Chuỗi thời gian không dừng và ứng dụng trong phân tích và dự báo kinh tế

LỜI CAM ĐOAN Được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Trọng Nguyên, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Chuỗi thời gian không dừng và ứng dụng trong phân tích và dự báo kin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Trọng Nguyên

HÀ NỘI, 2016

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn ủng hộ, quan tâm để tác giả có thể hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

TÁC GIẢ

Bùi Văn Bằng

LỜI CAM ĐOAN

Được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Trọng Nguyên, luận văn Thạc sĩ

chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Chuỗi thời gian không dừng và ứng

dụng trong phân tích và dự báo kinh tế” được hoàn thành bởi sự nhận thức của

bản thân, số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực không trùng với bất kỳ luận văn nào khác

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

TÁC GIẢ

Bùi Văn Bằng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp và công cụ nghiên cứu 2

6 Kết cấu của luận văn 3

7 Đóng góp mới của luận văn 3

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Quá trình ngẫu nhiên 4

1.2 Chuỗi thời gian 5

1.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 5

1.4 Sai phân của chuỗi thời gian 6

1.5 Toán tử dịch chuyển lùi 7

1.6 Hiệp phương sai 8

1.7 Hàm tự tương quan 10

CHƯƠNG 2: CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG VÀ MÔ HÌNH TRUNG BÌNH TRƯỢT TÍCH HỢP TỰ HỒI QUY 18

2.1 Chuỗi thời gian không dừng 18

2.2 Một số quá trình ngẫu nhiên giản đơn 19

2.2.1 Nhiễu trắng 19

2.2.2 Bước ngẫu nhiên 20

2.2.3 Quá trình trung bình trượt (MA) 22

2.2.3.1 Quá trình trung bình trượt bậc nhất – MA(1) 22

2.2.3.2 Quá trình trung bình trượt bậc q – MA(q) 23

2.2.3.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn– MA() 23

2.2.4 Quá trình tự hồi quy (AR) 24

2.2.4.1 Quá trình tự hồi quy bậc 1 - AR(1) không có hệ số chặn 24

2.2.4.2 Quá trình AR(1) có hệ số chặn 26

2.2.4.3 Quá trình tự hồi quy bậc p 28

2.3 Nhận biết tính dừng của chuỗi thời gian 30

2.3.1 Nhận biết qua đồ thị 30

2.3.2 Nhận biết qua biểu đồ tự tương quan 32

2.3.3 Kiểm định nghiệm đơn vị 35

2.3.3.1 Kiểm định Dickey- Fuller 35

2.3.3.2 Kiểm định Philips và Perron 41

2.4 Một số vấn đề về chuỗi thời gian không dừng 43

2.4.1 Hậu quả khi ước lượng mô hình chuỗi thời gian không dừng 43

2.4.2 Hồi quy giả mạo 44

2.4.3 Chuỗi dừng xu thế và dừng sai phân 49

2.4.4 Đồng tích hợp 49

2.4.4.1 Khái niệm đồng tích hợp 49

2.4.4.2 Kiểm định hồi quy đồng tích hợp 50

2.5 Loại bỏ tính không dừng trong chuỗi thời gian 52

2.6 Mô hình trung bình trượt tích hợp tự hồi quy ARIMA 54

2.6.1 Cách xây dựng mô hình ARIMA cho dữ liệu chuỗi thời gian 54

2.6.1.1 Mô hình tự hồi quy bậc 1 54

2.6.1.2 Mô hình trung bình trượt bậc 1 55

2.6.1.3 Các mô hình tự hồi quy bậc cao 55

2.6.1.4 Mô hình trung bình trượt bậc cao 56

2.6.1.5 Mô hình trung bình trượt và tự hồi quy ARMA 57

2.6.1.6 Mô hình trung bình trượt, tích hợp, tự hồi quy ARIMA 58

2.6.1.7 Mô hình ARIMA có yếu tố mùa vụ 59

2.6.2 Phương pháp Box-Jenkins 60

2.6.2.1 Định dạng mô hình - xác định các tham số d, p, q 60

2.6.2.2 Ước lượng mô hình 63

2.6.2.3 Kiểm định tính thích hợp của mô hình 65

2.6.2.4 Dự báo và sai số dự báo 65

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG TRONG

PHÂN TÍCH VÀ DỰ BÁO KINH TẾ 67

3.1 Phân tích và dự báo kinh tế dựa vào dữ liệu chuỗi thời gian 67

3.2 Ứng dụng mô hình ARIMA trong phân tích và dự báo 71

3.2.1 Xác định vấn đề, thu thập dữ liệu 71

3.2.2 Phân tích sơ bộ 71

3.2.3 Lựa chọn và ước lượng mô hình 72

3.2.4 Đánh giá mô hình 79

3.2.5 Thực hiện phân tích và dự báo 81

3.2.6 Trình bày kết quả phân tích và dự báo 84

3.2.7 Theo dõi kết quả dự báo, cập nhật và đánh giá lại mô hình 84

3.3 Ưu nhược điểm của phương pháp dự báo bằng mô hình ARIMA 84

3.3.1 Ưu điểm 84

3.3.2 Nhược điểm 85

KẾT LUẬN 86

TÀI LIỆU KHAM KHẢO 87

PHỤ LỤC 88

DANH MỤC BẢNG, BIỂU

Bảng 1.1: CPI của Việt Nam và các chuỗi sai phân 7

Bảng 2.1: Kiểm định ADF cho chuỗi GDP ước lượng theo mô hình 1 39

Bảng 2.2: Kiểm định ADF cho chuỗi GDP ước lượng theo mô hình 2 39

Bảng 2.3: Kiểm định ADF cho chuỗi GDP ước lượng theo mô hình 3 40

Bảng 2.4: Kiểm định ADF cho sai phân bậc nhất của chuỗi GDP 41

Bảng 2.5: Kiểm định Phillips và Perron cho chuỗi GDP 42

Bảng 2.6: Kết quả hồi quy LC theo LY 45

Bảng 2.7: Kiểm định nghiệm đơn vị với chuỗi LC 47

Bảng 2.8: Kiểm định nghiệm đơn vị với chuỗi LY 47

Bảng 2.9: Kiểm định nghiệm đơn vị với chuỗi LY khi thêm biến xu thế 48

Bảng 2.10: Kiểm định nghiệm đơn vị với phần dư sau khi hồi quy 50

Bảng 2.11: Kết quả hồi quy LC, LY theo phương trình 51

Bảng 2.12: Kiểm định nghiệm đơn vị với chuỗi D(S_LOGGDP) 53

Bảng 2.13: Đặc tính đồ thị của các mô hình AR, MA 57

Bảng 2.14: Bậc p, q của ARIMA 61

Bảng 2.15: Ước lượng các tham số 65

Bảng 3.1: Kiểm định nghiệm đơn vị về tính dừng của chuỗi S_LOGGDP 73

Bảng 3.2: Kiểm định nghiệm đơn vị về tính dừng của chuỗi sai phân bậc 1 76

Bảng 3.3: Kiểm định nghiệm đơn vị về tính dừng của chuỗi sai phân bậc 2 77

Bảng 3.4: Kết quả ước lượng mô hình theo ARIMA theo EQ01 78

Bảng 3.5: Kết quả ước lượng mô hình theo ARIMA theo EQ02 80

Bảng 3.6: Kết quả ước lượng mô hình theo ARIMA theo EQ03 80

Bảng 3.7: So sánh các mô hình 81

Bảng 3.8: Kết quả dự báo GDP quý I năm 2013 84

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1: Lược đồ SACF và SPACF của chuỗi CPI 14

Hình 1.2: Biểu đồ hệ số tự tương quan và tự tương quan riêng 14

Hình 1.3: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi kim ngạch xuất khẩu 15

Hình 1.4: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi CPI theo quý 16

Hình 2.1: Đồ thị của chuỗi thời gian dừng, không dừng 19

Hình 2.2: Đồ thị sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo quý 30

Hình 2.3: Đồ thị sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo tháng 31

Hình 2.4: Đồ thị kim ngạch xuất khẩu hàng hóa của Việt Nam 32

Hình 2.5: Biểu đồ hàm tự tương quan của một chuỗi không dừng 33

Hình 2.6: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi kim ngạch xuất khẩu VN 33

Hình 2.7: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi GDP theo quý Việt Nam 34

Hình 2.8: Biểu đồ hàm tự tương quan chuỗi KNXK sau khi lấy sai phân 35

Hình 2.9: Biểu đồ GDP của Mỹ từ quý I năm 1970 đến quý IV năm 1980 38

Hình 2.10: Đồ thị biến LC, LY 46

Hình 3.1: Đồ thị chuỗi GDP của Việt Nam theo quý từ năm 1990 đến 2012 71

Hình 3.2: Đồ thị chuỗi LOGGDP 72

Hình 3.3: Đồ thị chuỗi S_LOGGDP 73

Hình 3.4: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi S_LOGGDP 74

Hình 3.5: Biểu đồ hàm tự tương quan sai phân bậc 1 chuỗi S_LOGGDP 75

Hình 3.6: Biểu đồ hàm tự tương quan sai phân bậc 2 chuỗi S_LOGGDP 77

Hình 3.7: Biểu đồ hàm tự tương quan của phần dư 79

Hình 3.8: Giá trị thực và dải biến động của giá trị dự báo 81

Hình 3.9: Đồ thị sai số dự báo của chuỗi LOGGDP 82

Hình 3.10: Đồ thị sai số dự báo của chuỗi GDP 83

Hình 3.11: Giá trị thực tế và giá trị dự báo của chuỗi GDP 83

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

1 AIC Akaike information criterion Tiêu chuẩn thông tin

Akaike

2 ACF Autocorrelation function Hàm tự tương quan

3 ADF Augumented Dickey- Fuller Dickey- Fuller mở rộng

4 ARIMA Autoregressive interrated

6 CPI Consumer price index Chỉ số giá tiêu dùng

7 GDP Gross domestic product Tổng sản phẩm quốc nội

8 PACF Partial autocorrelation function Hàm tự tương quan riêng

9 SACF Sample autocorrelation function Hàm tự tương quan mẫu

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việt Nam đã và đang thiết lập nền kinh tế thị trường định hướng XHCN

Cơ chế quản lý kinh tế, tài chính đã và đang đổi mới sâu sắc, toàn diện với mục tiêu tăng trưởng với tốc độ cao, bền vững, xây dựng đất nước giàu mạnh Chính sách kinh tế phải được hoạch định phù hợp với điều kiện cụ thể của Việt Nam

Để có được những chính sách kinh tế năng động, hợp lý, có hiệu quả, dự báo kinh tế là một trong những công cụ hữu ích làm cơ sở khoa học có căn cứ để đưa

ra các quyết định và xây dựng các chính sách phù hợp

Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ, có nhiều phương pháp dự báo định lượng, trong đó có phương pháp sử dụng các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt là các mô hình chuỗi thời gian Các dữ liệu về chuỗi thời gian đã và đang được sử dụng một cách thường xuyên, hiệu quả và đáng tin cậy như một công cụ hữu hiệu để phân tích kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học

Có nhiều phương pháp dự báo kinh tế dựa vào dữ liệu chuỗi thời gian như: Mô hình hồi quy đơn phương trình; mô hình hồi quy phương trình đồng thời; mô hình tự hồi quy véc tơ (VAR); mô hình trung bình trượt tích hợp tự hồi quy ARIMA

Phân tích hồi quy dựa trên các dữ liệu chuỗi thời gian thường ngầm giả định rằng chuỗi thời gian đối tượng phải là dừng, nếu không các phương pháp kiểm định trở nên không đáng tin cậy Nhưng trong thực tế các mô hình kinh tế

vĩ mô thì chuỗi thời gian thường lại không dừng

Việc phát triển ứng dụng chuỗi dừng, chuỗi không dừng trong nghiên cứu, phân tích và dự báo kinh tế là một trong các phát triển đột phá của kinh tế học hiện đại vào cuối thế kỷ 20 Nhiều nghiên cứu, nhiều tác giả đều khởi nguồn khi nghiên cứu các chuỗi không dừng trong kinh tế

Được sự gợi ý của thầy hướng dẫn và nhận thấy tính thiết thực của vấn đề,

em đã chọn đề tài “Chuỗi thời gian không dừng và ứng dụng trong phân tích

và dự báo kinh tế” để làm nội dung cho luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

 Tìm hiểu về lý thuyết chuỗi thời gian dừng, không dừng

 Tìm hiểu phương pháp dự báo dựa vào dữ liệu chuỗi thời gian

 Ứng dụng phân tích và dự báo một số chuỗi thời gian không dừng trong kinh tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu về tính dừng, không dừng của chuỗi thời gian

 Nghiên cứu các phương pháp kiểm định tính dừng của chuỗi thời gian

 Nghiên cứu cách loại bỏ tính không dừng của dữ liệu chuỗi thời gian

 Nghiên cứu các phương pháp dự báo dựa vào dữ liệu chuỗi thời gian trong đó tập trung vào mô hình trung bình trượt tích hợp tự hồi quy

 Ứng dụng phân tích và dự báo một số chuỗi thời gian không dừng trong kinh tế

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Các chuỗi thời gian dừng và không dừng

 Tập trung vào các chuỗi thời gian trong kinh tế

5 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

* Phương pháp nghiên cứu:

 Phương pháp tiếp cận hệ thống: Phương pháp thống kê toán

 Phương pháp thực nghiệm: Nghiên cứu các dữ liệu thực nghiệm theo thời gian, phân tích nhận diện vấn đề, sử dụng dữ liệu lịch sử để kiểm định các

mô hình

 Phương pháp phân tích tổng hợp: Nghiên cứu dữ liệu, phân tích tổng hợp các quan điểm, qua đó chỉ ra sự vượt trội, giới hạn của từng phương pháp

 Phương pháp mô hình hóa: Xác định, ước lượng và kiểm định các mô hình

* Công cụ nghiên cứu: Luận văn sử dụng các phần mềm Eviews, Excel để nhận dạng, ước lượng và kiểm định các tham số trong các mô hình cũng như độ phù hợp của mô hình

6 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, , nội dung của luận văn được chia thành 3 chương sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Chuỗi thời gian không dừng và mô hình trung bình trượt tích hợp tự hồi quy

Chương 3 Ứng dụng chuỗi thời gian không dừng trong phân tích và dự báo kinh tế

7 Đóng góp mới của luận văn

Đưa ra mô hình dự báo tối ưu và có ý nghĩa thực tiễn

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này giới thiệu một số kiến thức về kỳ vọng; phương sai và hiệp phương sai; sai phân của chuỗi thời gian; toán tử dịch chuyển lùi; hàm tự tương quan Đây là kiến thức cơ bản để nghiên cứu chuỗi thời gian không dừng 1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Giả sử ta nghiên cứu sự tiến triển của một hệ vật chất nào đó theo thời gian Gọi Yt là vị trí (tình trạng) của hệ tại thời điểm t, Yt chính là một biến ngẫu nhiên mô tả vị trí (tình trạng) của hệ thống Quá trình  Y t t 0

 được gọi là một quá trình ngẫu nhiên

Tập hợp các vị trí (tình trạng) có thể của hệ là không gian trạng thái Định nghĩa 1.1: Họ Y , t t  Tcác biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên I được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T và không gian trạng thái I

Giả sử T là một tập vô hạn nào đó Nếu với mỗi t  T, Yt là biến ngẫu nhiên thì ta ký hiệu Y Y , t t  T và gọi Y là hàm ngẫu nhiên (với tham biến

1.2 Chuỗi thời gian

Khái niệm 1.1: Chuỗi thời gian là một chuỗi số liệu được thu thập trong một thời kì hoặc một khoảng thời gian lặp lại như nhau trên cùng một đối tượng, một không gian một địa điểm

Với số liệu chuỗi thời gian ta thường sử dụng chỉ số t để chỉ thứ tự của các quan sát, chẳng hạn Xt, Yt,…, trong đó t = 1, 2, …, n Chuỗi thời gian có thể được thu thập theo đơn vị thời gian là năm, tháng, ngày hay chi tiết hơn như giờ, phút, …

Mặc dù chuỗi thời gian chỉ là một phép thử của một quá trình ngẫu nhiên, nhưng chúng cũng được gọi là quá trình ngẫu nhiên, ký hiệu là:

Yt với t = 1,2, 

Đặc trưng của chuỗi thời gian là: tính xu hướng, tính mùa vụ, tính ngẫu nhiên và tính tương quan

1.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

* Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc Yt thường được kí hiệu là E(Y )t

Kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất theo biến ngẫu nhiên

Một số tính chất:

 EX .E X ;   const (1.3.5)

 Với X, Y là 2 biến ngẫu nhiên thì: E X YE X E Y  (1.3.6)

 Với X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì:E X.Y E X E Y    (1.3.7)

Ví dụ 1.1: Ta xét một số quá trình sau đây

Nếu Yt Yt 1 ut, với E u t 0 thì E Y t E Y t 1 E u t E Y t 1  Nếu Yt   ut, với E u t 0 thì E Y t E utE  E u t   NếuYt   t ut, E u t 0 thì E Y t E t utE  t E u t  t

Sai phân bậc nhất của chuỗi Yt trễ 1 thời kỳ, kí hiệu là D(Yt) hay ∆Yt

được tính như sau: ∆Yt = Yt – Yt-1 (1.4.1)

Sai phân bậc 2 của chuỗi Yt trễ 1 thời kỳ, kí hiệu là D2(Yt) hoặc ∆2Yt :

∆2Yt = ∆Yt – ∆Yt-1 Sai phân bậc d của chuỗi Yt, kí hiệu là Dd(Yt) hoặc ∆dYt:

∆dYt = ∆d-1Yt – ∆d-1Yt-1 (1.4.2)

Khi nói sai phân bậc d của một chuỗi ta hiểu là d lần lấy sai phân trễ 1 thời kỳ cho một chuỗi dữ liệu nào đó

Sai phân bậc 1 của chuỗi Yt trễ k thời kỳ:

Ví dụ 1.2: Chuỗi sai phân được lập từ một chuỗi số liệu gốc

Bảng 1.1: CPI của Việt Nam và các chuỗi sai phân

Tháng CPI Sai phân bậc

1 trễ 1 thời kỳ

Sai phân bậc

1 trễ 2 thời kỳ

Sai phân bậc 2 trễ 1 thời kỳ

1.5 Toán tử dịch chuyển lùi

Một cách ký hiệu rất hữu ích khi xem xét sự dịch chuyển lùi (trễ) của chuỗi thời gian là toán tử L tác động lên chuỗi Yt, viết là: LYt = Yt-1

Công thức đó được hiểu là toán tử L làm dữ liệu Yt dịch chuyển lùi về phía quá khứ một thời kỳ Hai lần L sẽ dịch chuyển Yt lùi về quá khứ hai thời kỳ: L(LYt) = L2Yt = Yt-2

Tổng quát: k

t t k

L Y  Y , k là một số nguyên bất kỳ (1.5.1)

Đối với chuỗi dữ liệu theo tháng, nếu chúng ta muốn xem xét sự thay đổi của quan sát so với giá trị của cùng kỳ năm trước, chúng ta sử dụng ký hiệu L12,

và ký hiệu là L12Yt = Yt-12

Ký hiệu dịch chuyển lùi rất tiện dụng khi mô tả một quá trình lấy sai phân Sai phân bậc nhất trễ một thời kỳ có thể được viết thành

Yt’ = Yt – Yt-1 = Yt – LYt = (1 – L)Yt Chú ý rằng sai phân bậc nhất trễ một thời kỳ ký hiệu là (1 – L) Tương tự, nếu ta lấy sai phân bậc hai (trễ một thời kỳ):

Yt” = (Yt’ – Y’t-1) = (Yt – Yt-1) – (Yt-1 – Yt-2) = Yt – 2Yt-1 + Yt-2 = (1 – 2L + L2)Yt

Như vậy: Yt” = (1 – L)2Yt

Chú ý rằng sai phân bậc hai được ký hiệu là (1 – L)2 Điều quan trọng là sai phân bậc hai khác với sai phân trễ hai thời kỳ (được ký hiệu là 1 – L2) Tương tự, sai phân trễ 12 thời kỳ phải được ký hiệu là 1 – L12, còn sai phân bậc

12 (tức là 12 lần lấy sai phân) sẽ được ký hiệu là (1 – L)12

Sai phân bậc d của chuỗi Yt có thể ký hiệu ngắn gọn là: (1 – L)dYt

Nếu lấy sai phân trễ một thời kỳ của chuỗi Yt sau khi đã lấy sai phân theo mùa vụ thì có thể ký hiệu là (1 – L)(1 – Ls)Yt

Ký hiệu dịch chuyển lùi rất tiện dụng bởi vì ký hiệu này có thể nhân với nhau theo cách tính toán học để thấy được ảnh hưởng kết hợp Chẳng hạn,

(1 – L)(1 – Ls)Yt = (1 – L – Ls + Ls+1)Yt = Yt – Yt-1 – Yt-s + Yt-s+1

1 L  Y  1   L L   L  Y   L Y với  1

1.6 Hiệp phương sai

* Phương sai: Thước đo lường sự tập trung của các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó

Phương sai của biến ngẫu nhiên Yt, là kỳ vọng của bình phương sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó, kí hiệu var(Y )t :

Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên

so với giá trị trung tâm của kỳ vọng toán Phương sai càng nhỏ thì các giá trị càng tập trung ở giá trị gần trung tâm

Tính chất:

var( X)  var X ;  const (1.6.5)

 Với X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì:

Khi tính phương sai để thuận tiện ta hay dùng công thức:

var aXbY a var X b var Y 2ab cov X, Y (1.6.8)

* Độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Yt , ký hiệu là sd(Y )t hay

Khi xét đồng thời hai biến ngẫu nhiên X và Y, cần quan tâm đến hiệp phương sai, ký hiệu là cov(X,Y), được định nghĩa bởi công thức sau:

cov X, Y  E  X  Y   với X  E X ;  Y  E Y  (1.6.10) Công thức (1.6.10) có thể viết thành: cov X, Y  E X.Y  x Y (1.6.11) Khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì theo (1.3.7) ta có:

cov(X, Y)  E X.Y    E X E Y        0 Tính chất:

 cov aX, bY ab cov X, Y  (1.6.13) Hàm hiệp phương sai đối với chuỗi Yt là chuỗi vô hạn các hiệp phương sai:

Y t Y t k cov(Y , Yt ) E

* Hệ số tự tương quan giữa Yt và Yt-k là: k

k 0

 

kk corr Y , Yt t k Y , Y , ,Yt 1 t 2 t k 1 

Sử dụng công thức Yule - Walker để tính truy hồi kk

* Hàm tự tương quan mẫu (SACF), kí hiệu 

k

 Giả sử rằng có một mẫu kích thước n, (Y , Y , Y )1 2 n , từ đây sẽ tính được

i 1 k

1 2SE

n 2 t

t 1

yvar(Y )

t 1

y ySACF(k)

t k

Y người ta còn tính hệ số tự tương quan riêng mẫu của Yt và Yt k

* Hàm tự tương quan riêng mẫu (SPACF), kí hiệu  kk

Công thức đệ quy của Durbin:

Ví dụ 1.3: Cho CPI theo tháng của Việt Nam từ tháng 1 năm 1995 đến tháng 12

năm 2007, n=156 (phụ lục 1) Hãy tính ACF(k) và PACF(k), k=1, 2, 3

t 1

y yACF(k)

và vẽ lược đồ tương quan tương ứng (Hình 1.1)

* Lược đồ tương quan: Các SACF, SPACF được trình bày bằng một biểu đồ gọi là lược đồ tương quan (correlogram), lược đồ tương quan mẫu vẽ các k và



kk

 tương ứng với các độ trễ khác nhau

Thanh đầu của bảng trong Hình 1.1 (Autocorrelation) là biểu đồ của hàm

tự tương quan của chuỗi tương ứng với các độ trễ k được trình bày ở cột thứ 3

Các giá trị  tương ứng được trình bày ở cột AC Hệ số tự tương quan riêng k



kk

 được trình bày ở cột PAC (Partial Auto-Correlation) và biểu đồ của nó được trình bày trong thanh thứ hai của bảng

Hình 1.1: Lược đồ SACF và SPACF của chuỗi CPI

Trong Hình 1.1 các đường nét đứt chính là ranh giới xác định một hệ số tự tương quan có ý nghĩa thống kê hay không ở mức tin cậy 95% Những giá trị

Nhìn Hình 1.2 chúng ta thấy rằng mức độ tương quan giữa các giá trị CPI cách nhau 1, 2, 3, 4 thời kỳ là khá cao Tiếp theo, hệ số tương quan tại các độ trễ

12 và 24 khá cao trong khi hệ số tương quan khác tại các độ trễ lớn hơn 4 đều gần 0 Điều này cho thấy chuỗi có tính mùa vụ, giữa các quan sát cách nhau 12

và bội số của 12 thời kỳ có tính tương quan cao

Biểu đồ trong Hình 1.3 cho thấy các hệ số tự tương quan ở các độ trễ từ 1 đến 36 đều có ý nghĩa thống kê Độ lớn của các hệ số tự tương quan giảm dần chứng tỏ các quan sát gần nhau có ảnh hưởng đến nhau chặt chẽ hơn so với các quan sát ở xa Đây là một chuỗi có xu thế

Hình 1.3: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi kim ngạch xuất khẩu

Với chuỗi ngẫu nhiên, các quan sát ở mỗi thời kỳ không có liên hệ với nhau ở bất kỳ độ trễ nào Như vậy về lý thuyết, các hệ số tự tương quan của chuỗi ở mọi độ trễ đều bằng 0 Tuy nhiên, trong thực tế, các quan sát của một chuỗi ít nhiều đều có tương quan với nhau Vì thế, biểu đồ tự tương quan của chuỗi ngẫu nhiên thường có các hệ số tự tương quan khác 0 chút ít, nhưng đều không có ý nghĩa thống kê (nằm trong phần đường nét đứt)

Hình 1.4: Biểu đồ hàm tự tương quan của chuỗi CPI theo quý

Nhìn vào Hình 1.4 ta thấy các hệ số tự tương quan của chuỗi đều không

có ý nghĩa thống kê ở mức 95% Do vậy, chuỗi này là ngẫu nhiên

* Kiểm định hệ số tương quan

+) Tiêu chuẩn Barlett

Giả thiết cần kiểm định: H :0  k 0 ; H :1  k 0

  thì ta chấp nhận giả thiết H0, với mức ý nghĩa 

Ta đã biết các SACF được trình bày bằng một biểu đồ gọi là lược đồ tương quan (correlogram), lược đồ này vẽ các k

k



xấp xỉ bằng 2 / n (n là kích thước mẫu hay số quan sát)

Kiểm định Bartlett trên đây mới đưa ra kết luận về từng hệ số tương quan Pierce đã đưa ra kiểm định về sự bằng 0 đồng thời của các hệ số tự tương quan

Box-+) Tiêu chuẩn Box-Pierce (thống kê Q)

H :      0;

m 2

+) Tiêu chuẩn Ljung- Box (thống kê LB)

Một dạng khác của Q là thống kê Ljung- Box (LB)

2 m

2 k

CHƯƠNG 2: CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG VÀ MÔ HÌNH

TRUNG BÌNH TRƯỢT TÍCH HỢP TỰ HỒI QUY Trong chương trước đã đề cập đến những kiến thức quan trọng để phân tích động thái của chuỗi thời gian Chương này sẽ giới thiệu các khái niệm về chuỗi dừng, chuỗi không dừng; điều kiện dừng của một số quá trình ngẫu nhiên giản đơn; các kiểm định để xem một chuỗi thời gian có dừng hay không Sau đó

sẽ phân biệt sự khác nhau giữa chuỗi thời gian với xu hướng dừng và chuỗi thời gian dừng với sai phân Một vấn đề thường gặp trong lĩnh vực hồi quy liên quan đến dữ liệu chuỗi thời gian là hiện tượng hồi quy giả mạo và hậu quả khi ước lượng mô hình với dữ liệu chuỗi thời gian không dừng Từ đó ta bàn đến cách loại bỏ tính không dừng trong chuỗi thời gian Chương này cũng nghiên cứu mô hình chuỗi thời gian một biến số ARIMA, phương pháp Box-Jenkins Đây là mô hình cơ bản được sử dụng rộng rãi trong dự báo chuỗi thời gian đặc biệt là dự báo các chuỗi vĩ mô trong thị trường tài chính tiền tệ

2.1 Chuỗi thời gian không dừng

Chuỗi Yt được gọi là chuỗi thời gian dừng nếu kì vọng, phương sai và hiệp phương sai không đổi theo thời gian, nghĩa là:

tE(Y ) , t

cov(Y , Y )cov(Y , Y )cov(Y , Y ) cov(Y , Y )

không đổi, nhưng cov(Y , Y )t t 5 có thể khác với cov(Y , Y )t t 6

Hình ảnh minh họa cho chuỗi thời gian dừng, không dừng:

Hình 2.1: Đồ thị của chuỗi thời gian dừng, không dừng

2.2 Một số quá trình ngẫu nhiên giản đơn

 t

2 t

Đôi khi điều kiện (2.2.1.3) được thay bằng điều kiện mạnh hơn:

u , ut  độc lập với nhau với t   (2.2.1.4)

Quá trình thỏa mãn (2.2.1.1), (2.2.1.2), (2.2.1.3) được gọi là nhiễu trắng độc lập

Nếu các điều kiện (2.2.1.1), (2.2.1.2) và (2.2.1.4) được thỏa mãn và

2

t

u  N(0, ) thì quá trình ngẫu nhiên đó được gọi là nhiễu trắng Gauss

Từ điều kiện (2.2.1.4) suy ra (2.2.1.3) nhưng điều ngược lại không đúng

Nhiễu trắng là một chuỗi dừng

2.2.2 Bước ngẫu nhiên

Chuỗi Yt được gọi là bước ngẫu nhiên nếu:

Áp dụng tính chất phương sai ta suy ra:var(Y )t   t 2 Điều trên chứng tỏ bước ngẫu nhiên là chuỗi không dừng

+) Hiệp phương sai:

Ta có: Yt = Yt-1 + ut nhân 2 vế với Yt-1 ta được:

var(Y )t t





+) Xét sai phân bậc nhất của chuỗi Yt

Sai phân bậc nhất của Yt: ∆Yt = Yt – Yt-1 = ut Trong trường hợp này ∆Yt là chuỗi dừng (vì ut là nhiễu trắng)

+) Nếu đưa thêm vào mô hình bước ngẫu nhiên một hằng số, thì Yt được gọi là bước ngẫu nhiên có bụi:

Yt = α + Yt-1 + ut , với ut là nhiễu trắng (2.2.2.1) Tương tự ta có: Yt = αt + Y0 + u1 + u2…+ ut

Sử dụng tính chất của kỳ vọng, phương sai với lưu ý     2

E u 0; var u   ta tính được:

0

E(Y )t Y t

2var(Y )t t

Điều này chứng tỏ bước ngẫu nhiên có bụi không dừng

2.2.3 Quá trình trung bình trượt (MA)

2.2.3.1 Quá trình trung bình trượt bậc nhất – MA(1)

Quá trình trung bình trượt MA(1) có dạng:

Y   u  u  với ut là nhiễu trắng (2.2.3.1) +) Kỳ vọng: Vì ut là nhiễu trắng nên E u t 0

 t  t t 1    t  t 1

E Y E  u  u E  E u  E u   +) Phương sai:

cov Y , Y

0var Y

2.2.3.2 Quá trình trung bình trượt bậc q – MA(q)

Quá trình trung bình trượt bậc q – MA(q) có dạng:

Y   u   u    u , t = 1, 2, 3,…,n (2.2.3.2.1) trong đó: ut là nhiễu trắng

+) Phương sai:   2 2 2

var Y   1     +) Hiệp phương sai:

q k 2

i i k t

Các điều kiện được thỏa mãn do vậy MA(q) đều là quá trình dừng

2.2.3.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn– MA()

Quá trình trung bình trượt MA() có dạng:

Với quá trình (2.2.3.3.1) dễ dàng chứng minh được điều kiện để chuỗi

Trung bình, hiệp phương sai của quá trình MA() với các hệ số có thể tính tổng theo giá trị tuyệt đối như sau:

2.2.4 Quá trình tự hồi quy (AR)

2.2.4.1 Quá trình tự hồi quy bậc 1 - AR(1) không có hệ số chặn

Quá trình tự hồi quy AR(1) có dạng:

Y  Y u , ut là nhiễu trắng (2.2.4.1.1)

Ta thấy bước ngẫu nhiên là trường hợp đặc biệt của quá trình tự hồi quy AR(1)

Với  1thì ta có:

2 t 2

1 ( )var(Y )

cov(Y , Y ) cov Y , Y u var Y cov Y , u

var(Y )

Từ kết quả trên ta có thể rút ra các kết luận dưới đây:

i) Trong trường hợp 1    thì Y1 t không thỏa mãn điều kiện dừng, do E(Yt) và var(Yt) phụ thuộc t Tuy nhiên khi t đủ lớn thì (2.2.4.1.2), (2.2.4.1.3) và (2.2.4.1.5) có dạng:

t t

lim E(Y ) 0

 Khi  1 thì quá trình AR(1) là chuỗi dừng

 Khi  1 thì quá trình AR(1) là chuỗi không dừng

 Khi   thì quá trình AR(1) là bước ngẫu nhiên 1

2.2.4.2 Quá trình AR(1) có hệ số chặn

Biểu diễn của Y như sau:

Y    Y u , với ut là nhiễu trắng (2.2.4.2.1) Xét: Y1    Y0 u1

2 t 1 t

E(Y )      (1   ) vì E u t E u t 1  0 do ut là nhiễu trắng

TH2: Khi  1, thì

t 1 i

nếu   thì 1 Yt là bước ngẫu nhiên, E(Y )t Y0 t

+) Hiệp phương sai:  k cov(Y , Y )t y k ;

cov(Y , Y )

E (Y )(Y )

E ( (Y ) u )(Y )E( (Y ) E(u (Y )var Y E u 0 Y 0var Y cov u , Y

k 0

ACF(k)     

 (2.2.4.2.3) 2.2.4.3 Quá trình tự hồi quy bậc p

Quá trình tự hồi quy bậc p có dạng:

Ta có: (L)Yt   0 ut

Điều kiện để phương trình AR(p) hội tụ là:    1 i 1, i 1, 2, , p

Phương trình đặc trưng đối với AR(p): p

1  z   z 0 (2.2.4.3.2) Điều kiện để chuỗi Yt tuân theo AR(p) trong phương trình (2.2.4.3.1) có tính dừng là phương trình đặc trưng (2.2.4.3.2) có tất cả các nghiệm z thỏa mãn

i

z 1 Điều kiện cần, nhưng chưa đủ, là

p i

Y     Y     Y      Y   unhân hai vế của phương trình với Y  t rồi lấy kì vọng hai vế ta được:

Nhân hai vế (Yt  ) với (Yt k  ), sau đó lấy kỳ vọng ta được phương trình Yule-Walker:

2 k

Điều này hàm ý hàm tự tương quan của bất kì chuỗi AR(p) dừng nào đều

có đặc điểm  k 0 khi k   Các quan sát ở xa nhau hầu như không tương quan với nhau

2.3 Nhận biết tính dừng của chuỗi thời gian

-40 -30 -20 -10 0 10 20

90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14

CPI_DIF

Hình 2.2: Đồ thị sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo quý

+) Nếu đồ thị biểu diễn chuỗi cho thấy không có sự thay đổi rõ ràng trong phương sai, chúng ta nói rằng chuỗi là dừng ở phương sai

Hình 2.3: Đồ thị sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo tháng

Ví dụ 2.2: Hình 2.3 là biểu diễn của chuỗi sai phân bậc 2 của chuỗi CPI theo tháng của Việt Nam tính theo phương pháp so với cùng kỳ năm trước (ký hiệu trong đồ thị là CPI_DIF2) Giá trị của chuỗi dao động quanh mức trung bình bằng 0 và không thay đổi theo thời gian Tuy nhiên, phương sai của cả chuỗi thay đổi Ta nói, chuỗi này dừng ở trung bình nhưng không dừng ở phương sai Tuy nhiên, nếu đem chia nhỏ chuỗi đó thành ba chuỗi ứng với 3 giai đoạn: trước tháng 1/2002, từ tháng 1/2002 đến tháng 1/2008 và sau tháng 1/2008, thì chúng ta sẽ thấy ba bộ phận của chuỗi ban đầu lại là các chuỗi dừng

ở cả trung bình và phương sai

Ví dụ 2.3: Chuỗi số liệu về xuất khẩu hàng hóa theo tháng của Việt Nam được biểu diễn ở Hình 2.4 là một chuỗi không dừng Đồ thị cho thấy chuỗi có xu thế và dao động mạnh hơn vào thời kỳ từ sau khi Việt Nam gia nhập WTO (năm 2007) Do vậy, chuỗi không dừng cả ở trung bình và ở phương sai