Tuyển tập các bài tập đặc sắc nhất về phương trình bất phương trình hệ phương trình

Lời giải chi tiết Do x0 không là nghiệm của phương trình.. Lời giải chi tiết Phương trình tương đương với x1.. Vậy phương trình tương đương với x1... 2 1Lời giải chi tiết Ta thấy x

Trang 1

 Dành cho học sinh luyện thi THPT Quốc Gia

 Tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên

Trang 2

Phần 1:

Phương trình

Trang 3

Bài số 1: Giải phương trình sau: (5 x  4) 3 x   2 5 2   x (6 x  1) x  3

Lời giải chỉ tiết

Trang 4

Bài số 2: Giải phương trình sau: x   1 2 2 x    3 ( x 1)( x2 2)

Lời giải chỉ tiết

Điều kiện: x 1

Nhận thấy x 1 thoả mãn phương trình

Xét x 1, phương trình tương đương

2 2

Do đó phương trình tương đương: x   3 0 x 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1; x3

Trang 5

Bài số 3: Giải phương trình sau: 4x2 23 x44x34x2 (x1)2 1 x

Lời giải chi tiết

Dấu “=” xảy ra ở (3) khix0;x 2

Từ (2) và (3) chúng ta có nghiệm của phương trình (1) là x0;x 2

Vậy phương trình trên có 3 nghiệm x0;x 2

Trang 6

Bài số 4: Giải phương trình sau:     (*)

2

1  x  1 2 x  2 x     1 x 1 x x

Điều kiện: x0

Xét x0 không là nghiệm phương trình

Xét x0 Phương trình tương đương

x x x

x

x x

Trang 7

Bài số 5: Giải phương trình sau: 6 4 1 1

2 2

t t t

Trang 8

Bài số 6; Giải phương trình sau:  2  1 2 1 1

x x

x a

x a b x ab xab b

Trang 9

Bài số 7: Giải phương trình sau:  

Dấu “=” xảy ra khi x0

Vậy phương trình có nghiệm x0

Trang 10

Bài số 8: Giải phương trình sau: 12 2 1  

Trang 11

Bài số 9: Giải phương trình sau: 6  

x y

x y z

Với y2 không thoả mãn

Trang 12

Bài số 10: Giải phương trình sau: 2 2

Trang 13

Bài số 11: Giải phương trình sau:   2  

Do đó phương trình vô nghiệm Với t  1 x 1

Cách 2: Đặt t  x  0 Phương trình tương đương với:

Trang 14

Bài số 12: Giải phương trình sau:

2 2

Vậy phương trình trên có nghiệm x1

Trang 15

Bài số 13: Giải phương trình sau: 2 23  2

          , tới đây ta xét hàm là xong bài toán

Do x0 không là nghiệm của phương trình Chia 2 vế của phương trình cho x3, ta được:

2 2

Bình luận: Bài này khó nhận ra hàm để xét nên các bạn nhớ chú ý là vế phải có căn bậc ba nên chúng ta phải nghỉ

đến việc thứ nhất là xét hàm bậc ba và chia cho x sao cho có 2 vế đều biểu diễn sang hàm bậc ba

Trang 16

Bài số 14: Giải phương trình sau: 4 x2 14 x   11 4 6 x  10

Phân tích: Khi ta gặp nhưng bài có phương trình bậc cao và chứa căn thức, ta liền nghĩ đến các cách như là liên hợp

hoặc đặt ẩn phụ Nhưng mà khi bấm máy ta thấy rằng nghiệm rất xấu nên ko thể tìm được pp liên hợp Nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ mà phương trình chỉ chứa căn thức nên là đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ta làm như sau: Đặt t  6 x  10  0 nhưng mà trước khi làm nhớ tìm hệ số  đứng trước 2

Phương trình ban đầu tương đương:   2

Trang 17

Bài số 15: Giải phương trình sau: 2 2 2 

2 2

1 1

t x x  rồi giải phương trình theo

ẩn phụ không hoàn toàn

Phương trình tương đương với x1

Vậy phương trình tương đương với x1

Trang 18

Bài số 16: Giải phương trình sau: 2   3  2

14

Vậy phương trình có nghiệm x1

Trang 19

Bài số 17: Giải phương trình sau:  

Điều này kéo theo VT (1) 1  Do đó phương trình vô nghiệm trong trường hợp này

Trang 20

Bài số 18: Giải phương trình sau:     3 2

Trang 21

Bài số 19: Giải phương trình sau:  3 2 2 2  2 

x  x  x  x  x   x  x  x 

Điều kiện: x 1 Phương trình tương đương với:

Trang 22

Bài số 20: Giải phương trình sau: 2 2 2

Trang 23

Bài số 21: Giải phương trình sau:   

Điều kiện: x 1 Phương trình tương đương với:

2 2

6 2 3

( )3

2 2

Do đó VT(2)>0=VP(2), suy ra phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm 6 2 3

3

x  



Trang 24

Bài số 22: Giải phương trình sau:

Vậy phương trình có nghiệm 3 13 ; 3 13

x   x  

Trang 25

Bài số 23: Giải phương trình sau:  3  x  2 x  x  x   x 0

Điều kiện: x0

+) Với x0 thoả mãn phương trình

+) Với x0,phương trình tương đương với:

Trang 26

Bài số 24: Giải phương trình sau: 2 2    

Điều kiện:   1 x 1 Phương trình tương đương với: 2 4 2  2 2

Thử lại ta thấy x0 thoả mãn

Trang 27

Bài số 24: Giải phương trình sau: 2     2

Do đó phương trình vô nghiệm với mọi x2

+) Với   1 x 2, phương trình tương đương với:

x  x  x x  x x  x  x   xx

Trang 28

Bài số 25: Giải phương trình sau:  x  3  x      x 1  3 x  1   x 6

3 2 3

12 31

Trang 29

Bài số 26: Giải phương trình sau:

2 2

Vậy phương trình có nghiệm x  1

Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng:

x x

Trang 30

Bài số 27: Giải phương trình sau: 2 2 2 1

Ta thấy x0 ko là nghiệm của phương trình

2 2

Cách 2: Phương trình tương đương với:

Trang 31

Trang 32

Bài số 28: Giải phương trình sau:  2

Thử lại thấy thoả mãn

Trang 34

Bài số 29: Giải phương trình sau: 2016(3x15)2015 2016(9 3 ) x 2015 2016(11x)2015 2016(13x)2015

Suy ra hàm số f t ( ) đồng biến trên( 15; 3)   ; nghịch biến trên( 3;9) 

Khi đó phương trình tương đương

2016(3x15) 2016(9 3 ) x 2016 15 ( x4) 2016 9 ( x4)

(1) Với: x     5; 1 , phương trình (1) tương đương 3x x 4  x 2 (thoả)

Với: x    1;3 , phương trình (1) tương đương 3x x 4  x 2 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x 2

Xét a b c d , , ,  0 khi đó rút b  c d a thay vào phương trình còn lại ta được:

Trang 36

Trang 37

1

x x

Trang 38

Nên PT(*) vô nghiệm

Trang 39

Bài số 32: Giải phương trình sau:  2

3   x 2 x    x 1 4 x 1   x x   x 1

Phương trình tương đương với:

Nếu x   0 VP  0, VT  0 phương trình vô nghiệm

Trang 40

1 1

Nhận xét: Bài toán này theo hướng thi giải theo cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn, ta có thể đặt t  x   x 1 , tuy nhiên để cho đơn giản đặt t    1 x x   x 1 là tối ưu nhất

Trang 41

Bài số 33: Giải phương trình sau: (8 x  34) x   1 27 x  33  33 x  1

18

Trang 43

Bài số 34: Giải phương trình sau:  2 2  2 2 2

x x

       

Đối chiếu điều kiện: x2

Trang 44

Bài số 35: Giải phương trình sau:   2  

Trang 45

Bài số 36: Giải phương trình sau: x 1 10 43 33 x 9 33  x x33x22x4

Trang 46

Bài số 37: Giải phương trình sau:    2 

Trang 47

Bài số 38: Giải phương trình sau:   2  3 2

8 x  13 x  x  1 3 x   2 7 x (1)

Phương trình tương đương với:  2   3 2 2  1 33 2 2

Phương trình vô nghiệm với trường hợp này

Vậy phương trình có nghiệm 1; 1

8

x  x  

Trang 48

Phần 2:

Bất

phương

trình

Trang 49

Bài số 1: Giải bất phương trình sau: 2  3 2 

Trang 50

Bài số 2: Giải bất phương trình sau: 2  2  17

Trang 51

Bài số 3: Giải bất phương trình sau: 2 2  2 

0

1 1

x x x x

Nên A  0 với mọi x 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    1; 

Trang 52

Bài số 4: Giải bất phương trình sau: (3 x  2) x2    1 x 2 x 2 x2 5 x

Do đó VT(*)VP(*) Bất phương trình luôn đúng với trường hợp này

 Xét TH 2 : x  1 Bất phương trình tương đương với:

Trang 53

Bài số 5: Giải bất phương trình sau: x2 7 x    9 ( x 1) 14 3  x  2 x  1

Trang 54

Bài số 6: Giải bất phương trình sau:

Trang 55

Bài số 7: Giải bất phương trình sau:  2    2 2

2

3

1 21

42

x

x x VP

Trang 56

(3) 10

x x x

VT     VP   x Bất phương trình vô nghiệm

 Xét TH 2 : x  9, ta có các đánh giá sau:

1 9 (4) 10

(5) 10

x x x

12a 2a(2a a)( 2a6)  0, a 0;1 Nên VT   1, x  1; 2 Dấu “=” xảy ra   x 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1

Trang 57

Bài số 9: Giải bất phương trình sau:  2   2   

x x

 

Trang 58

2 2

0

x x

Kết hợp với điều kiện

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1  

Trang 59

Bài số 11: Giải bất phương trình sau: 4  

Trang 60

2 2

Trang 61

Bài số 13: Giải bất phương trình sau: 4 2  2   2 1 3

Điều kiện: x  0, chia 2 vế của phương trình cho  2 

1

x x  , ta có:

2 2

2

1

1 1

x

x x x

Trang 62

Bài số 14: Giải bất phương trình sau:    

Bất phương trình tương đương với x  8

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  8;9

Trang 63

Bài số 15: Giải bất phương trình sau: 2x26x 8 2x24x 6 3 x 4 3 x  3 1 0

Điều kiện: x  1; x   4; x   3

Với x 4;x 3 không thoả mãn bất phương trình trên

Ta có bất phương trình tương đương với:

x

x x x

x x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S6;

Cách 2: Bất phương trình tương đương với:

Trang 65

Bài số 16: Giải bất phương trình sau: 2 6 3 3 2  3 3 2 

Điều kiện: x  0 Bất phương trình tương đương với:

Trang 66

Bài số 17: Giải bất phương trình sau:  3   2

Chú ý: Trong trường hợp có hai căn thức có bậc khác nhau ta ưu tiên phép đặt ẩn phụ một ẩn

Câu hỏi đặt ra là tại sao ghép ( 2

7

t  ) với căn thức bậc ba 3  2

9 31 7t  Rất đơn giản: Dùng máy tính bỏ túi tìm được 3 nghiệm của phương 1,2,4 do vậy biểu thức ngoài căn ta cần có

Trang 67

Bài số 18: Giải bất phương trình sau:  3

3

x  x   x x  x

Điều kiện: x  2 Bất phương trình tương đương:   3 

Trang 68

Bài số 19: Giải bất phương trình sau: x2163 x23x 4 x 1 3

Điều kiện: x   1

2 2

Bất phương trình tương đương: x (3   x ) 0    0 x 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S 0;3

Cách 2: Bình phương hai vế rồi sau đó lien hợp như sau:

Trang 69

Bài số 20: Giải bất phương trình sau:  2   2 2

Nên x    1;0  là nghiệm của bất phương trình

Xét TH2: x  2 Bất phương trình tương đương

2 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1;0 1 3

TH1: Với    1 x 0 VP(1) 1 VT(1) Do đó bất phương trình luôn đúng

TH2: Với x  2 bất phương trình (1) tương đương với:

Trang 70

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1;0 1 3

Bài tập tương tự

Bài số 1:

2 2

Trang 71

Trang 72

Bài số 22: Giải bất phương trình sau: 2

2

x x

2 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S 0;1

Cách 2: Bât phương trình tương đương với:

2 2

 Với x  0, bất phương luôn đúng

 Xét x  0, bất phương trình tương đương với:

2

2 2

Trang 73

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S 0;1

Cách 4: Ta có (1) tương đương với:

2 2

(3 1) 2 ( 1)

0 (3 1)( 1) (3 1) 2 ( 1)

Trang 74

Bài số 23: Giải bất phương trình sau: 2x 8x 1 x2 8 6x x3

Lập bảng biến thiên ta được max ( ) f x  f (1) 0 

Do đó bất phương trình tương đương với: f x ( ) 0    x 1

Trang 75

Từ đó suy ra phương trình f x '( ) 0  có duy nhất một nghiệm x  1

Cách 2: Ta sử dụng đánh giá như sau:

Trang 76

Bài số 24: Giải bất phương trình sau: ( x2 2 x  1). x2   x 1 x3 4 x2 2 x  1

Bất phương trình tương đương với:

2

1 13 2

Trang 77

x

x x

Trang 78

Từ (1) và (2) để dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x  1

Vậy nghiệm của bất phương trình S  1

Trang 79

1 2

x

x x x

Trang 80

Bài số 27: Giải bất phương trình sau: 3 2 2 2 2 3 3 4

2

4 2

Kết hợp với điều kiện x    0 x 1

Kết hợp 2 trường hợp lại ta có tập nghiệm của bất phương trình là S  \ 1  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S  \ 1  

Cách 2: Bât phương trình tương đương:

4 2

Trang 81

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  1 Vì bất phương trình dấu lớn hơn

Vậy tập nghiệm bất phương trình S  \ 1  

Trang 82

Bài số 28: Giải bất phương trình sau:  2   2   3  2  2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1 3;3 13

Trang 83

Bài số 29: Giải bất phương trình sau: 3 2  23

3 29 5

Trang 84

Bài số 30: Giải bất phương trình sau: 4 x3 19 x2 23 x    6 ( x 1) 8 3  x2

Trang 85

Bài số 31: Giải bất phương trình sau: 5x28x32  2 3x224x 3x212x16

Điều kiện:

2 2 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 0;8 \ 2 

Trang 86

Trang 87

Bài số 32: Giải bất phương trình sau:  3 5

Trang 88

Bài số 33: Giải bất phương trình sau:   3 1 1

Trang 89

Bình luận: Cả cách 2,3 là tương tự nhau, ý tưởng là đưa về phương trình đẳng cấp với ba biến a,b,c với 3 căn thức,

sau đó giảm biến về 2 và phân tích nhân tích nhân tử

Ta sử dụng máy tính cầm tay như sau:

Bước 1: Nhập vào phương trình, ở đâu có b ta thay bằng 100

Bước 2: Nhấn Shift+Calc với a=1, có nghiệm -99, tức là a=1-b hay a+b-1=0, và ta có nhân tử (a+b-1), lúc đó chia đa thức cho nhân tử ở trên

Trang 90

Bài số 34: Giải bất phương trình sau:   2  

Trang 91

Bài số 35: Giải bất phương trình sau: x   2 x3 3 x2 3 x     1 x 1 3 x2 2 x

Trang 92

Bài số 36: Giải bất phương trình sau:    2

+) Nếu x3,VTVP0(bất phương trình vô nghiệm)

+) Nếu 0  x 3 VT  0 VP, bất phương trình luôn đúng

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S0;  \ 3

Trang 93

Bài số 37: Giải bất phương trình sau:  2  2 1 2

Trang 94

Bài số 38: Giải bất phương trình sau: 3 2 2  

Trang 95

Bài số 39: Giải bất phương trình sau: x  x   2 x3 4 x2 5 x  x3 3 x2 4

Trang 96

Bài số 40: Giải bất phương trình sau:  3

1 x1 2x3 x1 0

Điều kiện: x  1 Bất phương trình tương đương với:

Kết hợp với điều kiện ta có: 1   x 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    1; 2

Trang 97

Phần 4:

Hệ

phương

trình

Trang 98

Bài số 1: Giải hệ phương trình:  2   

x y  y x  y  x Ta thấy vế trái phương trình này 2 số hạng trong tổng đều có dạng ab nên

ta liên tưởng đến cách đánh giá Cô-Si quen thuộc sau:

, ; 2

Trang 99

Cách 2: Dựa vào cách 1, ta biến đổi PT(1) như sau:

2 2

Bình luận: Bài toán này được tác giả sáng tác ý chính là PT(1) có dạng tổng 2 bình phương cộng lại và sau khi thế

vào PT(2) sử dụng hàm số giải để giải phương trình Tuy nhiện, ngoài 2 cách vừa nêu tôi còn có một cách giải khá độc đáo

Cách 3: Sử dụng phương pháp liện hợp như sau:

Bình luận: Nhìn 3 cách trên tuy khác nhau nhưng thật chất chỉ là một Ta cũng đưa về dạng tổng hai bình phương

mà mỗi cách có dạng đặc trưng riêng

Trang 100

Bài số 2: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Với hệ này ta nhìn vào chắc chắn ta phải nghĩ tới việc khai thác mối quan hệ giữa x và y ở PT (1) Để ý, ta

thấy phương trình (1) xuất hiện 5x5y 5xy Điều đó ta liên tưởng tách thành một cái tích hoặc a b

b   a .Tôi trình bày lời giải luôn cho các bạn dễ hiểu

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) x y  (5;1)

Bình luận: Việc tìm ra mối quan hê giữa x và y rất quan trọng Để hiểu hơn tôi sẽ cho các bạn bài tập tương tự để

Trang 101

Bài số 3: Giải hệ phương trình:

2 3

Phân tích: Với hệ này ta nhìn vào chắc chắn ta phải nghĩ tới việc khai thác mối quan hệ giữa x và y ở PT (1) Ta

dung máy tính đoán được dấu “=” tại x=y Ta cũng thấy bên vế phải có -3x và ở trong căn cũng có 3x Điều đó cho ta nghĩ tới một bất đẳng thức cơ bản 2 2

2 ab  a  b ,  a b ;  để đưa 3x ra ngoài sẽ triệt tiêu với -3x Quan trọng là dấu “=” xảy ra Ta có:

0 2

Từ (4) và (5), ta suy ra x y Dấu “=” xảy ra các bất đẳng thức khi x   y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) x y  (1;1)

Bình luận: Ta cũng có thể thế x=y ở PT(2) để giải nghiệm x=1

Định dạng
Số trang	266
Dung lượng	7,65 MB