Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

ĐẶT VẤN ĐỀ: Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian, kết hợp với bài toán tính thể tích các khối đa diện là nội dung quan trọng trong các kỳ thi HSG và kỳ thi đại học cao đẳn

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian, kết hợp với bài toán tính thể tích các khối đa diện là nội dung quan trọng trong các kỳ thi HSG và kỳ

thi đại học cao đẳng, các dạng bài tập này thường là những câu phân loại học

sinh khá giỏi Có nhiều tài liệu tham khảo đã trình bày một số phương pháp giải

các dạng bài tập trên, tuy nhiên các nội dung chưa thực sự đầy đủ các dạng bài

tập loại đó

Trong chương trình hình học lớp 11 và lớp 12, phần lý thuyết nội dung này

đã được trình bày đầy đủ trong SGK, song với một số yêu cầu giải các bài tập

nâng cao, để đáp ứng yêu cầu như trên thì các bài tập trình bày của SGK chưa đáp

ứng được, khi giải các loại bài tập này học sinh thường lúng túng và gặp rất nhiều

khó khăn Trong các loại khoảng cách giữa các yếu tố, chúng tôi nhận thấy

khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng là quan trọng nhất và dạng bài tập

này cũng xuất hiện nhiều trong các đề thi, nó đóng vai trò quan trọng trong việc

tính thể tích khối đa diện Vì vậy, trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh

giỏi, ôn thi đại học và nghiên cứu chúng tôi đã cố gắng phân dạng và đề xuất

thêm một số phương pháp để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng và

một số ứng dụng của nó

Trong bài viết này, với nội dung: “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính

khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng”, chúng tôi đã trình bày những

kinh nghiệm định hướng cho học sinh tìm phương pháp phù hợp để giải một số

dạng bài tập thường gặp trong các kỳ thi Các ví dụ cụ thể trong bài viết được

sắp xếp có trình tự từ dễ đến khó, có sự phân tích, định hướng cách giải cho mỗi

dạng bài tập đó Các nội dung chính của bài viết:

1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách xác định trực tiếp hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng

2 Sử dụng quan hệ song song, tỷ số khoảng cách để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

3 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách

4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông để tính khoảng cách

khongbocuoc.com

5 Dùng phương pháp toạ độ để tính khoảng cách

6 Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính khoảng cách giữa các yếu tố như: Hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng song song

mới đưa ra các khái niệm cơ bản và một số ví dụ đơn giản Vì vậy trong các kỳ

thi học sinh rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải các bài tập này

b/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về tính khoảng cách trong không gian: khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách giữa các yếu tố

trong không gian; các phương pháp dùng để tính khoảng cách trong không gian

- Phạm vi nghiên cứu: + Bám sát nội dung chương trình Toán PTTH

+ Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG và Đại học

c/ Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tuyển chọn, sắp xếp theo dạng, theo trình tự hợp lý để học sinh dễ tiếp thu, dễ khai thác…Tạo được hứng thú cho học sinh

+ Đưa ra một số nhận xét về cách tiếp cận lời giải cho từng loại, từng dạng

d/ Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài

Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông và tất cả các thầy cô dạy Toán THPT Nhất là việc bồi dưỡng HSG, học

sinh ôn thi Đại học

khongbocuoc.com

III / NỘI DUNG

1 PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP

Để tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P), ta xác định hình chiếu của A lên (P) bằng cách dựng đường thẳng d qua A và d ^(P) tại H, khi đó:

d((A); (P)) = AH Ta có thể xác định điểm H bằng cách:

+ Nếu có đường thẳng D ^ (P), khi đó ta dựng d qua A và d // D

+ Nếu đường thẳng D chưa xác định, khi đó ta xác định H bằng cách:

- Ta chọn trên mặt phẳng (P) một đường thẳng a

- Dựng mặt phẳng (Q) chứa A và (Q) ^ a

- Tìm giao tuyến b = (P) Ç (Q)

- Trên mặt phẳng (Q) dựng AH ^ b, (HÎb), khi đó d(A, (P)) = AH

Ví dụ 1.1: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, AC =

a; DSAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và

(ABCD) bằng 60o Gọi I là trung điểm AB Tính theo a khoảng cách từ I đến

mặt phẳng (SBC) ?

Hướng dẫn:

Nhận thấy, I là hình chiếu của S lên (ABCD), nên I Î đường thẳng

SI ^(ABCD) Þ SI ^ với mọi đường

thẳng trên mặt đáy Mặt bên (SBC) chứa

BC ^ SI Vì vậy ta chỉ cần qua

Góc giữa SC và (ABCD) là ·SCIÞ SCI· =60o

Ta có tam giác CAB là tam giác

đều cạnh a Þ CI a 3 SI CI tan SCI· 3a

+ Hoàn toàn tương tự, học sinh sẽ tính được d I;(SCD)( ) và d I;(SAD)( )

Ví dụ 2.1: Cho lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh bên AA’ = a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABCD) trùng với trung

điểm I của AB Gọi K là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối chóp

A’IKD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A’KD) ?

Xét tam giác vuông A’IH ta có: 12 1 2 12

Ví dụ 3.1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết góc giữa CA’ và

(ABCD) bằng 30o Góc giữa (A’BC) và (ABCD) bằng 45o; d A;(A 'CD)( )= a

Tính VABCDA’B’C’D’ theo a ?

Hướng dẫn:

Ta thấy A’A ^ (ABCD)

Þ Hình chiếu của A’C lên (ABCD) là AC

Kẻ AH ^ A’D (H Î A’D) Ta chứng minh được d A,(A 'CD)( )=AH

Đặt AA’ = x Þ AB = x (do DA’AB vuông cân tại A)

Ta có: ·A 'CA=30o Þ AC=x 3

; BC= AC2 -AB2 =x 2

Xét tam giác vuông AA’D ta có: 2 2 2

'AA

1AD

1AH

2

6a

Vậy

2

3a32

12a.2

6a.2

6aV

3 '

D ' C ' B '

Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm AB

DAB1C1 là mặt bên của hình chóp

ABCC1B1 và K chính là chân đường cao

Ví dụ 5.1: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

AB=AD=2a; CD = a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o I là

trung điểm AD và SI ^ (ABCD) Tính theo a khoảng cách từ I đến (SCD) ?

2 2

a27

20KI

1SI

1HI

1

=+

10

15a3

Þ d(I,(SBC)) =

10

15a3

Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên, học sinh được rèn luyện kỹ năng tính

khoảng cách từ một điểm (là chân đường cao của hình chóp hoặc lăng trụ) đến

mặt phẳng là mặt bên của hình chóp

Ví dụ 6.1: Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a 3

Hình chiếu của A lên (A’B’C’D’) trùng với tâm O của hình vuông A’B’C’D’

Ví dụ 1.2: Cho hình chóp đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh

bằng a, SA = a Tính khoảng cách từ C đến (SAB) và tính khoảng cách từ trung

điểm M của SC đến (SAB) theo a?

Hướng dẫn: Đây là bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chứa

mặt bên của hình chóp Học sinh đã biết cách xác định khoảng cách từ chân

đường cao của hình chóp lên mặt phẳng chứa mặt bên của hình chóp Từ đó dựa

vào tính chất 1 hoặc tính chất 2 để giải quyết bài toán

Do SABCD là hình chóp đều Þ

SO ^ (ABCD), kẻ OI ^ AB, khi đó:

(SOI)^ (SAB) Vậy OH = d M;(SAB)( )

Xét tam giác vuông SOI ta có:

Học sinh sẽ tính d M;(SAB)( ) dựa vào d O,(SAB)( )=a 6 Vậy OM có quan hệ

như thế nào với (SAB) ?

Nhận thấy OM // SA Þ OM // (SAB) Þ d M,(SAB)( )= d O,(SAB)( )=a 6

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = 3a; BC = 4a;

(SBC) ^ (ABC) Biết SB = 2a 3; SBC· =30o Tính khoảng cách từ B đến

(SAC) theo a?

Hướng dẫn:

Gọi H là hình chiếu của S lên BC Do (SBC) ^ (ABC) nên SH ^ (ABC) Ta sẽ

tính d H,(SAC)( ) sau đó dựa vào tính

Ví dụ 3.2: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, hình chiếu

vuông góc của S lên mặt đáy trùng với trung điểm của AO Mặt phẳng (SAD)

tạo với đáy một góc 600 và AB = a Tính VSABCD và khoảng cách từ A đến

Nhận xét: Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến

mặt phẳng bằng cách sử dụng tính chất 1 và tính chất 2, giáo viên yêu cầu học

sinh tính d I,(SCD)( ) (với I là trung điểm BC)

Ví dụ 4.2: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;

AB = 2DC = AD = 2a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600, gọi

I là trung điểm AD, mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD)

Ví dụ 5.2: (Khối B – năm 2011)

Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD

= a 3 Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC

và BD, góc giữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 Tính d B',(A 'BD)( )?

Hướng dẫn: Ta thấy (A’BD) chứa

đường cao của lăng trụ (chính là đường

cao của hình chóp A’ABCD) Học sinh

đã biết cách tính khoảng cách từ một

điểm trên mặt đáy đến mặt phẳng chứa

đường cao của hình chóp Để tính

khoảng cách từ B’ đến (A’BD) ta sẽ

tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy của lăng trụ (tức là trên mặt đáy hình

chóp A’ABCD) đến mặt phẳng (A’BD), sau đó dựa vào tính chất 1 hoặc tính 2

để tính d B',(A 'BD)( ) Nhận thấy B’A Ç (A’BD) tại trung điểm I của B’A Ta

sẽ tính d A,(A 'BD)( )

Giải: Gọi O = AC Ç BD Ta có A’O ^ (ABCD)

Gọi E là trung điểm AD OE AD

A 'E AD

^ì

Ví dụ 6.2: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AB =

a 2 Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa

mãn IAuur = -2IHuur; ·(SC;(ABC))=60o Tính theo a VSABC và tính khoảng cách từ

trung điểm E của SB đến (SAH)?

Hướng dẫn: Học sinh tự tính VSABC ?

Tương tự như ví dụ 5.2, ta sẽ tính

d B,(SAH) , từ đó suy ra d E,(SAH)( )

Ta có: Do DABC vuông cân tại A và I là trung

điểm của BC Þ BC ^ AI (1)

Mặt khác: BC ^ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC ^ (SAH)

Vậy d B,(SAH)( ) = BI Ta có: BC2 =AB2 +AC2 =4a2 Þ BC=2a Þ BI=a

d E,(SAH) d B,(SAH)

Ví dụ 7.2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA; M là trung điểm AE Tính

d E,(SAC) =d D,(SAC) Vậy d M,(SAC)( )

tính được thông qua d D,(SAC)( )

thể tích là đại lượng trung gian để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Ta

dựa vào kết quả sau:

Cho hình chóp SA 1 A 2 A n Gọi V là thể tích khối chóp SA 1 A 2 A n S là diện

tích đa giác A 1 A 2 A n ; h là chiều cao của khối chóp Ta có : V 1S.h h 3V

Ví dụ 1.3: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,

AC=BC=a góc giữa A’B và (ACC’A’) bằng 300 Gọi M là trung điểm A’B’ Tính

thể tích lăng trụ ABCA’B’C’ và d M,(ABC)( ) theo a ?

Xét tam giác vuông A’BC ta có:

A’B = 2a Þ A’B = 2a Þ AA '=a 2

3 ABCA ' B 'C ' ABC

Nhận xét: Học sinh có thể tính d M;(ABC)( )bằng cách dựa vào tỷ số khoảng

cách: Kẻ AK ^ A’C Þ AK ^ (A’CB) Vậy d A,(A 'BC)( ) = AK

Ví dụ 2.3: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB = AC =

a; M là trung điểm AB Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với tâm O

của đường tròn ngoại tiếp DBMC, góc giữa SB và (ABC) bằng 60o

Tính thể tích hình chóp SABC và d C;(SAB)( ) theo a?

Hướng dẫn:

Gọi N, H lần lượt là trung điểm BC và

MB Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp

DBMC chính là giao điểm của AN (trung

trực của BC) và đường thẳng qua H

song song với AC (trung trực của BM)

Theo giả thiết: SO ^ (ABC) nên

(·SB,(ABC))=SBO· =60o Ta có DHAO

vuông cân tại H

^î

2

CSAB SAB

=Nhưng học sinh chọn cách này sẽ phải tính toán nhiều hơn so với cách giải trên

Ví dụ 4.3: Cho hình chóp SABC, có góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60o,

DABC, DSBC là tam giác đều cạnh a Tính d B,(SAC)( ) theo a?

Hướng dẫn: H là trung điểm BC Ta có DABC và DSBC là tam giác đều

Gọi H là hình chiếu S lên (ABC) , A’B’ lần lượt là hình chiếu của H lên AB và

AC Xét tam giác vuông SAB’ ta có: AB’ = SA.cos60 c;

Xét tam giác vuông SAA’ ta có: AA ' SA.cos60 c

Þ = ta có DIGB vuông tại I

S∆SAC =

4

3a3AC.SK2

S

V3

SAC

Nhận xét: Học sinh có thể tính d B,(SAC)( ) thông qua d G;(SAC)( )

Ví dụ 6.3: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a; BC = 2a; AA’= a

Lấy M Î AD sao cho AM = 3MD Tính d M,(AB'C)( ) theo a?

Cho tứ diện OABC, với OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi H là hình

chiếu của O lên (ABC) Þd O,(ABC)( )=OH và 1 2 1 2 12 12

Ví dụ 1.4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có các cạnh bằng a Gọi O’ là

tâm mặt đáy A’B’C’D’, điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM = 3BD

4 Tính thể tích khối tứ diện ABMO’ và khoảng cách từ O’ đến (AMN)

Hướng dẫn:

1 Học sinh tự tính VABMO’

2 Ta tìm tứ diện vuông có mặt đáy DAMN

Nhận thấy: OA, OM, ON đôi một vuông góc,

xét tứ diện vuông OAMN ta có:

Ví dụ 2.4:Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J, K lần lượt là

trung điểm CD, AD và DD’, O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’ Tính d(O’,(IJK))

và tính VO’IJK ?

Hướng dẫn:

Ta tìm tứ diện vuông có đáy là DIJK

Ta có: DI, DJ, DK đôi một vuông góc

Þ Tứ diện DIJK là tứ diện vuông,

= = Nhận thấy DIJK là tam giác đều có cạnh

2 IJK

Ví dụ 5.4: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a; BC = b; AA’= a

Gọi E là trung điểm A’D’ Tính khoảng cách từ E đến (BC’D) và tính VBC’DE ?

Ví dụ 3.4: Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,

AB=BC=a; AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm BC , N là trung điểm BB’ Tính

Ví dụ 4.4: Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại B, biết BA=BC=a; ·BA 'C=30o

CB’ Ç (A’BC’) tại trung điểm I của CB’ Þd C;(A 'BC')( ) (=d B';(A 'BC'))=h

Do B’A’; B’B; B’C’ đôi một vuông góc, xét tứ diện vuông B’A’BC’ ta có:

5 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ HOÁ

Trong chương trình hình học lớp 12, các em đã được học phương pháp tọa

độ trong không gian Ngoài việc vận dụng các kiến thức để giải các bài toán

trong hệ tọa độ Oxyz, chúng ta còn có thể vận dụng phương pháp tọa độ để giải

Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán

2/ Các dạng toán thường gặp:

+ Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, … + Định lượng: Độ dài đoạn thẳng, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, …

+ Bài toán cực trị, quỹ tích

3/ Một số mô hình có thể dùng phương pháp tọa độ hóa

+ Hình tứ diện vuông: chọn hệ tọa độ có gốc tại đỉnh vuông, các trục là các cạnh

+ Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông

+ Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là

Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b;

4/ Một số ví dụ

Bài 1.5 Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành

vuông cạnh a; AA’ = a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABCD) trùng với điểm

I của AB Gọi K là trung điểm BC

Bài 2.5: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a; ·ABC 120= o

;

O=ACÇBD; I là trung điểm SA; E là trung điểm AB; SB ^ (ABCD);

(·) ( ) ( SAC ; ABCD )=45o

Aº0 0;0;0 Tia Ox ngược hướng

với tia BM (với M là trung điểm AC)

Mặt phẳng (a) chứa BC’ và song

song AB’ có véc tơ pháp tuyến nr = ë ûéu, vr rù =(0; 12;2 3- )

Phương trình mặt phẳng (a) là: -6y+ 3z+3a=0

d AB';BC' d AB';( ) d A;( )

1339

Bài 4.5: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông; SA = a; SA

^(ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, DC Góc giữa (SBM) và (ABC)

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: AºO 0;0;0( );

KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC YẾU TỐ: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG

THẲNG CHÉO NHAU, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT

Ví dụ 1.6: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M, N

lần lượt là trung điểm AB, AD; H = CN Ç AM; SH ^ (ABCD) và SH = a 3

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a?

Hướng dẫn:

Ta có: DM CN DM (SCN) t i H

^ì