vào 2 vế trước khi đạo hàm để tạo hệ thức mới... n khongbocuoc.com Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác.
Trang 1http://sites.google.com/site/toantintrangchu/
NHỊ THỨC NEWTON VỚI ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN PHẦN 1: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
1/ Các khai triển cơ bản:
0
n
k
0 1
n
k
a b a b C a C a b C a b C b C a b
1
f x x C C x C x C x
2/ Tính chất của công thức Nhị thức Newton:
a/ Số số hạng là n + 1 (số) Các hệ số của khai triển (a + b)n là dãy n + 1 số: 0, 1, 2, , 1, n
n n
C C C C C
b/ Tổng số mũ của a và b là: (n - k) + k = n, (ta quy ước số mũ của a giảm dần và của b tăng dần)
c/ Các cặp hệ số cách đều biên thì bằng nhau: k n k
C C
d/ Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: 1 k n k k
T C a b
- Đặc biệt:
2
0
1
( )
n n
n
n
a b C C C C
a b C C C C
e/ Công thức nhị thức Newton:
0
n
n k
là công thức khai triển nhị thức (a + b)n
theo lũy thừa giảm của a và tăng của b Nếu muốn viết khai triển nhị thức (a + b)n theo lũy thừa
tăng của a và giảm của b thì công thức sẽ có dạng:
0
( )
n
n k
3/ Lưu ý: Khi sử dụng đạo hàm
Mỗi cấp đạo hàm của 2 vế và chọn giá trị của x cho ta một hệ thức tổ hợp:
0
n
k k n k
x C C x C x C x
Đạo hàm cấp 1: ( 1 ) 1 1 2 2 k k 1 1
n
1
Đạo hàm cấp 3: n n ( 1 )( n 2 1 ).( x )n3
1.2 3 2 3 4 ( 2 )( 1 ) . k k ( 2 )( 1 )
n n n
C x
Chú ý:
- Số số hạng sẽ giảm dần theo cấp đạo hàm Đạo hàm cấp k sẽ còn (n + 1 - k) số hạng
- Có khi cần nhân biến x; x2 , x3, vào 2 vế trước khi đạo hàm để tạo hệ thức mới
II/ Bài tập:
Bài 1: Chứng minh:
1
2 1
: ( )
,
HD Xét x C C x C x C x C x
Đạo hàm lần vàxét với x Kết quả
khongbocuoc.com
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Trang 2http://sites.google.com/site/toantintrangchu/
2 3 4 ( 1) n ( 2 2) n
1
1
:
,
HD
Có x C C x C x C x C x
Do cần lũy thừa của x ở C là C là Nhân vế với x
x x C x C x C x C x C x
Đạo hàm cấp chọn x Kết quả
1 2 3 p n ( 1 2) n 2n
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )
'( )
Xét f x x C C x C x C x C x
g x x x C x C x C x C x C x
f x C C x C x C x n C x n x
( ) ( ) : '( )
''( ) ( ) ( ) ( ) .( )
''( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( )
n Và g x
g x C x C x C x C n n x C n x n n x x
Lấy
( ) ( )2 1 Kết quả
1 ( ) n
n C n C C
1
Chọn x có đáp số
Bài 5: (Khối A - 05)
2 1 2 2 2 1 3 2 2 1 4 2 2 1 (2 1 2) n 2n1 2005
1 2
2
: ( ) ,
: ( )( ) ( ) ,
, :
Ta có x C C x C x C x C x x
Đạo hàm vế ta có
Thay x ta có
2 1 4 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
( ) n n
Theo giả thiết ta có n n
Bài 6:
2 3 ( 1) n ( 2 2) n 1
1
: ( ) ( )
( ) ( )
: '( ) ( )
'( ) ( )
( ) ( ), :
n
Xét hàm số f x x C C x C x C x
Ta có f x n x C C x nC x
Trừ từng vế với ta có n C
( ) ( ) ( )
n
khongbocuoc.com
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác