Nguyễn Văn Hùng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán phổ thôngđược hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu củabản thân tác giả,
Trang 2LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG
HÀ NỘI, 2016
Trang 3Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng, người thầy đãđịnh hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luậnvăn này
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, toàn thểcác thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ,động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện
Nguyễn Thị Ngân
Trang 4Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng,
luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phép nội suy và ứng dụng giải
một số dạng toán phổ thôngđược hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu củabản thân tác giả, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kếtquả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện
Nguyễn Thị Ngân
Trang 5Mục lục
Lời cảm ơn i
Lời cam đoan ii
Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Sai số 3
1.1.1 Số gần đúng 3
1.1.2 Sai số thu gọn 4
1.1.3 Sai số tính toán 4
1.1.4 Sự ổn định của quá trình tính 6
1.1.5 Bài toán ngược của sai số 6
1.2 Một số khái niệm cơ bản của đại số 7
1.2.1 Một số vấn đề của đại số tuyến tính 7
1.2.2 Định nghĩa và tính chất của đa thức 10
1.3 Một số khái niệm cơ bản của giải tích 11
1.3.1 Giới hạn của dãy số 11
1.3.2 Giới hạn của hàm số 12
1.3.3 Công thức Taylor 14
2 Phép nội suy 15 2.1 Bài toán nội suy tổng quát 15
2.2 Công thức nội suy Lagrange 16
2.2.1 Công thức nội suy Lagrange 16
2.2.2 Sai số của phép nội suy 18
Trang 62.2.3 Mốc nội suy 18
2.3 Công thức nội suy Newton 20
2.3.1 Đa thức nội suy có mốc nội suy không cách đều nhau 20 2.3.2 Đa thức nội suy có mốc nội suy cách đều nhau 23
2.4 Các công thức nội suy trung tâm 28
2.4.1 Công thức nội suy Gauss I 28
2.4.2 Công thức nội suy Gauss II 29
2.5 Bài toán nội suy ngược 30
2.5.1 Sử dụng đa thức nội suy Lagrange 30
2.5.2 Trường hợp các mốc nội suy xi i = 0, n cách đều 31
2.6 Hàm nội suy Spline 32
3 Ứng dụng của phép nội suy giải một số dạng toán phổ thông 39 3.1 Ứng dụng của công thức nội suy Lagrange 39
3.1.1 Bài tập áp dụng 39
3.1.2 Bài toán nội suy Lagrange 53
3.2 Ứng dụng của công thức nội suy Newton 55
3.2.1 Các bài toán về xác định đa thức 55
3.2.2 Tính tổng 61
3.3 Ứng dụng của một số các công thức nội suy khác 63
3.3.1 Công thức nội suy Taylor 63
3.3.2 Công thức nội suy Hermite 66
3.4 Ứng dụng Maple tính giá trị đa thức 69
3.4.1 Đa thức nội suy Lagrange 69
3.4.2 Đa thức nội suy Newton 73
Trang 7Mở đầu
1 Lí do chọn đề tài
Các bài toán nội suy ra đời từ rất sớm, rất nhiều nhà toán học nổi tiếng
đã nghiên cứu về nội suy trước hết phải kể đến các công trình của Lagrange,
Newton, Hermit, Tuy nhiên, việc xây dựng các bài toán nội suy tổng quát, cácthuật toán tìm nghiệm của nó và những vấn đề liên quan đến nội suy vẫn đangđược các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu Bởi nó không những như là một đốitượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giảitích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết tối ưu, , nó đóng mộtvai trò rất quan trọng trong việc thiết lập các đa thức thỏa mãn hệ các điều kiệnràng buộc đặc biệt Ngoài ra, các đặc trưng cơ bản của nội suy còn được sửdụng trong nhiều bài toán chẳng hạn trong toán cao cấp, toán ứng dụng, trongnhững mô hình thực tế và toán phổ thông Tuy nhiên, ở các trường phổ thông lýthuyết về các bài toán nội suy chưa được đề cập, có chăng chỉ là sử dụng chúng
để giải quyết các bài toán khó
Vì vậy, việc hình thành một chuyên đề chọn lọc những vấn đề cơ bản nhất vềcác bài toán nội suy, dưới góc độ toán phổ thông, đặc biệt là những ứng dụngcủa nó trong quá trình giải một số dạng toán khó là rất cần thiết Nên tôi đã lấy
tên luận văn của mình là Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán phổ
thôngnhằm đưa khái niệm nội suy và ứng dụng của nó đến gần hơn với thầy cô
và học sinh các trường phổ thông
Trang 82 Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại các phép nội suy và ứng dụng chúng giải một số bài toán phổthông như các bài toán về đa thức, các dạng toán khai triển, đồng nhất thức, cácbài toán xác định giới hạn của biểu thức cho trước, các bài toán về tính chia hếtcủa đa thức, ứng dụng vào tính giới hạn của một số dạng vô định, Hệ thốnglại một số dạng toán và sáng tác ra nhiều bài tập mới
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về một số bài toán nội suy cổ điển, các công thức nội suy
Ứng dụng các công thức nội suy vào giải một số dạng toán phổ thông
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với mục đích như trên, luận văn tập trung vào nghiên cứu về các công thức
nội suy: Công thức nội suy Lagrange, công thức nội suy Taylor, khai triển
Tay-lor , công thức nội suy Newton trong phạm vi ứng dụng trong chương trình phổ
thông, giải quyết một sô bài toán khó trong chương trình phổ thông
5 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của giải tích và giải tích số
6 Đóng góp của luận văn
Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên,học viên cao học về ứng dụng của phép nội suy giải một số dạng toán phổ thông
Trang 9chưa biết, chỉ biết a nên đại lượng ∆ chưa thể xác định, tuy nhiên có thể thấytồn tại∆a > 0 thỏa mãn điều kiện:|a∗ − a| ≤ ∆a.
Khi đó:∆ađược gọi là sai số tuyệt đối củaa, δa = ∆a
|a| là sai số tương đối của
a Rõ ràng∆a, δacàng nhỏ càng tốt
Hai số gần đúng a củaa∗ và b của b∗ có cùng sai số tuyệt đối ∆a = ∆b, sốnào có giá trị lớn tuyệt đối lớn hơn thì sẽ chính xác hơn Chẳng hạn a = 100,
b = 1, ∆a = ∆b = 0, 01 khi đó số a∗ ∈ [99, 99; 100, 01], b∗ ∈ [0, 99; 1, 01],tức là số a sẽ chính xác hơn số b so với giá trị đúng của nó Đại lượng nào sẽphản ánh độ sai số của một số, hay nói cách khác độ chính xác của phép tínhđược phản ánh qua đại lượng nào Ở ví dụ trên, nếu|a|càng lớn thì khoảng xácđịnh củaa∗ càng rộng, vì vậy tỉ sốδa = ∆a
|a| có thể đặc trưng cho độ chính xác
của một phép đo tính toán,δa được gọi là sai số tương đối của sốa
Trang 101.1.2 Sai số thu gọn
Trong quá trính tính toán, số gần đúng a của a∗ đôi khi là số thập phân vôhạn các số sau dấu phẩy, hoặc hữu hạn nhưng số lượng các chữ số sau dấu phẩyrất lớn buộc chúng ta phải ngắt bớt một số chữ số sau dấu phẩy Việc ngắt bớt
đó được gọi là thu gọn sốađể được số¯ngắn gọn hơn và gần đúng số a.Qui tắc thu gọn một số a như sau: Giả sử số a = A, a1a2a3 ai an, trong
đó Alà phần trị nguyên, aj ∈ 0, 1, 2, 3, , 9 j = 1, n là các chữ số sau dấuphẩy (phần thập phân) Muốn làm tròn số¯từ sốavớii chữ số sau dấu phẩy talàm như sau: giữ nguyênA, a1, a2, , ai−1 Xétai+1
- Nếuai+1 ≤ 5thì ¯a = A, a1a2a3 ai−1ai,
- Nếuai+1 > 5thì¯a = A, a1a2a3 ai−1a0i, với a0i = ai + 1
Ví dụ 1.1.1 Cho sốa∗ = Π, a = 3, 141592 Khi đó số thu gọn của alà:
- Số thu gọn sau dấu phẩy 2 chữ số:¯a = 3, 14.
- Số thu gọn sau dấu phẩy 3 chữ số:¯a = 3, 141.
- Số thu gọn sau dấu phẩy 4 chữ số:¯a = 3, 1416.
Đặt:Γa = |a − ¯a|, Γađược gọi là sai số thu gọn của số a
1.1.3 Sai số tính toán
Các số dùng để tính toán vốn đã là các số gần đúng (có sai số), còn xuất hiệnthêm sai số của kết quả Sai số này được gọi là sai số tính toán Trong đề tài này,tập trung nghiên cứu các giá trị gần đúng liên quan đến sai số tính toán
Giả sử cần tính giá trị đầu ra y với các giá trị đầu vào là x1, x2, , xn Mọiliên hệ giữa đầu vào và đầu ra được xác định bởiy∗ = f (x∗1, x∗2, , x∗n) ở đây
y∗, x∗1, x∗2, , x∗nlà các giá trị đúng của giá trị hàm và các biến tương ứng Thựctiễn, không thể xác định đượcy∗, x∗1, x∗2, , x∗n, mà chỉ xác định được giá trị gầnđúng tương ứng của nó với các sai số tương ứng∆y, ∆xi Sai số giá trị∆y của
y = f (x1, x2, , xn)được gọi là sai số tính toán
Giả sử y = f (x1, x2, , xn) là hàm khả vi, liên tục theo các biến xi Theogiải tích, ta có:
Trang 11i(¯
f (¯x)
∂
∂xi ln f (¯x)
|y| đặc trưng cho tính chính xác của phép đo Nếu
|y|rất nhỏ thì sai số tương đối sẽ rất lớn và như vậy tính chính xác của phép đokhông đảm bảo Vì vậy trong tính toán gần đúng phải tránh các công thức đưađến việc tính hiệu của 2 số gần nhau
Giải.
Trang 12Sai số tuyệt đối củay bằng sai số tương đối củax.
Sai số của thương
ổn định
Để khắc phục điều đó thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra ở một bướctính Xem giá trị mới đó là đúng, tính bước kế tiếp Nếu tích lũy một số bướcthấy sai số tăng đáng kể thì xem như quá trình tính không ổn định (đây là vấn
đề khó, cần nghiên cứu tiếp về sau)
1.1.5 Bài toán ngược của sai số
Giả sử cần tínhy = f (x1, x2, , xn)với sai số∆y ≤ a Hãy xác định các
∆xi
Trang 13Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có
∂f
∂xi
