23 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs

CMR: ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.. CMR: ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm... b Xác định m để phương trình có nghiệm kép.. a CMR phương trình luôn

Chuyên đề 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

x y





Bài 4: Cho 1 1 1 0

abc  Tính giá trị của biểu thức: P ab2 bc2 ca2

Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2+ b2+ c2= 14 Tính giá trị của biểu thức: B a 4 b4 c4

Bài 7: Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab + bc + ca = 1 Tính giá trị của biểu thức: a)

x x

  CMR: 5

5

1

x x

 là một số nguyên Tìm số nguyên đó.Bài 9: Cho x  0 và x 1 a

2000

abc  thì một trong ba số a, b, c có một số bằng 2000

Bài 15: Cho a + b + c = 0 CMR: 4 4 4 1 2 2 22

2

a b c  a b c

Bài 16: CMR, nếu x + y + z = 0 thì 2x5 y5 z5 5xyz x 2 y2 z2

Bài 17: Cho a, b, c là ba số khác nhau CMR:

(a b a c b c)( )(b c b a c a)( )(c a c b a b)( ) a b b c2  2 c a2

Bài 18: CMR nếu : xyz = 1 thì: 1 1 1 1

1 x xy 1y yz 1 z zx  (PTNK ĐHQG 97- 98)Bài 19: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài 30: Cho ba số x, y, z thỏa mãn: by + cz = a; ax + cz = b; ax + by = c; trong đó a, b, c

là các số dương cho trước CMR: x11 y11 z11

   không phụ thuộc vào a, b, cBài 31: CMR, nếu: 1 1 1 2

 CMR, với mọi số nguyên dương n ta có: x n y n a n b n

Bài 35: Cho x và y thỏa mãn: x + y = a; x2+ y2= b; x3 + y3= c CMR: a3+ 2c = 3ab.Bài 36: Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời: x2+ 2y + 1 = 0;y2+ 2z + 1 = 0;z2+ 2x +1 = 0Tính giá trị của biểu thức: A x 2000  y2000 z2000

Bài 37: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn:

3815

Bài 38: Cho hai số x, y thỏa: xy + x + y = – 1; x2y + xy2 = – 12

Tính giá trị của biểu thức: P = x3+ y3

Bài 39: Cho biết :

2 2 2

Bài 40: Cho a, b, c là các số khác 0 thỏa mãn: a b3 3 b c3 3 c a3 3 3a b c2 2 2

Tính giá trị của biểu thức: A 1 a 1 b 1 c

CMR trong ba số a, b, c phải có một số bằng bình phương của số còn lại

Bài 45: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: xyz = 1 và x y z 1 1 1

x y z

Tính giá trị của biểu thức: P(x19 1)(y5 1)(z1980  1)

Bài 46: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c 0

b c c a  a b CMR trong ba số a, b, c phải có một số âm, một số dương

Bài 47: CMR không tồn tại các số a, b, c thỏa mãn đồng thời:

Bài 51: Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a b c d ab 1 cd

Tính giá trị của biểu thức: P a 1998 b1999c2000

Bài 55: Cho a, b, c đôi một khác nhau và a b c 0

b c c a a b Tính giá trị của biểu thức: ( )2 ( )2 ( )2

b c  c a  a bBài 56: Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn: a b c 1

b c c a  a b Tính giá trị của biểu thức: Q a2 b2 c2

CMR: P a b c 4(  )b c a4(  )c a b4(  ) luôn khác 0 (HSG Nam Tư 1978)

Bài 65: Cho a, b, c thỏa mãn:

(a b  2 )c (b c  2 )a (c a  2 )b (a b ) (b c ) (c a ) CMR: a = b = c

Bài 66: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Biết : (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc

CMR: Tam giác đã cho là tam giác đều

Bài 67: Cho a2+ a + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: 1981

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:

a) CMR x là nghiệm của phương trình: x3– 3x – 18 = 0 b) Tính x

Bài 22: Tính giá trị của biểu thức: 1 2 1 2

Bài 24: Rút gọn: 4 2

4 4

11

Bài 26: Cho biểu thức : A x2 2 x2  1 x2  2 x2  1

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa b) Tính giá trị của A khi x  2

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa b) Rút gọn A

Bài 29: Cho a, b, c là các số hữu tỉ CMR: 2 2 2

(a b ) (b c ) (c a ) là một số hữu tỉBài 30: Tính giá trị của biểu thức: A x 2  x4  x 1với 1 2 1 2

x



 theo aBài 32: Cho 3 3



a) Tìm điều kiện của x để B có nghĩa b) Tìm x để B > 0

1

x A

Bài 1: Tìm một đa thức bậc hai, biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995

Bài 2: Tìm một đa thức bậc ba, biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1

Bài 3: Tìm một đa thức bậc ba P(x), cho biết khi x P(x) chia cho các đa thức : (x – 1),

(x – 2), (x – 3) đều được dư là 6 và P(– 1) = – 18

Bài 4: Cho đa thức bậc 4 P(x) thỏa mãn: P(– 1) = 0 và P(x) – P(x – 1) = x(x + 1)(2x + 1)a) Xác định P(x)

b) Suy ra giá trị của tổng sau đây: S = 1.2.3 + 2.3.5 + ………+ n(n + 1)(2n + 1)

Bài 5: Cho biết đa thức bậc hai P(x) có ba nghiệm số phân biệt , ,  CMR: P(x) = 0,xBài 6: Cho đa thức P(x) = ax2+ bx + c (a, b, c  0) Cho biết 2a + 3b + 6c = 0

a) Tính a, b, c theo P(0), 1

2

P 

 , P(1)b) CMR: P(0), 1

2

P 

 , P(1) không thể cùng âm hoặc cùng dươngc) CMR: Đa thức P(x) có một nghiệm dương bé hơn 1

Bài 7: Tìm một đa thức bậc hai biết : P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985

Bài 8: Cho đa thức: P(x) = x4+ x3– 2

x + ax + b và Q(x) = 2

x + x – 2 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 9: Xác định a và b sao cho đa thức P(x) = ax4+ bx3+1 chia hết cho Q(x) = (x – 1)2.Bài 10: Cho đa thức: P(x) = 6x4– 7x3+ ax2+3x + 2 và Q(x) = x2– x + b

Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 11: Cho biết đa thức P(x) thỏa mãn:

P(x) chia cho đa thức x + 3 còn dư là 1, P(x) chia cho đa thức x – 4 còn dư là 8

P(x) chia cho đa thức (x + 3)(x – 4) thì được thương là 3x và còn dư

Bài 12: Cho đa thức: P(x) = x4+ ax2+ 1 và Q(x) = x3+ ax + 1

Xác định a để đa thức P(x) và Q(x) có nghiệm chung

Bài 13: CMR, không tồn tại một đa thức với hệ số nguyên P(x) thỏa : P(1) = 19, P(19) = 85Bài 14: Cho đa thức: P x( ) 1 x2 x4 x2n 2

     và Q x( ) 1 x x2 x n 1

Tìm số nguyên dương n sao cho P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 15: Xác định dư của phép chia đa thức: P x( ) x x3 x9 x27 x81 cho Q(x) = x – 1Bài 16: Xác định dư của phép chia đa thức: P x( ) x x3 x9 x27 x81 cho Q(x) = x2 – 1Bài 17: Xác định dư của phép chia đa thức: P x( ) 1  x x9 x25 x49 x81 cho Q(x) = x3 – xBài 18: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: x3 + ax2+2x + b chia hết cho x2+ x + 1

b) Tìm các số nguyên m sao cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyênBài 2: Cho hệ phương trình : 4 10 (m là tham sô)

b) Với giá trị nào của số nguyên m , hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dươngBài 3: Cho hệ phương trình : ( 1) 3 1 (m là tham sô)

Bài 4: Cho hệ phương trình : ( 1) 2 2 1 (m là tham sô)

Bài 5: Cho hệ phương trình : 2 (m là tham sô)

b) Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm : x = 1, y = 1

Bài 6: Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m : 2 1 (1)

Bài 8: Cho hệ phương trình : x my mx 2y21

a) Giải hệ khi m = 2

b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0

c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên

Bài 9: Cho hệ phương trình : 2 (m là tham sô nguyên)

Bài 10: Cho hệ phương trình : 2 1 (1)

b) Xác định m để điểm M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất

c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5Bài 11: Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình : mx x my m4y m (2)2 (1)

duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

Bài 12: Cho hệ phương trình : 2mx x my 2y11

a) Giải và biện luận theo tham số m

b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

c) CMR khi hệ có nghiệm duy nhất (x, y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định

d) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2

2Bài 13: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

Bài 15: Cho hệ phương trình : mx y 1 (m là tham sô)

(Chuyên Lê Hồng Phong HCM 90)

Bài 17: Giải hệ phương trình :

Bài 18: Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình :

100 5 3 100 3 x y z z x y           Bài 19: Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của x và y thỏa: 5x + 7y = 112 (HSG HCM 86) Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình: a) 16x – 25y = 1 b) 41x – 37y = 187 Bài 21: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của hệ phương trình: a) x x115y z37    b) 3x x25y y34z z2037     Bài 22: Cần đặt một ống nước dài 21m bằng hai loại ống: ống 2m và ống 3m Hỏi mỗi loại cần mấy ống Bài 23: Một trường THPT dùng 100.000 đ để mua một số thiệp hoa làm tặng phẩm cho các HSG Trong số thiệp hoa này, loại 2000 đ/cái ít hơn 10 lần loại 1000 đ/cái, số thiệp hoa còn lại là loại 5000 đ/cái Hỏi nhà trường mua mỗi loại thiệp hoa bao nhiêu cái ? Bài 24: Giải hệ phương trình : a) 6 2 3 5 19 4 9 25 97 x y z x y z x y z               b) 2 2 2 3 3 3 4 x y z x y z x y z               c) 2 3 0 5 4 8 6 x y z x y z x y z               d) 14 4 0 2 x y z t x y z t x y z t x y z t                        Bài 25: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a: a) 2 1 ax y z x ay z a x y az a               b) 2 2 2 2 2 2 x ay a z a x by b z b x cy c z c               Bài 26: Giải hệ phương trình : 1 2 3 2000 1 3 4 2000 1 2 4 2000 1 2 3 4 1999 + 1

2

3

2000















ĐỊNH LÝ VIÈTE

Bài 1: Cho phương trình : x2– 2(m – 1)x – 3 – m = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m

b) Tìm m sao cho nghiệm số x x1, 2 của phương trình thỏa mãn điều kiện : 2 2

1 2 10

x  x  Bài 2: Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x2  2mx2m1 0

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x x1, 2 với mọi m

b) Đặc A = 2 2 2

1 2 1 2

(x x ) - 5x x

i) Chứng minh A = 8m2 -18m+9

ii) Tìm m sao cho A= 27

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia

Bài 3 : Cho phương trình : (m1)x2 2(m1)x m 0

a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

Bài 4 : Cho phương trình : x2  (2m 3)x m 2  3m0

a) Chứng minh rằng , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi

b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa : 1 < x1 <x2 <6

Bài 5 : Cho hai phương trình : x2  x a 0 (1); x 2 ax+1=0 (2)

Tìm các giá trị của a để hai phương trình :

a) Tương đương với nhau b) Có ít nhất một nghiệm chung

Bài 6 : a) Chứng minh hằng đẵng thức : (m2 m1)2 4m m24 (m2 m1)2

b) Cho phương trình : mx2  (m2 m1)x m  1 0 (1)

Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Bài 7 : Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình : x2  px 1 0

Gọi c,d là hai nghiệm của phương trình : y2 qy 1 0

Chứng minh hệ thức : (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p q )2

Bài 8 : Giả sử a và b là hai nghiệm của phương trình x2 px 1 0

Giả sử c và d là hai nghiệm của phương trình x2 qx 1 0

Chứng minh hệ thức : (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2  p2

Bài 9 : Cho phương trình : (m2)x2  (2m 1)x 3m0

Chứng minh rằng ; phương trình có nghiệm với mọi m

Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 và khi đóhãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia

Bài 10 : Cho phương trình : x2  4x m  1 0

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa mãn : 2 2

1 2 10

x x Bài 11 : Cho phương trình : x2  2mx m 2 0

a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm

b) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức : E= x1  x2 theo m

Bài 12 : Cho phương trình : 3x2  mx2 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn : 3x x1 2 2x2  2

Bài 13: Cho phương trình : x2– 2(m – 1)x – m = 0

a) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Với m  0, lập phương trình ẩn y thỏa: 1 1 2 2

Bài 16: Cho phương trình : x2– 4x – (m2+ 3m) = 0

a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m

Bài 19: Cho phương trình : a 2

x + bx + c = 0 (a  0) CMR điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2

Bài 20: Cho phương trình : a 2

x + bx + c = 0 (a  0) CMR điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là: (k + 1)2ac = kb2 ( k > 0)

Bài 21: CMR phương trình : (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Bài 22: Cho 2 phương trình : x2+ mx +2 = 0 (1) ; x2+ 2x + m = 0 (2)

a) Tìm m đề hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

b) Tìm m để hai phương trình tương đương

c) Tìm m để phương trình : (x2+ mx +2)( x2+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 23: Cho 2 phương trình : (2a + 1)x2– (3a – 1)x + 2 = 0 (1)

(b + 2)x2– (2b + 1)x – 1 = 0 (2)

Tìm a, b để hai phương trình có hai nghiệm chung

Bài 24: Với giá trị nào của tham số k , hai phương trình sau có nghiệm chung:

x + bx + c = 0 (a, b, c là các số hữu tỉ) Cho biết phương trình này có một nghiệm là 1 + 2 Tìm nghiệm còn lại

Bài 27: Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình : kx2– (1 – 2k)x + k – 2 = 0 luôn luôn

có nghiệm số hữu tỉ

Bài 28: Cho phương trình : 3 2

x +4(a – 1)x + a2– 4a + 1 = 0 Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: 1 2

Bài 29: Cho biết phương trình : x2+ px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b; phương trình :

x2+ qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c CMR: (b – a)(b – c) = pq – 6

Bài 30: Cho các phương trình : x2– 5x + k = 0 (1); x2– 7x + 2k = 0 (2)

Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp hai lần một trong các nghiệm của phương trình (1)

Bài 31: Cho 2 phương trình : 2x2+ mx – 1 = 0 (1); mx2– x + 2 = 0 (2)

Tìm m để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung

Bài 32: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2– cx + 2c – 1 = 0

Tính theo c giá trị của biểu thức: 3 3

2x2+ (3k – 1)x – 3 = 0 và 6x2– (2k – 3)x – 1 = 0

a) Có nghiệm chung b) Tương đương với nhau

Bài 35: Cho phương trình : 2x2+ 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phương trình

có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: 1 2

a) CMR phương trình : f(x) = 0 có nghiệm với mọi m

b) Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình : f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài 39: Cho phương trình : x2– (2m + 1)x + m2+ m – 6 = 0

a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: x13  x23 50

Bài 40: CMR phương trình : (x + 1)(x + 3) + m(x + 2)(x + 4) = 0 luôn có nghiệm số thực với mọi m

Bài 41: Cho phương trình : x2– 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: 3 3

1 2 72

x x Bài 42: Giả sử a và b là hai số khác nhau CMR nếu phương trình : 2

x + ax + bc = 0 (1) và 2

x + bx + ac = 0 (2) (a, b, c đôi một khác nhau và khác 0) Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung CMR hai nghiệm còn lại của (1) và (2) là nghiệm của phương trình : x2 + cx + ab = 0

Bài 44: Cho phương trình : x2– (m – 1)x – m2+ m – 2 = 0

a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m

b) Tìm m để 2 2

1 2

E x x đạt GTNNBài 45: Cho 2 phương trình : 2 2

1 1 0 (1) và 2 2 0 (2)

x a x b  x a x b Cho biết a a1 2 2(b1 b2) CMR: ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm

Bài 46: Cho 3 phương trình : ax2+ 2bx + c = 0; bx2+ 2cx + a = 0; cx2+ 2ax + b = 0

(a, b, c khác 0) CMR: ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm

Bài 47: Cho phương trình : x2– 2(m – 1)x + m2– 3m + 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa:

a) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.

b) Tìm m để 2 2

1 2

E x x đạt GTNNBài 49: Cho phương trình : (m + 2)x2– 2(m – 1)x + 3 – m = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: 2 2

1 2 1 2

x x x x

b) Lập một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc m

c) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: 1 2

Bài 50: Cho phương trình : (a – 3)x2– 2(a – 1)x + a – 5 = 0

a) Giải phương trình khi a = 13

b) Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 51: Cho phương trình : 2x2+ (2m – 1)x + m – 1 = 0

a) CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho : – 1 < x1< x2< 1d) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Hãy lập hệ thức giữa

1

x , x2 không phụ thuộc m

Bài 52: Cho phương trình : x2– 2(m – 1)x + m – 3 = 0

a) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

Bài 53: Cho phương trình : x2+ ax + b = 0 Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa: x1– x2= 5 và 3 3

1 2 35

x  x  Tính các nghiệm đó

Bài 54: Giả sử phương trình : ax2+ bx + c = 0 (a, b, c  0) có hai nghiệm phân biệt trong đó

có đúng một nghiệm dương x1 thì phương trình bậc hai ct2 bt a 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó có t 1 0 thỏa x1t1 2

Bài 55: Cho 2 phương trình : ax2+ bx + c = 0 (1) và cx2+ bx + a = 0 (2) (a, b, c  0)

CMR nếu (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thì (2) cũng có hai nghiệm dương x3, x4 Ngoài

Bài 58: a) Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình: 2 85 5

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia Tìm các nghiệm đó

Bài 60: Cho f x( ) (4 m 3)x2 3(m1)x2(m1)

a) Khi m = 1; Tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0

b) Xác định m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương

c) Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Lập một hệ thức giữa x1

Bài 62: Cho phương trình x2  2(m  1)x  3  m = 0

a) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Xác định m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: 2 2

1 2 10

x x c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: 2 2

1 2

E x x đạt GTNNBài 63: Giả sử phương trình : x2+ ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương Chứng minhrằng a2+ b2là một hợp số

Bài 64: Giả sử phương trình : x2  2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Xác định m để biểu thức 2 2

1 2 1 2

E x x x x đạt GTNN Tìm minEBài 65: Cho phương trình : x2  (a  1)x +1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 , xác định a để biểu

1n 2n và 1n 2n

x x x  x 

  đều là các số nguyên và chúng nguyên tốcùng nhau

Bài 67: Cho phương trình : x2– 2(m + 1)x + 4m = 0

a) CMR: m, phương trình luôn luôn có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

b) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4 Tính nghiệm số còn lại

Bài 68: Cho phương trình : 2

x – mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 Với giá trị nào của mbiểu thức 2 2 1 2

1 2 1 2

x x R

2

102

x ax

a

   Chứng minh rằng: 4 4

1 2 2 2

x x   Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 71: Cho a  0 Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình : 2

2

10

x ax

a

   Tìm GTNN của E = 4 4

1 2

x x

Bài 72: Cho phương trình : x2+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

a) Tìm a để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1

Bài 73: Cho phương trình: x2– ax + a – 1 = 0 có hai nghiệm là x1, x2

a) Không giải phương trình, hãy tính:

1 2

x x đạt GTNN

Bài 74: Cho phương trình : 2

x – (2m + 1)x + m2+ m – 1 = 0a) CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) CMR có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m

Bài 75: Cho phương trình : ax2(ab1)x b 0

a) CMR: a, b phương trình đã cho đều có nghiệm

b) Muốn phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1

2 thì a và b phải bằng bao nhiêu ?

Bài 76: Cho phương trình : x2– 2mx – m2– 1 = 0 (1)

a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa: 1 2

2 1

52

x x

x  x 

Bài 77: Cho phương trình : (m – 1)x2– 2(m + 1)x + m = 0 (1)

a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m

b) Khi phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2:

a Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m

b Tìm m sao cho x1 x2 2

Bài 78: Cho phương trình : x2– 2x – (m – 1)(m – 3) = 0

a) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm Xác định m để E = (x1+ 1)x2 đạt GTLN

Bài 79: Cho phương trình : 2

x + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0a) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Xác định m để phương trìnhluôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2

1 2

x x

Bài 80: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : x2– 3x + a = 0

Gọi t t1, 2là hai nghiệm của phương trình : t212t b 0

Cho biết : 1 2 1

2 1 2

x x t

x t t Tính a và b

Bài 1: CMR nếu phương trình bậc ba: ax3bx2cx d 0 (a 0) có ba nghiệm x1, x2, x3

x x x x x x

a d

Bài 3: Cho phương trình : x3 (2m1)x2(m2 3m 2)x2m22m0 (1)

a) CMR phương trình (1) có nghiệm x = – 2 với mọi m

b) Xác định m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm

c) Xác định m để phương trình (1) có ba nghiệm x1, x2, x3 sao cho: 2 2 2

1 2 3

S x x x đạt giả trị nhỏ nhất

Bài 4: a) Tính (6x2 x 1)(x 2) b) Giải phương trình : 2 2 1 7 1

a) CMR phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 , trong đó x1 = 1,  mb) Xác định m để : E x 1 x2 x3 đạt GTNN Tìm minE và các nghiệm x1, x2, x3

tương ứng

Bài 6: a) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của một số bằng tổng các lập

phương của ba số kia

b) Có thể tìm được 5 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của số này bằng tổng các lập phương của bốn số kia ?

Bài 7: Cho phương trình : x3 (4a3)x24 (a a2)x 4(a21) 0 (1)

a) Giải phương trình khi a = 1

2

 b) Giải và biện luận phương trình theo tham số aBài 8: Cho phương trình : x3– 2 2

x + (m + 1)x – m = 0a) CMR phương trình luôn luôn có nghiệm x = 1,  m

b) Giải và biện luận phương trình đã cho theo tham số m

Bài 9: Giải các phương trình sau:

Bài 10: Cho phương trình : x32ax2 (a1)2x 2 (a a1)2 0

a) Giải phương trình khi a = 1

b) Với giá trị nào của a, phương trình có nghiệm nhỏ nhất ? Tìm nghiệm nhỏ nhất đóBài 11: Giải và biện luận phương trình : x33ax23(a2 bc x a)  3b3c3 3abc0 (1)Bài 12: Cho phương trình : x410x3 2(a11)x22(5a6)x2a a 20

a) Giải phương trình khi a = – 2 b) Giải và biện luận phương trình theo a, b

Bài 13: Cho phương trình : x4+ 2(2a + 1)x2– 3a = 0

a) Giải phương trình khi a = – 3

b) Xác định a để phương trình có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thỏa mãn:

x4– x3 = x3 – x2 = x2 – x1

Bài 14: Cho phương trình : (a b x  )3 4(a3b3x3) 12 abx0

a) Giải phương trình khi a = 1 và b = 2

b) Giải và biện luận phương trình theo a và b

Bài 15: Cho phương trình : (x a b x b c x c a a b c  )(   )(   )(   )abcx

a) Giải phương trình khi a = 2, b = 3, c = 4

b) Giải và biện luận phương trình theo a, b, c

Bài 16: Giải các phương trình sau:

b) Cho biết phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn hệ thức: x1.x3 = 2

2

x

CMR: ca3 b3

Bài 18: Cho phương trình : (x23x1)(x23x1)m21

a) Giải phương trình khi m = 2 b) Xác định m để phương trình có nghiệm Bài 19: Giải các phương trình sau:

Bài 20: Giải và biện luận phương trình : x4 2(a2b x2) 2(a2 b2 2) 0

Bài 21: Tìm điều kiện của a và b để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt:

x4 2(a2b2 1)x2(a2 b21)2 4a20

Chuyên đề 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Bài 1: Giải hệ phương trình :

Bài 2: Giải hệ phương trình : x + y – z = y + z – x = z + x – y = xyz

Bài 3: Giải hệ phương trình :  

x+y+z+t=221

y

y x

x y z y

) e) 13 f)

6)

Bài 11: Với giá trị nào của m, hệ phương trình :

) b) 1

6

110

)

12

12

6

21

4 f)

439

47

Bài 23: Giải các hệ phương trình :