LUẬN văn tập lồi, đa GIÁC lồi và một số DẠNG TOÁN PHỦ đa GIÁC lồi LUẬN văn, đồ án

-]- -Đàt nở đầu Trong hình học nói chung và hình học tổ hợp nói riêng bao lôi, đa giác lồi và bài toán phủ đa giác lồi là những khái niệm quan trọng và đã được trình bày trong nhiều giá

-]- -Đàt nở đầu

Trong hình học nói chung và hình học tổ hợp nói riêng bao lôi, đa giác lồi

và bài toán phủ đa giác lồi là những khái niệm quan trọng và đã được trình bày

trong nhiều giáo trình của hình học tổ hợp

Mục đích của khóa luận tốt nghiệp này là trình bày các vấn đẻ: Tập lồi, đa giác lôi và một số bài toán phủ đa giác lồi; cụ thể là trình bảy một cách hệ thống

các định nghĩa, các định lý cơ bán và chứng minh chỉ tiết một số định lý và bổ đề

về tập lồi, bao lôi và một số dạng bài toán phủ đa giác lồi trong hình học tổ hợp

Đặc biệt khóa luận trình bày một số tính chất của bao lồi và các bài toán phủ đa giác lồi, đưa ra và chứng minh được một số ví dụ và bài toán

Cấu trúc của khóa luận này gồm hai chương

Chương! Cơ sở lý thuyết Ở đây chúng tôi đã hệ thống lại và chứng minh chi tiết một số tính chất về tập lồi, bao lồi, phần trong đại số và bao đóng đại số, nhấc lại định lý Helly và đã đưa ra được một số ví dụ, ứng dụng của các tính chất và định lý Chương 2 Một số dạng toán phủ đa giác lôi Trong chương này chúng tôi trình bày kiến thức về các dạng bài toán phủ đa giác lồi trong hình học tổ hợp, bao gồm các khái niệm vẻ phủ đa giác lồi, các định lý và bổ đề về bài toán phủ

đa giác lồi, hơn nữa trong chương này nghiên cứu đến bài toán phủ một đa giác lỗi bất kì bằng những đa giác lồi đồng dạng hoặc vị tự với nó Chúng tôi đã đưa

ra một số bài toán để nói rõ về các dạng bài toán phủ đa giác lồi, bao gồm một hình tròn phủ hữu hạn điểm đã cho hoặc phủ một đa giác lôi

Khóa luận này đã đại được các kết quả sau

1) Trình bày có hệ thống khái niệm tập lồi, bao lồi, phần trong đại số và bao đóng đại số, phủ hình

2) Chứng minh một số tính chất của tập lồi, bao lồi, phần trong đại số và bao đóng đại số, các định lý vẻ các dạng bài toán phủ đa giác lồi Những tính chất này hầu hết được nêu ra ở các tài liệu tham khảo khác dưới dạng tóm tắt, chú ý hoặc bài tập

Vĩnh, tháng 5 năm 2009

Tac gia

-2-

Chuong I Cơ sở lý thuyết

Trong khóa luận này chúng tôi xét không gian vectơ Oclit n - chiều Z", 0

là tập các số thực

Ta kí hiệu:

# || là chuẩn trong £”

* inta 1a phan trong của 4

* co(4) la bao ldicha 4

* B(xr)={yveR":|x—y]<r} 1a hinh cau mé tam z bán kính +> 0

*® Bixr)= fe R°: Ix— z|<z} là hình cầu đóng tâm x bán kính z>0

Gia sit x,yeE", 4el

thể định nghĩa [x,y) và (x, y]

- Giả sử 4c E" Tập 4 được gọi là /ổi nếu [x,y]c 4 với mọi x,ye 4

1.1.1.2 Ví dụ

a) # ={a} là một tập lồi

Vậy H =[a,b| là một tập lôi

c) B(x,r), các nửa không gian là các tập lồi

1.1.1.3 Định nghĩa (xem [4])

Tổ hợp lải (hữu hạn) của các điểm x,.x,, x, e E“ là một điểm của E” có

thể biểu diễn dưới dạng :

n=k+1 Ta có thể giả thiết 0< 4,„„ <1, bởi vì nếu 4„„ =1 thi tir >’ 4, =1 va 4,20

(¡=1/2, k +1) (ta suy ra 4, =4; = =4, =0 và do đó x=x,„c 4 Khi đó, ta có

>0 (=l12, k) Vì > 4, =1 nén theo

1-4, #41 =ÂI +Ây + +Â, >Ú VÀ

+) Khi ø,ø không đồng thời bằng không = ø+ ø z0 Khi đó

& A+—#— A=AA+(—4)4, 0<2<1 Ta chỉ cần chứng mỉnh rằng,

- Ta chứng minh: 4c 24+(L— 2)4, thật vậy, lấy ae A suy ra

a=Ja,+(l-A)ja, €A44+(1-A)A > ACAA+(-A)A, @)

- Ta chứng minh: 24+ (1- 4)⁄4 4, ta cũng lấy a bất kỳ thuộc vào

aA+(l-A)A > a= da, +(l-Aja,, am ;a, 6A Do 4 lỗi ae A

=> AA+(-2)Ac 4 (2) Vậy, từ (1) và (2) suy ra: A=Ad4+(1-A)4

Ngược lại, giả sử 4= 44+(I- 4)4 ta chứng minh cho 4 là tập lồi

Lấy x¿ye4, với 0<4<l ta cẩn chứng mình 2x+(-2)ye4 Do

Ax+(I—4)ye24+(L—-2)4= 4 Suy ra 4 là tập lồi Vậy mệnh đẻ được chứng minh

ii) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các tập lồi là tập lôi

ii) Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là đập /ôi

Chứng mình

ï) Giả sử {4}„„ là họ các tập lôi của E” Đặt 4=¿+4, Khi đó, ta lấy

fet

x,ye4 ta có x,ye 4,, với mọi ¡¿e7 Do đó, với 0<4<1 ta có Ax+(l—4)ye 4, với

rmợi ¿e7 (vì 4, là tập lồi) Từ đó suy ra, Ax+(I—2)}ye 4

Vậy, 4 là tập lồi của ”

1) Giả sử 4, E",¡e 7 là tập lồi và 4e Œ=l,2, n)

Đặt 4=2444+4,4,+ +4,4, Khi đó, với xye4 và 0<2<l (giả sử X=à Xi + ¿Xy +.+,X„ï YHA, + Ay, t+ +4,y,5 trongd6: x,y, € 4,7 =1,2, n)

Tacé: Ax t(1-A)y = A[l,x, + Ãsx; + + A„x„ |+(—A) | +»; + +„y,]

= A,[Ax, + 1—A}p, J+ 4, ax, + (1- Ady, + 4, x, +(1- 2), Je A

(vì A,là các tập lôi nén Ax, + (1- A)y, € 4,,((-1,2 n)) Vay, A 1a tap Idi của 2” 1H) Giá sử w là không gian vếctơ trên L va f:E">W 1a 4nh xa tuyén tính từ £" vào #

-6-

Gia sk AcE” là tap Idi Khi dé, voi x,ye f(A) va O<a<1 (giả sử

x= f(a)y = Z0}, trong đó a,b e 4), ta có:

Ax+(1~4)y=2/(a)+fI—2)/)= /(A4a)+ /(W—2})= /(a+-2)#)< /(4) (@ì 7 là

ánh xạ tuyến tính nên 2ƒ(z)+(I- 4)/(5)= /(4a)+ /(- 4)= Z(Aa+(1- 2) và vì A

là tập lồi nên 4z+(I- 4}» e 4) Vậy, /(4) là tập lồi cha 7

Giả sử œcW là tập lôi Khi đó, với x,ye ƒ '(B), ta có /(x)/(y)e 8 Do

đó, với 0< 4 <1 ta có /(Ax+(L-2)y)= 4/(x)+(I—2)/(y)e 8 (vì 7 là ánh xạ tuyến tinh va B 1a tap 161) Từ đó suy ra, 4x +(1— 4)» e / !(Ð)

Vậy, ƒ '(B) là tập lôi của E”

1.1.2 Bao lôi

1.1.2.1 Định nghĩa (xem [6]) Cho 4c E”

- Giao của tất cả các tập lồi chứa 4 được gọi là bao lôi của 4 Kí hiệu là :

co(A)

- Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa 4 được gợi là bao lôi đóng của 4

Kí hiệu là; co(4)

1.1.2.2 Nhận xét (xem [6])

i) co(A) là tập lồi nhô nhất chứa 4

ii) 4 là tập lồi khi và chỉ khi 4 =co(4)

iii) co(A) là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa 4

-7-

x;eẲ,+U}n¬ A4=1L2) Ta đặt x =Axi+(—4}:)(0<2<1) để thấy x e4 Do x¡,x, e 4 nên fa CÓ:

x 4Œ, +U)+(L-Ä)Áx; +U)=xeU

Do đó, (x+U)nA¥® suy ra xeco(4)

Vậy, co(A) cũng là tập lồi,

1.1.2.4 Mệnh đề (xem [4])

Bao lôi đóng của 4 trùng với bao đóng của bao lổi 4: eo(4) = co(4}

Chứng mình

Do co(A) là tập lối nên cø(4) cũng là tập lôi theo nhận xét 1.1.2.2 thì co(4}

là tập lồi đóng chứa 4 Suy ra co(4)c co(4) @) Mặt khác, do co(A) là giao của tất cả các tập lồi (không cần đóng) chứa 4

Từ (3) và (4) ta suy ra: co(A) = cold)

Với mọi ae4be# và 0<A<l th Aa+(-4Ùbeco(428) Wi

œ&beAU8),

thuộc 8, Vì ø là tập lồi nên xe ð

« Giả sử Ðø,=0, với mọi ø,=0 thì x = Ð` 4,a,;Va, e A4

Đặt Xã =p=x= PL ha, =) nén suy ra x= Daa, là tổ hợp các

phan tix thudc 4 Vi 2 1a tap Iéinén xe 4

« Giá sử 3.4, = 4,440 va a¥1 Khidé Sa, =1~z,Š'a, s0, 2z, 21,

Do đó, >-4ÁŠ:24)‹0-2(Š 225)

Aa+(L—4)be Ä4+(I— 4)# với 0< A <1

Vậy xeC hay xe |]{44+(I-23)B} suy ra co(A4x28)=C (6)

osasi

Ti (5) va (6) suyra co(4‹2#)= | J{44+(1- 2)P}

osast

ii) Giả sử 4c #", 4 là tổ hợp, theo giả thiết xe co(4) và 4e co(4) nên suy

ra xUAcco(A)Uco(4) Do đó eo(xt2 4) Ceo(eo(4))= cø(4)

Ngược lại, 4c x+2 4 nên co(4)C co(x2 4)

Vậy, co(x©24)= co(4).

Cách !: Lấy x,ye 4 Khi đó tổn tại lân cận U của x sao cho Uc A Do

4 là tập lổi nên x,y được biểu dưới dạng z= 4x+(I- 4)y với 0<2<1

Ta có 2U +(I—2}y là một lân cận của z vào AU+(I—-4)yc 4 SuyTa xyeint A

Do do int A 1a tập lồi

Cách 2: Với mọi x,yeint4, ta chứng minh z=4x+(I—4)yein4 với 0<4 <1 Giả sử tồn tại hình cầu mở tâm Ø sao cho x+#c 4y+8ðcA, Œ)

Khi đó z+ð= Ax+(L—4)y+ 4B +(I— 4)B

=A(+B)+(I-4Xy+8}c 4 (vì 4 là tập lổi và theo (*)) Suy ra zeint4 Vậy intA là tập lôi

Từ bổ để 1.1.2.6 suy ra int(co(4)) la tap lổi mà nó chứa 4, vì thế

Mà ta luôn có: im(co(4))c co(4) (8)

Từ (7) và ( 8) ta có eø(4)= int(co(4)) Vậy eco(4) là tập mở

1.1.3 Phan trong đại số và bao đóng đại số 1.1.3.1 Định nghĩa

Giả sử 4c £"

a) Phân trong đại số 4' của A Ja tap tất cả các điểm xe 4 sao cho mọi đường thẳng m đi qua x trong E”, giao của m vA A chứa một đường thẳng mà

x thuộc phần trong của đoạn thẳng đó

b) Bao đóng đại số 4" của 4 là tập hợp của 4 và tập hợp tất cả các điểm

xeE" sao cho tổn tại ae 4 sao cho [z,x)C 4

c) Tập 4 được gọi là áp mở đại số nếu A' = 4

a) Với x,yeC' và 0<4<1 ta cần chứng tổ z= Ax+(I— 4}» eC' Thật vậy,

với weE",vì x,yeC' nên tổn tại xạ c(x,m) và yạ =(y,z) sao cho Íx,x;Ì=Œ và [y,»;]Ìc€ Giả sử x¿ =ax+(L—ø}¿,yv„ = @&+(—, trong đó 0<z,@<1 Khi đó, đặt ¿=maxiz,/đ} và a=øx+(L-a},b= Ø+(I— 8, thì ta có aelx.x,Lb e[p,wa]

Do đó, e= 2a+(I— 4b <C và hơn nữa

e=Ä[mx+(1—)]+(1—4)[y+(—g)+]= ,[4x+{1—2)y]+(I—z)+

=/LZ+(L—)n c(zw).

-11-

Từ đó suy ra, [z,e|e C=zeC' Vây, C' là tập lồi

b) Với x,yeC“ và 0< 4<! ta cần chứng tổ z= Ax+(L— 4)y e C“ Thật vậy,

[&x)=C€ và [by)<C Đặt ¿=2z+(-2beC thì ta có [ez]oc thì ta có

2+eũ, |4|<ø Từ đó suy ra, [x,;x, + @,|C Vậy, xạ e C°

ii) C*c co(C)

Vì Ccsø(C) nên để chứng mình €“c co(C) ta chỉ cần chứng minh

C2\CCco(C) Thật vậy, với yạeC“\C ta suy ra tỔn tai x,¢C sao cho [x,:z„]=€ Giả sử U là một lân cận bất kỳ của y, Khi đó, từ tính liên tục của ánh xa A>Ax,+(l-A)y, tai 4=0, ta suy ra tổn tại >0 sao cho

-12-

ax, t(l-A)y, €U véi mọi 4eH, |A|<é Do đó, U¬Cz@ Suy ra, y, e co(C} Vậy C“ c co(C)

ii) Trước hết ta chú ý, với mỗi a,be £, 4e[l, 4z0và mỗi lân cận của

a ta có b+ A{U - a} là một lân cận của »

Với xeeitC, yyeco(C) và O<A<1 ta cần chứng tổ

zy = Ax, +(1-A)y, ¢ int C Thật vậy, ta cé thể giả thiết 0 < 2 <1, bởi vì nếu 2 =1 thì

ta cé ngay z,=x,¢intC Vi x, cintC nên tổn tại lân cận U cla x, sao cho

1

UcC Khi đó, ta có vey 1 (z¿ - AU) là một lân cận của yạ Từ đó suy ra tồn

1 1-Ä

tai ceVAC (vi y, €co(C)) Gid sử e = (z, - Am), trong đó uc Khi đó, ta có

W =(1-A)e+ AU là một lân cận của z, (vì z¿ =(I— 4}£+ Aw) và W cC(vì € là tập

lồi) Vậy, z; eimC

1.1.3.4 Định lý (xem [5])

Giả sử CCE” là tập lôi Khi đó, ta có:

i) int C = int co(C)=C'

ii) co(C)= co(im C)= C“

Chứng mình

ï) mtC =Ìnt e(C)= C'

** €' =inC

«Theo định lý I.1.3.3 (1) ta có im: C c C° (9)

«© Giả sử xeC', Khi đó, với yeintC ta có theo giả thiết yzx, vì nếu y=x thì ta có ngay xeintC), vì xeC' nên tổn tại ze# sao cho xe(y,z} và

[x,z]< Œ c cø(C) Theo định lý 1.1.3.3 (i0 ta có 6,2) cintC vido dé xeimtc

Vậy, từ (9) và (10) ta có C? =intC

int C =intco(C)

-13-

e© Giả sử xeintco(C) Khi đó, với yeinC, vì xeintco(C} theo định lý 1.1.3.3 () ta có inteo(C)c(co(C] suy ra xe(co(C) nên tổn tai ze E sao cho

xe(s„z) và [x,z|c eo(C) Theo định lý 1.1.3.3đi) thì ta có (y,z)cœ+C và do đó

xeintC

Vậy, tir (11) va (12) ta 6 int C= int colC)

ii) co(C)= colint C)=C*

% C’ =co(C)

© Theo định lý 1.1.3.3(ii) ta c6 C’ cco(C) (13)

¢ Gia sit xeco(C) Khi do, voi yemtCcc, ta cé [y,x)cintCcC (theo

dinh 1.1.3.3Gii)) do dé xeC* Ti dé suy ta colC)e (14)

Vậy, từ (13) và (14)tacó — co(C)=C“

% co(C)= co(int C)

s Giả sử xe co(C} và U là một lân cận bất kỳ của x Khi đó, từ tính liên

tục của ánh xạ Âr>4y+(Í—4)}k tại 4=0, ta suy ra tổn tại 6>0 sao cho

2+(-4}eU với mọi AeD, |A|< ổ và do đó Ứ ¬intC z ø (vì [y,x)e it C), Do đó

xe colint C)

Vậy, từ (15) và (16) ta có — cø(C)= co(mtC)

-14-

1.2 Một số tính chất của tập lồi 1.2.1 Định lý (xem [5])

Giả sử C c E" là tập lổi và xeC', yeC“ Khi đó, ta có |x,y}c C'

Từ đó, suy ra: [xc]|c C Vậy, [x»y)c C'

b) Trường hợp 2: ye€C“\C Lấy y e(y,z) Theo trường hợp I để chứng minh zeC' ta chỉ cần chứng tổ y eC (vi ze inv’) That vay, vi yeC*\C nén

tồn tai beC sao cho [b,y)cC Ta cé thé giả thiết (b) không thuộc đường thẳng

di qua x va y (vì nếu (b) thuộc đường thẳng đi qua x và y thì ta có hoặc

yejby) hoặc y e|Ð,x) từ đó suy ra y eC Khi đó, với œ>0 đủ nhỏ ta có

a=ab+(l-a)xeC (Vì xeC') Giả sử m là đường thẳng đi qua a và y Khi đó,

m CẤU |b,y) tại c=c[e- sũ- 2-7), Z0+s) 3); trong đó 0<@<l và

y =(1- x4 fy Do 46, y' € [a,c] Vay, y ec

Gia sit x ye -Yac, †a cần chứng mình [x,y]e C hay

z=Ax+(l-a)yeC, 0<AS1,Do x,yeC nén x va y sẽ có dạng như sau;

x=Ya,x,; y=3øy,; VỚI x,y, €C, Khi đó ta có:

Giả sử 4c E" Khi đó, bao lồi co(A) là tập tất cả các tổ hợp lỗi của các

điểm thuộc 4

Chứng minh

Giả sử 8ð là tập tất cả các tổ hợp lôi của 4 Vì co(A) là tập lôi, theo nhận xét (1.1.1.3) thì 4c eo(4) nên theo mệnh đề 1.1.1.4 suy ra 8 c eo(4) ()

Để chứng minh điều ngược lại co(4)c 8 trước hết ta chứng minh # là tập

lồi Thật vậy, lấy x,ye 8 khi đó x,y có dạng sau: x= Yaz, va x= Sam, Trong

va Daa + 2 l-ay, -134 +-A)Šx/, =2+(-2)=1

Do đó Š?4øø,+Š`(—24)6,b, e8 hay ax+(1-a)ye 8 suy ra # là tập lôi

“> Truong hop 1: Nếu {x,.x, x,} độc lập affine = dim{x,,x„, x„,} =r —1

Mặt khác, dim {x,,x,, x,} <» Suy ra r—1<n Vậy r<n+l

+* Trường hợp 2: Nếu {x,x, x,} phụ thuộc afine Ta chứng minh có

thể biểu diễn x dạng tổ hợp lồi của (r—1) điểm thuộc C

+) Nếu {».J; ,y,„,} độc lập afline ta áp dụng trường hợp 1 ta có:

đim{yy¿› y,„¡}=r—2<n =r-l<Sz+l.

-17-

+) Nếu {w,,z; y,,} phụ thuộc affine thì ta lại xét hệ điểm là {>,,; v„ ;}

Sau hữu hạn bước thì dừng đến {2.5 2,} là hệ độc lập affine mà x= DB, ,

Giả sử AZ là một tập compact và mot day {*}< co(M) (theo mệnh đề 1.2.3)

tacé: xt =A,,a +A,a + +4,,a", voi a MA, 20,1=0,L 443 Ay =]

k0

k

Do Mx[01j là tập compact nên tổn tại dãy con te } sao cho

hy

Aig a" > mal;a'e M,j,>0,¡= 0,1 k và Yul

Khidé, x" > pao + „ya' + + pa” € co(M)

Vậy, co(M) 1a tap compact

etd) {Saini e ia) -lÿs (w).x,< 4k en|

= {Ee y, ) yee 4 & keo( 4)

œ1

Hàm ngược lại chứng minh tương tự

kco{A dala, Viv, € Ake | {Sato € A,i=1,2, ,m ke al

{Sa = DY, € Ask |< ol)

iat

Vay, Tu (3) và (4) suy ra co(kA) = keo( 4)

ii Theo mệnh đề 1.2.3 ta có:

il

ca(A+B)= [Sass = 9b ASA b= oa

-{Sab, + PDA =1,4, €[o,}i= bà, on)

{Ean (Sa)oda =14, efoabi= 12am =

{Say ye ADA, =1;4, e|0,I}¡ = cco(4)+b

Ngược lại, eø(4)+b {Savon eAAE [oak 4, cha

-19-

= {ea Oy, +B 4, =1;Â, e|o,l]i= L2.) ceo(A+b)

Từ (5) và (6) suy ra: co(A+b)= co(4)+b

1.2.8 Định lý

Cho hữu hạn điểm (x,,x,, x„) trong mặt phẳng ñ? Khi đó eo{(x,,x,, x,)

là một hình đa giác lồi mà đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm {x,,x, x„}

Ching minh

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n

* Nếu các điểm (x,,x; ,x,) thẳng hàng Giả sử x„x, là hai điểm xa nhau

nhất trong hữu hạn điểm đã cho Khi đó eø(x,,x;, x„) =[xị.x;]-

s$ Xết (x,.x, x„} không nằm trên một đường thẳng

+) Với z=3 suy ra định lý luôn đúng Vì khi đó eo(x,,x;,x;) là một hình tam giác

XS

+) Giả sử định lý đúng cho ø= & ta chứng minh cho định lý đứng với ø= k +1

Cho xu,x,, x x,,e 1°, Theo giả thiết quy nạp eo(x,x;, x,) phải là

một hình đa giác lồi mà đỉnh của nó thuộc tập hợp hữu hạn điểm {x,,x,, x,} Giả

sử D là miễn chứa các điểm x,„,x;, x,; z<* Khi đó: đ

Kha nang 1: x,,, ¢ D> co(x,:%,,.5%)ED yy

-20-

Trên đường thẳng 4, có một điểm thuộc tập hợp điểm đã cho xa x,„, nhất

và ta kí hiệu là y,

Cũng tương tự như vậy gọi y, là điểm nằm trên đường thẳng đ, mà xa x,„

nhất, Trên phần của Ð ta có Ay,y;x,„ là một đa giác lồi, phần còn lại của Ð ta đánh số thứ tự lại cho các đỉnh của nó là »„y, y, Khi đó x,,,y,y ¥, chính là một

đa giác lỗi mà đỉnh của nó nằm trong số {x,z, x,„} Đó là bao lồi của

(x›x;: Xz)-

Gọi G lồi chứa tập hợp điểm {x,,x;, x,} = G 2 eo(xị,x;, x/ )

+) Nếu xeÐD, Sxeco(x,x;, x,)C Œ

+) Nếu xex,»,, Khi đó ta nối x,„ với điểm x cất đường thẳng y„y, tại

một điểm là y nào đó mà y <y»y, co D,.oG ox, cGorxeG

1.2.9 Định lý Helly và ứng dụng

1.2.9.1 Bổ dé

Cho các điểm x,,x,, x,e<E" Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương

ÿ Hệ {x,,x,, x,} doc lap affine

ii) Với mỗi j =12, k thì hệ véctơ {x,—x, hey độc lập tuyến tính

11) Nếu z,e[l, ¡ =L2,.k sao cho:

i) => ii) V6i méi 7 cố định ta luôn c6 aff(x,,x, %,)=x,+L, tong dé

T = aff tx, —x,1i# bí =1,2, ,k} + là tập afine chứa ø nên ¿ là không gian