Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng

Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên thực sự được quan tâm nghiên cứu sau sự ra đời cuốn sách Random integral equations 1972 và bài báo tổng kết Fixed po

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ

HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ

HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 62 46 01 06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác

NCS Phạm Thế Anh

Mục lục

Lời cam đoan

2 Điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn

3 Ứng dụng vào phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 60

Kết luận và kiến nghị 73

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Graph(T) Đồ thị của toán tử ngẫu nhiên T

MỞ ĐẦU

Trong toán học, điểm bất động (đôi khi còn được gọi là điểm cố định, hay điểm bất biến) của một ánh xạ, là điểm mà ánh xạ biến điểm đó thành chính nó Từ những năm đầu thể kỉ 20, các nguyên lý điểm bất động lần lượt ra đời trong đó đáng nói đến nhất là: nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach [7] (1922) và định lý điểm bất động Schauder [51] (1930) Các kết quả này đã được mở rộng đối với các lớp ánh xạ khác nhau, trong các không gian khác nhau và đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học Ta có thể thấy ứng dụng của các nguyên lý điểm bất động trong việc giải quyết vấn đề tồn tại lời giải của phương trình (toán tử, vi phân, tích phân, ), trong các bài toán xấp xỉ nghiệm,

Tiếp theo các kết quả trong trường hợp không ngẫu nhiên, rất nhiều kết quả về bài toán điểm bất động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu Vào giữa thập niên 1950, O Hans và A Spacek ở trường Đại học Tổng hợp Prague đã khởi xướng những nghiên cứu đầu tiên về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan (xem [28, 53]) Các tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ ban đầu để toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên Sau các công trình của O Hans và A Spacek, một số dạng tương tự của các định lý điểm bất động tất định nổi tiếng khác cho trường hợp ngẫu nhiên cũng đã được chứng minh Cùng với việc nghiên cứu các vấn đề về điểm bất động ngẫu nhiên, các vấn đề về phương trình toán

tử ngẫu nhiên cũng đã được quan tâm đến Các nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình toán tử tất định Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được của lý

thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào việc đưa về bài toán điểm bất động ngẫu nhiên để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm ngẫu nhiên

Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên thực sự được quan tâm nghiên cứu sau sự ra đời cuốn sách Random integral equations (1972) và bài báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) của A T Bharucha-Reid (xem [15, 16]) Trong bài báo của mình, A T Bharucha-Reid đã chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là dạng ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach và định lý điểm bất động Schauder dạng ngẫu nhiên Từ đó, nhiều tác giả đã thành công trong việc mở rộng các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc chứng minh dạng ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định (xem [11, 21, 32, 37, 60]) Vào những năm 1990, một số tác giả như H K Xu,

K K Tan, X Z Yuan, đã chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, trong đó các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nhất định, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (xem [14, 54, 60]) Gần đây, một số tác giả như N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal

đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng các kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó dạng ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh (xem [47, 50]) Đặc biệt, trong bài báo [57] các tác giả D H Thang và T

N Anh đã chứng minh các kết quả tổng quát về sự tương đương tồn tại nghiệm của phương trình tất định với phương trình ngẫu nhiên, sự tồn tại điểm bất động của toán tử tất định và toán tử ngẫu nhiên

Tiếp theo bài toán điểm bất động ngẫu nhiên, bài toán điểm bất động ngẫu nhiên chung của nhiều toán tử ngẫu nhiên cũng đã được nghiên cứu một cách kỹ lưỡng Tuy nhiên, điều kiện để nhiều toán tử có điểm bất động chung thường là phức tạp, do đó bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đã được quan tâm nghiên cứu Bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên được nghiên cứu nhiều đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trị và toán tử đa trị (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]) Một cách tổng quát, có thể xem toán tử ngẫu nhiên như một ánh xạ biến mỗi phần tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên Bên cạnh đó, ta coi mỗi phần tử của không gian metric như là một biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1 Với cách quan niệm như vậy, ta có thể đồng nhất không gian metric X như tập con

nhiên X-giá trị Từ đó, với mỗi toán tử ngẫu nhiên liên tục f từ X vào

Φ trên X trùng với f Ngoài ra mối liên hệ giữa sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của f và Φ cũng được thiết lập Với mục đích mở rộng miền xác định của toán tử ngẫu nhiên, trong [1, 5, 58] các tác giả đã đưa ra khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ biến mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric Sử dụng các tính toán thuần túy xác suất, các tác giả đã chứng minh được một số kết quả ban đầu tương

tự như của O Hadzic và E Pap về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, là cơ sở để xét đến các bài

toán về điểm bất động, điểm trùng nhau và bài toán về phương trình toán

tử hoàn toàn ngẫu nhiên Ngoài ra luận án đề cập đến các kết quả nghiên cứu về điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, từ đó áp dụng các định lý điểm bất động và định lý điểm trùng nhau để tìm nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Luận án gồm 3 chương

Chương 1 trình bày tổng quan về các khái niệm và kết quả đã biết của các tác giả khác liên quan đến định lý điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các toán tử ngẫu nhiên Các kết quả của chương này được trích dẫn và bỏ qua chứng minh chi tiết

Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định

lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Tiếp theo, chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một

số dạng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Cuối cùng, một số kết quả về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến Nội dung chính của chương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động

và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Các ứng dụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên

để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên Nội dung chính của chương này là các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Các kết quả của luận án đã được trình bày tại Seminar của Bộ môn

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Tạ Ngọc Ánh (2012), Một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên, Luận án Tiến sĩ, ĐHKHTN, ĐHQGHN

[2] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản Giáo dục

Tiếng Anh

[4] Abbas M (2005), Solution of random operator equations and inclu-sions, Ph.D thesis, National College of Business Administration and Economics, Parkistan

[5] Anh T N (2010), Random fixed points of probabilistic contractions

227–235

Boston

[7] Banach S., (1922) Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations itegrales, Fundamenta Mathematicae

3, pp 133–181

[8] Beg I., Azam A (1992), Fixed points of asymptotically regular mul-tivalued mappings, Austral Math Soc (Ser A) 53, pp 313–326 [9] Beg I., Shahzad N (1993), Random fixed points of random multival-ued operators on Polish spaces, Nonlinear Anal 20(7), pp 835–847 [10] Beg I., Shahzad N (1993), Random fixed points and approximations

in random convex metric spaces, J Appl Math Stochastic Anal 6(3), pp 237-246

[11] Beg I., Shahzad N (1994), Random fixed point theorems for non-expansive and contractive-type random operators on Banach spaces,

[12] Beg I., Abbas M (2006), Iterative procedures for solutions of random operator equations in Banach spaces, J Math Anal Appl 315 (1),

pp 181–201

[13] Beg I., Abbas M (2008), Random fixed points of asymptotically non-expansive random operators on unbounded domains, Math Slovaca

58 (6), pp 755–762

[14] Benavides T D., Acedo G L., Xu H K (1996), Random fixed points

of set-valued operators, Proc Amer Math Soc 124 (3), pp 831–838 [15] Bharucha-Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York

[16] Bharucha-Reid A T (1976), Fixed point theorems in probabilistic

[17] Chandra M., Mishra S N., Singh S L., Rhoades B E (1995), Co-incidence and fixed points of nonexpansive type multi-valued and single-valued maps, Indian J Pure Appl Math 26 (5), pp 393–401 [18] Choudhury B S (1995), Convergence of a random iteration scheme

to a random fixed point, J Appl Math Stochastic Anal 8 (2), pp 139–142

[19] Choudhury B S (2003), Random Mann iteration scheme, J Appl Math Stochastic Anal 16 (1), pp 93–96

[20] Chouhury B.S., Metiya N (2010), The point of coincidence and com-mon fixed point for a pair mappings in cone metric spaces, Comput Math Appl., 60, pp 1686-1695

[21] Ciric L B (1993), On some nonexpansive type mappings and fixed points, Indian J Pure Appl Math 24 (3), pp 145–149

[22] Ciric L B., Ume J S., Jesic S N (2006), On random coincidence and fixed points for a pair of multivalued and single-valued mappings, J Inequal Appl (Hindawi Publ Corp.) Article ID 81045, 2006, pp 1–12

[23] Deimling K (1985), Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin

[24] Engl H W (1978), Some random fixed point theorems for strict contractions and nonexpansive mappings, Nonlinear Anal 2 (5), pp 619–626

[25] Fierro R., Martínez C., Morales C H (2011), Random coincidence theorems and applications, J Math Anal Appl.378(1), pp 213-219 [26] Hadzic O., Pap E (2001), Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers

[27] Hadzic O., Pap E., Budincevic M (2005), A generalization of Tardiff’s fixed point theorem in probabilistic metric spaces and applications

to random equations, Fuzzy Sets and Systems 156, pp 124–134 [28] Hans O (1957), Random fixed point theorems, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Ran-dom process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125

[29] Himmelberg C J (1975), Measurable relations, Fund Math 87, pp 53–72

[30] Itoh S (1977), A random fixed point theorem for a multivalued con-traction mapping, Pacific J Math 68(1), pp 85–90

[31] Itoh S (1979), Random fixed-point theorems with an application

to random differential equations in Banach spacess, J Math Anal Appl 67(2), pp 261–273

[32] Joshi M (1980), Nonlinear random equations with P -compact op-erators in Banach spaces, Indian J Pure Appl Math 11 (6), pp 791–799

[33] Khan A R., Hussain N (2004), Random coincidence point theorem

in Frechet spaces with applications, Stoch Anal Appl 22 (1), pp 155–167

[34] Khan A R., Akbar F., Sultana N., Hussain N (2006), Coincidence and invariant approximation theorems for generalized f -nonexpansive multivalued mappings, Internat J Math Math Sci., Hindawi Publ Corp., Article ID17637, 2006, pp 1–18

[35] Khan A R., Domlo A A., Hussain N (2007), Coincidences of Lipschitz-type hybrid maps and invariant approximation, Numer Funct Anal Optim 28 (9-10), pp 1165–1177

[36] Latif A., Al-Mezel S A (2008), Coincidence and fixed point results for non-commuting maps, Tamkang J Math 39 (2), pp 105–110 [37] Lin T C (1988), Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps, Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 1129–1135

[38] Mann W R (1953), Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc 4, pp 506–510

[39] Matkowski J (1977), Fixed point theorems for mappings with a

344–348

[40] Mustafa G (2003), Some random coincidence point theorems, J Math Res Exposition 23(3), pp 413–421

[41] Mustafa G., Noshi N A., Rashid A (2005), Some random coin-cidence and random fixed point theorems for hybrid contractions, Lobachevskii J Math 18, pp 139–149

[42] Nashine H K (2010), Random coincidence points, invariant approxi-mation theorems, nonstarshaped domain and q-normed spaces, Ran-dom Oper Stoch Equ 18, pp 165–183

c-type contractive mapping and its consequence, Fixed Point Theory Appl 2012:209

[44] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan

[45] Shahzad N., Latif A (2000), A random coincidence point theorem,

J Math Anal Appl 245, pp 633–638

coinci-dence points of multivalued random maps with stochastic domain, New Zealand J Math.,29(1), pp 91–96

[47] Shahzad N (2004), Some general random coincidence point theorems, New Zealand J Math 33(1), pp 95–103

[48] Shahzad N (2005), On random coincidence point theorems, Topol Methods Nonlinear Anal.,25(2), pp 391-400

[49] Shahzad N., Hussain N (2006), Deterministic and random coinci-dence point results for f-nonexpansive maps, J Math Anal Appl.,

323, pp 1038–1046

[50] Shahzad N (2008), Random fixed point results for continuous pseudo-contractive random maps, Indian J Math 50 (2), pp 263– 271

Math., 2, pp 171–180

[52] Singh S L., Ha K S., Cho Y J (1989), Coincidence and Fixed points

of nonlinear hybrid contractions, Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 247–256

[53] Spacek A (1955), Zufallige Gleichungen (Random equations), Czechoslovak Math J 5 (4), pp 462–466

[54] Tan K K., and Yuan X Z (1993), On deterministic and random

[55] Thang D H., Thinh N (2004), Random bounded operators and their extension, Kyushu J Math 58, pp 257–276

[56] Thang D H., Cuong T M (2009), Some procedures for extending random operators, Random Oper Stoch Equ 17(4), pp 359–380 [57] Thang D H., Anh T N (2010), On random equations and appli-cations to random fixed point theorems, Random Oper Stoch Equ 18(3), pp 199–212