Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNDƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS TS Nguyễn Bường

2 GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quảcủa luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ côngtrình nào khác

NCS Dương Việt Thông

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy giáo,

GS TS Nguyễn Bường và GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lòngkính trọng và biết ơn sâu sắc đến các Thầy Các Thầy đã truyền thụ kiến thức,từng bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề một cách tựnhiên để từ đó có thể chủ động, tự tin trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần củathầy Nguyễn Bường và thầy Phạm Kỳ Anh đã giúp cho tác giả có ý thức tráchnhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận án của mình

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TSKH Đỗ Hồng Tân vìnhững chỉ dẫn tận tình và những ý kiến đóng góp quý báu của Thầy dành chotác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Thị Thanh Hà, TS Lê AnhDũng, TS Nguyễn Văn Khiêm và TS Nguyễn Thế Vinh đã động viên và gópnhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một sốvấn đề trong lý thuyết KKM và lý thuyết điểm bất động" do Bộ môn Giảitích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức

Tác giả xin chân thành cảm ơn các phản biện độc lập về những nhận xétquý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ môn Giảitích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học cùng toàn thể

các thầy giáo, cô giáo, cán bộ và nhân viên của Khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường ĐHKHTN đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tácgiả hoàn thành luận án của mình.

Tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh

tế Quốc dân, các Thầy Cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập,nghiên cứu cũng như giảng dạy trong Nhà trường

Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè và người thân, nhữngngười đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu

và hoàn thành luận án này

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 4

Một số ký hiệu và chữ viết tắt 6

MỞ ĐẦU 7

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17

1.1 Giới thiệu về hình học không gian Banach 17

1.2 Ánh xạ không giãn 21

1.3 Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp 27

1.4 Kết luận 37

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN 38

2.1 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 38

2.2 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt 47

2.3 Kết luận 54

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT 56

3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 56 3.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67 3.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số 74

3.4 Kết luận 82

KẾT LUẬN CHUNG 84

1 Kết quả đạt được 84

2 Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo 84DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUANĐẾN LUẬN ÁN 86TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

lim = lim inf giới hạn dưới

PC(x) hình chiếu của x lên tập C

X không gian Banach

X∗ không gian liên hợp của không gian X

2X tập hợp tất cả các tập con của X

2X∗ tập hợp tất cả các tập con của X∗

δ(ǫ) môđun lồi của không gian Banach

J ánh xạ đối ngẫu của không gian X

Jλ = (I + λA)−1 giải thức của toán tử A

Aλ = 1

λ(I − Jλ) xấp xỉ Yosida

h., i giá trị của cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động do L E J Brouwer khởi xướng năm 1912 đếnnay đã được hơn 100 năm tuổi Đó là một chương quan trọng của Giải tíchphi tuyến, sâu sắc về lý thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với têntuổi của các nhà Toán học lớn như: E Picard, L E J Brouwer, S Banach, J.Schauder, S Kakutani, A N Tikhonov, Ky Fan, F E Browder,

Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ khônggiãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phi tuyến.Điều này kết nối giữa lý thuyết hình học của không gian Banach cùng với sựliên quan của lý thuyết toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng Như ta đãbiết nếu ký hiệu X∗ là không gian đối ngẫu của không gian Banach X, toán

Một trong những sự kiện liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử tăngtrưởng là chúng trùng nhau trong không gian Hilbert Các tính chất của toán

tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng là rất quan trọng trong các lĩnh vực nhưgiải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi Điều đặc biệt là dưới viphân của một hàm lồi là toán tử đơn điệu Nhắc lại rằng, trong không gianBanach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], dưới vi phân của f là toán tử đa trị

H Brezis, M G Crandall và A Pazy đưa ra khái niệm giải thức của toán tửđơn điệu trong không gian Banach trong [17] Họ đã thiết lập các tính chất cơbản của giải thức và đặc biệt điểm bất động của giải thức liên quan đến khôngđiểm của toán tử đơn điệu Trong không gian Banach X cho A : X → 2X làtoán tử đơn điệu cực đại Khi đó giải thức Jλ của toán tử A là ánh xạ đơn trị

và được xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1,∀λ > 0 Chúng ta biết rằng

A−10 = F (Jλ) Hơn nữa, Jλ là ánh xạ không giãn Suy ra vấn đề tìm khôngđiểm của toán tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn Jλ

Giữa lớp ánh xạ không giãn và toán tử tăng trưởng là lớp ánh xạ giả co.Ánh xạ T : X → X trong không gian Banach X được gọi là ánh xạ giả co nếu

∀x, y ∈ X tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

hT x − T y, j(x − y)i ≤ kx − yk2

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] L A Dũng (2009), Điểm bất động và ứng dụng trong không gian Banach,không gian metric, không gian metric siêu lồi, Luận án tiến sỹ Toán học,ĐHSP Hà Nội

[2] N X Liêm (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục

[3] Đ H Tân và N T T Hà (2003), Các định lý điểm bất động, NXB Đạihọc Sư phạm Hà Nội

[4] N T Vinh (2011), Lý thuyết KKM trong nửa dàn tôpô và ứng dụng, Luận

án tiến sỹ Toán học, Viện Toán học

[7] A Aleyner, Y Censor (2005), "Best approximation to common fixed points

of a semigroup of nonexpansive operators", J Nonlinear Convex Anal., 6,

pp 137–151

[8] P K Anh, N Buong, D.V Hieu (2014),"Parallel methods for regularizingsystems of equations involving accretive operators", Appl Anal., 93, pp.2136-2157.

[9] P K Anh, C.V Chung (2104), "Parallel hybrid methods for a finite family

of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim., 35, pp.649-664

[10] P N Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive pings and Ky Fan inequalities", J Optim Theory Appl., 154, pp 303-320.[11] P K Anh, D.V Hieu, "Parallel and sequential hybrid methods for a finitefamily of quasi ϕ- asymptotically nonexpansive mappings", J Appl Math.Comput., DOI: 10.1007/s12190-014-0801-6

map-[12] G V R Babu, K N V V Vara Prasad (2006), "Mann iteration convergesfaster than Ishikawa iteration for the class of Zamfirescu operators", FixedPoint Theorey and Applications, vol 2006, Article ID 49615, 6 pages.[13] J Banasiak, L Arlotti (2006), Perturbations of Positive Semigroups withApplications, Springer, London

[14] V Berinde (2007), Iterative Approximation of Fixed Points, Spinger lag, Lectures Notes in Mathematics, 1912

Ver-[15] V Berinde (2004), "On the convergence of the Ishikawa iteration inthe class of quasi contractive operators", Acta Mathematica UniversitatisComenianae, 73, pp 119-126

[16] V Berinde (2004), "Picard iteration converges faster than Mann tion for a class of quasi-contractive operators", Fixed Point Theorey andApplications, 2, pp 97-105

itera-[17] H Brezis, M G Crandall, A Pazy (1970), "Perturbations of nonlinearmaximal monotone sets in Banach spaces", Comm Pure Appl Math., 23,

pp 123–144

[18] F E Browder (1967), "Convergence of approximants to fixed points

of nonexpansive non-linear mappings in Banach spaces", Arch RationalMech Anal., 24, pp 82-90

[19] F E Browder, W.V Petryshyn (1967), "Construction of fixed points ofnonlinear mapping in Hilbert space", J Math Anal Appl., 20, pp 197-228.[20] N Buong, L T Duong (2011), "An explicit iterative algorithm for a class

of variational inequalities in Hilbert spaces", J Optim Theory Appl., 151,

[23] N Buong (2011), "Hybrid-Ishikawa iterative methods for a nonexpansivesemigroup in Hilbert space", Comp Math Appl., 61, pp 2546-2554.[24] N Buong, N D Lang (2011), "Hybrid Mann-Halpern iteration methodsfor nonexpansive mappings and semigroups", Appl Math Comp., 218, pp.2459-2466

[25] L C Ceng, S AI-Homidan, Q H Ansari, J.C Yao (2009), "An iterativescheme for equilibrium problems and fxed point problems of strict pseudo-contraction mappings", J Comp Appl Math., 223, pp 967-974

[26] Y Censor, S A Zenios (1997), Parallel Optimization: Theory, Algorithms,and Applications, Numerical Mathematics and Scientific Computation,Oxford University Press, New York, NY, USA.

[27] F Cianciaruso, G Marino, L Muglia (2010), "Iterative methods for librium and fixed point problems for nonexpansive semigroups in Hilbertspaces", J Optim Theory Appl., 146, pp 491-509

equi-[28] I Cioranescu (1990), Geometry of Banach spaces, Duality Mappings, andNonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers

[29] R Chen, H He (2007), "Viscosity approximation of common fixed points

of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Appl Math Lett., 20, pp.751-757

[30] J Chen, L Zhang, T Fan (2007), "Viscosity approximation methods fornonexpansive mappings and monotone mappings", J Math Anal Appl.,

im-[33] C E Chidume, M Abbas, B Ali (2007), "Convergence of the Manniteration algorithm for a class of pseudocontractive mappings", Appl Math.Comp., 194, pp 1-6

[34] C E Chidume, N Shahzad (2010), "Weak convergence theorems for afinite family of strict pseudocontractions", Nonlinear Anal., 72, pp 1257-1265

[35] P Cholamjiak, S Suantai (2013), "Iterative methods for solving rium problems, variational inequalities and fixed points of nonexpansivesemigroups", J Glob Optim., 57, pp 1277-1297.

equilib-[36] Dr Christian, O Ewald (2007), Games, Fixed Points and MathematicalEconomics, Lecture Notes for a course in Game Theory

[37] C S Chuang, L J Lin, W Takahashi (2013), "Halpern’s type tions with perturbations in Hilbert spaces: equilibrium solutions and fixedpoints", J Glob Optim., 56, pp 1591-1601

itera-[38] V Colao, G Marino, H K Xu (2008), "An iterative method for findingcommon solutions of equilibrium and fixed point problems", J Math Anal.Appl., 344, pp 340-352

[39] K Deimling (1974), "Zeros of accretive operators", Manuscripta Math.,

pseu-[45] J G O’Hara, P Pillay, H K Xu (2006), "Iterative approaches to convexfeasibility problems in Banach spaces", Nonlinear Anal., 64, pp 2022-2042.[46] H He, R Chen (2007), "Strong convergence theorems of the CQmethod for nonexpansive semigroups", Fixed Point Theorey and Appli-cations, vol 2007, Article ID 59735, 8 pages.

[47] H He, R Chen (2007), "Strong convergence theorems of the CQ methodfor nonexpansive semigroups", Fixed Point Theorey and Applications, vol

[50] A Kaewcharoen, W.A Kirk (2006), "Proximinality in geodesic spaces",Abstr Appl Anal Article ID 43591, 10 pages

[51] S Kamimura, W Takahashi (2000), "Weak and strong convergence of lutions to accretive operator inclusions and applications", Set-Valued Anal.,

iter-[55] M A Krasnoselskij (1955), "Two remarks on the method of successiveapproximations", Uspekhi Mat Nauk., 10, pp 123-127.

[56] P Kumam (2009), "A new hybrid iterative method for solution of rium problems and fixed point problems for an inverse strongly monotoneoperator and a nonexpansive mapping", J Appl Math Comput., 29, pp.263-280

equilib-[57] T Laokul, B Panyanak (2009), "Approximating fixed points of pansive mappings in CAT(0) spaces", Int Journal Math Analysis, 3, pp.1305-1315

nonex-[58] H Y Li, H Z Li (2009), "Strong convergence of an iterative method forequilibrium problems and variational inequality problems", Fixed PointTheory and Applications, vol 2009, article ID 362191, 21 pages

[59] W R Mann (1953), "Mean value methods in iterations",Proc Amer.Math Soc., 4, pp 506-510

[60] G Marino, H K Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems forstrict pseudo-contractions in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 329,

[64] W Nilsrakoo, S Saejung (2008), "Weak and strong convergence theoremsfor countable Lipschitzian mappings and its applications", Nonlinear Anal.,

69, pp 2695-2708

[65] W Nilsrakoo, S Saejung (2011), "Strong convergence theorems byHalpern-Mann iterations for relatively nonexpansive mappings in Banachspaces Appl Math Comp., 217, pp 6577-6586

[66] M O Osilike (2004), "Implicit iteration process for common fixed points

of a finite family of strictly pseudocontractive maps", J Math Anal Appl.,

general-[69] S Plubtieng, R Punpaeng (2008), "A new iterative method for rium problems and fixed point problems of nonexpansive mappings andmonotone mappings", Appl Math Comp., 197, pp 548-558

equilib-[70] S Plubtieng, R Punpaeng (2007), "A general iterative method for librium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J Math.Anal Appl., 336, pp 455-469

equi-[71] S Plubtieng, T Thammathiwat (2010), "A viscosity approximationmethod for equilibrium problems, fixed point problems of nonexpansivemappings and a general system of variational inequalities", J Glob Op-tim., 46, pp 447-464

[72] O Popescu (2007), "Picard iteration converges faster than Mann iterationfor a class of quasi-contractive operators", Mathematical Communications,

12, pp 195-202

[73] X Qin, Y J Cho (2010), "Implicit iterative algorithms for treatingstrongly continuous semigroups of Lipschitz pseudocontractions", Appl.Math Lett., 23, pp 1252-1255

[74] X Qin, S M Kang, Y J Cho (2010), "Approximating zeros of monotoneoperators by proximal point algorithms" J Glob Optim., 46, pp 75-87.[75] Y Qing, B E Rhoades (2008), "Comments on the rate of convergencebetween Mann and Ishikawa iterations applied to Zamfirescu operators",Fixed Point Theory and Applications, vol 2008, Article ID 387504, 3 pages.[76] S Saeidi (2008), "Approximating common fixed points of Lipschitziansemigroup in smooth Banach spaces", Fixed Point Theory and Applica-tions, vol 2008, article ID 363257, 17 pages

[77] S Saejung (2008), "Strong convergence theorem for nonexpansive groups without Bochner integrals", Fixed Point Theorey and Applications,vol 2008, Article ID 745010, 7 pages

semi-[78] M I Sezan, H Stark (1987), "Application of convex projection theory

to image recovery in tomography and related areas", in Image Recovery:Theory and Applications, H Stark, Ed., pp 415-462, Academic Press, Or-lando, Fla, USA

[79] N Shahzad, J Markin (2008), "Invariant approximations for commutingmappings in CAT(0) and hyperconvex spaces", J Math Anal Appl., 337,

pp 1457-1464