Chứng minh công thức tổ hợp bằng tích phân

SUY NGHĨ CÁCH CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC kn C BẰNG TÍCH PHÂN Bài viết này phù hợp HS trung bình - khá.. HS giỏi thì không cần thiết Chứng minh một đẳng thức về số k n C có nhiều cách tấ

Trang 1

SUY NGHĨ CÁCH CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC k

n

C BẰNG TÍCH PHÂN

Bài viết này phù hợp HS trung bình - khá HS giỏi thì không cần thiết Chứng minh một đẳng thức về số k

n

C có nhiều cách (tất nhiên là phụ thuộc vào dạng biểu thức đó): Sử dụng các công thức Pascal; sử dụng định nghĩa của số k

n

C ; sử dụng đạo hàm; sử dụng tích phân

Bài viết này xin nói lên vài nhận xét để chứng minh một đẳng thức k

n

C bằng tích phân

* Phương pháp dùng tích phân để chứng minh đẳng thức k

n

C có thể gồm các bước:

+ Bước 1: Đánh giá rằng bài toán có thể giải được bằng phương pháp tích phân + Bước 2: Dựa vào đặc thù của đẳng thức để tìm và xét 1 (hoặc các) nhị thức phù hợp + Bước 3: Khai triển nhị thức nêu trên

+ Bước 4: Lấy tích phân 2 vế với cận hợp lý

Hầu hết các bạn HS giỏi đều làm tốt các bước này, chỉ có một ít các bạn HS TB - Khá còn gặp khó khăn Theo tôi, bài toán dạng này giải ra hay không là khâu các bạn có cách giải quyết

tốt bước thứ 2 hay không

Sau đây xin trình bày vài kinh nghiệm nhận xét để tìm ra biểu thức nhị thức phù hợp

Trước hết xin ghi lại vài công thức lý thuyết cơ bản:

1

0

1

,

k







Ví dụ 1: Chứng minh:

1

n n





  ( n ,n0) (4)

NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là: 1 0

1C n k (k ,k )

k   Số đi chung với k

n

C là phân số

=> có thể sử sụng được phương pháp tích phân (vì phù hợp với: 1 1

1

k



 



NX2: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là: 1

1

k n C

k  có mẫu của phân số

1 1

k  là (k + 1) lớn hơn

chỉ số chập là k, đúng 1 đơn vị => có khả năng ban đầu C n k đi chung với x , tức là: k x k C n k

NX3: Dấu của các số hạng luôn là cộng (+)

- Chính vì thế mà ta căn cứ vào lý thuyết CT 1/, ta sẽ khai triển nhị thức: (1 )n

x



1

( )n n n

- Lấy tích phân hai vế của (1), cận từ 0 tới 1 (ta chọn cận từ 0 tới 1 là vì đi chúng với k

n

C chỉ là 1

1

k  , không có số nào khác)

1

( ) n ( n n)

      

khongbocuoc.com

Trang 2

1 1 1

0 0

1

n

n n

n

x





1

( )

n n

n





  ( n ,n0) (5)

NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

1

0 1

( )

k k n

k





n

C là phân

số => có thể sử sụng được phương pháp tích phân (vì phù hợp với: 1 1

1

k



 



1

1 1

( )k

k n C k





 có mẫu của phân số 1

1

k  là (k + 1) lớn

hơn chỉ số chập là k, đúng 1 đơn vị ==> có khả năng ban đầu k

n

C đi chung với k

x , tức là: k

x k n

C

NX3: Dấu của các số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-)

x



( )n ( )n n n

       

> Vậy chưa khớp dấu của đề, ta sẽ nhân 2 vế cho (-1), vậy:

( x)n C n C x C x n n C x n ( )nC x n n n

- Lấy tích phân hai vế của (6), cận từ 0 tới 1 (ta chọn cận từ 0 tới 1 là vì đi chúng với k

n

C chỉ là 1

1

k  , không có số nào khác)

1

1 1 1 1 1

1 2 3 4 1

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 1

1 1 1 1

2 3 4 5

( ) ( ( ) )

( ) ( )

( )

n n

x



         

        



        

   

1

1 1

( ) ( )

n n n

n





  

 

Ví dụ 3: (Đại học Khối B - 2003)

Cho n nguyên dương, tính:

n



1

0

k

k n

k





  => có thể sử sụng được phương pháp tích phân, đồng thời số hạng tổng quát này còn gợi ý: nó là hiệu của 2 số! Ta đoán

chắc đó là giá trị cận trên trừ đi giá trị cận dưới

khongbocuoc.com

Trang 3

1

k

k n C k





 có mẫu của phân số

1

k k





 là (k + 1) lớn hơn chỉ số chập là k, đúng 1 đơn vị ==> có khả năng ban đầu k

n

C đi chung với k

x , tức là: k

x k n

C

- Chính vì thế mà ta căn cứ vào lý thuyết CT 1/, ta sẽ khai triển nhị thức: (1x)n

1

( )n n n

- Lấy tích phân 2 vế của (1), vì Số hạng tổng quát có dạng

1

k

k n C k





 , nên ta chọn cận từ 1 tới 2

1

1 1

1

n

n n

n

x



Vậy ta có:

1

n

( )

n n



   ( n ,n0) (8)

2

( )

k k n

k



n

C là phân số

=> có thể sử sụng được phương pháp tích phân

2

( )k

k n C k



2

( )k k



n

C đi chung với k 1

x 

, tức là: 1

k k n

(*)

x



( )n ( )n n n

       

Tới đây, nhận thấy số hạng vế phải chưa giống như ta đoán ở (*), vậy ta sẽ nhân hai vế cho x

( )n ( )n n n

- Trong số hạng tổng quát của đề, đi chung với k

n

C chỉ là 1

2

( )k k



 , không có số nào khác, nên lấy tích phân 2 vế của (9), cận từ 0 tới 1

( ) n ( ( )n n n )

       

1

0

( )

n

n n

n









khongbocuoc.com

Trang 4

* Xét VT:

1

0

0 1 1

1 0

1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )



  

    

  

         

    

     

( )

n n



   ( n ,n0)

Ví dụ 5:

n n



  ( n ,n0) (10)

1

( )

k

k k n

k





n

C là phân số => có thể sử sụng được phương pháp tích phân

2 1

( )

k

k k n C k





1

( )k k



n

C đi chung với k

x , tức là: k k

n

vậy thì còn lại thừa số 1

2k  ở đâu ra??? Ta suy nghĩ rằng: chắc là không phải khai triển (1 )n

x

 mà là có thể là: (1 2 )n

x

 Khá hợp lý!, nhưng mà khi đó lũy thừa của số 2 là (k+1), trong khi nó đang

đi cùng với k

n

C Vậy thì chắc rằng ta cần nhân thêm số 2 nữa thì mới đủ

Tóm lại , chúng ta khai triển: 2 1 2( )n

x



- Lấy tích phân 2 vế của (11), cận từ 0 tới 1

1 1

( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ( ) )

n





1 1

0 1

( )

n

x





n n



  ( n ,n0)

* Cách khác: Có thể khai triển: (1x)n, lấy tích phân hai vế với cận từ 0 tới 2

khongbocuoc.com

Trang 5

1

n n





  ( n ,n0) (12)

3 3C n k (k ,k )

k   Số đi chung với k

n

k n C

k  ta đoán trước khi lấy nguyên hàm thì số này

có dạng: 3 2

k k n

Mà đi chung với k

n

C thì lũy thừa của biến phải là k Vậy cần phải viết là:

( )



- Chính vì thế mà ta sẽ khai triển nhị thức: 2 3

1 ( )n

1

- Trong số hạng tổng quát của đề, đi chung với k

n

C chỉ là 1

3k 3, không có số nào khác, nên lấy tích phân hai vế của (13), cận từ 0 tới 1

1

0

1

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))

* ( )

n n

n



* Xét VT:

2

1 3

0 1 1 1 1 2 1

1

3 3 1 3 1

1 2 ( )

   

   

    

 

    

Vậy :

1

n n





  ( n ,n0)

Ví dụ 7:



1

0

( )

k k n

k



   Số đi chung với k

n

1

1 ( )

k k n C k



có mẫu của phân số

1

1 ( )k k



 là (k ), nó bằng chỉ số chập là k => điều này không thể có trong (1x)n, vì trong khai triển (1x)n sau khi

lấy nguyên hàm thì mẫu của phân số phải lớn hơn chỉ số chập 1 đơn vị Điều này gợi ý ta là khai

khongbocuoc.com

Trang 6

triển (1 )n

x

 rồi chia lại cho x thì sau khi lấy nguyên hàm ta sẽ có mẫu của phân số

1

1 ( )k k



 là (k), nó bằng chỉ số chập là k Tóm lại, chúng ta khai triển: 1(1 )n

x

x 



- Theo số hạng tổng quát

1

1 ( )

k k n C k



thì ta cần lấy tích phân hai vế từ 0 tới 1

- Nhưng nếu lấy ngay lúc này thì bị vướng 1

x tại 0 Do đó ta biến đổi tiếp một chút:

1

n

x



1

n n n n

C x



- Lấy tích phân hai vế của (15), cận từ 0 tới 1

1

n

C n

1

( )

n n

n

CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ:

1/ Tính:

1

( )

n n





   ( n ,n1) 2/ Chứng minh:

1

n

n n



  ( n ,n0) 3/ Chứng minh:

2 1

n n



 ( n ,n1) (Khối A - 07)

HD: Vì VT không có chỉ số chập chẵn, nên ta khai triển đan dấu và cộng lại

2

1 1

( )

n n

x Cộng vế theo vế

 

 

( )

n n



khongbocuoc.com

Trang 7

==================

Hướng dẫn:

Bài 1: Tính B=

1

( )

n n





1

0

1 1

( )

n n n

x





1 0

.x

1

1 1

1 1 1 2 1

1 1

1 1 1 2 1

0 2 1

( ) ( )

n n n

n





 

      

   



      

   

  





  

 



Bài 2: Chứng minh:

2

n



1 1

1

2

:

( ) ( ) ( ) ( )

n

HD

n







n n

n



Bài 8: Tính A=

n

n  n n   HD:

1 1

khongbocuoc.com

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	203,19 KB