Tính kết cấu đặc biệt theo phương pháp phần tử hữu hạn võ như cầu

Khái niệm về PTHH cùng tham số dựa trên cơ sở đưa phần tử gốc ở hộ tọa độ tựnhiên về phần tứ có hình bất kì trong hệ tọa độ Đề các.. Đối với PTHH cùng tham số, ta có thể thiết lập mối qu

fRANG

THU VI $N OH NHATRANC

G S T S VÕ NHƯ C Ẩ U

TÍNH KẾT CẤU ĐẶC BIỆT

THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Tài liệu tham khảo dùng cho : - Sinh viên đại học

- Sinh viên cao học

- Nghiên cứu sinh

LỞI MỚ ĐẤU

Trong tài liệu ¡] J, tác già đã trình bày các nguyên lí cơ bản về phương pháp phần tử hữu hạn và chủ yếu đề cập đến hệ thanh Trong cuốn sách này, một sô'phần tử hữu hạn cùng tham s ố có bậc cao đã dược mở rộng dể áp dụng cho bài toán 2 chiều, bed toán 3 chiều, bài toán tính bán chịu uốn và vỏ Nội dung trình bày liên quan đến kiến thức nhiều mặt về toán học, C‘ơ học Do dó, để dọc hiểu sách, bạn dọc cần có những kiến thức

cơ ban về lí thuyết đàn hồi, đạo hàm, tích phàn, hình giải tích, đại s ố vectơ và ma trận

Vì các phần tử hữu hạn trình bày trong sách chủ yếu là loại cùng tham số nên ngay từ chương dầu, tác giả đã nêu lên khái niệm về phấn tứ hữu hạn cùng tham số và phương pháp tích phán bằng sô' theo phép toàn phương Gauss Cần nhấn mạnh rằng các ví dụ nêu trong sách có khối lượng tính lớn, không thể tính bằng tay mà phải nhờ vào sự hỗ trợ của những chương trình tính do tác giá biên soạn Vì vậy, bạn đọc cũng cần có những kiến thức cơ bán về tin học Cũng cần nhẩn mạnh them rằng các ví dụ có tính chất lí thuyết d ể giúp cho bạn dọc kìm quen với nội dung tính và việc sử dụng chương trình Tất nhiên, các chương trình do tác già biên soạn chưa dược hoàn hảo, mong bạn đọc cải tiến d ể dược hoàn hảo hơn.

Sách gồm tất cả 7 chương:

Chương 1: Phán tử hữu hạn cùng tham số Phương pháp tích phân bằng số Cách giảm cấp của ma trận.

Chương 2: Các phần tử hữu hạn hình tam giác dùng cho bài toán 2 chiều.

Chương 3: Cúc phấn tử hữu hạn hình tứ giác dùng chu bài toán 2 chiểu.

Chương 4: Tính vật rắn tròn xoay chịu tái trọng dối xứng.

Chương 5: Cúc phần tử hữu hạn dùng cho bài toán 3 chiều.

Chương ố: Tính tấm chịu uốn

Chương 7: Tính vỏ

Cuốn sách có một số chương trình tính theo ngôn ngữ Pascal 7.0.

Do những nguyên nhân chủ c/itan và khách quan, không thể tránh dược sai sót, mong bạn dọc phê bình và góp ỷ.

Tác giả chem thành cảm ơn Ban Biên tập Sách Khoa học kĩ thuật Nhà xuất bàn Xcĩv dựng dã tham gia biên tập vù cho xuất ban sách.

Cuối cùng, tác giả tó lỏng cam ơn Trưởng Ban Biên tập Trần Cường đã hết lòng giúp

d ỡ và cổ vũ đ ể hoàn thành tốt việc biên soạn sách.

Tác giả

C h ư ơng 1

PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH) CÙNG THAM s ố

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN BẰNG SỐ

CÁCH GIẢM CẤP CỦA MA TRẬN

1.1 KHÁI NIỆM VÊ PTHH CÙNG THAM s ố

Các PTHH đơn giản như hình tam giác, hình chữ nhật không thể đáp ứng được yêu cầu của các bài toán phức tạp Điều này đưa đến sự phát triển của các phần tử có hình

dạng bất kì mà ta gọi là phần tử hữu hạn cùng tham số Những phần tử này được dùng

rộng rãi trong các bài toán 2 chiều, 3 chiều, bài toán tính bản, tính vỏ

Khái niệm về PTHH cùng tham số dựa trên cơ sở đưa phần tử gốc ở hộ tọa độ tựnhiên về phần tứ có hình bất kì trong hệ tọa độ Đề các Đồng thời, hàm hình dạng củaPTHH cùng tham số phải có 2 chức năng (chẳng hạn lấy ví dụ hình tứ giác 4 nút):

Trong đó: Uj - chuyển vị trên phương X tại nút i;

X|, yị - tọa độ X, y tại nút i;

Nị - hàm hình dạng tại nút i

Hàm hình dạng N| được biểu thị qua các biến r, s trong hệ tọa độ tự nhiên Nó giúp ta xác định kích thước hình học của phần tử trong hệ tọa độ Đề các

Một số ví dụ về PTHH cùng tham số biểu thị trên hình 1.1

Đối với PTHH cùng tham số, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa đạo hàm của một đại lượng nào dó đối với các biến trong hệ tọa độ Đề các và đạo hàm của đại lượng đó đối với các biến trong hệ tọa độ tự nhiên

Hình 1.1: Mộ: sô' PTHH cùng tham số

Sau đây là một ví dụ về PTHH tứ giác 4 nút trong hệ tọa độ 2 chiều

Xét hình tức giác 2 chiều trêri hình 1.2, PTHH gốc hình chữ nhật (hình 1.2a) được đưa về hình vuông trong hệ tọa độ tự nhiên (hình 1,2b), sau đó lại đưa về hình tứ giác bất kì với các cạnh thẳng (hình 1.2c)

Như trên đã định nghĩa, các hàm hình dạng có thể dùng để xác định tọa độ nghĩa là

có thê xác dịnh kích thước hình học của một tứ giác bất kì trong hệ tọa độ Đề các:

' X | 'Y|

Trong đó: [J] gọi là ma trận Jacobian

Từ (1-6), đạo hàm đối với các biến (x, y) trong hệ tọa độ Đề các có thể viết:

ã rỡv

ids

Theo lí thuyết đàn hồi, vectơ biến dạng như sau:

H

ỡuổx

[ ỡyjThay vào hệ thức (1-11), ta được:

(1-9)

(1-10)

( 1 - 1 1 )

(1-12)

Thay (1-15) và (1-13) vào (1-16), ta được ma trận biến dạng - chuyển vị [B]:

Trong đó: h - chiểu dày của phần tử

Có thể chứng minh được rằng giữa diện tích phân tố của phần tử trong hệ tọa độ Đề các và diện tích phân tố trong hệ tọa độ tự nhiên, có hệ thức như sau:

Ta thấy rằng tích phân 2 lớp (1-20) khá phức tạp vì ma trận [B] và định thức |J | là những hàm của các biến r, s trong hệ tọa độ tự nhiên Việc tính tích phân trên bằng phương pháp giải tích sẽ gặp rất nhiều khó khăn, do đó phải cần đến phương pháp tính bằng số, sẽ được trình bày trong phần sau

1.2 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN BẰNG s ố THEO PHÉP TOÀN PHƯƠNG GAUSSNhư trên đã trình bày, việc dùng các PTHH cùng tham số đưa đến sự biến thiên của các biến trong hệ tọa độ tự nhiên trong phạm vi từ -1 đến 1 Vì vậy, khi tính các vectơ lực và ma trận độ cứng cục bộ, xuất hiện các tích phân có cận biến thiên từ -1 đến 1 Có nhiều phương pháp tính bằng số nhưng phương pháp Gauss chứng tỏ có hiệu quả nhất

Thực chất của phương pháp này là tính giá trị của hàm tại một số điểm gọi là điểm

Gauss, nhân giá trị của hàm tại một điểm nào đó với một đại lượng gọi là trọng lượng,

rồi cộng lại các kết quả đã tính được

Trước hết, ta xét trường hợp tích phân một lớp có dạng như sau:

Trong đó: |j| - định thức của ma trận Jacobian

Thay (1-19) vào (1-18), ta được:

(1-2 1)

Cách đơn giản nhất và sơ sài nhất là tính giá trị của hàm f(x) tại điểm giữa rồi nhân với khoảng cách tích phân (hình 1.3a) Nghĩa là ta có I = 2y, kết quả này chính xác khi đường cong f(x) là một đường thẳng.

a) Dùng ỉ điểm Gauss; b) Dùng 2 điểm Gauss; c) Dùng 3 điểm Gauss.

Ta dùng đa thức Legendre để xác định giá trị của các điểm Gauss r; và giá trị các trọng lưẹng Wj tương ứng Giá trị tích phân sẽ chính xác nếu hàm đa thức có bậc 2n - 1

Muốn tìm hiểu tìm thêm vấn đề này, bạn đọc có thể tham khảo thêm các tài liệu [2, 3] Giá trị các điểm Gauss và trọng lượng tương ứng thống kê trong bảng 1.1.

B ảng 1.1 C ác giá trị điểm G auss và trọng lượng tương ứng

Chẳng hạn, khi chọn 2 điểm Gauss (n = 2), căn cứ vào bảng

Ta tích phân tại 4 điểm như trên hình 1.4

Vậy là theo (1-35) và hình 1.4, ta tính tích phân 2 lớp tại 4

điểm như sau:

(l-24b)

(0 = 0,57735

Hình 1.4: 4 điểm lính tích phân 2 lớp theo phương pháp Gauss

Nếu dùng 3 điểm Gauss (n = 3), ta có 3 X 3 X 3 = 27 điểm tính.

Thông thường, ta dùng 8 điểm tính như trên đã trình bày

Việc giải bài toán 2 chiều hoặc 3 chiều dùng PTHH cùng tham số, đòi hỏi phải tính tích phân bàng sô đối với ma trận độ cứng cục bộ cũng như đối với vecto' lực thể tích và vectơlực biên

'Trinh tự tính ma trận độ cứng cục bộ trong bài toán 2 chiều như sau:

Càn cứ vào (1-20):

- Lần lượt tính định thức của ma trận Jacobian [J] tại 4 điểm như trên hình 1.4

- Lần lượt tính ma trận biến dạng - chuyển vị [B] tại 4 điểm như trên hỉnh 1.4

- Ưng với mỗi điểm, thực hiện các phép nhân ma trận [B]1 [C ].[B ].|j|

Cuối cùng, cộng lại các kết quả tính ở 4 điểm nói trên

Từ việc phàn tích trên đây, ta thấy quá trình tính toán rất phức tạp, không thể tính bằng tay mà phải nhờ vào sự hỗ trợ của chương trình tính Việc tính lập bằng số nhiều lần vì việc nhân nhiều lần các ma trận đòi hỏi phải có những chương trình con để khi cần thì gọi chúng Vì ma trận độ cứng cục bộ có nhiều phần tử nhưng lại có tính chất đối xứng ta nên tính với nửa phần trên của ma trận để tiết kiệm bộ nhớ

tự nhiên và các điểm Gauss.

Ví dụ: Cho một PTHH hình chữ nhật với kích thước và tọa độ tại các nút như trên

hình 1.5a Phần tử trong hệ tọa độ tự nhiên và các điểm Gauss như trên hình 1.5b Yêu cầu tính ma trận độ cứng cục bộ

r-ìn

ó+

in

os

in

in cn

ị S ìn

ó '+

in

ró

cTI

sK

ìn

o 'I

C

<íS- Ì-H

csS'OỒ

V£>

incnsS

inrós

ìn

o '+

in

ró

sS

o '

cọ

ƠNcTI

o o

<4-1

C

‘'«ùb

- Co

op

G cỊ*

"6vg

« D

C

<CS-in cd

<cd

c2

to

o

roNÓ

<No

oỉ>

o

oo

ƠN

oo

r-<Noo

1 _

Ô'1

l ro

X

CN

p/3

>

xT/3

/3

c313Oo05

c

Ọí

<NII

pC

^ 3

4 - Jc'<32cx

tứ

2o

/03

23'<<L>

12o

>oạ3

+—*

r

ữXJc

/3

o'<p3

0

Er«D • *—■*

*0

*3«

-Oọ

<o-3 CJoọoo-

-*0c

X

1 o t>

-o o

ro to o

orv

ro NÕ CN o

ro to o o

ro NÓ

<N o

ƠN o

r-o o

© o

ị ƠN

© cT

o

o r- o

ro NO (N

ro ló CN

o r- o o Ó*

ro toi o

pro

X X X

p

<NII

I X

ooo

o d d o"1 o"1 o '1 o"1 o"

ununen

l>

ooo

un05

r-en05Oen

50O

o-JO

O D- O

O-*0

a

cd

<cd-s

cd H

cd /O

*5b

<cd

X

1en50(NO

en

unOo

o

F-oo

enunOo

o

o

F-o

05o

en50

<NO

1F-05iOO

o

en50(NO

enunO

X X

oo un

en

O (N

oo

<p Q

(N CN

o is oo

<N

S ’ s

o

ƠV en oo

(N

r-Ò4

o

o

VO r-

II

¿4

CÇ

C p jq

<q-

Ũ-II

£ o I

o|-~<(L)

■•o

CÖ*

-C c o p-

a,

«Ü H

o r- o o

ON o

r-cn VO CN o

o

r-cn VO (N o

cn in o o

o r- o o

cn in o o ó

1 o' 1 Ỏ 1 o' + o' Ö o' o' 1 o

o

CO

X

X X

000

1

'•Ocd4—»

r-E

*“<(L)

•6nt-c3-

*—*c

«Du.

-C

c

¿ 3o

,w

«D

o

'Çdo0ÛÇ

<o-o

r'

öpÇ/3

o

'<p5u

1 un

O s

O s

nf

nt- CN un

nj-un Os

O s

nỷ-oo

un en f—"i

un Os O ni"

Os un

oo

en

un Os Os nF

-1 nf un r-* (N

1 CN 00

o

O s

e n

Os o

nt-Os O

o

un

NO un un

O o

00

o

Os 00

nf nF

O s

O O une'

O

O s

e n Ö

1 O 1 <3 Ỉ ó*

un Os Os ni"

Os un 00 en

CN O*

Quá trình tính toán trên đây chứng tỏ khối lượng tính rất lớn Cần nhấn mạnh rằng việc chọn sô điểm Gauss (còn gọi là bậc tích phân bằng số) hợp lí có một ý nghĩa rất quan trọng về 2 phương diện Một là khối lượng tính toán tâng lên đáng kể khi tăng bậc tích phân; hai là việc chọn các bậc tích phân khác nhau có ảnh hưởng đến kết quả tính toán.

Khi xác định bậc tích phân, cần nghiên cứu bậc của hàm dưới dấu tích phân Trong trường hợp ma trận độ cứng, hàm đó có dạng:

Vì ma trận [B] và định thức ma trận Jacobian I J 1 là những hàm của r, s, t, ta xácđịnh được bậc của hàm và khi nó bằng hoặc nhỏ hơn 2n - 1, ta có thể chọn số điểm Gauss một cách hợp lí

Lấy ví dụ PTHH hình chữ nhật, có thể chứng minh được rằng I J I = a.b, trong đó 2a

và 2b là 2 cạnh của nó Từ (1-9) và (1-16), ta thấy rằng hàm f để xác định ma trận độ cứng có dạng f(r2, fs, s2) nghĩa là hàm có bậc 2 Vậy chọn bậc tích phân 2 X 2 (4 điểm)

là hợp lí Trong trường hợp định thức ma trận Jacobian không phải là hằng số, chẳng hạn như trong ví dụ trên, hàm f có bậc 3, chọn bậc tích phàn 2 x 2 cũng là hợp lí Khi ma trận Jacobian có bậc cao hơn, có thể phải tăng bậc tích phân Khi tính bản và vỏ, vấn đề này cũng sẽ được đề cập đến

Trong công trình nghiên cứu của mình, Bathe và Wilson (4) có kiến nghị dùng bậc tích phàn tối thiểu khi tính ma trận độ cứng trong bài toán 2 chiều: Các số liệu ghi trong bảng 1.2

Báng 1.2 Bậc tích phân theo phương pháp G auss dùng cho P T H H 2 chiều

2 x 2

Hình cạnh cong 8 nút

1.3 CÁCH GIẢM CẤP MA TRẬN

Trong thực tế, ngoài các bậc tự do chính, PTHH còn có những bậc tự do phụ do nhũng yêu cầu nào đó Nghĩa là ngoài các nút chính trên biên của PTHH, còn có những nút phụ được đưa vào trong PTHH để tạo thành hàm hình dạng Chẳng hạn trên hình 1,6a, hình tứ giác được ghép bởi 4 hình tam giác, do đó tạo nên nút phụ 5 ở giữa Trên hình 1.6b, hình tam giác được bổ sung thêm một nút phụ 10 ở giữa Trên hình 1.6c, PTHH cong có một nút phụ 9 ở giữa

c)

Hình 1.6:

a) 4 hình tam giác ghép thành hình tứ giác; b) Hình tam giác 10 nút; c) Phần tử cong 9 nút.

Cần chú ý rằng các nút phụ trên không có sự liên kết với các PTHH ghép vào nhau Do

đó, chuyển vị của chúng không cần có mặt trong hệ phưong trình cân bằng của toàn hệ Ta

có thể loại trừ các bậc tự do ứng với các nút đó và cãn cứ vào chuyển vị của các nút biên

để tính ma trận độ cứng cũng như vectơ lực tại các nút Cách loại trừ đó như sau:

Theo [1], phương trình cân bằng của toàn hệ có dạng:

[d] - vectơ chuyển vị;

[Q] - vectơ lực tại các nút (bao gồm nút chính về nút phụ)

Sắp xếp lại hệ thức ma trận trên để tách rời các bậc tự do ứng với các nút chính và các nút phụ:

{d2} - vectơ chuyển vị ứng với các nút phụ;

[ k ] là ma trận đã xuống cấp, dùng để tính ma trận độ cứng;

Phương pháp trên gọi là phép "cỏ đọng tĩnh học" (Static Condenstation) Để thấy ưu điếm của phương pháp này, ta hãy lấy ví dụ trên hình 1.6 PTHH cong có 9 nút dùng để

loại trừ nút 9 thì số bậc tự do còn lại chỉ là 5 X 8 = 40 Do đó, việc giải hệ phương trình tuyến tính được đơn giản hơn

CÁC PHẨN TỬHỦU HẠN HÌNH TAM GIÁC

DÙNG CHO BÀI TOÁN 2 CHIỂU

C hư ơ ng 2

Chương này trình bày 2 loại PTHH sau đây:

1 ITHH hình tam giác biến dạng không dối

2 PTHH hình tam giác 6 nút

Trước hốt ta cán lìm hicu dặc dicm bài toán 2 chiểu

2.1 ĐẠC ĐIẾM BÀI TOÁN HAI CHIỀU

Trong bài toán hai chiền, chuyển vị, biến dạng, ứng suất, lực thể tích, lực biên là

Vcctơ chuyển vị u có dang:

11 mil 2.1 biếu ill ị kết cáu hai chiều một cách khái quát, trong đó vectơ lực thể tíchvectơ áp lực biên và phân tố thế tích dV như sau:

I

Trong đó: h - bể dày của kết càu hai chiêu;

fx, fv - các lực thể tích trên đơn vị thể tích trên các phương X, y;

pv pv - các áp lực biên trẽn dơn \'Ị diện lích trên các phương X và y;

dA - phàn tố diện tích theo lí thuyết đàn hổi ớ hệ thức biến dạng chuyến vị

Mỉén 2 chiểu được chia thành các hình tam giác như trên hình 2.2 Các đinh tam giác gọi là nút mỗi tam giác do 3 nút và 3 cạnh tạo thành gọi là một PTHH Các PTHH tam giác lấp đầy miền hai chiều Nếu có miền rỗng ở biên thì thay nó bằng các PTHH bé hơn hoặc các PTHH có biên cong, do dó bài toán sẽ được giải một cách gan đúng Sô thứ tự các PTHH - khoanh tròn: Số thứ tự các nút - không khoanh tròn

Áp lực bien

Hình 2.2: Mỏ hình phan tử hữu hạn trong hủi toán 2 chiểu

Trong bài toán 2 chiều, mỗi nút được phép chuyển vị trên 2 phương X và y Vậy mỗi nút có 2 bậc tự do (viết tắt là BTD) Để tiện cho việc lập trình trên máy tính điện tử, ta đặt số thứ tự cho mỗi nút như sau:

Trong đó: n - số BTD của toàn hệ

Trong tính toán, cần biểu thị tọa độ của các nút và sơ đồ liên kết giữa chúng Tọa độ nút biểu thị trên hình 2.3 Sơ đồ liên kết giữa các PTHH và giữa các nút biểu thị trên hình 2.2 Nếu tách riêng một PTHH, nó có 3 nút 1, 2, 3 (có tính chất cục bộ) và các BTD cục bộ biểu thị như trên hình 2.3

u2(3)

y

X

Hỉnh 2.3: Sô tliứ tự cục bộ của các nút và sô thứ tự cục bộ của các ETD

Sự tương ứng giữa số thứ tự cục bộ (1, 2, 3) của các nút và sô' thứ tự tổng thể của chúng biểu thị trên hình 2.2 và bảng 2.1

Chẳng hạn đối với PTHH có số thứ tự 4 (hình 2.2), có sự tương quan như sau: nút 1

(cục bộ) —> nút 5; nút 2 (cục bộ) —» nút 4; nút 3 (cục bộ) —> nút 6 Các nút của PTHH tam giác đếm theo chiểu ngược kim đồng hồ để tránh diện tích âm (vấn đề này sẽ được

đề cập trong phần sau)

Các thành phần chuyển vị tại các nút của PTHH men theo các BTD cục bộ (1, 2, 3) biểu thị như trên hình 2.3

Bảng 2.1 Sự tương ứng giữa sỏ Ihír tự cục bộ

2.2 PHẦN TỬHŨU HẠN HÌNH TAM GIÁC BIÊN DẠNG KHÔNG Đ ổ i

Đối với PTHH hình tam giác biến dạng không đổi, việc tính toán và việc lập trình khá đơn giản Cùng với các PTHH khác, nó có thể nằm trong miền gradien biến dạng đột ngột và miền biên có dạng đường cong hoặc dạng không đều đặn Nó cũng có thể dùng

để tính vật rắn tròn xoay chịu tải trọng đối xứng Trước hết, ta hãy nghiên cứu một số tính chất của nó

2.2.1 M ột sô tính chất của PT H H tam giác biến dạng không đổi

Hãy xét hình tam giác trên hình 2.4 với các

tọa dộ (Xị, y,) tại nút 1, tọa độ (x2, y->) tại nút

2, tọa độ (x3, y3) tại nút 3 Một điểm p với tọa

độ X, y nằm giữa hình tam giác, chia nó thành

3 hình tam giác con

Gọi:

A| là diện tích hình tam giác con tạo bởi

điểm p và cạnh đối diện với nút 1;

A2 là diện tích hình tam giác con tạo bởi

điểm p và cạnh đối diện với nút 2;

y

-X

Hình 2.4

A3 là diện tích hình tam giác con tạo bởi

điểm p và cạnh đối diện với nút 3;

A là diện tích hình tam giác lớn

Theo kết quả nghiên cứu về hình giải tích, ta có các hệ thức sau đây:

- Diện tích hình tam giác lớn:

y y2 y3

yi

y y3

yi

y2 y

Căn cứ vào các hệ thức trên, ta có thể tính đạo hàm của các tọa độ tự nhiên đối với các tọa độ vuông góc X, y Theo (2-15), ta có:

õx ~" 2A ôl2 1

Ta dựa vào nguyên tắc tính đạo hàm riêng để tính đạo hàm của một đại lượng nào đó đôi với các tọa độ vuông góc:

Sau đây, ta sẽ suy ra hàm hình dạng cho PTHH tam giác biến dạng không đổi

a,

a3

otj, a 2, a 3 là các tọa độ khái quát

Nếu thay các tọa độ U j , u2, u3 tại các nút

Ma trận [1] ở vế phải của (2-26) là ma trận đơn vị

Dùng phép nghịch đảo ma trận và chú ý rằng nghịch đảo của ma trận [1] chính là nó,

Đối với thành phần chuyển vị V trẽn phương y trong PTHH, ta cũng có hệ thức tương

tự (hình 2.6):

V = / |V | + /2 V 2 + /3V3Cũn cứ vào (2-30) và (2-31), ta có hệ thức ma trận:

Sự biến thiên của các hàm hình dạng N |, N2, N3 như trên hình 2.7.

N

2

3

Hình 2.7: Sự biến thiên của các hàm hình dạng N /, N 2, Nj

Đối với PTHH tam giác có biến dạng không đổi, hàm hình dạng có tính chất tuyến tính trong phạm vi PTHH Ở đây, ta dùng 3 hàm hình dạng Nj, N2, N3 ứng với các nút 1,

2, 3 Sự biến thiên của chúng (xem hình 2.7) như sau: Hàm hình dạng Nị bằng đơn vị tại nút 1 và bằng 0 tại 2 nút 2 và 3 (hình 2.7a) Hàm hình dạng N2 bằng đơn vị tai nút và 2

và bằng 0 tại 2 nút 1 và 3 (hình 2.7b) Hàm hlnh dạng N3 bằng đơn vị tại nút 3 và bằng 0 tại các nút 1 và 2 (hình 2.7c) Các hàm hình dạng nói trên được biểu thị bằng các mật phẳng Tổ hợp tuyến tính của các hàm đó cũng biểu thị một mật phẳng Đặc biệt tổ hợp của các hàm N Ị + N2 + N3 là một mặt phẳng đi qua các điểm có chiều cao bằng đơn vị tại các nút 1, 2, 3 nghĩa là mặt phẳng đó song song với tam giác 123 Vậy đối với bất kì hàm hình dạng Nị, N2, N3 nào, ta cũng có hệ thức:

Nị, N2, N3 là những hàm không độc lập tuyến tính Chỉ có 2 hàm là độc lập tuyến tính Các hàm hình dạng độc lập tuyến tính được biểu thị bằng các số không thứ nguyên /|, /2 (biến số trong hệ tọa độ tự nhiên) như sau:

2.2.3 Ma trận biến dạng chuyển vị

Để tính biến dạng và ứng suất, ta cần tính ma trận biến dạng - chuyển vị

Theo lí thuyết đàn hồi, ta có các hệ thức về biến dạng và chuyển vị như sau:

(2-43)

Theo (2-30) và (2-31), ta có:

u = / ịU ị + / 2 U2 + /3U3 (2-3 0)

V = /ị Vị + / 2 V 2 + /3V3 (2-3 1)

[b] =2A

khoanh tròn là số thứ tự các nút Yêu cầu

tính ma trận biến dạng - chuyển vị cho mỗi

Hệ phương trình cân bằng có dạng:

Trong đó: {q} - vectơ chuyển vị của toàn hệ;

{F} - vectơ lực do trọng lượng, lực biên và các lực đật tại các điểm gây ra

Số thứ tự của các bậc tự do trong {q} xếp theo thứ tự số tự nhiên, tăng từ 1 đến tổng

số bậc tự do

Giải hệ phương trình (2-54), ta sẽ được giá trị các thành phần chuyển vị trong toàn

hệ, từ đó tiến hành tính ứng suất cho từng phần tử hữu hạn

Lực biên tại các nút do áp lực trên

biên của PTHH tạo ra Giả sử áp lực

tác dụng trên biên 2-3 của PTHH theo

quy luật hình thang (hình 2.1 0)

Đầu tiên, ta xét trường hợp áp lực

Trường hợp áp lực tác dụng trên

/ là chiều dài từ phân tô d/ đến nút 3;

L->3 là chiều dài của cạnh 2-3; px2 là áp

lực trẽn phương X tại nút 2; px3 là áp

lực trên phương X tại nút 3 (hình 2.10)

Theo quan hệ hình học trên hình 2.10, áp

Theo tài liệu [1], vectơcác thành phần lực biên tại các nút như sau:

T

Trong đó: H - chiều cao của PTHH xuất phát từ nút 1

Đối với áp lực tác dụng trên phương y, ta cũng có các kết quả tương tự:

/by2 = g(2py2 + py3)L2-3

(2-68)

(2-69)

(2-70)/by3 = ^ ( P y2 +2Py3)L2-3

Qua Sự phân tích trên, ta có vectơ các thành phần lực biên tại các nút như sau:

/bxi (i = 1, 2, 3) - thành phần lực biên tại nút i trên phương x;

lbvi (i = 1, 2, 3) - thành phần lực biên tại nút i trên phương y;

px7 - áp lực tại nút 2 trên phương x;

py3 - áp lực tại nút 3 trên phương x;

px2 - áp lực tại nút 2 trên phương y;

py3 - áp lực tại nút 3 trên phương y

Trên đây là trường hợp áp lực tác dung trên cạnh 2-3 Khi áp lực tác dụng trên các cạnh 1-2 và 3-1, ta cũng tiến hành phân tích tương tự

3 ứm> suất

Sau khi tính dược vectơ lực thể tích, vectơ lực biên, ta thay vào vectơ 1 Fl trong (2-54)

để giải hệ phương trình Giá trị các thành phần chuyển vị trong vectơ {q} sẽ dùng đểtính ứng suất Theo tài liệu [1], vectơ ứng suất tính tlieo cồng thức sau:

Hình 2.11

Vì biến dạng là một hằng số trong PTHH tam giác có biến dạng không đều nên ứng suất cũng là một hằng số Ta tính ứng suất cho mỗi PTHH Từ vectơ {q} trong (2-54),cần tách ra các thành phần chuyển vị tưong ứng với mỗi PTHH đang xét Chẳng hạn trên

trong (2-72), vectơ chuyển vị sẽ là:

(2-73)

Ví dụ 2.2: Cho 1 tấm 2 chiều chịu tải trọng như trên hình 2.12 Yêu cầu xác định

các thành phần chuyển vị tại các nút 1 và 2 Bỏ qua trọng lượng bản thân Bể dày tấm:

Sơ đồ liên kết giữa các PTHH và giưa các nút như sau: