Chương 16: Các phương trình maxwell và sóng điện từ

Phân tích những hiện tượng điện và từ và định luật chi phối chúng, MAXWELL nhận thấy rằng giữa từ trường và điện trường có mối quan hệ rất chặt chẽ

CHƯƠNG 16 : CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VÀ SÓNG ÐIỆN TỪ

I ÐIỆN TRƯỜNG XOÁY - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL-FARADAY

1 Ðiện trường xoáy

2 Phương trình Maxwell-Faraday

II DÒNG ÐIỆN DỊCH - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL-AMPÈRE

1 Dòng điện dịch

2 Phương trình Maxwell -Ampère

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

1 Hệ phương trình Maxwell thứ nhất

2 Hệ phương trình Maxwell thứ hai

3 Giá trị của thuyết Maxwell

IV SÓNG ÐIỆN TỪ TỰ DO

V NĂNG LƯỢNG SÓNG ÐIỆN TỪ

Phân tích những hiện tượng điện và từ và định luật chi phối chúng, MAXWELL nhận thấyrằng giữa từ trường và điện trường có mối quan hệ rất chặt chẽ Trên cơ sở đó,Maxwell nêu lên lý thuyết về điện từ trường Theo thuyết này, giữa điện trường và từtrường có mối quan hệ biện chứng, chúng có thể chuyển hoá lẫn nhau Mọi sự biếnđổi của điện trường đều làm xuất hiện từ trường và ngược lại Thuyết Maxwell giúp

ta hiểu khái quát những hiện tượng điện và từ đã biết trước đây và những hiện tượngđiện từ mới Trên cơ sở quan niệm về sự tồn tại của điệûn từ trường, Maxwell đã đề

ra những phương trình diễn tả điện từ trường trong những trường hợp tổng quát củamôi trường

I ÐIỆN TRƯỜNG XOÁY - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL-FARADAY

1 Ðiện trường xoáy

TOPTheo định luật Faraday về hiện tượng cảm ứng điện từ, mỗi khi từ thông qua một mạch điện biếnthiên thì trong mạch xuất hiện một suất điện động cảm ứng Nếu mạch là một dây dẫn kín, thì trong mạch

sẽ xuất hiện dòng điện cảm ứng Suất điện động cảm ứng sẽ xuất hiện trong hai trường hợp: hoặc là mạchđứng yên trong một từ trường biến thiên, hoặc là mạch thẳng chuyển động trong từ trường Ở đây, chúng

ta chỉ xét trường hợp mạch đứng yên trong từ trường biến thiên Trong mạch có xuất hiện suất điện động,chứng tỏ rằng có những lực lạ (khác với lực tĩnh điện) tác dụng lên điện tích, và trong mạch có một trườnglực lạ ở đây chính là điện trường Nếu mạch là một dây dẫn kín, thì điện trường này tác dụng lực lên cácđiện tích và tạo nên dòng điện cảm ứng trong mạch Lực lạ trong trường hợp này là lực điện trường Ðiện trường này không phải là trường tĩnh điện Vì trường tĩnh điện là trường thế nên lưu số của vectơ trường tĩnh điện dọc theo một đường cong kín phải bằng không Vì thế, trường tĩnh điện không thể duy trì

sự dịch chuyển điện tích theo mạch kín, tức là không thể làm xuất hiện suất điện động Trái lại, điện trường xuất hiện trong hiện tượng cảm ứng điện từ là điện trường xoáy, có đường sức khép kín Trường này tác dụng lên những phần tử mang điện những lực làm cho chúng dịch chuyển theo những quỹ đạo khép kín, do đó làm xuất hiện suất điện động trong mạch Ðiện trường xoáy có những đặc tính là lưu số của điện trường xoáy theo đường cong kín có giá trị khác không, còn lưu số giữa hai điểm thì phụ thuộc vào dạng đường cong mà ta lấy tích phân

Qua thực nghiệm, Maxwell thấy rằng sự xuất hiện của suất điện động trong mạch không phụ thuộcvào trạng thái, bản chất và điều kiện vật lý của vật dẫn cấu tạo nên mạch Ðiều đó chứng tỏ rằng, sự xuấthiện của sức điện động cảm ứng, hay nói khác đi, điện trường xoáy không có liên quan đến vật dẫn cấutạo nên mạch, mà nó được quyết định bởi từ trường

Tổng quát ta xét trường hợp "mạch" là một đường cong kín bất kỳ đặt trong từ trường Mỗi khi từtrường biến thiên, từ thông qua diện tích của mạch cũng biến thiên Khi đó, tại mỗi điểm trên đường cong

đó xuất hiện điện trường xoáy, mà lưu số của điện trường này theo đường cong kín của mạch cho ta sứcđiện động cảm ứng trong mạch

Từ những nhận xét trên đây, Maxwell đã rút ra kết luận quan trọng có tính tổng quátsau: "Mọi từ trường biến thiên theo thời gian đều làm xuất hiện điện trường xoáy"

2 Phương trình Maxwell-Faraday

TOPKết luận trên có thể diển tả một cách định lượng, dựa trên định luật cơ bản của hiện tượng cảm ứngđiện từ: Thế điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch có giá trị bằng tốc độ biến thiên của từ thông quađiện tích giới hạn bởi mạch:

Biểu thức (16.1) là một trong những phương trình cơ bản của thuyết Maxwell Phương trình nàyđược rút ra từ định luật Faraday về hiện tượng cảm ứng điện từ, nên được gọi là phương trình Maxwell-Faraday

Chú ý rằng khi viết các biểu thức trên đây, ta vẫn áp dụng các qui tắc về dấu của cácđại lượng và chiều của mạch theo qui ước ở phần điện trường và từ trường

Phương trình (16.1) cho ta biết mối quan hệ giữa tốc độ biến thiên của từ thông qua diện tích giớihạn bởi mạch và lưu số của cường độ điện trường xoáy trên mạch, tức là mối quan hệ giữa điện trường và

từ trường ở những điểm khác nhau trong trường Ðể có thể diễn tả mối quan hệ giữa điện trường và từtrường ở cùng một điểm, ta cần thiết lập những phương trình dưới dạng vi phân Muốn thế, ta áp dụngphương trình (16.1) cho những mạch vô cùng bé

II DÒNG ÐIỆN DỊCH - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL-AMPÈRE

Ta đã thấy rằng mọi từ trường biến thiên đều gây nên điện trường (xoáy) Phân tích các hiện tượngđiện từ khác nhau, Maxwell đi đến kết luận rằng phải tồn tại hiện tượng ngược lại là: "Mọi điện trườngbiến thiên theo thời gian đều làm xuất hiện từ trường"

Vì từ trường là dấu hiệu cơ bản và tất yếu của mọi dòng điện, nên nếu như điện trường biến thiêntạo ra từ trường, thì từ trường cũng có tác dụng giống như một dòng điện Maxwell gọi dòng điện ở trườnghợp trên là dòng điện dịch, để phân biệt với dòng điện dẫn là dòng chuyển động của các điện tích Dòngđiện dịch có tính chất cơ bản giống như dòng điện dẫn, nó gây ra từ trường trong không gian quanh nó,nhưng không giống với điện dẫn về tính chất khác

Trong khoảng thời gian ngắn đó, tụ điện được tích điện, trong dây dẫn có dòng điện bóng đèn loésáng lên

Dòng điện này mất đi khi tụ điện đã tích điện xong Sau khi tụ điện đã tích điện xong, ta đổi chiềudòng điện mắc vào mạch nhờ cái đảo điện, mỗi lần ta đổi chiều dòng điện, trong mạch lại có một dòngđiện ngắn, đèn lại loé sáng lên Nếu ta đảo chiều nguồn điện một cách liên tục, trong mạch có dòng điệnxoay chiều chạy qua Ta cũng có thể thấy hiện tượng trên mà không cần đảo điện, nếu ta mắc tụ điện vàbóng đèn vào một nguồn điện xoay chiều, ta thấy bóng đèn hình như sáng liên tục Qua thí nghiệm này tanhận xét là khác với dòng điện không đổi, dòng điện biến thiên có thể "chạy" trong mạch hở Rõ ràng làdòng điện chạy giữa hai bản tụ không phải là dòng điện thông thường (ở đó không có điện tích tự do) Ðểphân biệt với dòng điện dẫn thông thường, Maxwell đưa ra khái niệm dòng điện dịch Mỗi khi trong mạch

hở có dòng điện (dòng điện dịch) thì ở giữa hai đầu hở của mạch (trong thí nghiệm trên, hai đầu hở là haibản tụ điện) có một điện trường biến thiên Như thế, dòng điện dẫn trong dây dẫn của mạch được nối tiếpbằng dòng điện dịch ở chỗ hở của mạch

Trên đây ta đã xét một trường hợp riêng của dòng điện trong phần điện môi giữa hai bản tụ điện.Nhưng ngay cả trong vật dẫn cũng có thể có dòng điện dịch Thật vậy, nếu trong dây dẫn có dòng điệnbiến thiên, thì cũng đồng thời có điện trường biến thiên, tức là có dòng điện dịch Như trên đã nói, dòngđiện dịch, cũng như dòng điện dẫn gây ra quanh nó một từ trường, do đó trong trường hợp tổng quát khixét từ trường trong vật dẫn ta xét nó như được gây ra bởi cả dòng điện dẫn và dòng điện dịch, tức là dòngđiện toàn phần Dòng điện toàn phần có mật độ bằng tổng mật độ dòng điện dẫn và dòng điện dịch:

Tuỳ theo tính chất dẫn điện của môi trường, và tuỳ theo tốc độ biến thiên của điện trường mà hai

số hạng trong (16.5) có vai trò khác nhau Trong các vật dẫn điện tốt, và với điện trường biến thiên chậm(tần số biến thiên thấp), thì dòng điện dịch rất nhỏ so với dòng điện dẫn Ngược lại, trong các chất dẫnđiện kém (điện môi chẳng hạn), và với điện trường biến thiên nhanh (tần số cao), dòng điện dịch đóng vaitrò chủ yếu trong dòng toàn phần

Trong thí dụ của tụ điện đang xét ở trên, nếu tần số biến thiên của dòng điện không lớn quá, ta cóthể coi dòng toàn phần trong dây dẫn và trên các bản chỉ là dòng điện dẫn, còn ở trong điện môi giữa haibản chỉ là dòng điện dịch Mật độ dòng điện dịch ở bề mặt bản và mật độ dòng điện dịch ở trong điện môi

là bằng nhau và cùng hướng

Trong trường hợp tổng quát, dòng điện toàn phần bao giờ cũng khép kín

Theo giả thuyết của Maxwell, dòng điện dịch cũng gây ra từ trường Chiều của từ trường này cũngđược xác định theo qui tắc vặn nút chai giống như với dòng điện dẫn Hình 16.5 vẽ đường sức của trườnggây bởi dòng điện dịch giữa hai bản tụ điện khi tụ tích điện (a) và phóng điện (b)

Trong trường hợp tổng quát, từ trường được sinh ra bởi dòng toàn phần, gồm cả dòng điện dẫn vàdòng điện dịch Ta có thể biểu diễn mối quan hệ định lượng giữa từ trường và dòng điện toàn phần nhờđịnh lý Ampère về lưu số của vectơ cường độ từ trường (xem chương 14 )

Xét một vật dẫn, trong đó có các dòng điện biến thiên, ta vẽ trong đó một mặt phẳng bất kỳ S, giớihạn bởi một đường cong kín L

Ứng dụng định lý Ampère nhưng chú ý rằng trong trường hợp tổng quát của dòng điện biến thiên,

từ trường xác định bởi dòng toàn phần, ta có:

Biểu thức này nêu lên quan hệ định lượng giữa dòng điện toàn phần và từ trường, hay nói khác đi,

nó nêu lên quan hệ giữa từ trường và điện trường biến thiên Ðó là phương trình cơ bản thứ hai của thuyếtMaxwell Phương trình này đưọc rút ra từ định lý Ampère về lưu số của cường độ từ trường, nên được gọi

trong phần I, áp dụng định lý vể lưu số của một véctơ dọc theo một đường cong kín ta có thể viết gọn hệphương trình đó dưới dạng vectơ:

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

TOPTrên đây ta đã xét những luận điểm cơ bản của thuyết Maxwell, theo những luận điểm đó, từtrường biến đổi theo thời gian sinh ra điện trường xoáy, ngược lại điện trường biến đổi theo thời gian sinh

ra từ trường

Tổng quát, từ trường biến thiên một cách bất kỳ nghĩa là đạo hàmĠ cũng biến thiên theo thời gian,

do đó điện trường xoáy xuất hiện cũng biến thiên theo thời gian Ðiện trường biến thiên này (tức là dòngđiện dịch), đến lượt nó, cũng lại gây ra một từ trường Vì điện trường nói chung biến thiên một cách bất

kỳ, nên dòng điện dịch cũng biến thiên theo thời gian và từ trường gây ra cũng biến thiên theo thời gian

Như thế điện trường và từ trường liên hệ chặt chẽ với nhau, và chuyển hoá lẫn nhau Chúng đồngthời tồn tại trong không gian, tạo thành trường thống nhất là trường điện từ Khái niệm về trường điện từ

đã được Maxwell nêu lên đầu tiên Trường điện từ là một dạng của vật chất Trong các phần sau, chúng

ta lần lượt nghiên cứu các tính chất của trường điện từ

Ðể diễn tả trường điện từ một cách định lượng, Maxwell đã thiết lập nên hệphương trình mang tên Maxwell Trong phần I và phần II, chúng ta đã nghiên cứu haiphương trình cơ bản của hệ phương trình đó Các phương trình Maxwell được ghépthành hai hệ phương trình

1 Hệ phương trình Maxwell thứ nhất TOP

Hệ phương trình Maxwell thứ nhất, được thiết lập trên cơ sở phương trình Maxwell -Ampère:

Các phương trình (16.6) (16.9) (16.10) (16.11) lập thành hệ phương trình Maxwell thứ nhất dướidạng tích phân, còn dạng vi phân của hệ phương trình Maxwell thứ nhất là:

2 Hệ phương trình Maxwell thứ hai TOP

Hệ phương trìng Maxwell thứ hai được thiết lập trên cơ sở phương trình Maxwell-Faraday (16.1)

Các phương trình của hệ phải được giải đồng thời Nhờ hệ phương trình thứ nhất, ta có thể xácđịnh được từ trường do dòng điện và điện trường biến thiên gây nên Nhờ hệ phương trình thứ hai, ta xácđịnh được điện trường xoáy do từ trường biến thiên gây nên

Ngoài ra, vì các phương trình vừa xét có chứa các đại lượng phụ thuộc thời gian nên ta cần phảibiết thêm các điều kiện ban đầu nữa

Trong các phần sau, khi nghiên cứu sâu hơn về sóng điện từ, chúng ta sẽ xétmột vài trường hợp cụ thể, bằng cách ứng dụng các phương trình đó

Trước Maxwell, những hiểu biết của con người về các hiện tượng điện còn rời rạc, chưa được tậphợp và tổng quát hoá lại Ngay đến khoảng năm 1820, người ta vẫn còn quan niệm là điện và từ là hai hiệntượng khác nhau, không có liên hệ gì với nhau cả

Thí nghiệm của Oersted năm 1820 đã chứng tỏ rằng giữa điện và từ có liên quan, và dòng điệncũng gây nên tác dụng từ Ampère sau khi nghiên cứu kỹ về các hiện tượng điện từ, đã kết luận rằng mọihiện tượng từ trong tự nhiên, kể cả từ tính của nam châm vĩnh cửu, đều được gây nên bởi dòng điện (giảthuyết về dòng điện phân tử của Ampère)

Sau đó, là những phát minh lớn của Faraday về hiện tượng cảm ứng điện từ Xuất phát từ quanđiểm đúng đắn về sự liên quan chặt chẽ giữa các hiện tượng tự nhiên, Faraday cho rằng nếu dòng điện cóthể gây nên tác dụng từ thì ngược lại, nam châm (hay các dòng điện) cũng có thể gây nên dòng điện Saunhiều thí nghiệm, Faraday chứng minh được rằng điều đó là đúng Ðồng thời Faraday nêu lên ý kiến vềvai trò của môi trường trung gian trong các hiện tượng điện Ông không thừa nhận sự tương tác xa, và chorằng tương tác điện và từ truyền qua một môi trường nào đó, và môi trường đó đóng vai trò cơ bản trongquá trình điện và từ

Maxwell đã phát triển những ý kiến của Faraday một cách sâu sắc và đã xây dựng nên nhữngthuyết định lượng, dùng công cụ toán học Sự liên quan chặt chẽ giữa điện trường và từ trường được xâydựng trên cơ sở lý thuyết chắc chắn, và được biểu diễn bằng các phương trình Maxwell Vì thế thuyếtMaxwell là một bước phát triển mới, hoàn thiện những hiểu biết của con người về điện Nó đưa ra kháiniệm về điện từ trường, bao gồm điện trường và từ trường, có liên hệ chặt chẽ và chuyển hoá lẫn nhau

Các phương trình Maxwell bao gồm mọi định luật cơ bản của điện trường và từ trường, đó lànhững phương trình cơ bản, tổng quát của điện từ trường trong các môi trường đứng yên

Thuyết Maxwell không những giải thích được các hiện tượng đã biết, mà còntiên đoán được nhiều hiện tượng mới, quan trọng Giả thuyết hoàn toàn mới trongthuyết của Maxwell là giả thuyết về trường của dòng điện dịch Trên cơ sở đó,Maxwell đã tiên đoán bằng lý thuyết sự tồn tại của sóng điện từ, tức là từ trườngbiến thiên, truyền trong không gian với vận tốc xác định

Trên đây, ta xét sự lan truyền sóng một cách định tính, sau đây, ta sẽ xét hiện tượng một cách chitiết bằng cách áp dụng hệ phương trình Maxwell dưới dạng vi phân

Ta có thể sắp xếp bốn phương trình còn lại: (16.19 và 16.20) (16.23 và 16.24) thành hai hệ độc lập.Một hệ liên hệ thành phần trên trục y của điện trường với thành phần trên trục z của từ trường:

Ðể thấy rõ tính chất của điện từ trường trong trường hợp này, ta hãy giải tiếp hệ phương trình vừathu được

Những phương trình có dạng như thế là những phương trình truyền sóng, diễn tả những sóng lantruyền trong không gian, với vận tốc truyền của sóng là v Một đại lượng A nào đó nếu thoả mãn phươngtrình truyền sóng thì nó diễn tả sự lan truyền trong không gian dưới dạng sóng Nghiệm của nhữngphương trình truyền sóng đó có dạng tổng quát:

Ðại lượng này có giá trị đúng bằng vận tốc của ánh sáng trong chân không Vậy trong môi trường

có hằng số điện môi ( và độ từ thẩm (, vận tốc lan truyền của sóng điện từ là:

V NĂNG LƯỢNG SÓNG ÐIỆN TỪ TOP

Sóng điện từ bao gồm điện trường biến thiên và từ trường biến thiên lan truyền trong không gian.Ðiện trường và từ trường là những dạng của vật chất, có thuộc tính của vật chất và chúng có năng lượng

Vì thế sóng điện từ nói riêng hay điện từ trường nói chung, cũng có năng lượng Quá trình truyền của sóngđiện từ cũng chính là quá trình truyền của năng lượng điện từ