Liên hợp tối ưu giải phương trình hệ phương trình vô tỷ

Trang 1

Sau đây thầy xin giới thiệu đến các em một kỹ thuật đơn giản và thường dùng nhất của Liên

Hiệp Tối Ưu Kỹ thuật được sử dụng mạnh mẽ trong các bài toán liên hiệp có chứa căn bậc 3

Mục tiêu của ghép tối ưu bậc 3 là tạo ra một đa thức bậc 3 chứa nghiệm và nhân tử bậc hai là một biểu thức luôn dương

Các vấn đề cần chú ý khi liên hiệp tối ưu:

 Luôn đưa dấu của biểu thức sau liên hiệp về hệ số (+)

 Luôn để đơn thức có bậc lớn nhất có hệ số (+)

 Tạo ra biểu thức sau liên hiệp là các đa thức luôn dương với mọi x thuộc tập xác định

hoặc miền nghiệm của bài toán, các tam thức bạc 2 vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình x3   x2 2x 1   2 x  35x2   3 0

Bài giải Điều kiện: 2 x 0     x 2

Nhận định ban đầu:

 Bài toán chứa 2 căn khác bậc + đa thức nên lựa chọn cách giải bằng PP Liên Hiệp

 Đơn thức có bậc lớn nhất là x3 mang hệ số dương thỏa mãn

 Ở đây có hai đại lượng mang dấu (-) đó là 2 x  và 35x2  3

Với các nhận định trên thì sau khi liên hiệp thông thường sẽ xuất hiện 2 biểu thức mang dấu âm:

2

2 x 1 4 2 5x 3 5x 3

Ta phải đi chứng minh biểu thức sau liên hiệp vô nghiệm khá rườm rà nên ta sẽ đổi lại cách liên hiệp

khác cho tối ưu hơn

LIÊN HIỆP TỐI ƯU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

TỐI ƯU GHÉP BẬC 3

Trang 2

Với 2 x  ta sẽ truy ngược dấu bằng cách kết hợp:

     x 1 2 x 

2 x 2 x 2 x 1 2 x

1 2 x

 

       

 

Với 35x2  3 ta sẽ ghép tối ưu bậc 3 Ta thấy 35x2  3 mang hệ số âm với bậc dưới căn là 2 nên

ta sẽ ghép với một biểu thức có bậc lớn hơn và mang hệ số(+) để đảo dấu của nó Ta ghép tối ưu:

2

3 x 2x 3x 2 x x 2 x 1

x 1 5x 3

  

Rõ ràng

2

x x 2

0 MS

 

 do tử số là tam thức bậc hai có denta âm và MS là một bình phương thiếu của hằng đẳng thức bậc 3

Ta chọn biểu thức ax b  35x2  3 thỏa mãn khi thay nghiệm x 1  thì a.1 b  35x2   3 0 và

sau khi liên hiệp ta thu được tam thức bậc hai luôn dương

Lời giải:

PT  2 x       2 x x 1 5x    3 x x  0

2

x 1 x x 2

x 1 2 x

x x 1 0 MS

1 2 x

MS

1 2 x

Do

2

2 x x x 2

x 0 MS

1 2 x

     

  , x 2  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 

Tổng quát tìm a, b trong việc chọn biểu thức ghép tối ưu: ax b  3g x  

 Bước 1: Chọn a,b thỏa mãn 3  

ax   b g x  0 với x x  0 là nghiệm

 Bước 2: Liên hiệp và nhóm nhân tử    2 

0

x x Ax Bx C

MS

và xem xét tam thức

2

Ax  Bx C  có luôn dương với mọi x thuộc TXD hay chưa

Trang 3

Chú ý: Các em có thể sử dụng CASIO để xác nhận xem biểu thức ghép đã tối ưu hay chưa bằng cách:

 Nhấp vào TABLE: f x    ax b  3g x  

 Nhập giá trị START – END – STEP phù hợp với giá trị x thuộc TXD

 Dựa vào bảng và nhận định:

o Nếu f x  đổi dấu duy nhất 1 lần từ (-) sang (+) qua nghiệm thì thỏa mãn

o Nếu f x   đổi dấu nhiều lần thì chưa tối ưu

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2    1 x x3  2

Bài giải Điều kiện: x3     2 0 x 32

Nhận định ban đầu:

 Bài toán chứa 2 căn khác bậc + đa thức nên lựa chọn cách giải bằng PP Liên Hiệp

 Căn thức có bậc lớn nhất là x3  2 nên ta chuyển tất cả về 1 vế sao cho dấu của x3 2 là

(+)

 Ở đây có hai đại lượng mang dấu (-) đó là x và 3x2  1

Với các nhận định trên thì sau khi liên hiệp thông thường sẽ xuất hiện 2 biểu thức mang dấu âm:

MS

x 2 5

    

      

 

Ta sẽ ghép tối ưu bậc 3 Ta thấy 3x2  1 mang hệ số âm với bậc dưới căn là 2 nên ta sẽ ghép với

một biểu thức có bậc lớn hơn và mang hệ số (+) để đảo dấu của nó Ta ghép tối ưu:

2

3 x 4x 3x x 3 x x

x 1 x 1

 

Rõ ràng

2

3

x x

0, x 2 MS



  

Trang 4

Đồng thời sau khi ghép tối ưu cho 3x2  1 thì ta cũng ghép hết cho x3  2với ý tưởng

3

x 3 x x 1

x 4x 4x 3

x 2 2x 1

x 2 2x 1 x 2 2x 1

Rõ ràng

2

3 3

x x 1

0, x 2

x 2 2x 1

 

  

Lời giải:

3

PT    x 1 x   1 x   2 2x 1 0  

3

x 3 x x 1 x 3 x x

0 MS

x 2 2x 1

MS

x 2 2x 1

  

Do

3 3

x x 1 x x

0, x 2 MS

x 2 2x 1

Vậy Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 3 

Bình luận:

Thực tế khi ghép tối ưu cho 3x2  1 thì ta có thể chọn rất nhiều biểu thức phù hợp ví dụ như:

2

3 8x 49x 96x 63 x 3 8x 25x 21 2x 4 x 1

Nhưng sau khi ghép cho 3x2  1thì phần còn lại là: x3   2 3x 4  thì khi liên hiệp ta

không thu được biểu thức luôn dương nên không tối ưu

Bài tập vận dụng:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

x  3x 8   2x 3   x 1  x2  4x 1   3x 1 2 3x 5   3 

3

4 x    x 1 2 4x    5 x 3 3x2   1 x3  2 3x 2 

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	700,81 KB