Chuyên đề phương trình lượng giác đầy đủ

Chuyên đề lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng thường không quá khó đối với các em học sinh, tuy nhiên bởi hệ thống công thức nhiều, khó nhớ thành thử nhiều em thấy khá lúng túng khi đứng trước một bài toán lượng giác. Chuyên đề này sẽ giúp các em ôn tập một cách hệ thống từ cơ bản đến trung bình và khó.

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Công thức lượng giác cơ bản

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

os cos cos sin sin

os cos cos sin sin

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

2 1 os2 2 1 os2 2 1 os2

2 1 sin cos sin sin

3

3 2

2 2

1

1 2

a 180

α π

=

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

)sin

2 3

arcsin 2 3

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin 2( x− = 1) sin 3( x+ 1) 2) cos cos 2

17) sin 5x= − sin 2x 18) sin 2 2 x=sin 3 2 x

19) tan 3( x+ + 2 cot 2) x= 0 20) sin 4x+cos5x=0

21) 2sinx+ 2 sin 2x=0 22) sin 2 2 x+cos 3 2 x=1

23) sin 5 cos3x x= sin 6 cos2x x 24) cos − 2sin 2 = 0

2

x x

Bài 2: Tìm x  −2 2π π; 

∈ ÷ sao cho: tan 3( x+ = 2) 3.

Bài 3: Tìm x∈(0;3 π) sao cho:sin 2cos 0

C MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

1.1 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương

x x

2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương

trình có dạng at2 + + =bt c 0, trong đó a, b, c là các hằng số (a≠ 0) và t là một trong

các hàm số lượng giác

2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về

phương trình bậc hai theo t, giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện − ≤ ≤ 1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos)

3 1 0

3 13 2

3 > nên phương trình 3cos 2x− = 7 0 vô nghiệm

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= +π4 kπ2(k∈ )

Đặt t= tanx ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t2 − − = 4 12 0t …

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

31) 2 cos 2x− 3cosx+ = 1 0 32) cos 2x+ sinx+ = 1 0

33) 2 cos2x− 4 cosx= 1 34) 2sin 2x+ 5sin – 3 0x =

35) 2cos2x + 2cosx - 2 = 0 36) 6 cos 2 x+ 5 sinx− 2 = 0

41)cos 3x.cos2x - cos x = 0 2 2 ; 42) 5sinx - 2 = 1-sinx t an x( ) 2

43) cosx 2sinx +3 2( ) 2cosx -1

4cos x +3 2 sin 2x = 8cosx

45)4sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x2 2 =0

Bài 49 : Cho phương trình sin3x m− cos2x−(m+1)sinx m+ =0

a)Giải phương trình khi m = 2

b)Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (0;2π)

3 Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx

3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương

trình có dạng a.sin2x b+ sin cosx x c c+ os2x d a b c= ( , , ≠0)

có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này

⊕ cosx≠0chia cả hai vế cho cos x đưa về phương trình bậc hai theo 2 tan x: (a d− )tan2 x b+ tanx c d+ − =0

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về phương trình

bậc nhất đối với cos 2x và sin 2x

*Một số trường hợp đặc biệt là khi a = 0 hoặc c = 0 đưa phương trình về dạng tích

Ví dụ 9: Giải phương trình sau

a) 3sin2x- 3sinxcosx+2cos2x cosx=2

b) 4 sin2x+3 3sinxcosx-2cos2x=4

c) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0

d) 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3)cos2x-5- 3=0

Ví dụ 10: Giải phương trình sau

a) sinx- 4sin3x+cosx=0

b) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

c) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

Ví dụ 11: Giải phương trình sau

a) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 b) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

c) 2 cos3x= sin3x d) cos3x- sin3x= cosx+ sinx

e) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x f) sin3(x-π/4)= 2sinx

Bài tập đề nghị:

50) 3sin 2x− 4sin cos +5cosx x 2 x= 2 51) 2 cos 2 x− 3 3 sin 2x− 4sin 2 x= − 4

52) 25sin 2x+ 15sin 2x+ 9cos 2x= 25 53) 4sin 2x− 5sin cosx x− 6cos 2 x= 0

54) 4sin 2x− 5sin cosx x= 0 55) 4sin 2x− 6cos 2x= 0.

56) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 57) 2cos3x+3cosx−8sin3x=0

58) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 59) sin2 2 sin

62) 3 2 cosx−sinx=cos3x+3 2 sin sin 2x x

63) 3sin2 x−2sin 2x+cos2x=0

4 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có

dạng asinx b+ cosx c= trong đó a b c, , ∈ ¡ và a2 +b2 ≠ 0

Ví dụ 12: Giải các phương trình sau: sinx+cosx=1; 3cos 2x−4sin 2x=1

4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2 +b2 ta được:

đó giải phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý: Phương trình asinx b+ cosx c= trong đó a,b,c∈Rvà a2 +b2 ≠ 0 có nghiệm khi c2 ≤a2 +b2

Ví dụ 13: Giải các phương trình sau:

a) sinx+cosx=1; b) 3cos 2x− 4sin 2x= 1;

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

65) 2sinx−2cosx= 2 66) 3sinx+ 4 cosx= 5

67) 3sin(x+ + 1 4 cos) (x+ = 1) 5 68) 3cosx+4sinx= −5

73) 3sinx−6cosx=58 74) 2sin 2x− 2 cos 2x= − 2

75) 3 cosx− sinx= 2 76) sin 2 sin2 1

2

x+ x= 78) sin 6x+ 3 cos6x = 2 79) 3sinx+ 3 cosx=1

80) 5cos 2x− 12sin 2x= 13 81) 3 cos2x−5 sin2 x= 1

82) Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có 2 nghiệm.

83) Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm

5 Phương trình đối xứng

5.1 Phương trình đối xứng loại 1

Cách giải: a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c Đặt t = sin x+cosx t ≤ 2 ⇒ at + b 2 1

2

t − =c ⇔bt2+2at-2c-b=0

Ví dụ 14 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 2 sin( x+cosx) +sin 2x+ =1 0 2 sin cosx x =6 sin( x−cosx−1)

5 sin3x+cos3x=1 6 (1 sin + x) (1 cos + x) = 2

7 2sin tan cot

cos x 10 sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx

11 (1+sin x)(1+cosx)=2 12 1+sin3 2x+cos32x=3

2sin 4x

13 sinxcosx+sinx+ cosx =1

Bài tập đề nghị

sinx+cosx −3sin 2x− =1 0

85 cos3x−sin3x=cos 2x

86 sin3x+cos3x+2 sin( x+cosx) −3sin 2x=0

sinx−cosx = +1 sin cosx x

Bài 90 : Cho phương trình cos3x−sin3x m= Xác định m để phương trình có nghiệm

5.2 Phương trình đối xứng loại 2

Cách giải:

a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c Đặt t= sin x- cosx t ≤ 2

⇒ at + b1 2

2

t

− =c ⇔bt2 -2at+2c-b=0

Ví dụ 15 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 1- sin3x+cos3x= sin2x 2 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2

3 3 tan( x+cotx) −2 tan( 2x+cot2x) − =2 0 4 tan7x+cot7x =tanx+cotx

5 tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x=6

5.3 Phương trình đối xứng với tanx và cotx

Cách giải: đặt t = tanx +cotx điều kiện t ≥2 ⇒ tan2 x + cot2 x = t2 − 2 Đưa về phương trình chỉ có ẩn t

Bài tập đề nghị

9 tanx+cotx =48 tan x+cot x +96

92 3 tan( x−cotx) +tan2x+cot2x=6

3 tanx+ cotx − 8 tan x + cot x = 21

94 sinx− cosx + 4sin 2x= 1

95 Cho phương trình tan2 x+cot2x+2(m+2 tan) ( x+cotx) = −m m2

Xác định m để phương trình có nghiệm.

D PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO CÁC DẠNG. 1 Sử dụng công thức hạ bậc cos2x= 1 cos 2 2 x + ; sin2x= 1 cos 2 2 x − cos3x= 3cos cos3 4 x+ x ; sin3x= 3sin sin 3 4 x− x

Bài tập 1 cos4x-5sin4x=1

2 4sin3x-1=3- 3cos3x

3.sin22x+ sin24x= sin26x

4 sin2x= cos22x+ cos23x

5

sin 2 os 2 1

0 sin cos

6 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3

7 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x

8 cos4xsinx- sin22x=4sin2(

4 2

x

π − )-7

2 với x− 1<3

9 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0

10 sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x

14 cos7x+ sin22x= cos22x- cosx

15 sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2

=1-2sinx 2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3) cos3x+ sin3x= cos2x 4) sin4 cos4 1(tan cot )

7) cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8) cos3x+sin3x=cosx-sinx

9) cos6x+sin6x=cos4x 11) cos8x+sin8x= 1

3.Giải phương trình lượng giác đưa về dạng tích

Bài tập Giải các phương trình sau:

1) cos2x- cos8x+ cos4x=1

4cosx

11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14) 2sin3x-sin x1 =2cos3x+ 1

4 Sử dụng công thức nhân đôi.

* cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x

sin2x=2sinxcosx

tan2x= 2 tan2

1 tan

x x

−

* sinx = 2 2

1

t t

+ ; cosx=

2 2

1 1

t t

− + tanx= 2

2 1

t t

7) sin2x+cos2x+tanx=2 8) cotx=tanx+2cot2x 9) tan2x+sin2x=3

2cotx 10) (1+sinx)2= cosx

5 Giải phương trình LG bằng cách thực hiện phép biến đổi tổng thành tích

và tích thành tổng

Bài tập Giải các phương trình sau:

1) sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 3)sin 3 sin sin 2 cos 2

6 Giải PT LG bằng phương pháp đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B

Bài tập Giải phương trình

x+π) 3/1 sin 2

7 Giải phương trình LG bằng cách thực hiện các phép biến đổi phức tạp Bài tập Giải các phương trình

1/ 3 4 6 (16 3 8 2)cos + − − x = 4cosx− 3 2/ cos (3 9 2 16 80)

6/ sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x

7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x

8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x

9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x)

10/ sin x + sin x = − 1 sin2 x − cos x

11/cos2 (sin 2 cos 2 )

Ví dụ 1 Giải phương

trình:

02sin4tan32sin

4tan



3 tan 1 02sin 1 0

3tan

31sin

26

,2

−

⇔

1 sin cos

0 1 sin

0 cos

0 ) 1 (sin )

cos

x

x x x

x x

x x

x

Phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình: sin 4 x+ cos 15x= 1

GIẢI

Ta có: sin 4 x+ cos 15x= 1

x x

0 ) 1 (sin sin

13 2

2 2

x x

x x

0 cos

1 sin

0 sin

x x x x

) , (

2 2

n x

n x

m x

m x

π π π

ĐS x=π +kπ

2 hay x 2= kπ (k∈Z)

8.2 Phương pháp đối lập

Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình f(x) =g(x),

ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A∈R: f(x)≥ A,∀x∈(a,b) và

),(,

A x f x

g x f

) (

) ( )

( ) (Nếu ta chỉ có f(x) > A và g(x) < A, ∀x∈( b a, ) thì kết luận phương trình vô

nghiệm

Ví dụ1 Giải phương trình: cos5 x+ x2 = 0

GIẢI

x x

Do x2 > 0 và − cos 5 x< 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải phương trình:

1cos

sin1996 x+ 1996 x= (1)

GIẢI

(1) ⇔sin1996 x+cos1996 x=sin2 x+cos2 x

) cos 1 ( cos ) 1 (sin

sin 1 sin

0

1994 2

Do đó (2) ( , )

2

2 1

cos

0 cos

1 sin

0 sin 0

) cos 1 ( cos

0 ) 1 (sin

sin

1994 2

1994 2

Z n m

n x

n x

m x

m x

x x x x x

x

x x

π π π

Vậy nghiệm của phương trình là: ( )

1 sin

1 sin

1 sin 1

sin

sin

bx ax bx

ax bx

1 sin

1 sin

1 sin 1

sin

sin

bx ax bx

ax bx

ax

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:

1 cos

sin

1 cos sin

1 cos

cos

1 cos cos

bx ax

bx ax

bx ax

8.3 Phương pháp đoán nhận nghiệm và chứng minh tính duy nhất của

nghiệm

Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:

Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm x= α ∈( b a, ) và hàm f đơn điệu trong ( b a, )thì f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x= α

Phương trình f(x) =g(x) có 1 nghiệm x= α ∈( b a, ), f (x) tăng (giảm) trong )

Đặt 1

2 cos

)

(

2

− +

x

f là biểu thức của hàm số có đạo hàm

0 ,

0 sin

)

(

' x = − x+x> ∀x>

f (vì x > sinx, ∀x)

⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong (0 , +∞)

⇒ f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất trong (0 , +∞)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x= 0

Ví dụ 2 Giải phương trình:

02tansinx+ x− x = với

2

0≤x≤π

Giải

Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x= 0

Đặt f(x) = sinx+ tanx− 2x liên tục trên 







 2

0 cos

) 1 cos )(cos

1 (cos )

(

x x

x x

x x

f

2

5 1 1 cos 0 2

;

0 πVậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

8.4 Sử dụng các bất đẳng thức

Ví dụ 1 : Giải phương trình:

1 (tan cot ) cos sin ( 2,3, 4, )

1 3 cos 1 cos

1

x

x x

0 cos

x x

Khi đó (1) ⇔ cosx− cos 2 x+ cos 3x− cos 2 3x = 1

Vì

4

1 0

) 2

1 ( 4

4

1 3 cos 3 cos x− 2 x≤

2

1 3 cos 3 cos 2

1 cos

x

x x

2

1 3 cos

2

1 cos

4

1 3 cos 3 cos

4

1 cos cos

2 2

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Bài tập đề nghị

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin3 x+cos3 x = 2−sin4 x 2) sinx+tanx−2x= 0 với

2

0≤ ≤π

x

3) (cos 4x− cos 2x)2 = 5 + sin 3x 4) cos4 x−sin4 x = cosx + sinx

Bài 2: Giải phương trình:

1) x2 −2sinxy+1=0 2) cos3x+ 2 cos 3x− 2 =2(1+sin22x) 3) 2cosx+ 2sin10x=3 2+2sinxcos28x

4) cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 5) 8cos4xcos22x+ 1 cos3x − +1=0

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x

11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1

1612) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

13) sin2xcosx = 1

4 + cos

3xsinx14) sin6x + cos6x = cos4x

cos9x

17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x

18) 2sin3x - 1

sinx = 2cos3x +

1cosx19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2

420)

22) cosx - sinx = 2 cos3x

23) 3 sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx 2

24) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1

 

 ÷

  =

582) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0

3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0

4)

(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx

- tan xsinx = + tan x

5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

6) cos6x + sin6x = 7

16

Bài 3 Giải các phương trình sau:

1) cos2 + 3cot2x + sin4x = 2

Bài 4 Giải phương trình lượng giác

1) cosx + 3 sinx = 3 - 3

cosx + 3sinx + 12) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x

3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x

4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1)

5) 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2

6) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x

7) 3 sin2x + cos2x = 2

8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x

Bài 5 Giải các phương trình

6) cos3x + sin3x = sinx - cosx

7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x

8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x

9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0

10) sin3x - sinx = sin2x

15) 2sin3x + cos2x = sinx

16) sin2x + sin22x + sin23x = 3

217) cos3x + sin3x = sinx - cosx

18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)

19) sin2x = cos22x + cos23x

20) sin23x - sin22x - sin2x = 0

21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0

22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x

23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0

24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx)

26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx

27) sin3x + sin2x = 5sinx

Bài 6 Giải các phương trình sau:

1) sin3x - sinx

1 - cos2x = cos2x + sin2x với 0 < x < 2π

Bài 7 Giải các phương trình sau:

1) cosx+ 3 sinx =2 os3c x 2) tanx+tan 2 tan 3 x= x

3) ( 2sinx−cosx) (1 cos+ x) =sin2 x 4) (1 cos 2 )sin 2− x x =sin 2 x

5) cos 1 tanx( − x) (sinx+cosx) =sinx 6) cotx−tanx=sinx+cosx

sin 2 2 cos 0

4

x− x+ = 8) 2sin 17x+ 3cos 5x+sin 5x=0

9) cos 7x−sin 5x = 3 cos 5( x−sin 7x) 10)

13) cos2 +cos 22 = 1

2

14) sinx+sin 2x+sin3x =cosx+cos2x+cos3x

15) sin3 x + sin 5 x + sin 7 x = 0

16) cos2 x + cos 22 x + cos 32 x = 1

4) cos 2x+ =5 2(2 cos )(sin− x x−cos )x

Bài 10: Giải các phương trình sau:

2) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

3) (sin 2 sin 4)cos 2 0

Bài 18: Giải phương trình: cos2x + cosx + sin3x = 0

Bài 19: Giải phương trình: cos3 cos 2 cos 1

Bài 25: Giải phương trình: tan 2x− tan sin 2x 3x+ cos 3x− = 1 0

Bài 26: Giải phương trình: sin62 cos62 1tan 2

Bài 29: Giải phương trình: 2cos2 3x 4cos4x 15sin2x 21

−

=

Bài 34: Giải phương trình: 2 cos3x+ 3 sinx+cosx=0

Bài 35: Giải phương trình: 4 cos4x cos2x 1cos4x cos3x 7

Bài 37: Giải phương trình: 2 − 3 cos2x+ sin2x= 4cos 32 x

Bài 38: Giải phương trình: (1 2sin )(1 sin )(1 2sin )cos− x x x x = 3

Bài 41: Giải phương trình: cos3x+ sin 2x= 3 sin 3 ( x+ cos 2x)

2

4 cos 2 tan 2 tan 2

Bài 43: Giải phương trình: 2sin 2x+ 3 sin 2x+ = 1 3 sinx+ cosx

Bài 44: Giải phương trình:

x

x x

x

3 2

2

cos

1 cos cos

tan 2

Bài 49: Giải phương trình : (1 tan − x) (cos2x+ 4sin2x− = 1) cos2x+ 7sin2x− 7

Bài 53: Giải phương trình: x x x

Bài 56: Giải phương trình: 2cos5 cos3x x+ sinx= cos8x

1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1

sin 1 cos

−

Bài 59: Giải phương trình: x 2x x x

Bài 62: Giải phương trình: sinx+ sin 2x+ sin 3x+ sin 4x= cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x

Bài 63: Tìm nghiệm của phương trình: 2cos4x− ( 3 2)cos2 − x= sin2x+ 3,

Bài 66: Giải phương trình: cos2x+ =5 2(2 cos )(sin− x x−cos )x

Bài 67: Giải phương trình: cos 1 2 3sin2x( x) cos3x 4cos 3 2x

Bài 71: Tìm nghiệm x ∈( )0 ; π của phương trình

5cosx + sinx - 3 = 2sin 