Ứng dụng giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêng

Với mong muốn tìm hiểu kĩ mối liên hệ giữa các quá trình ngẫu nhiên Itô và các phương trình đạo hàm riêng, tôi chọn đề tài nghiên cứu "Ứng dụng giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu một số phư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

—————————————-DƯƠNG THUỲ LINH

ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

—————————————-DƯƠNG THUỲ LINH

ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGÔ HOÀNG LONG

Hà Nội - 2016

Luận văn được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến các thầy

cô, bạn đồng khóa và gia đình thân thương của tôi

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Ngô Hoàng Long, người

thầy đã định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoànthành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, KhoaToán cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp

đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - những người đã sinh thành,nuôi dưỡng và tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K18 - đợt

2 (2014-2016) nói chung và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đỡ,động viên tôi hoàn thành luận văn này

Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốcgia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 101.03-2014.14

Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Học viên

Dương Thùy Linh

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự

hướng dẫn của TS Ngô Hoàng Long.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngthành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng vàbiết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõnguồn gốc

Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Học viên

Dương Thùy Linh

Mục lục

1.1 Đại cương về quá trình ngẫu nhiên 8

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 8

1.1.2 Martingale 10

1.2 Chuyển động Brown 13

1.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô 15

1.3.1 Quá trình khả báo 15

1.3.2 Tích phân ngẫu nhiên theo martingale địa phương 16

1.4 Công thức vi phân Itô 20

2 Phương trình Parabolic 26 2.1 Phương trình truyền nhiệt 26

2.2 Phương trình không thuần nhất 31

2.3 Công thức Feynman-Kac 39

2.4 Giải số phương trình Parabolic bằng phương pháp Monte Carlo 45

3 Phương trình Elliptic 50

3.1 Bài toán Dirichlet 513.2 Phương trình Poisson 613.3 Phương trình Schr¨odinger 66

1 Lý do chọn đề tài

Kể từ khi lý thuyết xác suất thống kê hiện đại ra đời vào những năm 1930người ta đã nhận thấy có một mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết xác suất và giảitích thông thường Đặc biệt, nghiệm của nhiều phương trình đạo hàm riêng dạngElliptic và Parabolic có thể biểu diễn dưới dạng kì vọng của một phiếm hàm ngẫunhiên Mối liên hệ này cho ta một cách tiếp cận mới để nghiên cứu tính chất củanghiệm phương trình đạo hàm riêng Hơn nữa, ta có thể sử dụng các biểu diễnnày để giải số nghiệm phương trình đạo hàm riêng

Với mong muốn tìm hiểu kĩ mối liên hệ giữa các quá trình ngẫu nhiên Itô và

các phương trình đạo hàm riêng, tôi chọn đề tài nghiên cứu "Ứng dụng giải tích

ngẫu nhiên nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêng" cho luận văn thạc

• Nghiên cứu tính chất của nghiệm phương trình đạo hàm riêng.

• Xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thông qua biểu diễn kỳvọng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tổng kết một số kiến thức cơ bản của Lý thuyết Xác suất và Giải tích ngẫunhiên liên quan đến đề tài

• Tìm hiểu phương pháp xây dựng công thức biểu diễn nghiệm cho các phươngtrình dạng Parabolic bao gồm: phương trình truyền nhiệt, phương trìnhkhông thuần nhất Phát biểu và chứng minh công thức Feynman - Kac

• Tìm hiểu phương pháp xây dựng công thức biểu diễn nghiệm cho các phươngtrình dạng Elliptic bao gồm: Bài toán Dirichlet, phương trình Poisson, phươngtrình Schr¨odinger

• Ứng dụng phương pháp Monte Carlo để ước lượng giá trị của nghiệm tạimột vài thời điểm cố định

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Giải tích ngẫu nhiên

• Phương trình Parabolic

• Phương trình Elliptic

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu lý thuyết

• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính

6 Dự kiến đóng góp mới

Luận văn làm rõ phương pháp biểu diễn nghiệm của phương trình đạo hàmriêng thông qua kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên và sử dụng biểu diễn này đểxấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

Kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.1 Họ {Xt}t∈I nhận giá trị trên Rdđược gọi là một quá trình ngẫunhiên với tập chỉ số I và không gian trạng thái Rd Tập chỉ số I có thể là nửa đườngthẳng thực R+= [0, ∞)hoặc đoạn [a, b] hoặc tập hợp các số nguyên không âm.Khi I là (tập con của) tập các số nguyên dương thì {Xt}t∈Iđược gọi là quá trìnhngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi I là tập (con của) R+thì {Xt}t∈Iđược gọi

là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

Với mỗi thời điểm cố định t ∈ I, ánh xạ

Xt: Ω −→ Rd, ω 7−→ Xt(ω)

là một biến ngẫu nhiên và với mỗi ω ∈ Ω ta có hàm

X(ω) : I −→ Rd, t 7−→ Xt(ω) = X(t, ω)được gọi là một quỹ đạo của quá trình X ứng với ω

Định nghĩa 1.1.2. • Họ {Ft}t≥0các σ-đại số con của F gọi là một lọc nếu Ft⊂

Định nghĩa 1.1.3. • Quá trình {Xt}t≥0được gọi là liên tục (liên tục phải, liêntục trái) nếu với hầu hết ω ∈ Ω, hàm t 7−→ Xt(ω)là liên tục (liên tục phải,liên tục trái) trên đoạn [0, ∞)

• Cadlag (tức liên tục phải và có giới hạn trái) nếu nó là một hàm liên tục phải

và với hầu hết ω ∈ Ω thì giới hạn trái lims→tXs(ω)tồn tại và hữu hạn với mọi

Định nghĩa 1.1.4 Biến ngẫu nhiên T : Ω → [0, ∞) được gọi là thời điểm dừng

nếu với mọi t, biến cố {T ≤ t} ∈ Ft T được gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu

T < ∞ T được gọi là thời điểm dừng bị chặn nếu tồn tại K ∈ [0, ∞) sao cho

T ≤ Khầu chắc chắn

Với mỗi quá trình ngẫu nhiên {Xt}t≥0và thời điểm dừng T , ta kí hiệu XT(ω) =

1 Nếu A là tập mở thì TAlà thời điểm dừng.

2 Nếu A là tập đóng thì TAcũng là thời điểm dừng.

Với mỗi thời điểm dừng T ta đặt:

FT = {A ∈ F : A ∩ {T ≤ t} ∈ Ft với mọi t > 0}

FT là σ-đại số gồm các sự kiện xảy ra cho đến thời điểm T

1.1.2 Martingale

Định nghĩa 1.1.5 Quá trình ngẫu nhiên (Mt)t≥0được gọi là một martingale thời

gian liên tục ứng với lọc (Ft)và độ đo xác suất P nếu:

1 E[|Mt|] < ∞ với mọi t;

2 Mtlà Ft-đo được với mọi t;

3 E[Mt|Fs] = Mshcc với mọi t > s

Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi E[Mt|Fs] ≥ Mshầu chắc chắn với mọi t > sthì (Mt)được gọi là martingale dưới (Mt)được gọi là martingale trên nếu (−Mt)

là martingale dưới

Định lý 1.1.1 Giả sử (Mt)là martingale hoặc là martingale dưới không âm có quĩ đạo liên tục phải và có giới hạn trái Khi đó:

Định lý 1.1.3 Giả sử (Mt, Ft)t≥0 là một martingale dưới liên tục phải thỏa mãn

supt≥0E[Xt+] < ∞ Khi đó X∞(w) = limt→∞Xt(w)tồn tại với hầu chắc chắn mọi

w ∈ Ωvà E[|X∞|] < ∞.

Định nghĩa 1.1.6 Quá trình ngẫu nhiên (Mt)t≥0 được gọi là một martingale địa

phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng (τn)n≥0tăng tới ∞ hầu chắc chắnsao cho với mọi n ≥ 0, quá trình ngẫu nhiên Mn

t = Mt∧τnlà một martingale.Martingale địa phương (Mt)t≥0 được gọi là martingale bình phương khả tích

địa phương nếu E(|Mn

t |2) < ∞với mọi n ≥ 1, mọi t ≥ 0

Kí hiệu tập tất cả các martingale địa phương liên tục bởi Mc

locvà tập tất cả cácmartingale bình phương khả tích địa phương liên tục bởi M2,cloc

Định lý 1.1.4 Cho X là martingale địa phương liên tục Nếu S < T là thời điểm

dừng và XT ∧tlà martingale khả tích đều thì E(XT

FS) = XS

Định lý 1.1.5 Nếu X là martingale địa phương liên tục, ta luôn có một dãy mà

rút gọn được về X là Tn = inf{t : |Xt| > n} hoặc một dãy khác bất kỳ Tn0 ≤ Tncó

Tn0 ↑ ∞ khi n ↑ ∞.

Định lý 1.1.6 Nếu Xtlà martingale trên địa phương và

E

sup

0≤s≤t

|Xs|< ∞với mọi t > 0 thì Xtlà martingale trên.

Hệ quả 1.1.2 Martingale địa phương bị chặn là martingale.

Định nghĩa 1.1.7 Qtnn (At)t≥0được gọi là

• tăng nếu A0 = 0và ánh xạ t 7→ Atlà liên tục phải và tăng hcc

• khả tích nếu E(|At|) < ∞ với mọi t ≥ 0

• tự nhiên nếu với mọi martingale bị chặn (mt)t≥0, ta có

E

Z t 0

msdAs= E

Z t 0

ms−dAs, ∀t ≥ 0, (1.1)

trong đó tích phân trong dấu kì vọng được hiểu theo nghĩa Lebesgue-Stieltjes

và ms−= limt↑smt

Đẳng thức (1.1) có nghĩa là quá trình tăng Atlà tự nhiên nếu nó gần như không

có cùng thời điểm nhảy với bất cứ một martingale bị chặn nào Mệnh đề sau đưa

ra một đặc trưng khác của quá trình tăng tự nhiên

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử (At)t≥0 là quá trình tăng và khả tích Khi đó (At)t≥0 là tự nhiên nếu với mọi martingale bị chặn (mt)t≥0đẳng thức

E(mtAt) = E

Z t 0

ms−dAs

được nghiệm đúng với mọi t ≥ 0.

Định nghĩa 1.1.8 Kí hiệu ST là tập các thời điểm dừng bị chặn bởi T ≥ 0 tingale dưới (Xt)t≥0được gọi là thuộc lớp (DL) nếu họ các bnn {Xσ : σ ∈ ST} làkhả tích đều với mọi T ≥ 0

Mar-Định lý 1.1.7 (Khai triển Doob-Meyer) Giả sử (Xt)t≥0 là martingale dưới thuộc lớp (DL) Khi đó (Xt)có biểu diễn duy nhất dưới dạng

Xt= Mt+ At,

trong đó (At)t≥0là quá trình tăng, khả tích và tự nhiên và (Mt)t≥0là martingale.

Định nghĩa 1.1.9 Martingale (Mt)t≥0 được gọi là martingale bình phương khả

tích, kí hiệu là M ∈ M2, nếu

E(Mt2) < ∞, ∀t ≥ 0

Nếu M liên tục, ta kí hiệu M ∈ M2,c

Bổ đề 1.1.1 Nếu (Mt)t≥0là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên tục phải Khi đó (M2

t)t≥0là martingale dưới, liên tục phải và thuộc lớp (DL).

Áp dụng khai triển Doob-Meyer cho martingale (Mt)t≥0ở Bổ đề 1.1.1, tồn tạiduy nhất một quá trình tăng, tự nhiên Atsao cho M2

(a) Nếu t0 < t1 < < tnthì B(t0), B(t1) − B(t0), , B(tn) − B(tn−1)là độc lập.(b) Nếu s, t ≥ 0 thì

Từ chuyển động Brown là bất biến tịnh tiến, tức là: Nếu s ≥ 0 thì Bt+s− Bs, t ≥

0là chuyển động Brown độc lập với mọi điều xảy ra trước thời điểm s Tổng quáthơn, chuyển động Brown có tích chất Markov mạnh được phát biểu như sau:

Định lý 1.2.2 Với mọi thời điểm dừng T , với điều kiện T < ∞, quá trình ngẫu

nhiên Xs = BT +s − BT là một chuyển động Brown tiêu chuẩn độc lập với quá trình ngẫu nhiên (Bt)0≤t≤T.

Áp dụng tính chất Markov, ta thu được các kết quả sau

1 Cho 0 < s < t Nếu f : Rd → R là bị chặn và đo được thì

Giả sử Btlà chuyển động Brown xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P).Gọi (FB

t )là σ-đại số tự nhiên sinh bởi B và

t 7→ Xt(w)là liên tục trái Đặt

P = σX−1(B) : B ∈ B(R), X ∈ L

,trong đó

Ví dụ 1.3.1 Cho 0 = t0 < t1 < < tn Xác định qtnn đơn giản

Bổ đề sau cho ta một mô tả hữu dụng về σ-đại số khả báo P

Bổ đề 1.3.1 σ-đại số P được sinh bởi tất cả các tập có dạng Γ = (u, v] × B với

B ∈ Fuvà Γ = {0} × B với B ∈ F0.

Chứng minh Kí hiệu G là họ tất cả các tập có dạng Γ = (u, v] × B với B ∈ Fu

và Γ = {0} × B với B ∈ F0 Với mọi Γ ∈ G, dễ thấy IΓ ∈ L, do đó G ⊂ P, tức làσ(G) ⊂ P

t → Xt(w)khi n → ∞ với mọi t ≥ 0 và w ∈ Ω Do

đó X là σ(G)-đo được, tức là P ⊂ σ(G) Kết hợp với trên suy ra P = σ(G)

1.3.2 Tích phân ngẫu nhiên theo martingale địa phương

Kí hiệu L0tập tất cả các qtnn đơn giản ftcó dạng

Giả sử ta cố định một qtnn M ∈ M2,c Với f ∈ L0, ta xác định tích phân Itônhư sau

Để xây dựng được tích phân ngẫu nhiên cho hàm dưới dấu tích phân f tổngquát hơn, với mỗi M ∈ M2,c, ta xác định độ đo νM trên (R+× Ω, P) bởi

tuyến tính Tức là, với mọi f, g ∈ L0và α, β ∈ R, ta có

I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g), hcc,

Do đó I có thác triển duy nhất thành một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ L2(νM)lên

L2(Ω, F , P) Ta vẫn kí hiệu thác triển đó bởi

I(f ) =

Z

fsdMs.Bây giờ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên là một quá trình ngẫu nhiên xácđịnh bởi

It(f ) ≡

Z t 0

fs2dhM is

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh định lí cho t ≤ T với T > 0 cố định Giả sử

(Fn)n≥1là dãy quá trình đơn giản khả báo thỏa mãn

|fsn| ≤ |fs|,

E

Z T 0

(fsn− fs)2dhM is< 2−n.Theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên, ta có với mọi t ∈ [0, T ],

(fsn)2dhM is

là martingale Sử dụng định lí hội tụ bị chặn, ta có It(f )và

It(F )2−

Z t 0

(fs)2dhM is

là các martingale Vậy (It(f ))t≥0 ∈ M2với quá trình Meyer

hI(f )it=

Z t 0

fs2dhM is.Bây giờ ta chỉ còn phải chứng tỏ It(f )có quĩ đạo liên tục Áp dụng bất đẳng thứcDoob cho martingale It(fn0 − It(f ), ta được

Lại có It(fn)liên tục nên It(f )cũng liên tục hcc

Tiếp theo ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho M ∈ M2,cloc

Định nghĩa 1.3.2 Với mỗi M ∈ M2,cloc, đặt L2

loc(M )là tập tất cả các qtnn khả báo fthỏa mãn tồn tại một dãy thời điểm dừng (σn)tăng tới ∞ hcc và

It(f ) =

Z t 0

fsdMs

Định nghĩa 1.4.1 Qtnn d-chiều (Xt)t≥0được gọi là semi-martingale liên tục nếu

Xt = X0+ Mt+ At,trong đó M1, , Md là các martingale địa phương liên tục và A1, , Ad là cácquá trình liên tục có biến phân hữu hạn

Trước khi phát biểu công thức vi phân Itô ta cần đưa ra một số kí hiệu sau Gọi

C2(Rd)là họ các hàm khả vi đến cấp hai từ Rdvào R Với mỗi ánh xạ F ∈ C2(Rd),

ta kí hiệu đạo hàm riêng của F với biến thứ i là ∂iF Tương tự ta kí hiệu ∂ 2 F

∂x i ∂x j bởi

∂2

ijF

Định lý 1.4.1 (Công thức vi phân Itô) Giả sử X là semi-martingale liên tục

inf{t : |Mt| > n hoặc V ar(At) > nhoặc hM it> n} nếu |X0| ≤ n,

với V ar(A)tlà biến phân toàn phần của A trên đọan [0, t] Rõ ràng τn ↑ ∞ hcc Ta

chỉ cần chứng minh đẳng thức (1.4) với t được thay bởi t ∧ τn, sau đó cho n → ∞

Vì vậy, ta có thể giả sử rằng |X0|, |Mt|, V ar(A)tvà hM itlà các quá trình bị chặn bởi

một hằng số K và F ∈ C2

0(R) Ở đây C2

0(Rd)là tập các hàm khả vi đến cấp hai và

có giá compact trong Rd

Đặt ti = it/nvới i = 0, 1, Khi đó áp dụng công thức khai triển Taylor,

F0(Xs)dMs+

Z t 0

F0(Xs)dAs.(1.5)

Z t 0

F00(Xs)dhM is, hcc (1.7)

F00(Xs)dhM is.Lại kết hợp với (1.5) ta được điều phải chứng minh.

Định lý 1.4.2 Cho G là tập mở bị chặn và τ = inf{t : Bt ∈ G} Nếu f ∈ C2 và

∆f = 0trong G và f là liên tục trên G, thì với x ∈ G ta có f (x) = Exf (Bτ)

Biến phân bậc hai

Áp dụng công thức vi phân Itô ta sẽ chứng tỏ rằng đối với martingale bìnhphương khả tích, quá trình Meyer sẽ đồng nhất với quá trình biến phân bậc hai

Định lý 1.4.3 Giả sử M ∈ M2,cloc Giả sử (tn

i)0≤i≤n là dãy thỏa mãn 0 = tn

0 < tn

1 < < tnn= tvà

t n j−1

j − Mtn

j−1) + hM it

→ hM it,

vì theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên,Pn

j=1Mtn j−1(Mtn

j − Mtn

j−1) → R0tMsdMs

Định lý 1.4.4 Mọi martingale địa phương liên tục khả báo và có biến phân bị

chặn đều là quá trình hằng.

Thời gian cư trú

Định lý 1.4.5 Giả sử D = B(0, r) là hình cầu mở tâm 0 bán kính r trong không

gian d chiều Khi đó

= |x − y|2−d2πd/2

Để hoàn thiện chứng minh (2.2), ta giả sử lấy f = 1Dvới D = B(0, r) và đổi tọa độcực

Ứng dụng giải tích ngẫu nhiên

nghiên cứu phương trình Parabolic

Trong phần này ta sẽ quan tâm đến phương trình:

u ∈ C1,2và ut= 1

ulà hàm liên tục tại mọi điểm trên miền {0} × Rdvà u(0, x) = f (x) (2.2)Phương trình trên được gọi là phương trình truyền nhiệt từ thực tế rằng nếuđơn vị đo lường được chọn phù hợp thì nghiệm u(t, x) chính là nhiệt độ tại điểm

x ∈ Rd, ở thời điểm t khi nhiệt độ ở thời điểm 0 được cho bằng f (x) Ta sẽ trình bàyphương pháp xây dựng nghiệm của phương trình (2.1)-(2.2) gồm 6 bước Bướcđầu tiên là ta đi tìm một martingale địa phương

Định lý 2.1.1 Nếu u thỏa mãn (2.1) thì Ms = u(t − s, Bs)là một martingale địa phương trên [0, t).

Chứng minh Từ công thức vi phân Itô, u(x0, , xd)với X0

s = t − svà Xi

s = Bi

s, 1 ≤

u(t − r, Br) dXri+1

2X

1≤i≤j

Z s 0

u(t − r, Br) d(Xi, Xj)r

Vì dX0

r = −drvà dXi

r = dBri nênu(t − s, Bs) − u(t, B0) = −

Z s 0

(t − r)Brdr +

Z s 0

5u(t − r, Br)dBr+1

2

Z s 0

0 nếu trái lại

Do u thỏa mãn (2.1) nên −ut+ 12∆u = 0 Do đó ta có vế phải của phương trìnhtrên là một martingale địa phương Vì vậy Ms = u(t − s, Bs)là một martingale địaphương

Bước tiếp theo ta sẽ chứng minh định lý về tính duy nhất

Định lý 2.1.2 Nếu phương trình (2.1)-(2.2) có nghiệm bị chặn thì nghiệm đó phải

Định lý 2.1.3 Giả sử f bị chặn, nếu v ∈ C1,2thì nó thỏa mãn (2.1)

Chứng minh Theo tính chất Markov, ta có:

(−vt+1

2∆v)(t − r, Br) dr + martingale địa phương

Vế trái là một martingale nên tích phân ở vế phải cũng là một martingale Tuynhiên, tích phân là liên tục và có biến phân bị chặn nên nó phải bằng 0 Vì vtvà

∆ulà liên tục nên −vt+12∆u = 0 Bởi nếu nó khác 0 tại một điểm (t, x) nào đó thì

nó sẽ khác 0 tại lân cận mở của điểm đó, do đó, có thể chắc chắn rằng tích phânkhông bằng 0, mâu thuẫn Vậy định lý được chứng minh

Dễ dàng đưa ra điều kiện bao hàm để u thỏa mãn (2.2) Để trình bày đơn giản,đầu tiên ta xét trường hợp khi f bị chặn

Định lý 2.1.4 Nếu f bị chặn và liên tục thì v thỏa mãn (2.2)

Chứng minh Ta phải chứng minh



pt(x, y)

Nếu f là bị chặn thì thấy rằng với α = i, ij hoặc t, ta có

Z

|Dαpt(x, y)f (y)| dy < ∞

và là liên tục trong Rd, vì thế định lý được chứng minh nhờ một số kết quả sau

Bổ đề 2.1.1 Lấy (S, S, m) là σ - không gian có độ đo hữu hạn và g : S 7→ R là đo

được Giả sử rằng với mỗi x ∈ G là khoảng mở của Rdvà một vài điểm h0 > 0ta có:

Do đó ∂u/∂xitồn tại tại x∗và bằng ui(x∗).

Chứng minh Từ định nghĩa của u trong (a) và do (b) và định lý Fubini đã thỏa

Chia bởi h và cho h → 0 ta thu được điều phải chứng minh từ (c)

Sau đây, ta cần chỉ ra kết quả với các tổng đạo hàm Lấy S = Z vớiS = tất cả cáckhoảng của S và µ là đếm được trong bổ đề (2.1.1), đặt g ≡ 1 và fn(x) = K(x, n).Chú ý rằng trong (a) và (c) của bổ đề (2.1.1) ta ngầm hiểu rằng tích phân tồn tại,

vì vậy, ở đây trong (a) và (c) ta giả định rằng tổng hội tụ tuyệt đối

Bổ đề 2.1.2 Giả sử rằng với mỗi x ∈ G là khoảng mở của Rd và một vài điểm

dθ < ∞

Do đó ∂u/∂xitồn tại tại x∗và bằng ui(x∗).

f không bị chặn Giả định rằng f xác định là rất hạn chế Thầy rằng với f không

xác định, ít nhất, ta cần Ex|f (Bt)| < ∞với mọi t Từ đó

Ex|f (Bt)| =

(2πt)d/2e−|x−y|2/2t|f (y)| dy

điều kiện bảo đảm rằng f bị chặn địa phương là

(*)

|x|−2log+|f (x)| → 0, x → ∞

Thay thế định lý hội tụ bị chặn vào (2.1.4) và (2.1.5) không khó khăn để chỉ rarằng:

Định lý 2.1.6 Nếu f là liên tục và thỏa mãn (*) thì v thỏa mãn (2.1)-(2.2).

Trong phần này, ta sẽ xét phương trình ở phần trên khi ta thêm hàm g(t, x)

u ∈ C1,2và ut = 1

ulà liên tục với mọi điểm trong {0} × Rdvà u(0, x) = f (x) (2.4)

Ta thấy rằng theo phần trước thì (2.4) chỉ có thể xảy ra khi f liên tục Ở đây,

g(t − r, Br)dr

là một martingale địa phương trên [0, t).

Chứng minh Áp dụng công thức tích phân Itô, ta có:

u(t − s, Bs) − u(t, B0) =

Z s 0

(−ut+ 1

2∆u)(t − r, Br) +

Z s 0

5u(t − r, Br)dBr

Thay vào ta có −ut + 12∆u = −g và hai biểu thức ở vế phải là martingale địaphương

Bước tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất

Định lý 2.2.2 Giả sử g bị chặn, nếu tồn tại một nghiệm của phương trình

(2.3)-(2.4) thỏa mãn điều kiện bị chặn trên [0, T ] × Rd với mọi T < ∞ thì nghiệm đó phải là

v(t, x) ≡ Ex

Z t 0

g(t − s, Bs)ds



Chứng minh Dưới các giả thiết của g và u, Ms, 0 ≤ s < t, đã xác định trong (2.2.1)

là martingale địa phương và u(0, x) ≡ 0 vì vậy

Mt≡ lim

s↑t Ms =

Z t 0

g(t − s, Bs)ds

g(t − r, Br)dr

Fs



=

Z s 0

g(t − r, Br)dr + EB s

Z t−s 0

g(t − s − u, Bu)du



=

Z s 0

g(t − r, Br)dr

=

Z s 0

(−vt+1

2∆v + g)(t − r, Br)dr+martingale địa phương

Vế trái là một martingale địa phương vì vậy tích phân vế phải cũng là gale địa phương Do tích phân là liên tục và có biến phân bị chặn địa phương Ápdụng kiến thức chuẩn bị, ta có tích phân phải đồng nhất bằng 0

martin-Bước tiếp theo ta sẽ tìm điều kiện để v thỏa mãn (2.4) Ta sẽ bắt đầu bằng việcgiả sử tất cả các hàm đều bị chặn

Định lý 2.2.4 Nếu g bị chặn thì v thỏa mãn (2.4).

Chứng minh Nếu |g| ≤ M thì t → 0

|v(t, x)| ≤ Ex

Z t 0

|g(t − s, Bs)| ds ≤ M t → 0

Cuối cùng để chỉ ra v là nghiệm thì ta phải chứng tỏ v ∈ C1,2 Chú ý rằng giảthiết g liên tục không đủ để đảm bảo v ∈ C1,2 Ta phải giả thiết thêm là g liên tụcH¨older địa phương theo biến t tức là |g(t, x) − g(t, y)| ≤ C|x − y|αvới t ≤ N Bước đầu tiên để chỉ ra v ∈ C1,2là giả sử g bị chặn và sử dụng định lý Fubini ta có

v(t, x) =

Z t 0

Định lý 2.2.6 Cho hằng số C sao cho nếu |g| ≤ M là đo được thì đạo hàm riêng

Div = ∂v/∂xicó |Div| ≤ CM t1/2là liên tục và được cho bởi