Chuỗi thời gian không dừng và ứng dụng trong phân tích và dự báo kinh tế

LỜI CAM ĐOANĐược sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Trọng Nguyên, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Chuỗi thời gian không dừng và ứng dụng trong phân tích và dự báo kinh

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Trọng Nguyên

HÀ NỘI, 2016

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả ừong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn ủng hộ, quan tâm để tác giả có thể hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

TÁC GIẢ

Bùi Văn Bằng

LỜI CAM ĐOAN

Được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Trọng Nguyên, luận văn Thạc sĩ

chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Chuỗi thời gian không dừng và ứng dụng trong phân tích và dự báo kinh tể” được hoàn thành bởi sự nhận thức của

bản thân, số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực không trùng với bất kỳ luận văn nào khác

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận vãn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn ừong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

TÁC GIẢ

Bùi Văn Bằng

MỞ Đ Ầ U 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp và công cụ nghiên cứu 2

6 Kết cấu của luận văn 3

7 Đóng góp mới của luận v ăn 3

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4•

1.1 Quá trình ngẫu nhiên 4

1.2 Chuỗi thời gian 5

1.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 5

1.4 Sai phân của chuỗi thời gian 6

1.5 Toán tử dịch chuyển lùi 7

1.6 Hiệp phương s a i 8

1.7 Hàm tự tương quan 10

CHƯƠNG 2: CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG VÀ MÔ HÌNH TRUNG BÌNH TRƯỢT TÍCH HỢP T ự HỒI QUY 18

2.1 Chuỗi thời gian không dừng 18

2.2 Một số quá trình ngẫu nhiên giản đ ơ n 19

2.2.1 Nhiễu trắng 19

2.2.2 Bước ngẫu nhiê n 20

2.2.3 Quá ữình trung bình trượt (MA) 22

2.2.3.1 Quá trình trung bình trượt bậc nhất - MA(1) 22

2.2.3.2 Quá trình trung bình trượt bậc q - M A(q) 23

2.2.3.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn- MA(oo) 23

2.2.4 Quá trình tự hồi quy (AR) 24

2.2.4.1 Quá trình tự hồi quy bậc 1 - AR(1) không có hệ số chặn 24

MỤC LỤC

2.2A.2 Quá trình AR(1) có hệ số chặn 26

2.2.4.3 Quá trình tự hồi quy bậc p 28

2.3 Nhận biết tính dừng của chuỗi thời gian 30

2.3.1 Nhận biết qua đồ th ị 30

2.3.2 Nhận biết qua biểu đồ tự tương quan 32

2.3.3 Kiểm định nghiệm đơn vị 35

2.3.3.1 Kiểm định Dickey- Fuller 35

2.3.3.2 Kiểm định Philips và Perron 41

2.4 Một số vấn đề về chuỗi thời gian không dừng 43

2.4.1 Hậu quả khi ước lượng mô hình chuỗi thời gian không dừng 43

2.4.2 Hồi quy giả m ạo 44

2.4.3 Chuỗi dừng xu thế và dừng sai phân 49

2.4.4 Đồng tích hợp 49

2.4.4.1 Khái niệm đồng tích họp 49

2.4.4.2 Kiểm định hồi quy đồng tích h ọ p 50

2.5 Loại bỏ tính không dừng trong chuỗi thòi gian 52

2.6 Mô hình trung bình trượt tích họp tự hồi quy ARIMA 54

2.6.1 Cách xây dựng mô hình ARIMA cho dữ liệu chuỗi thời gian 54

2.6.1.1 Mô hình tự hồi quy bậc 1 54

2.6.1.2 Mô hình trung bình trượt bậc 1 55

2.6.1.3 Các mô hình tự hồi quy bậc cao 55

2.6.1.4 Mô hình trung bình trượt bậc c a o 56

2.6.1.5 Mô hình trung bình trượt và tự hồi quy ARMA 57

2.6.1.6 Mô hình trung bình trượt, tích họp, tự hồi quy ARIMA 58

2.6.1.7 Mô hình ARIMA có yếu tố mùa v ụ 59

2.6.2 Phương pháp Box-Jenkins 60

2.6.2.1 Định dạng mô hình - xác định các tham số d, p, q 60

2.6.2.2 Ước lượng mô hình 63

2.Ó.2.3 Kiểm định tính thích hợp của mô hình 65

2.6.2.4 Dự báo và sai số dự báo 65

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG TRONG

PHÂN TÍCH VÀ D ự BÁO KINH TÉ 67

3.1 Phân tích và dự báo kinh tế dựa vào dữ liệu chuỗi thời gian 67

3.2 ứ ng dụng mô hình ARIMA trong phân tích và dự báo 71

3.2.1 Xác định vấn đề, thu thập dữ liệu 71

3.2.2 Phân tích sơ b ộ 71

3.2.3 Lựa chọn và ước lượng mô hình 72

3.2.4 Đánh giá mô hìn h 79

3.2.5 Thực hiện phân tích và dự báo 81

3.2.6 Trình bày kết quả phân tích và dự báo 84

3.2.7 Theo dõi kết quả dự báo, cập nhật và đánh giá lại mô h ìn h 84

3.3 Ưu nhược điểm của phương pháp dự báo bằng mô hình ARIMA 84

3.3.1 Ưu điểm 84

3.3.2 Nhược điểm 85

KẾT LUẬN 86

TÀI LIỆU KHAM KHẢO 87

PHỤ LỤC 88

Bảng 1.1: CPI của Việt Nam và các chuỗi sai phân 7

Bảng 2.1 : Kiểm định ADF cho chuỗi GDP ước lượng theo mô hình 1 39

Bảng 2.2: Kiểm định ADF cho chuỗi GDP ước lượng theo mô hình 2 39

Bảng 2.3: Kiểm định ADF cho chuỗi GDP ước lượng theo mô hình 3 40

Bảng 2.4: Kiểm định ADF cho sai phân bậc nhất của chuỗi GDP 41

Bảng 2.5: Kiểm định Phillips và Perron cho chuỗi GDP 42

Bảng 2.6: Kết quả hồi quy LC theo L Y 45

Bảng 2.7: Kiểm định nghiệm đom vị với chuỗi LC 47

Bảng 2.8: Kiểm định nghiệm đơn vị với chuỗi LY 47

Bảng 2.9: Kiểm định nghiệm đơn vị với chuỗi LY khi thêm biến xu thế 48

Bảng 2.10: Kiểm định nghiệm đơn vị với phàn dư sau khi hồi quy 50

Bảng 2.11: Kết quả hồi quy LC, LY theo phương trình 51

Bảng 2.12: Kiểm định nghiệm đơn vị với chuỗi D(S LOGGDP) 53

Bảng 2.13: Đặc tính đồ thị của các mô hình AR, MA 57

Bảng 2.14: Bậc p, q của ARIMA 61

Bảng 2.15: Ước lượng các tham số 65

Bảng 3.1 : Kiểm định nghiệm đơn vị về tính dừng của chuỗi S LOGGDP 73

Bảng 3.2: Kiểm định nghiệm đơn vị về tính dừng của chuỗi sai phân bậc 1 76

Bảng 3.3: Kiểm định nghiệm đơn vị về tính dừng của chuỗi sai phân bậc 2 77

Bảng 3.4: Kết quả ước lượng mô hình theo ARIMA theo EQ01 78

Bảng 3.5: Kết quả ước lượng mô hình theo ARIMA theo EQ02 80

Bảng 3.6: Kết quả ước lượng mô hình theo ARIMA theo EQ03 80

Bảng 3.7: So sánh các mô hình 81

Bảng 3.8: Kết quả dự báo GDP quý I năm 2013 84

DANH MỤC BẢNG, BIỂU

Hình 1.1: Lược đồ SACF và SPACF của chuỗi CPI 14

Hình 1.2: Biểu đồ hệ số tự tương quan và tự tương quan riêng 14

Hình 1.3: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi kim ngạch xuất khẩu 15

Hình 1.4: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi CPI theo quý 16

Hình 2.1 : Đồ thị của chuỗi thời gian dừng, không dừng 19

Hình 2.2: Đồ thị sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo quý 30

Hình 2.3 : Đồ thị sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo tháng 31

Hình 2.4: Đồ thị kim ngạch xuất khẩu hàng hóa của Việt Nam 32

Hình 2.5: Biểu đồ hàm tự tương quan của một chuỗi không dừng 33

Hình 2.6: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi kim ngạch xuất khẩu VN 33

Hình 2.7: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi GDP theo quý Việt N am 34

Hình 2.8: Biểu đồ hàm tự tương quan chuỗi KNXK sau khi lấy sai phân 35

Hình 2.9: Biểu đồ GDP của Mỹ từ quý I năm 1970 đến quý IV năm 1980 38

Hình 2.10: Đồ thị biến LC, L Y 46

Hình 3.1 : Đồ thị chuỗi GDP của Việt Nam theo quý từ năm 1990 đến 2012 71

Hình 3.2: Đồ thị chuỗi LOGGDP 72

Hình 3.3: Đồ thị chuỗi S_LOGGDP 73

Hình 3.4: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi S LOGGDP 74

Hình 3.5: Biểu đồ hàm tự tương quan sai phân bậc 1 chuỗi S LOGGDP 75

Hình 3.6: Biểu đồ hàm tự tương quan sai phân bậc 2 chuỗi S LOGGDP 77

Hình 3.7: Biểu đồ hàm tự tương quan của phần dư 79

Hình 3.8: Giá trị thực và dải biến động của giá trị dự báo 81

Hình 3.9: Đồ thị sai số dự báo của chuỗi LOGGDP 82

Hình 3.10: Đồ thị sai số dự báo của chuỗi GDP 83

Hình 3.11: Giá ữị thực tế và giá trị dự báo của chuỗi GDP 83

DANH MỤC HÌNH

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

1 AIC Akaike information criterion Tiêu chuẩn thông tin

Akaike

2 ACF Autocorrelation function Hàm tự tương quan

3 ADF Augumented Dickey- Fuller Dickey- Fuller mở rộng

4 ARIMA Autoregressive interrated

6 CPI Consumer price index Chỉ số giá tiêu dùng

7 GDP Gross domestic product Tổng sản phẩm quốc nội

8 PACF Partial autocorrelation function Hàm tự tương quan riêng

9 SACF Sample autocorrelation function Hàm tự tương quan mẫu

M Ở ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài

Việt Nam đã và đang thiết lập nền kinh tế thị trường định hướng XHCN

Cơ chế quản lý kinh tế, tài chính đã và đang đổi mới sâu sắc, toàn diện với mục tiêu tăng trưởng với tốc độ cao, bền vững, xây dựng đất nước giàu mạnh Chính sách kinh tế phải được hoạch định phù hợp với điều kiện cụ thể của Việt Nam

Để có được những chính sách kinh tế năng động, họp lý, có hiệu quả, dự báo kinh tế là một trong những công cụ hữu ích làm cơ sở khoa học có căn cứ để đưa

ra các quyết định và xây dựng các chính sách phù hợp

Ngày nay cùng với sự phát hiển của khoa học công nghệ, có nhiều phương pháp dự báo định lượng, trong đó có phương pháp sử dụng các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt là các mô hình chuỗi thời gian Các dữ liệu về chuỗi thời gian đã và đang được sử dụng một cách thường xuyên, hiệu quả và đáng tin cậy như một công cụ hữu hiệu để phân tích kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học

Có nhiều phương pháp dự báo kinh tế dựa vào dữ liệu chuỗi thời gian như: Mô hình hồi quy đơn phương trình; mô hình hồi quy phương trình đồng thòi; mô hình tự hồi quy véc tơ (VAR); mô hình trung bình trượt tích họp tự hồi quy ARIMA

Phân tích hồi quy dựa trên các dữ liệu chuỗi thời gian thường ngầm giả định rằng chuỗi thời gian đối tượng phải là dừng, nếu không các phương pháp kiểm định trở nên không đáng tin cậy Nhưng trong thực tế các mô hình kinh tế

vĩ mô thì chuỗi thời gian thường lại không dừng

Việc phát hiển ứng dụng chuỗi dừng, chuỗi không dừng trong nghiên cứu, phân tích và dự báo kinh tế là một trong các phát triển đột phá của kinh tế học hiện đại vào cuối thế kỷ 20 Nhiều nghiên cứu, nhiều tác giả đều khởi nguồn khi nghiên cứu các chuỗi không dừng trong kinh tế

Được sự gợi ý của thầy hướng dẫn và nhận thấy tính thiết thực của vấn đề,

em đã chọn đề tài “Chuỗi thòi gian không dừng và ứng dụng trong phân tích

và dự báo kinh tế” để làm nội dung cho luận văn.

2 Mục đích nghiền cứu

■ Tìm hiểu về lý thuyết chuỗi thời gian dừng, không dừng

■ Tìm hiểu phương pháp dự báo dựa vào dữ liệu chuỗi thời gian

■ ứ n g dụng phân tích và dự báo một số chuỗi thời gian không dừng trong kinh tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

■ Nghiên cứu về tính dừng, không dừng của chuỗi thời gian

■ Nghiên cứu các phương pháp kiểm định tính dừng của chuỗi thời gian

■ Nghiên cứu cách loại bỏ tính không dừng của dữ liệu chuỗi thời gian

■ Nghiên cứu các phương pháp dự báo dựa vào dữ liệu chuỗi thòi gian trong đó tập trung vào mô hình trung bình trượt tích họp tự hồi quy

■ ứ n g dụng phân tích và dự báo một số chuỗi thời gian không dừng trong kinh tế

4 Đổi tượng và phạm vỉ nghiên cứu

■ Các chuỗi thời gian dừng và không dừng

■ Tập trung vào các chuỗi thời gian trong kinh tế

5 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

* Phương pháp nghiên cứu:

■ Phương pháp tiếp cận hệ thống: Phương pháp thống kê toán

■ Phương pháp thực nghiệm: Nghiên cứu các dữ liệu thực nghiệm theo thòi gian, phân tích nhận diện vấn đề, sử dụng dữ liệu lịch sử để kiểm định các

mô hình

■ Phương pháp phân tích tổng hợp: Nghiên cứu dữ liệu, phân tích tổng hợp các quan điểm, qua đó chỉ ra sự vượt trội, giới hạn của từng phương pháp.

■ Phương pháp mô hình hóa: Xác định, ước lượng và kiểm định các mô hình

* Công cụ nghiên cứu: Luận văn sử dụng các phần mềm Eviews, Excel để

nhận dạng, ước lượng và kiểm định các tham số trong các mô hình cũng như độ phù hợp của mô hình

6 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, , nội dung của luận văn được chia thành 3 chương sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2 Chuỗi thời gian không dừng và mô hình trung bình trượt tích hợp tự hồi quy.

Chương 3 ứng dụng chuỗi thời gian không dừng trong phân tích và dự báo kinh tể.

7 Đóng góp mói của luận văn

Đưa ra mô hình dự báo tối ưu và có ý nghĩa thực tiễn

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này giới thiệu một số kiến thức về kỳ vọng; phương sai và hiệp phương sai; sai phân của chuỗi thòi gian; toán tử dịch chuyển lùi; hàm tự tương quan Đây là kiến thức cơ bản để nghiên cứu chuỗi thời gian không dừng

1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Giả sử ta nghiên cứu sự tiến triển của một hệ vật chất nào đó theo thòi gian Gọi Yt là vị trí (tình trạng) của hệ tại thời điểm t, Yt chính là một biến ngẫu nhiên mô tả vị trí (tình trạng) của hệ thống Quá trình {Yt} được gọi là mộtquá trình ngẫu nhiên

Tập họp các vị trí (tình trạng) có thể của hệ là không gian ừạng thái

Định nghĩa 1.1: Họ {Yt,t e T} các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên I được gọi là

một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T và không gian trạng thái I

Giả sử T là một tập vô hạn nào đó Nếu với mỗi t e T, Yt là biến ngẫu nhiên thì ta ký hiệu Y = {Yt,t e T} và gọi Y là hàm ngẫu nhiên (với tham biến

1.2 Chuỗi thòi gian

Khái niệm 1.1 : Chuỗi thòi gian là một chuỗi số liệu được thu thập trong

một thời kì hoặc một khoảng thời gian lặp lại như nhau trên cùng một đối tượng, một không gian một địa điểm

Với số liệu chuỗi thòi gian ta thường sử dụng chỉ số t để chỉ thứ tự của các quan sát, chẳng hạn Xt, Yt, trong đó t = 1, 2, ., n Chuỗi thời gian có thể được thu thập theo đon vị thời gian là năm, tháng, ngày hay chi tiết hon như giờ,

1.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

* Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc Yt thường được kí hiệu là E(Yt)

E(Y,) = ty ,p ,

i=l

(1.3.1)Khi Yt là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f (yt) thì:

Kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất theo biến ngẫu nhiên.

Môt số tính chất:

> VớiX, Y là 2 biến ngẫu nhiên thì: E ( x + Y ) = E(X ) + E (Y ) (1.3.6)

> Với X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì: E(X.Y) = E (X ).E (Y ) (1.3.7)

Ví dụ 1.1 : Ta xét một số quá trình sau đây.

Nếu Yt = Yw + ut , với E[ut] = 0 thì E[Yt] = E[YM] + E [ut] = E[YM].Nếu Yt = p + u t , với E[ut] = 0 thì E[Yt] = E[p + u t] = E[p] + E [ut] = p NeuYt = ß t + u t , E[ut] = 0 thì E[Yt] = E[ßt + ut] = E[ßt] + E[ut] = ßt

1.4 Sai phân của chuỗi thòi gian

Sai phân bậc nhất của chuỗi Yt trễ 1 thời kỳ, kí hiệu là D(Yt) hay AYt

Sai phân bậc 2 của chuỗi Yt trễ 1 thời kỳ, kí hiệu là D2(Yt) hoặc Ả2Yt :A2Yt=AYt-AYt_i

Sai phân bậc d của chuỗi Yt, kí hiệu là Dd(Yt) hoặc AdYt:

Khi nói sai phân bậc d của một chuỗi ta hiểu là d lần lấy sai phân trễ 1 thời kỳ cho một chuỗi dữ liệu nào đó.

Sai phân bậc 1 của chuỗi Yt trễ k thời kỳ:

Ví dụ 1.2: Chuỗi sai phân được lập từ một chuỗi số liệu gốc.

Bảng 1.1: CPI của Việt Nam và các chuỗi sai phân

1.5 Toán tử dịch chuyển lùi

Một cách ký hiệu rất hữu ích khi xem xét sự dịch chuyển lùi (ừễ) của chuỗi thời gian là toán tử L tác động lên chuỗi Yt, viết là: LYt = Yt-1

Công thức đó được hiểu là toán tử L làm dữ liệu Yt dịch chuyển lùi về phía quá khứ một thời kỳ Hai làn L sẽ dịch chuyển Yt lùi về quá khứ hai thời kỳ: L(LYt) = L2Yt = Yt-2

Tổng quát: LkYt = Yt_k, k là một số nguyên bất kỳ (1.5.1)

Đối với chuỗi dữ liệu theo tháng, nếu chúng ta muốn xem xét sự thay đổi của quan sát so với giá trị của cùng kỳ năm trước, chúng ta sử dụng ký hiệu L12,

và ký hiệu là L12Yt = Yt-12

Ký hiệu dịch chuyển lùi rất tiện dụng khi mô tả một quá trình lấy sai phân Sai phân bậc nhất trễ một thời kỳ có thể được viết thành

Yt’ = Yt - Yt-1 = Yt - LYt = (1 - L)Yt.

Chú ý rằng sai phân bậc nhất trễ một thời kỳ ký hiệu là (1 - L) Tương tự, nếu ta lấy sai phân bậc hai (trễ một thời kỳ):

Yt” = (Yt’ - YVi) = (Yt - Yt_i) - (Yt.1 - Yt_2)

= Yt - 2Yt-i + Yt-2 = (1 - 2L + L2)Yt.

Như vậy: Yt” = (1 - L)2Yt

Chú ý rằng sai phân bậc hai được ký hiệu là (1 - L)2 Điều quan trọng là sai phân bậc hai khác với sai phân ừễ hai thòi kỳ (được ký hiệu là 1 - L2) Tương tự, sai phân trễ 12 thời kỳ phải được ký hiệu là 1 - L12, còn sai phân bậc

12 (tức là 12 lần lấy sai phân) sẽ được ký hiệu là (1 - L)12

Sai phân bậc d của chuỗi Yt có thể ký hiệu ngắn gọn là: (1 - L)dYt

Nếu lấy sai phân trễ một thời kỳ của chuỗi Yt sau khi đã lấy sai phân theo mùa vụ thì có thể ký hiệu là (1 - L)(l - Ls)Yt

Ký hiệu dịch chuyển lùi rất tiện dụng bởi vì ký hiệu này có thể nhân với nhau theo cách tính toán học để thấy được ảnh hưởng kết hợp Chẳng hạn,

(1 - L)(l - Ls)Yt = (1 - L - L s + Ls+1)Yt = Yt - Yt_i - Yt_ + Yt.s+1

Chú ý: (1 - 0L) 1 Yt = (l + 0L + e2L2 + e3L3 + )■Yt = \|/(L) Yt với |e| < 1.

1.6 Hiệp phương sai

* Phương sai: Thước đo lường sự tập trung của các giá trị có thể có của một

biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó

Phương sai của biến ngẫu nhiên Yt , là kỳ vọng của bình phương sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó, kí hiệu var(Yt) :

var(Yt) = E[(Y t -E [Y t])2 (1.6.1)Với Yt là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị y15y2, ,y với xác suất

xảy ra tương ứng là p15p2, ,pn thì: var(Yt) = ¿ y f p i - [ E ( Y t)]2 (1.6.2)

i=lVới Yt là biến ngẫu nhiên liên tục:

Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên

so với giá trị trung tâm của kỳ vọng toán Phương sai càng nhỏ thì các giá trịcàng tập trung ở giá trị gần trung tâm

Tính chất:

> Với X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì:

var (x ± Y) = v a r(x ) + var( Y ) (1.6.6)Khi tính phương sai để thuận tiện ta hay dùng công thức:

> var(X) = E [ x 2] - ( E [ X ] ) 2 (1.6.7)

> var(aX + bY) = a2v ar(x ) + b2var(Y) + 2abcov(X,ý) (1.6.8)

* Độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Yt , ký hiệu là sd(Yt) hay

ơy được định nghĩa như sau: crY = yỊvar(Yt) (1.6.9)

* Hiệp phương sai: Đo lường môi quan hệ tuyên tính giữa hai biên sô.

Khi xét đồng thời hai biến ngẫu nhiên X và Y, càn quan tâm đến hiệp phương sai, ký hiệu là cov(X,Y), được định nghĩa bởi công thức sau:

cov(x,Y )= E[(X -«,)(Y -f t )] v ớ i « , = E ( X ) ; f t =E(Y) (1.6.10)

Công thức (1.6.10) CÓ thể viết thành: cov (X,Y) = E(X Y )-//x.//y (1.6.11)

Khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì theo (1.3.7) ta có:

0-Tính chất:

Hàm hiệp phương sai đối với chuỗi Yt là chuỗi vô hạn các hiệp phương sai:

rk =cov(Yt ,Yt_k) = E[(Yt -^ )(Y t_k-^/)] vớik = 0, 1,2, (1.6.14)

khi k = 0 thì ỵữ= cov(Yt ,Yị.) = var(Yt).

Hiệp phương sai dương ngụ ý hai biến có mối quan hệ tuyến tính thuận chiều tức là giá trị của hai biến số nói chung sẽ thay đổi theo cùng chiều nhau; hiệp phương sai âm ngụ ý hai biến số có mối quan hệ tuyến tính ngược chiều

ACF(k) = corr(Yt,Yt_k) = p k = (Y ) với k = 0, 1, 2, (1.7.2)

* Hàm tự tương quan riêng (PACF) là hệ số tương quan có điều kiện giữa Yt

và Yt-k, kí hiệu p ^

=coư(Y t,Yt_k|Yt_1,Yt_2, ,Yt_k+1) v ớ ik = 1, 2,

Sử dụng công thức Yule - Walker để tính truy hồi P tk

(1.7.3)

* Hàm tự tu' 0 'ng quan mẫu (SACF), kí hiệu yơk.

Giả sử rằng có một mẫu kích thước n, ( Y1SY2, Yn), từ đây sẽ tính được

, l y trung bình mẫu: Y = ——

nCác hiệp phương sai mẫu:

Các hàm tự tương quan mẫu p k (k > 2) phản ánh mức độ tuyến tính của

Yt và Yt_k, tuy nhiên mức độ kết hợp giữa hai biến còn có thể do một số biến khác gây ra Trong trường họp này các biến Yt l, Yt_2, Yt_k+1 ảnh hưởng đến mức độ kết họp của Yt và Yt_k Do đó để đo mức độ kết họp riêng rẽ giữa Yt và

Yt k người ta còn tính hệ số tự tương quan riêng mẫu của Yt và Yt k

* Hàm tự tương quan riêng mẫu (SPACF), kí hiệu pkk.

Công thức đệ quy của Durbin:

1-ZPk-ijPjj=i

Pkj = Pk-lj — PkkPk lj '■ > J = l»2, ,k — 1 ;

Pll = Pi •

Ví dụ 1.3: Cho CPI theo tháng của Việt Nam từ tháng 1 năm 1995 đến tháng 12

năm 2007, n=156 (phụ lục 1) Hãy tính ACF(k) và PACF(k), k=l, 2, 3.

Đặt Y=CPI, ta tính được Ỹ = 100,467 ; S i x - Ỹ)2 = 114,047 ;

| ( y, - Ỹ)(Y,_, - Ỹ) = 38,546; |( Y , - ỹ)(Y,_2 - Ỹ) = 9,334 ;

/V A A A A

SPACF(3) = p33 = p3 ~ p21f 2 = 0,099

1 P2 1P1 P22P2

Phần mềm Eviews tính được SACF và SPACF với các độ trễ khác nhau

và vẽ lược đồ tương quan tương ứng (Hình 1.1)

* Lược đồ tương quan: Các SACF, SPACF được trình bày bằng một biểu đồ gọi là lược đồ tương quan (correlogram), lược đồ tương quan mẫu vẽ các pk và pkk tương ứng với các độ trễ khác nhau

Thanh đầu của bảng trong Hình 1.1 (Autocorrelation) là biểu đồ của hàm

tự tương quan của chuỗi tương ứng với các độ trễ k được trình bày ở cột thứ 3.

Các giá trị pk tương ứng được trình bày ở cột AC Hệ số tự tương quan riêngp^ được trình bày ở cột PAC (Partial Auto-Correlation) và biểu đồ của nó được trình bày trong thanh thứ hai của bảng

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

Hình 1,1: Lược đồ SACF và SP ACF của chuỗi CPI.

Trong Hình 1.1 các đường nét đứt chính là ranh giới xác định một hệ số tự tương quan có ý nghĩa thống kê hay không ở mức tin cậy 95% Những giá trị

pk, Ptt nằm phía bên ngoài đường nét đứt là có ý nghĩa thống kê Những giá trị nằm phía bên trong đường nét đứt là không có ý nghĩa thống kê

Dựa vào lược đồ tự tương quan ta có thể kiểm ừa tính tương quan, nhện biết đặc tính của chuỗi thời gian (tính mùa vụ, tính xu thế, tính ngẫu nhiên)

Nhìn Hình 1.2 chúng ta thấy rằng mức độ tương quan giữa các giá trị CPI cách nhau 1, 2, 3, 4 thời kỳ là khá cao Tiếp theo, hệ số tương quan tại các độ trễ

12 và 24 khá cao trong khi hệ số tương quan khác tại các độ trễ lớn hơn 4 đều gàn 0 Điều này cho thấy chuỗi có tính mùa vụ, giữa các quan sát cách nhau 12

và bội số của 12 thời kỳ có tính tương quan cao

Biểu đồ trong Hình 1.3 cho thấy các hệ số tự tương quan ở các độ ừễ từ 1 đến 36 đều có ý nghĩa thống kê Độ lớn của các hệ số tự tương quan giảm dần chứng tỏ các quan sát gần nhau có ảnh hưởng đến nhau chặt chẽ hơn so với các quan sát ở xa Đây là một chuỗi có xu thế

Hình 1.3: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi kim ngạch xuất khẩu.

Với chuỗi ngẫu nhiên, các quan sát ở mỗi thời kỳ không có liên hệ với nhau ở bất kỳ độ trễ nào Như vậy về lý thuyết, các hệ số tự tương quan của chuỗi ở mọi độ trễ đều bằng 0 Tuy nhiên, trong thực tế, các quan sát của một chuỗi ít nhiều đều có tương quan với nhau Vì thế, biểu đồ tự tương quan của chuỗi ngẫu nhiên thường có các hệ số tự tương quan khác 0 chút ít, nhưng đều không có ý nghĩa thống kê (nằm ừong phần đường nét đứt)

A u to c o rre 1 ati o n p a rt i a 1 o o r re 1 a ti o n AO PAO Q- s ta t p ro b

//in/i 1,4: Biêu đô hàm tự tương quan của chuôi CPI theo quỷ.

Nhìn vào Hình 1.4 ta thấy các hệ số tự tương quan của chuỗi đều không

có ý nghĩa thống kê ở mức 95% Do vậy, chuỗi này là ngẫu nhiên

* Kiểm định hệ sổ tương quan

+) Tiêu chuẩn Barlett

Giả thiết cần kiểm định: H0: pk = 0 ; H j: pk * 0

rằng pkkhác không có ý nghĩa với mức 5% Trong thực tế, khoảng tin cậy của

pk xấp xỉ bằng ±2 / Vn (n là kích thước mẫu hay số quan sát)

Kiểm định Bartlett ữên đây mới đưa ra kết luận về từng hệ số tương quan Box- Pierce đã đưa ra kiểm định về sự bằng 0 đồng thời của các hệ số tự tương quan

+) Tiêu chuẩn Box-Pierce (thống kê Q)

trong đó n là kích thước mẫu, m là độ dài của trễ Q có phân bố xấp xỉ bằng

x2(m ) H0 bị bác bỏ nếu Q nhận được mẫu lớn hơn x ẩ ( m ) (tm bảng).

+) Tiêu chuẩn Ljung- Box (thống kê LB)

Một dạng khác của Q là thống kê Ljung- Box (LB)

CHƯƠNG 2: CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG VÀ MÔ HÌNH

TRUNG BÌNH TRƯỢT TÍCH HỢP T ự HỒI QUY

Trong chương trước đã đề cập đến những kiến thức quan trọng để phân tích động thái của chuỗi thời gian Chương này sẽ giới thiệu các khái niệm về chuỗi dừng, chuỗi không dừng; điều kiện dừng của một số quá trình ngẫu nhiên giản đơn; các kiểm định để xem một chuỗi thời gian có dừng hay không Sau đó

sẽ phân biệt sự khác nhau giữa chuỗi thời gian với xu hướng dừng và chuỗi thòi gian dừng với sai phân Một vấn đề thường gặp trong lĩnh vực hồi quy liên quan đến dữ liệu chuỗi thời gian là hiện tượng hồi quy giả mạo và hậu quả khi ước lượng mô hình với dữ liệu chuỗi thời gian không dừng Từ đó ta bàn đến cách loại bỏ tính không dừng ừong chuỗi thời gian Chương này cũng nghiên cứu mô hình chuỗi thời gian một biến số ARIMA, phương pháp Box-Jenkins Đây là mô hình cơ bản được sử dụng rộng rãi trong dự báo chuỗi thời gian đặc biệt là dự báo các chuỗi vĩ mô trong thị trường tài chính tiền tệ

2.1 Chuỗi thòi gian không dừng

Chuỗi Yt được gọi là chuỗi thời gian dừng nếu kì vọng, phương sai và hiệp phương sai không đổi theo thời gian, nghĩa là:

Yl = cov(Yt,Yl_k) = E[(Yt - jiXY_t - n)],vt. (2.1.3)

Chuỗi Yt được gọi là chuỗi thòi gian không dừng nếu vi phạm ít nhất

một ừong ba điều kiện ừên

Điều kiện (2.1.3) có nghĩa là hiệp phương sai, do đó hệ số tương quan

giữa Yt và Yt-k chỉ phụ thuộc vào độ dài (k) về thời gian giữa t và t + k, không

phụ thuộc vào thời điểm t Chẳng hạn cov(Yt, Yt 5) không đổi, thì:

cov(Y7, Y12) = cov(Y15,Y20) = cov(Y30, Y35) = = cov(Yt,Yt+5)

không đổi, nhưng cov(Yt, Yt 5) có thể khác với cov(Yt, Yt 6)

Hình ảnh minh họa cho chuỗi thời gian dừng, không dừng:

Hình 2.1: Đồ thị của chuỗi thời gian dừng, không dừng

2.2 Một số quá trình ngẫu nhiên giản đon

E[ut] = 0, Vt.

var(ut) = E[u2] = c?“, V t.

(2.2.1.1)(2.2.1.2)

Đôi khi điều kiện (2.2.1.3) được thay bằng điều kiện mạnh hơn:

ut , UT độc lập với nhau với 15* T (2.2.1.4)

Quá trình thỏa mãn (2.2.1.1), (2.2.1.2), (2.2.1.3) được gọi là nhiễu trắng độc lập.

Nếu các điều kiện (2.2.1.1), (2.2.1.2) và (2.2.1.4) được thỏa mãn và

u t ~ N(0,ơ2) thì quá ữình ngẫu nhiên đó được gọi là nhiễu trắng Gauss.

Từ điều kiện (2.2.1.4) suy ra (2.2.1.3) nhưng điều ngược lại không đúng

Nhiễu trắng là một chuỗi dừng.

2.2.2 Bước ngẫu nhiên

Chuỗi Yt được gọi là bước ngẫu nhiên nếu:

trong đó Ut là nhiễu trắng.

Ta xét xem chuỗi Yt là chuỗi dừng hay không?

+) Kỳ vọng: E(Yt) = E(Yt_j) + E (u t ) = E(Yt_j) + 0 = E(Yt l ) vì Ut là nhiễu trắng

Điều này có nghĩa là kỳ vọng của Yt không đổi theo thời gian

+) Phương sai:

Yi = Yo + uiY2 = Yi + u2 = Yo + Ui + u2

Yt -Y o + Ui + u2 + Ut

Do Yo là hằng số, các Ui độc lập với nhau, var (ut) = ơ2.

r r ^

Ap dụng tính chât phương sai ta suy ra: var(Yt ) = t ơ

Điều trên chứng tỏ bước ngẫu nhiên là chuỗi không dừng.

+) Hiệp phương sai:

Ta có: Yt = Yt-1 + Ut nhân 2 vế với Yt-1 ta được:

YtYt.i= Y t.i Yt-1+Yt-iUt.

cov(Y„ Y J = cov (Y h ,Y h ) + 0 = var(YH ) = (t - 1)<72

Vậy: cov(Yt, Yt k) = (t - k)ơ2.

+) Hệ số tương quan

Áp dụng công thức (1.8.1) ta có:

cov(Y ,Y JACF(k) = pk = t> xt - k y =

var(Y )

t - kt+) Xét sai phân bậc nhất của chuỗi Yt

Sai phân bậc nhất của Yt: AYt = Yt - Yt-1 = ut Trong trường họp này AYt là chuỗi dừng (vì utlà nhiễu trắng)

+) Nếu đưa thêm vào mô hình bước ngẫu nhiên một hằng số, thì Yt được gọi làbước ngẫu nhiên có bụi:

2.2.3 Quá trình trung bình trượt (MA)

2.2.3.I Quá trình trung bình trượt bậc nhất - MA(1)

Quá trình trung bình trượt MA(1) có dạng:

Yt = ịi + ut + 0u t l với Ut là nhiễu trắng (2.2.3.1)+) Kỳ vọng: Vì Ut là nhiễu trắng nên E [ut ] = 0

E [y t] = E [p + ut + 0ut-i] = E M + E k ] + 0E[u t-i] = p ■

+) Phương sai:

var(Yt) = E ( y , - e [ y ,])2] = e [ ( y , - ^ ] = E [(U.+

= E [u 2 + 20utu t_1 + 02u ^ ] = E [u 2 ] + 20E [utu t_! ] + 02E [u 2_! ]

= ơ2(l + 02) , (theo công thức 2.2.1.2 và 2.2.1.3).

+) Hiệp phương sai:

cov(Yt,Yt k) = E[(Yt - n)(Yt_k - p)] = E [(u t + 0ut O K k + 0ut k 1)]

= E [u tu t_k + 0uMu t_k + 0utu t_k_1 + eV iU t-k-,]

N ếuk = 1 thì: cov(Yt,Yt_1) = E((ut + Ou^Xu,.; + 0u t_2)) = 0Ơ2

N ếuk > 1 thì: cov(Yt,Yt k) = E((ut + 9utJ ( u t_k + Gu,.^)) = 0

Như vậy nếu Yt là một quá trình MA(1) thì kỳ vọng, phương sai, hiệp phương

sai không phụ thuộc thời gian Do vậy MA(1) là chuỗi dừng.

+ ) Hê số tương quan: pk = — = c o v ( y t > y t - k ) _ Q v ộ ị ỵ > ị

0 Ơ 2 _ 0

p, = - —: = - với k = 1

Hl (l + 02)ơ2 (1 + 02)Như vậy MA(1) có pk = 0 với k > 1 hay bằng 0 từ độ trễ 2 trở đi

2.2.3.2 Quá trình trung bình trượt bậc q - MA(q)

Quá trình trung bình trượt bậc q - MA(q) có dạng:

Yt = p + u t + 0 1u t_1+ + 0qut_q , t= 1 ,2 ,3 , ,n (2.2.3.2.1)

ừong đó: Ut là nhiễu hắng.

Sử dụng công thức toán tử trễ (1.5.1): LpYt = Yt_

Từ (2.2.3.2.1) suy ra: (Yt - p ) = (l + 01L + + 0 L“)ut

+) Kỳ vọng: E(Yt) = p

+) Phương sai: var(Yt) = ơ2 (l + 02 + + 02)

+) Hiệp phương sai:

cov(Yt,Yt k) = e (( u , + e.u^ + + e ut_q)(ut_k + e u ,^ + + equt_k_q))

= E ( 0 k < k + 0 A +iu L 1 + 0 2 0 k +2U L - 2 + ■ + 0 0 kut2q q - k t

-= (0k + 0,0k , + e,ek V k 1 k+1 2 k + 2 , + + 0q 0 k)ơ2.q - k - 'với 1 < k < q

Các điều kiện được thỏa mãn do vậy MA(q) đều là quá trình dừng.

2.2.3.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn- MA(oo)

Quá trình trung bình trượt MA(oo) có dạng:

Yt = n + l > ku t_k= ịi +I|/0u t + xụ,u,.! + I|/2u t_2 + (2.2.3.3.1)

k=0

với Ut là nhiễu ữắng.

Với quá trình (2.2.3.3.1) dễ dàng chứng minh được điều kiện để chuỗi

k-0

Điều kiện mạnh hơn (2.2.3.3.2) là: X |V k|<00- (2.2.3.3.3)

k=0Nếu điều kiện (2.2.3.3.2) được thỏa mãn thì điều kiện (2.2.3.3.3) cũng được thỏa mãn Điều ngược lại không đúng Chuỗi {v|/k}k= thỏa mãn (2.2.3.3.2)được gọi là chuỗi có thể lấy tổng bình phương các thành phần của chuỗi; nếu(2.2.3.3.3) được thỏa mãn thì chuỗi được gọi là có thể lấy tổng theo giá tri tuyệt đối

Trung bình, hiệp phương sai của quá trình MA(oo) với các hệ số có thể tính tổng theo giá trị tuyệt đối như sau:

E(Yt) = Ịim E(|X + \Ị/0u t + \Ị/1 ut_! + + V|/ku t_k) = ịi

var(Yt) = E(Y, - ịi)2 = lim E(\|/#u, + \ựì u t_, + + y ku,_k)2

2.2.4 Quá trình tự hồi quy (AR)

2.2.4.I Quá trình tự hồi quy bậc 1 - AR(1) không có hệ số chặn

Quá trình tự hồi quy AR(1) có dạng:

Yt = <|) Yt_J + ut , Ut là nhiễu trắng (2.2.4.1.1)

Ta thấy bước ngẫu nhiên là trường hợp đặc biệt của quá trình tự hồi quy AR(1)

cov( Yt, Yt_, ) = CO V ( Yt_,, f Y t_, + u t ) = ộ var ( Yt_, ) + CO V ( Yt_,, u t )

Từ kết quả trên ta có thể rút ra các kết luận dưới đây:

i) Trong trường họp —1 < 4> < 1 thì Yt không thỏa mãn điều kiện dừng, do E(Yt) và var(Yt) phụ thuộc t Tuy nhiên khi t đủ lớn thì (2.2.4.1.2), (2.2.4.1.3) và (2.2.4.1.5) có dạng:

limE(Yt) = 0;

• Khi (j) < 1 thì quá trình AR(1) là chuỗi dừng.

• Khi 4* > 1 thì quá trình AR(1) là chuỗi không dừng

• Khi 4* = 1 thì quá trình AR(1) là bước ngẫu nhiên

2.2.4.2 Quá trình AR(1) có hệ số chặn

Biểu diễn của Y như sau:

Yt = a + (Ị)Yt l + u t, với Ut là nhiễu trắng Xét: Yj = a + (|)Y0 + Uj

Y2 = a + § Yj + u2 = a + a<|) + c|)2 Y0 + ỘU! + u 2

Y3 = a + ^Y2 + u3

Y3 = a + c|)(a + otcị) + (|)2Y0 + 4>u2) + u3

Y3 = a + ac|) + a<|)2 + (|)3 Y0 + c|)2u1 + 4>u2 + u 3 ■

Yt = 4>*Y0 + a (l + (|) + c|)2 + + (ị)t 1) + c|)t 1U1 + (ị)* 2u2 + + U,

(2.2.4.1.6)

(2.2.4.2.1)

Từ đó ta tính được:

E(Yt) = oc(l + <|) + (|)2 + + (|)t *) vì E[ut] = E[ut j] = = 0 do ut lànhiễu trắng.

= E [u 2] + ^ E [ < 1] + f E [ u 2_2] +

do E [utu J = 0 với mọi t * s và E [u 2] = E [u 2_j] = = ơ 2 nên:

var(Yt) = ơ2(ộ2(t-1) + ộ2(t-2) + + (|)2 +1)Xét các trường hợp sau:

1 - 9

Như vậy kỳ vọng, phương sai không đổi theo thời gian

TH2: Khi |ộ| > 1, thì ^(ị)’ không hội tụ

i=0

nếu (|) = 1 thì Yt là bước ngẫu nhiên, E(Yt) = Y0 + a t

+) Hiệp phương sai: Yk = cov(Yt, Y ); Y0 = var(Yt) = -

= E{(4>{ộCY^ - q) + u t J} + u t)(Y,_2 - (a)}

= E { ( f (Y,-2 - n)2 + <K-l(Y,-2 - F) + U.(Y.-1 - n)}

= f var (Yt_2 ) + ộ cov { iv ,, ( Yt_2 - q )} + cov {ut, (Yt_,

= <l>2 var(Yt)

= f YoTương tự: Yk = cov(Yt,Yt_k) = E {(Yt - n)(Yt_k - n)} = ộ Yu = t>ky0

=^yk =cov(Yt,Yt_k) = ^ ^

1 - 9Như vậy điều kiện để AR(1) là chuỗi dừng là |<ị>| < 1.

+) Hệ số tương quan: ACF(k) = pk = — = (ị)k

Yo

2.2.4.3 Quá trình tự hồi quy bậc p

Quá trình tự hồi quy bậc p có dạng:

Ta có: (L)Yt = ộ0 + u t

Điều kiện để phương trình AR(p) hội tụ là: -1 < <|) < 1, i = l,2, ,p

Phương trình đặc trưng đối với AR(p): 1 - (Ị)^ - - (|) zp = 0 (2.2.4.3.2)

Điều kiện để chuỗi Yt tuân theo AR(p) trong phương trình (2.2.4.3.1) có tính dừng là phương trình đặc trưng (2.2.4.3.2) có tất cả các nghiệm z thỏa mãn

|z I > 1 Điều kiện cần, nhưng chưa đủ, là £ <|) < 1

Yt - p = k ( ■ - ịi) + 4>a ( Yt_2 - ịi) + + 4>p (■Yt_p - ịi) + ut

nhân hai vế của phương trình với Yt - p rồi lấy kì vọng hai vế ta được:

E[(Yt - p)(Yt - p)] = <►£[(¥_, - p)(Yt - p)] + (|>2E[(Yt_2 - p)(Yt - p)] +

+ Ì E [(Yt_p - p)(Yt - p)] + E[(Y t - p )u t]

E[(Yt_k - p ) u t] = 0 với k > 0 nên E [(Yt - p ) u t] = E [u 2] = ơ2

do vậy, var(Yt)= Y0 = ^7, + ộ 2y2 + + ộpYp + ơ 2.

+) Hiệp phương sai

ACF(k) = Yk = E((Yt - p)(Yt_k - ụ ) )

Yt - p = - p) + ộ2(Ym - ịi) + + 4>(Yt_p- p) + u t

Nhân hai vế (Yt - p) với (Yt k - p ) , sau đó lấy kỳ vọng ta được phương trình Yule-Walker:

Điều này hàm ý hàm tự tương quan của bất kì chuỗi AR(p) dừng nào đều

có đặc điểm pk -» 0 khi k —» 00 Các quan sát ở xa nhau hầu như không tương quan với nhau

2.3 Nhận biết tính dừng của chuỗi thòi gian

-4 0 -1 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T

9 0 9 2 9 4 9 6 9 8 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 10 1 2 14

H ình 2.2: Đồ thị sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo quỷ.

+) Nếu đồ thị biểu diễn chuỗi cho thấy không có sự thay đổi rõ ràng trong phương sai, chúng ta nói rằng chuỗi là dừng ở phương sai.

Ví dụ 2.2: Hình 2.3 là biểu diễn của chuỗi sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo tháng của Việt Nam tính theo phương pháp so vởi cùng kỳ năm trước (ký hiệu trong đồ thị là CPI DIF2) Giá trị của chuỗi dao động quanh mức trung bình bằng 0 và không thay đổi theo thời gian Tuy nhiên, phương sai của cả chuỗi thay đổi Ta nói, chuỗi này dừng ở trung bình nhung không dừng ở phương sai Tuy nhiên, nếu đem chia nhỏ chuỗi đó thành ba chuỗi ứng với 3 giai đoạn: trước tháng 1/2002, từ tháng 1/2002 đến tháng 1/2008 và sau tháng 1/2008, thì chúng ta sẽ thấy ba bộ phận của chuỗi ban đầu lại là các chuỗi dừng

ở cả trung bình và phương sai

Ví dụ 2.3: Chuỗi số liệu về xuất khẩu hàng hóa theo tháng của Việt Nam được biểu diễn ở Hình 2.4 là một chuỗi không dừng Đồ thị cho thấy chuỗi có xu thế và dao động mạnh hơn vào thời kỳ từ sau khi Việt Nam gia nhập WTO (năm 2007) Do vậy, chuỗi không dừng cả ở trung bình và ở phương sai