ĐỀ tài DAO ĐỘNG uốn của tấm MỎNG HÌNH CHỮ NHẬT với điều KIỆN BIÊN KHÔNG đối XỨNG

Riêng về mặt tính toán kết cấu tấm và vỏ đã có rất nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xây dựng các lý thuyết khác nhau cũng như các phương pháp tính toán các loại kết cấu cụ

LOINOLDAU Trong các nghành công nghiệp hiện nay, đặc biệt là nghành chế tạo máy, xây dựng, giao thông, máy bay, tàu thuỷ, các kết cấu dạng tấm và vỏ được

sử dụng rộng rãi với nhiều loại vật liệu khác nhau vì chúng có những ưu điểm như nhẹ, bền, tiết kiệm vật liệu và đảm bảo được yêu cầu đa dạng của

cơ học và tạo dáng công nghiệp

Tuy nhiên, việc sử dụng các kết cau tam và vỏ đặt ra yêu cầu cao về công nghệ chế tạo, thi công cũng như tính toán thiết kế Riêng về mặt tính toán kết cấu tấm và vỏ đã có rất nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xây dựng các lý thuyết khác nhau cũng như các phương pháp tính toán các loại kết cấu cụ thể, nhằm giải quyết các yêu cầu về độ bền và độ ổn định của kết cấu.Trong các phương pháp tính toán kết cấu hiện nay người ta thường dùng các phương pháp tính gần đúng, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn được thừa nhận là một phương pháp có hiệu quả nhất để tính toán các trạng thái ứng suất, chuyển vị trong kết cấu Hơn nữa, nó lại có thể tính toán các kết cấu có hình dáng bất kỳ và sử dụng tính một cách thuận tiện nhất Vì vậy, trong thời gian gần đây phương pháp phần tử hữu hạn được ứng dụng ngày càng phổ biến hơn

Trong đồ án tốt nghiệp này, với đề tài được giao: “Dao động uốn của tấm

mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng” em đã tiến hành

nghiên cứu và triển khai trên máy tính bằng Maple và Matlab Kết quả tính toán đã được so sánh với kết quả của chương trình ứng dụng Sap 2000 và còn được thể hiện bằng đồ hoạ ra màn hình

CHUONG 1 TONG QUAN VE LY THUYET UON TAM MONG

tên gọi thích hợp như : tấm tròn, elíp, vuông, chữ nhật, hình bình hành, tam gIác

> Phân tử thẳng mn ( hình I.1) ở trong tấm thẳng góc với mặt trung gian thì sau khi uốn vẫn thẳng góc với mặt trung gian ( mật đàn hồi )

đã bị uốn, chiều dài doạn đó không đổi Người ta thường gọi đó là giả thiết về các phần tử phẳng của Kirchoff Theo giả thiết về phần tử phẳng, nếu chọn mặt trung gian là Oxy thì góc vuông giữa pháp tuyến

với các trục x và y sau khi uốn vẫn vuông tức là không có biến dạng

trượt :

Còn chiều đài đoạn thắng mn không đổi, suy ra z,= 0 (b)

>» Bo qua a, gay ra do cdc lép nam ngang cia tdm ép lén nhau Theo giả thiết này ta có :

Be = (9, HOy)S Fy = Gy“ HODS Ty = Ty ()

> Trên mặt trung gian các điểm chỉ có dịch chuyển theo phương z nghĩa là xem :

u()=0Ú ; v(0)=0 ; w(0)=0

1.2 TƯỜNG QUAN GIỮA CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - ỨNG SUẤT

1.2.1 Hệ thức Côsi giữa biến dạng và chuyển vị

Véc tơ PPfx-x;y-y;z—z} hay PP t,v,s) gọi là véctơ chuyển vị của điểm P trong hệ toạ độ Đêcác u, v, w gọi là các thành phần chuyển vị theo phương x, y, z tương ứng ( hình vẽ 1.2)

Biến dạng dài tỉ đối theo các phương x, y, z xác định theo hệ thức Côsi

( hình vẽ 1.3):

(- + ou as] —u

# =>——————=—-

Biến dạng góc tương đối:

1 1

aria Ẩn êm cụ T=] 70 & y7, HOẶC |sy ene (1.3)

11 gis ate ; & fy Ei Ey

Trong đó : u, ( i=1, 2, 3 ) là các thành phần của véctơ chuyển vị PP

Nếu gọi véctơ chỉ phương của đoạn AB ở trạng thái trước khi biến dạng là v; véctơ chỉ phương của BC là " thì sự thay đổi góc giữa hai vécơ đó sau

khi biến dạng được xác định theo công thức :

z~2£yv,,, (1, j = 1, 2, 3 lấy tổng theo ¡, j )

1.2.2 Định luật Hooke tổng quát

Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, quan hệ biến đạng — ứng suất tuân theo

định luật Hookc :

o, ~ Cty Cis i, k, 1 = 1: 3, tổng theo k,1) (1.4)

Trong đó Œ„„ là tenxơ các hãng số đàn hồi va là tenxơ hạng bốn

1.2.3 Quan hệ giữa chuyển vị — biến dạng — ứng suất

Xét mặt tấm chịu tải trọng vuông, nóc với mật trung gian

Từ giả thiết I: Biến dạng đài ¢, - ns ~0, ta thấy chuyển vị w chỉ là ham

ct

của hai biến x, y không phụ thuộc vào z Do đó w = w(x,y) (d)

Mọi điểm nằm trên đường vuông góc với mặt trung gian đều có chuyển vị

Trong dé f,, £18 cac ham cia hai bién (x,y)

Để xác dịnh f,(x,y), Í›(x,y), tại z = 0 ta có : u(0) = [(x„y), v(0) = f;(x,y)

Theo gia thiết 3 ta có : u(Q) = f,(x.y) = 0, v(0) = f;(x,y) = 0

Khi dã biết chuyển vị theo (1.10), dựa vào định luậi Iloocke (1.8) ta nhận

được các biểu thức ứng suất theo chuyển vị w :

1.2.4 Quan hệ giữa ứng suất và nội lực

Xét một phân tố được tách ra từ hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách nhau một đoạn đx và hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách nhau một đoạn dy, Chiều cao của phân tố bằng bẻ dày của tấm ( hình 4)

1y, t„ tác dụng, trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất Ø, + t„„ tac

dung Con cdc thành phần t,„= t„„= 0 (theo giả thiết L) Trong thực tế các ứng suất này là khác không, vì nếu không có nó thì sẽ không thoả mãn điều kiện cân bằng của phân tố được tách ra để khảo sát Nhưng các ứng suất này là

nhỏ so với các ứng suất ơ, , o, , t,, nén ta dua vao giả thiết 1 để bỏ qua cho bài toán được đơn giản

Đại lượng WV, = Jơ.ar gọi là lực pháp trên một đơn vị đài theo phương x

›

7 = |r„áz là lực tiếp trên một đơn vị dài oe

Thứ nguyên của N,, N,, T là [ lực/ chiều dài ].Thay trị số ứng suất theo

(1.11) vào các biểu thức lực pháp và tiếp, thực hiện phép lấy tích phân, ta

thấy các lực này trong tấm mỏng bằng không: N,=N,=T =0 (1.12)

được gọi là mômen uốn trên một đơn vị dài

Dai luong M,, = (r, zœ là mômen xoắn trên một đơn vị dài (1.14

Các mômen này có thứ nguyên là [Qực x chiều đài)/ chiều dài ], ví du Nm/m, kNm/m

"

Đại lượng Ø,—Ír,.; Ø,~ r„/= là lực cất trên một đơn vị dài, có

+

thứ nguyên là [ lực/ chiều đài ], vi du N/m, kN/m

Sau khi lấy tích phân với các giá trị ứng suất theo (1.12), các giá trị mômen uốn và xoắn được tính theo độ võng là :

Quy ước chiều trên ( hình 1.5 ) biểu diễn các nội lực dương

So sánh (1.11) và (1.15) + (1.19) ta nhận được biểu thức quan hệ giữa ứng

suất và nội lực

Tấm mỏng hình chữ nhật ở hình 1.6, đưới tác đụng của mômen uốn thuần tuý có cường độ M, và M, phân bố đều trên một đơn vị chiều dài doc theo các cạnh Dưới tác dụng của mômen uốn làm bề mặt trên của tấm bị nén lại

và kéo căng trên bề mặt dưới

Xét một phân tố của tấm có bê rộng là ö, , ö, và chiều day bang chiéu day

h của tấm

Giả thiết rằng bán kính cong của mặt trung hoà là p, và p, trong mặt phẳng xz và yz tách biệt nhau Mặt lồi của tấm tương ứng với mômen uốn dương tạo ra chuyển vị theo hướng dương của trục z hay trục hướng xuống đưới Mà theo lý thuyết đầm đơn, biến dạng chính e,, s, tương đương với ứng suất ơ,, ø, của phân tử có chiều đày ồ, ở phía đưới mặt trung hoà một khoảng z, cho bởi công thức :

12

Hinh 1.7 —a) Ứng suất pháp, b) Bán kính cong của tấm

Định luật Hoocke tổng quát :

13

với D=—E“—_ soi là độ cứng khi uốn của tấm 12— ˆ) (1.26)

Liên hệ giữa chuyển vị và bán kính cong :

M, -(8 + ue *) ôy

Biểu thức (1.27) cho ta biết độ biến đổi hình dáng của tấm nếu đã M, và

M, đã biết

Nếu M, =0 thì ` 2= “2y; > hoặc M, =0 thì 2 = g2 „ do đồ p, và

p; trái dấu nhau, ta gọi đó là uốn lệch pha ( anticlastic)

14

Hinh 1.8 Uốn lệch pha

1.2.5.2 Tấm chịu nến và xoắn động thời,

a) Mémen chinh và độ cong chính

Thông thường, mômecn uốn tác dụng lên tấm sẽ không năm trong mặt phẳng vuông góc với các cạnh Vì thế, mômen uốn có thể tách thành các

thành phần đơn giản gồm thành phần tiếp tuyến và thành phần pháp tuyến Thành phần pháp tuyến M, và M, đã đề cập ở phần trên, còn các thành phần tiếp tuyến M,, và M,, ( cũng là mômen đơn vị ) gây ra sự xoắn của tấm đối với các trục song song với trục x và y, Chỉ số thứ nhất của mômen xoắn chỉ phương pháp tuyến của mặt đang xét, chỉ số thứ hai của mômen xoắn chỉ độ đài cạnh song song trục nào

Quy ước dấu : M_, M, > 0 nếu làm căng thớ ở z >0; M nyt M,, > 0 néu

quay ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn dọc trục của nó theo hướng song song với hướng dương của trục tương ứng x hoặc y Trong hình vẽ tất cá các

cường độ mômen đều dương

Vi M,, va M,, sinh ra ứng suất tiếp t,„ = - t,, nén M,, = - M,, Tren mat phẳng chéo FD có các mômen tác dụng là mômen tiếp M, và mêmen pháp M, Chúng ta có thể biểu điễn các mômen này qua các M,, M,, M., nhờ vào các phương trình cân bằng phân tố tam giác ABC ( hình 1.10 )

Trong mặt phẩng vuông góc với AC có :

M,AC= M,ABcosa - M,BCsnơø M, ABsna M,,BCcosa

Tương tự cho cân bằng trong mặt phẳng song song với AC, cũng có :

M,AC=M,ABsna@ M,RCcosa tM, ABcosa M, BCsindø

ứng suất cắt trên mặt phẳng đó và các ứng suất pháp tương ứng ( phụ thuộc

vao zva M,, M, M,,) 14 dmg suất lớn nhất và nhỏ nhất trong tấm

b) Liên hệ giữa mômen xoắn và chuyển vị w,

Trở lại tấm chịu tải như hình 1.10 a), chúng ta đã thành lập được mối liên

hệ giữa cường độ mômecn uốn M, và M_ với chuyển vị w của tấm cho bởi các

17

công thức (1.27) Tiếp theo chúng ta sẽ tìm mối liên hệ giữa mémen xoắn M,, va chuyén vị w Từ định lý siêu định vị chúng ta có thể xét riêng M,, tác dụng bỏ qua M, và M, Như ta đã biết M,„ bị chống lại bởi hệ các cặp ứng suất bù nhau trong mặt phẳng thẳng đứng của phân tố được lấy ra suốt chiều dày của tấm và song song với các trục x và y

Xét một phân tố thuộc phân tố đang xét ( hình 1.11 ) Các ứng suất tiếp bù nhau trên lân cận của phân tố cách một khoảng z phía dưới mặt trung hoà là

Trong đó :

G: mô đun đần hồi

Yay: dQ dan dai géc

Chúng ta có mối quan hệ giữa biến dạng góc y„„ và các chuyển vị cho bởi công thức :

Hình 1.12 Góc xoay của phân tố

Thay u, v vào biểu thức T„y la CÓ :

1.2.5.3 Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt lấm

Zz

Hình 1.13 — Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc

20

Mối quan hệ giữa mômen uốn và xoán với chuyển vị của tấm sẽ được sử đụng trong việc thiết lập phương trình ví phân tổng quát cho bài toán tấm hình chữ nhật mỏng chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt tấm (hình 1.13) Trong trường hợp tổng quát tải trọng phân bố có thể thay đổi theo một hàm phụ thuộc vào x và y Chúng ta vẫn giả thiết mặt trung gian trùng với mặt trung hoà, mặt cắt ngang vẫn phẳng trong suốt quá trình biến dang Giả thiết sau chỉ rõ sự mâu thuẫn trong lý thuyết, đó là nếu mặt cắt ngang vẫn phẳng trong quá trình biến dang thì các biến dạng góc y,, va y„ phải bằng 0, trong khi tải trọng phân bố gây các lực cắt vuông góc mật tấm vẫn tồn tại ( và là ứng suất đã biết ) Vì thế chúng ta giả thiết rằng mặc dù

Vo = $ VÀ 7„= = là không đáng kể nhưng các lực cất tương ứng lại giống

với độ lớn của tải trọng phân bố q và các momen M, , M, va M,, Gia thiét này tương tự trong lý thuyết đầm đơn mà trong đó biến dạng góc được bỏ qua

Xét một phân tố của tấm như hình 1.14, chịu mômen uốn và xoắn như mô

tả lần trước, và các lực Q, và Q, tác dụng lên một đơn vị chiều dài trong từng mặt phẳng vuông góc với trục x và y Thay đổi của ứng suất cắt t,„ và +„ theo các cạnh nhỏ ö, và ö, của phân tố là không đáng kể và hợp lực của lực cắt Q,By và Q,ôx đặt ở trọng tâm các mặt phẳng của phân tố

Ta có :

21

Xét một phân tố nhỏ Šxõy thuộc mặt phẳng trung gian của tấm mỏng, vị trí chuyển vị của nó như hình 1.15 Chiều và độ lớn của lực trên một đơn vị

22

đài được tạo béi tai trong trong mat phang tdm 1a N,, N,, va N,, và quy ước dau cia nó như đối với ứng suất pháp và ứng suất tiếp Ngoại lực theo

phương vuông góc với tấm không tham gia vào phương trình cân bằng chiếu theo phương x và y, do đó :

[v + ON ax bog ony ẽ * ox -N Seo ©) N,, + & |dx— Nok = 0

Những phương trình này hoàn toàn độc lập với ba phương trình cân bằng

( đã nêu trong 2.5.3) và vì thế ta có thể sử dụng chúng một cách độc lập Khi xét hình chiếu của các lực lên trục z, ta phải kể đến ảnh hưởng của các lực N,N,,N,y và N,, do khí tấm bị nốn mà có những góc nhỏ giữa các phương của các lực này

Thành phần hình chiếu lên truc z do N,, la:

Tương tự ta có thành phân hình chiếu lên trục z do N,, 1a

F, -[», oon, Saw my mở ân

Cộng hợp lực này với tải trọng qỗxôy tác động vào phân tố và ding phương trình (1.36) ta có phương trình cân bằng đưới đây:

CHUONG 2 DAO DONG UON CUA TAM MONG

2.1 THIẾT LẬP PHUONG TRINH UON CUA TAM MONG

Xét dao động uốn của tấm mỏng đồng chất bẻ dày h, mật độ khối p không đổi Để thiết lập các phương trình dao động của tấm, ta thừa nhận các giả thiết của lý thuyết tấm mông cổ điển như sau :

> Biến dạng uốn của tấm khi dao động là những biến dạng nhỏ tuân theo

định luật Ilooke

> Trong tấm luôn tồn tại một lớp trung hoà mà khoảng cách giữa các

điểm của nó không thay đổi Khi tấm đồng chất bị uốn ít, lớp trung hoà trùng với mặt cong trung binh chia đôi bể dày của tấm Ta gợi mặt này là mặt trung hoà

v Các phần tử của tấm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung hoà, khi tấm bị uốn vẫn nằm trên đường thẳng đó và đường thẳng đó

vẫn vuông góc với mặt trung hoà

> Không xét đến các ứng suất vuông góc với mặt trung hoà

> Bỏ qua ảnh hướng của biến đạng trượt và quán tính quay

Ta chọn mặt phẳng trùng với mặt trung hòa trạng thái chưa biến đạng làm

mặt phẳng toa độ xy, trục z được chọn vuông gócvới mặt phẳng xy và hướng

về phía dưới Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển của điểm M(x,y,z) của tấm tương ứng theo các trục x, y và z Ký hiệu uạ,vạ,wạ là các thành phần dịch chuyển tương ứng của điểm AÁ thuộc mặt trung hoà mà MA vuông góc với mặt trung hoà Từ các giả thiết trên ta có:

uợ= vạ=Ũ, wụ= Ww(x,y,U)

Với các lực và mômen đã vẽ như trên, áp dụng nguyên lý d’Alembert ta

nhận được các phương trình sau:

26

aM, OM, ot wy, + axdy ph an x 2 aM yp ZW aw pG,y»,Ð (2.5) 2.5

Trong các phương trình trên ta sử dụng các ký hiệu:

Q, Q, : Lực cắt trên một đơn vị chiều đài ở các mặt cắt x = const, y = const theo hướng z

M, , M, : Momen uốn trên một đơn vị chiều dài, vuông góc với mặt cắt

X = const, y = const, (M,, = M,,)

p(x,y,Ð : Tải trọng ngoài trên một dơn vị diện tích, vuông góc với mặt trung hoà

w(x,y,Ð) : Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hoà theo phương z

Từ các công thức Cauchy quen thuộc trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính ta

Thế các biểu thức (2.8) vào phương trình (2.5) ta nhận được phương trình đao động uốn của tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff

2.2 CAC DIEU KIEN BIEN

Điều kiện biến là những điều kiện trên mặt ngoài của tấm mà ta cần cho trước để nghiệm phương trình (2.10) tương ứng với từng bài toán cụ thể Trong các điều kiện biên có cả tải trọng q(x,y) tác động ở mặt trên và mặt đưới của tấm Khi đặt bài toán tổng quát của tấm đã tính đến nó và nó đã có mặt ở một số hạng tự do của phương trình (2.10) Do đó ta chỉ còn điều kiện trên các cạnh của tấm

2.2.1 Tấm tựa tự do ( gối tựa)

Vậy điều kiện biên là :

Hai điều kiện cuối được sát nhap theo diéu kién Kirchoff

Nhu vay ta có điều kiện biên đối với cạnh tự do x = 0 là :

(A- BY(A+ BW (x y)=0 (2.17)

Trong đó toán tử A có dạng

a a

Ox* r oy?

Nghiệm của phương trình (2.17) có thé tìm dưới dạng

WŒ@,y) = W¡(%,y) + W;(x,y) Trong đó W;, W; tương ứng là nghiệm của các phương trình

Ta có nghiệm phương trình trên đưới dạng W = W;, + W; Trong đó W,, W;

là nghiệm của phương trình :

[: x l ye 83, =0 X' By (2.22)

31

Nghiệm của phương trình (2.21) có dạng

W2 (x, y) — A, sin exsin yy = A, sin axcosy + A, cosaxsin yy + A, cosaxcosyy (2.23)

Nghiệm của (2.26),(2.27) có dạng :

X(z) =C ¡sinh ax+C, coshax (2.29a)

¥(y) = C, sinh yy + C, coshyy (2.29b)

Nghiệm của phương trình (2.19) bây giờ có dạng :

W(x,y)= 4 sin axsin 7 + Á; sin đx cOS/ + 4; Cosdxsin 7ÿ + Á, COSØ% C057 +

+ A, sinh axsinh yy + A, sinh axcosh yy + A, cosh axsinh yy + A, cosh a@xcosh yy

2

Dat w(x yt) 2h = play) (2.30)

Để tìm nghiệm riêng của phương trình (2.30) ta có nhiều phương pháp khác nhau Nếu đã biết được các hàm riêng của bài toán dao động tự do

W„„„(X,y), ta CÓ thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (2.30) dưới dạng:

WI = YH PVG eld) mat nat (2.31)

Trong dé q,,,,(t) 14 céc hàm cần tìm Dựa trên tính chất trực giao của các hàm riêng, ta có thể tìm phương trình vi phân đối với hàm q„„(Ð tương tự như trong tính toán dao động uón của dầm

Thế biểu thức (2.31) vào phương trình (2.30) ta được :

ŠŸ | Meg 28/2, t62)4,,(0)= nã) 232)

Do W„„(x,y) là các hàm riêng nên theo phương trình (2.15) ta có :

Thế biểu thức (2.33) vào phương trình (2.32) ta suy ra :

YS ond Or Oa Aaa Wag) = POL yt) Tạ (2.34)

Nhân cả hai vế của phương trình (2.34) với hàm riêng W, (+, y)rồi lấy tích phân trên diện tích mặt tấm, chú ý đến tính chất trực giao của hàm riêng

Nếu không biết trước các hàm riéng W,,,(x,y) ta 4p dụng phương pháp Rit Galerkin tim nghiém dưới dạng :

Phương trình đao động uốn của tấm mỏng :

wị : là nghiệm của bài toán chịu mômen phân bố đều trên một đơn vị dài của

cạnh y “` ( trơng đương với cạnh y =! chịu ngàm )

w; : là nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do

Khi tấm có 4 cạnh tựa tự do thì độ dốc của mặt võng tại cạnh y = : la:

Hai biểu thức (5) và (6) bằng nhau nên ta có :

Tải trọng phân bố đều trên diện tích của tấm cho trước Lúc này, việc chia

ô trên diện tích 2ax2b như hình vẽ sẽ xác định điều kién tua tu do tai x = 0 va

y =0 Như vậy, bài toán này được đưa về bài toán tắm ngầm tại toàn bộ chu

Điều kiện biên của bài toán :

Mỹ = ‘ae ¢ yy cos te jan Bn + oh Ot 4 1 may may 2] (2)

#ÌD „na, a 2cha,, a 2chư„ a

w¡ — nghiệm của bài toán tấm chịu mômen phân bố đều trên một

đơn vị đài

— ( yp? 2 THIX[ HƠI , maY may

w= 2D Sh," mcher,, Se cos ala sh————a,,,tha,,ch a a (3)

Với E„ được tính trong công thức (6)

Mômen uốn M, tương ứng với độ võng w; là :

My, = -| +n ) ay

Đạo hàm (2) hai lần theo x và hai lần theo y ta có :

40