Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

VŨ DANH ĐƯỢC

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

VŨ DANH ĐƯỢC

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT

TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng

Lời nói đầu

Nhà toán học Pierre-Simon Laplace năm 1812 đã từng nói về vai trò của môn

lý thuyết xác suất: "Cần nhớ rằng môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người Phần lớn những vấn đề quan trọng nhất của đời sống thực ra chỉ là những bài toán của lý thuyết xác suất"

Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính là một chuyên đề khá mới của môn Lý thuyết xác suất, nghiên cứu về các hàm ngẫu nhiên tuyến tính Do đó, tôi đã chọn đề tài

"Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình Tìm hiểu vấn đề này, tôi mong muốn nắm bắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được và cố gắng rút ra những kết luận, nhận xét của riêng mình Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu hơn nữa với môn Lý thuyết xác suất Với khả năng

và thời gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không gian Hilbert và thác triển của nó

Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, danh sách các ký hiệu, 3 chương (chương 1-2-3), tài liệu tham khảo Nội dung chính của các chương được tóm tắt như sau: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn Trong chương này, tác giả nêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên, sự hội tụ của biến ngẫu nhiên, hàm ngẫu nhiên, toán tử tuyến tính và toán tử Hilbert

- Schmidt Đây là các kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính ở các chương sau

Chương 2: Trình bày về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian

Hilbert Đây là một trong hai chương chính của luận văn Chương này được chia làm

ba phần: Phần đầu nói về các khái niệm cơ bản liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính như toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn và tích các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Phần hai nghiên cứu về hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss Phần cuối, nghiên cứu về tính hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Chương 3: Nghiên cứu về thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Chương này được chia làm hai phần: Phần đầu nêu những thác triển liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Phần hai trình bày một cách chi tiết một phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là GS TSKH Đặng Hùng Thắng Người đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình giúp tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã luôn quan tâm và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi cũng như các học viên cao học khác trong quá trình học tập

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã động viên tôi hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 9 năm 2015

Học viên

Vũ Danh Được

Mục lục

1.1 Biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của biến ngẫu nhiên 6

1.1.1 Các định nghĩa 6

1.1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên 9

1.2 Hàm ngẫu nhiên 11

1.2.1 Định nghĩa 11

1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener 11

1.3 Toán tử tuyến tính 12

1.4 Toán tử Hilbert - Schmidt 13

2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian Hilbert 16 2.1 Các khái niệm cơ bản 16

2.1.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 16

2.1.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu 17

2.1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 21

2.1.4 Tích của các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 25

2.2 Hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 27

2.2.1 Định nghĩa 27

2.2.2 Hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 29

2.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss 33

2.3 Sự hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 36

2.3.1 Sự hội tụ yếu của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 36

2.3.2 Sự hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 37

3 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 40 3.1 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 40

3.2 Một phương pháp khác thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 47

3.2.1 Miền xác định của thác triển của một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 47

3.2.2 Trường hợp Φei là độc lập 54

Danh sách các ký hiệu

(Ω,F, P) - không gian xác suất

Dη(ω) - phương sai của biến ngẫu nhiên

Eη(ω) - kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

H - không gian Hilbert tách được

L(X, Y ) - tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

L(H) - tập hợp các toán tử tuyến tính từ H vào H

LH

0(Ω) - tập hợp các hàm đo được x(ω) từ Ω vào H (còn gọi là các biến ngẫu nhiên

H−giá trị)

LY

0(Ω) - tập hợp các hàm đo được x(ω) từ Ω vào Y (còn gọi là các biến ngẫu nhiên

Y−giá trị)

(x, y) - tích vô hướng của hai phần tử x và y với x, y ∈ H

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

nhiên

1.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω, F) là một không gian đo, R = (−∞; +∞), B(R) là

σ−đại số các tập Borel của trục thực R Hàm thực X = X(ω) xác định trên Ω, lấy giá trị trên R gọi là hàm F−đo được hay biến ngẫu nhiên nếu

{ω : X(ω) ∈ B} = X−1(B)∈ F với mỗi B ∈ B(R)

Ví dụ 1.1.1 Ký hiệu hàm chỉ tiêu của tập A là 1A, 1A(ω) = 1 nếu ω∈ A, 1A(ω) = 0 nếu ω /∈ A Cho Ai ∈ F, i ∈ I (I không quá đếm được) và P

i∈I

Ai = Ω, khi đó với (xi)i∈I ⊂ R,

X(ω) =X

i∈I

xi1Ai(ω) gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc Khi I hữu hạn thì X được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P), nhận giá

trị trên R = (−∞; +∞) Hàm số

F (x) = FX(x) = P(X < x), x∈ R được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa 1.1.3 Cho X là biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng

X =

n X k=1

xk1Ak

trong đó xk ∈ R, Ak ∈ F, k = 1, , n và AkAl =(k 6= l) Với mỗi biến ngẫu nhiên

X như trên, kí hiệu EX là một số được xác định bởi

EX =

n X k=1

xkP(Ak)

Số này được gọi là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con của

F, X là biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với

G đã cho là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(X|G), thỏa mãn các điều kiện sau:

1 E(X|G) là G−đo được;

2 E(X|G) thỏa mãn đẳng thức

Z A

E(X|G)(ω)P(dω) =

Z A X(ω)P(dω), A∈ G (1.1)

Bổ đề 1.1.1 (Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện) Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con nào đó của F

1 Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c (h.c.c);

2 X ≤ Y (h.c.c) ⇒ E(X|G) ≤ E(Y |G) (h.c.c);

3 |E(X|G)| ≤ E(|X||G) (h.c.c);

4 a, b là các hằng số và aEX + bEY xác định thì

E(aX + bY|G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c)

5 E(X|{, Ω}) = EX (h.c.c);

6 E(X|F) = X (h.c.c);

7 E(E(X|G)) = EX (h.c.c);

8 E

E(X|G2)|G1



= E(X|G1) = E

E(X|G1)|G2

 (h.c.c) nếu G1 ⊂ G2;

9 Nếu X độc lập với G (nghĩa là σ(X) và G độc lập) thì E(X|G) = EX (h.c.c);

10 Nếu Y là G−đo được và E|Y | < ∞, E|X.Y | < ∞ thì E(XY |G) = Y E(X|G) (h.c.c)

Chứng minh 1 Hiển nhiên

2 Với X ≤ Y h.c.c suy ra R

A

XdP≤R

A

Y dP với mọi A ∈ G Suy ra:

Z A E(X|G)dP ≤

Z A E(Y|G)dP, ∀A ∈ G Suy ra E(X|G) ≤ E(Y |G) h.c.c

3 Vì −|X| ≤ X ≤ |X| nên −E(|X||G) ≤ E(|X||G) ≤ E(X|G) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

4 Với A ∈ G thì Z

A (aX + bY )dP = a

Z A XdP + b

Z A

Y dP =

= a

Z A

E(X|G)dP + b

Z A

E(Y|G)dP =

Z A (aE(X|G) + bE(Y |G))dP

5 EX đo được đối với σ−đại số {∅, Ω} và nếu A = ∅ hoặc A = Ω thì có

Z A XdP =

Z A EXdP

Đó là điều phải chứng minh

Tài liệu tham khảo

1 Skorokhod, A V (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Com-pany, Dordrecht

2 Gikhman, I I., Skorokhod, A V (1975), Theory of Random Processes, I Moscow, ’Nauka’, pp 664

3 Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, Hà Nội

4 Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội

5 Thang, D H., Thinh, N (2004), Random bounded operators and their exten-sion, Kyushu J Math, 58, pp 257 - 276

6 Thang, D H., Cuong, T M (2009), Some procedures for extending random operators

7 Hoffmann - Jorgensen, J (1977), Probability in Banach spaces, Lecture Notes

in Math, 598, pp 1 - 186

8 Dorogovtsev, A A (1986), On application of Gaussian random elements, Theor veroyat i primen., 30, pp 812 - 814

9 Woyczynski, W A (1978), Geometry and martingales in Banach space II, Advances in Probab., 4, pp 267 - 517

10 Thang, D H (1987), Random operator in Banach space, Probab Math Statist., 8, pp 155 - 157

11 Thang, D H., Cuong, T M (2009), A method of extending random operators,

Acta Mathematica Vietnamica, 34, pp 201 - 212.

12 Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội