiện thiếu sẽ được bổ sung nhờ các nút biên X = Xo = a và

X = x 0 = b.

Vậy bài toán được đặt ra như sau

Giả sử, hàm số y = f i x ) xác định, liên tục trên đoạn [ữ, 6] hoặc cho ữong dạng bảng số yi = f (X i), i = 0, n

Các mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự

a = x 0 < XI < x 2 < ■■■ < x n = b.

Hãy dựng hàm ghép trơn s (X) bậc ra (ra < rì), trên đoạn [a, b] đó sao cho