TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CẨM NANG CHO MÙA THI ÔN THI THPT QUỐC GIA... Kết hợp với điều kiện ⇒ tập nghiệm của bất phương trình là ;3.
Trang 1TUYỂN CHỌN
50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CẨM NANG CHO MÙA THI
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
Trang 2Bài 1: Giải bất phương trình x+ 1 −x2 ≥ 2 3 − x− 4 x2
x x
x
x− + − + − + − ≥ ∈
Hướng dẫn: Điều kiện: x≥ 1
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0410249
42321
≥++
−+
−
−+
6 1
1
1 ) 2 (
0 3 ) 1 3 ( ) 2 ( 2 2 3
) 6 3 ( 2 1 1 2
0 ) 2 6 9 )(
2 )(
2 2 3 ( 2 ) 1 1 (
2 2 2
−
+ +
−
− +
−
−
⇔
x x
x x
x x
x
x x
x
x x x
x x
- Dễ thấy (3 1) 3 ( 3 1 1 ) 3 1 0 , 1
2 2 3
6 1
−
+ +
x
- Hơn nữa (1) ⇔ x− 2 ≥ 0 ⇔x≥ 2 Kết hợp điều kiện thu được x≥ 2
Bài 3: Giải bất phương trình sau: 1 log+ 2x+log2(x+2)>log 2(6− x)
So sánh với điều kiện KL: Nghiệm BPT là 2 <x< 6
4 2 2
7 1 19
22 9
2 3
2 3
R x x
x x
x x x x
∈
>
− + +
−
− + +
≥
0422
1
2 3
x x x x
≥
− + + x x x
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0 2 17 24 8
1 1 4
2 2 7
1 19
22
9 3 2 3 2 3 2
>
− +
− +
−
−
⇔
− + +
>
−
−
− +
− x x x x x x x x x x x
Trang 3) 1 ( 0 1 ) 1 2 ( 2 1 1
1 ) 2 ( 0 ) 1 8 8 )(
2 ( 1 1
−
−
x x
x x x
x x
- Rõ ràng 2 ( 2 1 ) 1 2 ( 2 1 ) 1 1 0 , 1
1 1
x nên (1) ⇔x− 2 > 0 ⇔x> 2
5
log 4x+ 1 − log 7 2 − x ≤ + 1 log 3x+ 2
Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 7
1 12
x x x
x x x
x x x
x x
x
x− − + ≥ + + + ∈
Hướng dẫn: Điều kiện: x∈R. Khi đó :
0 ) 5 2 1
2 ( 2 ) 5 2 2
)(
1 ( 2 2 2
≤ +
−
− + +
+
− + +
⇔ x x x x x x x
05
21
2
547)52)(
1(2522
14
)1(
0)521
2
)13(25
22
)(
1(
0521
2
)13)(
1(2)
522
)(
1(
0521
2
)524
4(2)522
)(
1(
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
+
−++
−+
++
−+
++
⇔
≤+
−++
−+
+
−++
⇔
≤+
−++
−+
++
−++
⇔
≤+
−++
−+
−++
+
−++
⇔
x x x
x x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
- Do 7 2 − 4 + 5 = ( − 2 ) 2 + 6 2 + 1 >
x x
x 2 4
15x 40x 20 0
− + + > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
− + +
Trang 4Bài 8: Giải bất phương trình: x2 +5x<4 1( + x x( 2+2x−4)) (x∈ R)
Hướng dẫn: x2+5x<4 1( + x x( 2+2x−4)) (*)
- ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔ 1 5 0
1 5
x x
2 5 4 1 3 2 5 6 2
BPT x x x x
x
x x x x x
2 2
Trang 5- Ta có với
2
2 2
5( 2) 5( 2) 2
2 2
) 2 (
2 2
R x x
x x
x
∈ + +
≥ + + + + +
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
1)
1(0)3)(
1(265
2
1
0)32(265
2762
4215
−
⇔
≥+
−++++
−
≥
−+++
−+
⇔++
≥+++
−+
⇔
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
Chú ý rằng
2
5 ,
0 ) 3 ( 2 5 5
x nên (1) ⇔x− 1 ≥ 0 ⇔x≥ 1
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x≥ 1
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:
2 2
- Với − ≤2 x< ⇒0 bất phương trình đã cho luôn đúng
- Với x≥ ⇒2 bất phương trình đã cho ⇔ 2 x− 2 + 2(x− 2)(x+ 2) ≥x x
Trang 6Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [− 2;0)∪{1 + 5}
Bài 13: Giải bất phương trình sau : 2
x x
- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó 2x−1 ≠ x
- Bất phương trình đã cho tương đương với
2
133,2
1330
131
22
12
22133)
12(3)
12(
)1(3
2 2
2 2
2 2
2 2
≥
−
⇔+
x x x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
−
− x x x x x x x
Hướng dẫn: +) Điều kiện:
2
2
x
x x
x
Trang 7+) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
)12(
02)
52)(
12()252)(
12(
02)
5124(29124
2 2
2 3
2 2
2 3
−
−
−+
−
x f x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
− x x x x x x x t x t x t x x
2 0
) (
t
x t x
f
Do vậy ta có phân tích
1 2 2
)(
2 2
( 2 )
5 2 ( 2 5 2 ) ( 2 2 2 2
+
− +
−
= x x x x x x x x x x x
f
Khi đó (1) (2 1)( 2 2 2)(2 2 2 1) 0
≤+
−+
1
2x− = ⇔x= (không thỏa mãn)
442
22
x x
2 2
2
0 1 2
2 2
x x
x x
2
0 1 2
x x x
Kết hợp với đk ta được x≤ 0
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x≤ 0
5
log 4x+ 1 − log 7 2 − x ≤ + 1 log 3x+ 2
Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 7
1 12
x x x
x x x
x x x
⇔ + + ≤ −
⇔ + + ≤ −
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤
Trang 8Giao với điều kiện, ta được: 1 1
Bài 19: Giải bất phương trình 8x3−2x≥(4+ x−1)(x+14 8+ x−1)
Hướng dẫn: Điều kiện : x≥ 1
Bài 20: Giải bất phương trình: (x +2)( 2x + −3 2 x +1)+ 2x2 +5x +3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 1
Đặt
2 2 2
2
2 3
1 2 5 3 , 0 1 2
Trang 9TH1:
11
5
0252
035010
x x
x x
5 3 2 5 2
47 14 2 5
3 2 5 2
2
2 2
>
− + +
−
x x
x
x x x
x x
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0 2 5 11 2 3 ) 2 ( 5 ) 5 11 2 ( 2
0 2 ) 5 )(
1 2 ( 3 20 27 4
) 5 )(
2 )(
1 2 ( 6 45 9 2 5 2 3 50 10
2 2
2
2 2
≥
− +
− +
−
− +
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x x x
− x a x b a b
2
22 6
; 2
22 6 0
7 12 2 2 5
11 2
0 ) 5 2 )(
( 0 3 5 2
2 2
2 2
−
⇔
−
≥ +
−
⇔
≥ +
−
x x
x x x
x x
b a b
a b a ab
b a
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm
S
Bài 22: Giải bất phương trình 3x2 12x 5 x3 1 x2 2x
−+
−
≤+
−
0 ) 2 ( 1
0 5 12
−
x x
x x
x x
Bất phương trình đã cho tương đương với
) 1 ( ) 1 )(
1 ( 2 1 2 5
12
3 2 3 2 2
− +
+
− +
−
− +
≤ +
− x x x x x x x x x x
0
232
)23(3)(
0)1(
.2)(
1(26102
2 3 2
2 2
3
2 2
3
≥+++
−+
+
−
−++
⇔
≥++
−
−+
−+
−
⇔
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
Trang 10) 1 ( 0 2 3 2
2 3 3
1 3 2
2 2
3
2
≥ + +
+
− +
+ +
x x x x x
x x
Đặt 3 32 2 ( 0 )
2
≥
= + +
+
−
t t x x x
x
x thì (1)
) 2 ( 0 2 4 2
3 1
3
1 0 2 3
1 2 2 3 2 3
≥ + +
⇔ + +
≤ +
−
⇔ t t t x x x x x x x
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với x≥ 2 Kết luận nghiệm S =[2;+∞)
11
x x
++
x x
+
Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là S= − +∞( 1; )
Bài 24:Giải bất phương trình sau:
Trang 11x x
<
−+
x
Hướng dẫn: Điều kiện: x≥ 1
Bất phương trình đã cho tương đương với
)2(22
.3
4)
2)(
(3822)2)(
(6
101211)2)(
1(6)2(
9
2 2
2 2
2 2
2 2
++
<
+
−
⇔++
<
−
−+
−++
x x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
b
x x a
ta được BPT 3ab<a2 + 2b2 ⇔ (a−b)(a− 2b) > 0
- TH1:
2
57 5 2
57 5 2
57 5 0
8 5
0 2 2 8
4
2
2 2
x x
x
x x x
x x
x x x b a
b a
(do x≥ 1 )
0 8 5
0 2 2 8
4
2
2 2
x x
x x x
x x
x x x b a
b a
(do x≥ 1)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm ; [1 ; 1 3)
2
57 5
L x
Trang 12Bài 27: Giải bất phương trình 2.14x 3.49x 4x 0
3 3
t
t t
−
= log 3 ;
2 7
S
R x x x
x x
4 ) 1 (
0 1 ) 1 3 ( 5 ) 1 ( 1 1 2
) 2 2 ( 4
0 ) 4 30 45
)(
1 ( ) 1 1 2 ( 4
0 4 34 75
45 4 1 2 4
2 2 2
2 3
− +
−
−
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
x
- Nhận xét
2
1 , 0 1 ) 1 2
1 3 ( 5 1 ) 1 3 ( 5 1 1 2
; 2 1
Bài 29: Giải bất phương trình: log (2 x−2) log+ 0,5x< 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x> 2
Trang 14Từ (1) và (2) suy ra ( ) 0 g x > ∀ > x 0
+ f x( ) 0> ⇔x− >4 0⇔x> Kết hợp ĐK suy ra đáp số: 4 x> 4
R x x x
x
x − ≤ − − + + ∈
0)3)(
3(
20
1
092
08
2 2
3 3
x x x x
x x x
Bất phương trình đã cho tương đương với
2 3
3 2
3 3
2 0
) 3 3
2 (
0 3 3
3 2 2
3 2
3
) 1 )(
3 ( 2 2
) 1 )(
3 )(
3 ( 2 1 9 2 8
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
−
=
⇔ + +
− +
− +
x x
x
x x x
x x
x x
x
x x x x x x x
x
x x x
x x
x
x x x x x
x x x
Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm
Trang 1565
1)(
2(
03117
22
65
2)
2(
2
0)3(117)2(65422
2
2 2
2 2
>
−+++
++++
++
−++++
++
−+
−++
−
−
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x x
x
x x
x x
x x
+ Nhận xét
5
6 ,
2 5
13 5
6 3
1 5
6 2
1 3 11 7
1 2
6 5
+ + + + x x x x x
x x x x
x + + + + + ≥ + + ∈
Hướng dẫn: Điều kiện x≥ − 2
+ Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho
+ Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
0 6 3 ) 1 ( 2 2
2
2 3 2 2 2
≥ + +
− + + + +
− + +x x x x x x x
Trang 16) 1 ( 0 6 3 2
1 2
2
1 )
2 )(
1 (
0 6 3 2
) 2 )(
1 ( 2 2 2
6 3 2 )(
1 ( 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
+ +
+ + + +
−
⇔
≥ + + +
− + +
+ + + +
− +
⇔
+
− + + +
− + +
⇔
x x
x x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
632
12
2
1)
++
+++
x x
x x
2 5 4 1 3 2 5 6 2
2
3 1 1 1 1
x
x x
> ⇔ > −
−
* Bất phương trình (3) 2 0 2 2 5
54(1 )
Trang 17Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 2 1; 2 2 5;1
213(
)213)(
213()213)(
13(
134)213)(
13(
)13(2152)213)(
13(
2 2
<
−
−+
−+
⇔
++
−+
>
−++
⇔
++
−
>
−++
⇔
+
−++
>
−++
x x x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x x
x x x
x
+ Ta có
3
1 ,
0 1 1
3x+ +x+ > ∀x≥ − nên
(1) 0 ( 3 1 2 ) ( 1 ) 0 ( 2 )
1 1 3
) 1 ( ) 2 1 3 (
>
−
− +
⇔
>
+ + +
−
− +
⇔ x x x x
x x
x x x x
Xét hai trường hợp xảy ra
) 1 (
x
x x
1 0
0 0
1 3 4 0
0 2
1 3
x x
x x x
x x
x
0134
10
21
) 3 4 5 3 ( 2
R x x x
x x
x
∈ +
<
+ +
+
− +
53343
7
333
501029346
7
333
5)
733()152912
(4
7
333
5
733152912
225152912
287
534532
.5)3453(2
)392)(
392(5)3453(2
2 2
2
2 2
−
⇔
<
−+
−
⇔
<
−+
−
⇔
−++
+
<
−+
−
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Trang 18x 2 4
15x 40x 20 0
− + + > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
− + +
Bài 43: Giải bất phương trình: log0,2 x +log (x 1)0,2 + < log (x0,2 +2)
Hướng dẫn: Điều kiện: x > 0 (*)
log x log (x 1) log (x 2) ⇔ log (x0,2 2 +x) < log (x0,2 +2)
⇔ x2 + x > x +2 ⇔ x > 2 (vì x > 0)
Vậy bất phương trình có nghiệm x > 2
Bài 44: Giải bất phương trình: x2+20x+4+ x ≤2x+ 4
Hướng dẫn: Điều kiện: x 0 (*)
+ x = 0 là nghiệm bpt (1)
+ x > 0 chia 2 vế BPT cho x ta được: x 4 20 1 2 x 2
x x
+ + + ≤ +
t x x t 4
x x
= + ⇒ + = −
Bất phương trình thành: t2+16 2t 1≤ −
1 t
t 3 2
Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S = [0; [ ;1]∪4 +∞]
Trang 19Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 1 3
5≤x≤10
Bài 46:Giải bất phương trình: (x +2)( 2x + −3 2 x +1)+ 2x2 +5x +3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 1
Đặt
2 2 2
2
2 3
1 2 5 3 , 0 1 2
Trang 2011
2 2
x x
x x
Trang 21Bài 49: Giải bất phương trình sau 3 1 1 2
- Từ (*) ⇔ x 1 0 − ≥ ⇔ x 1 ≥ Kết hợp với điều kiện ⇒ tập nghiệm của bất phương trình là ;3