Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số đều khác 0.. Chọn ngẫu nhiên hai số từ S, tính xác suất để hai số được chọn mà số này gồm các chữ số viết theo thứ tự ngược
Trang 1Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
Trường THPT – chuyên LÊ QUÝ ĐÔN
ĐỀ THI THỬ ĐỢT 1
MÔN: Toán – Thời gian 180 phút Ngày thi 30/01/2016
Bài 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 2
(2 1) ( 2) 2
y= x+ x−
Bài 2 (1,0 điểm) Cho hàm số 2
1
x m y
x
+
= + với m≠2Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ
thị với trục tung tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1
2 (đvdt)
Bài 3 (1,0 điểm) Giải phương trình sin 5x+sinx+cos 4x=sin 3x+cos 2x−1
Bài 4 (1,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số đều khác 0 Chọn ngẫu nhiên hai
số từ S, tính xác suất để hai số được chọn mà số này gồm các chữ số viết theo thứ tự ngược lại của số kia (ví dụ
ab và ba ).
Bài 5 (1,0 điểm) Tính giới hạn
0
3 ln(2 1) 1 lim
tan
x x
x L
x
→
=
Bài 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD
= 2a Biết hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, góc giữa (SCD) và đáy bằng 60 Tính theo 0
a thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;2;0), B(–1;1;4) và C(3;–2;1) Viết
phương trình mặt cầu S có tâm I, đi qua ba điểm A, B, C biết OI = 5
Bài 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD với
CD = 2AB Biết phương trình đường thẳng AB là x + y – 3 = 0, phương trình đường thẳng BD là x – 3y + 13 =
0 và đường thẳng AC đi qua điểm M(3;8) Tìm tọa độ điểm C
Bài 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
3
(2 5) ( 5) 10
( , ) 1
4
x y R
Bài 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3
2
a b ab bc abc P
a b c
=
+ + +
Trang 2ĐÁP ÁN Bài 1
y= x+ x− = x − x − x−
+ Tập xác định : D = ℝ
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: 2
1
' 6 4 ; ' 0
7 2
6
x
x
−
=
=
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1)
2
−
6 +∞ , nghịch biến trên ( 1 7; )
2 6
−
Giới hạn: limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1
2
x= −
, yCĐ = 0; đạt cực tiểu tại 7, 125
6 CT 27
x= y =−
Bảng biến thiên:
+ Đồ thị: Giao với Ox ở ( 1;0)
2
−
và (2;0) Giao với Oy ở (0;–1)
Bài 2
Trang 3Xét hàm số 2
1
x m y
x
+
= + với m ≠ 2 Tập xác định: D = ℝ \ {–1} Có 2
2 ' ( 1)
m y
x
−
= +
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;m) Có y’(0) = 2 – m Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A
có dạng: y=(2-m)x+m (d)
Vì m ≠ 2 nên (d) cắt Ox tại ( ;0)
2
m B
m− cắt Oy tại A(0;m) Ta có:
2
2
2
| | 1
2
2 0(1)
2 0(2)
OAB
m
m m
m
m m
m m
−
<=> =
−
<=> + − =
2
m
1
m
m
= −
<=> + − = <=> =
Vậy m = –2 hoặc m = 1
Bài 3
2
sin 5 cos 4 sin 3 cos 2 1
2sin 3 cos 2 2cos 2 1 sin 3 cos 2 1
sin 3 (2cos 2 1) cos 2 (2cos 2 1) 0
(2 cos 2 1)(sin 3 cos 2 ) 0
1 cos 2 (1)
2 sin 3 cos 2 (2)
(2) cos
x
x π k π x π kπ
<=>
<=> = ± + <=> = ± +
<=>
2 2
2
10 5
k x
= − +
= − +
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
6
x= ± +π kπ
10 5
k
x= −π + π
(k Z∈ )
Bài 4
Gọi A là biến cố “Hai số được chọn có tính chất số này gồm các chữ số viết theo thứ tự ngược lại của số kia”
Số phần tử của không gian mẫu:
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục và 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị, do đó có 9.9 = 81 số có hai chữ số khác 0 Vậy số phần tử của không gian mẫu là C812 =3240
Số kết quả thuận lợi cho A là số cặp chữ số a, b khác nhau trong 9 chữ số từ 1 đến 9, bằng 2
C = Xác suất cần tính là 36 1
3240 90
A
P = =
Bài 5
Ta có:
Trang 43 ln(2 1) 1 3 1 1 ln(2 1) 1
tan
lim lim(ln 3 ) ln 3.lim ln 3
[1 ln(2 1) 1] 1 ln(2 1) 1
x
x
f x
x
x
x
→
=
(2 1) 2 2.1 2
x x
+
Vậy
1 ln(2 1) 1
3 1
tan
x
x x
f x
−
Bài 6
Gọi E là trung điểm AD thì ABCE là hình vuông, suy ra EA = ED = EC = a ⇒ ∆ ACD vuông tại C ⇒ DC ⊥ CA Gọi H là giao AC và BD ⇒ SH = (SAC) ∩ (SBD) Mà (SAC) ⊥ (ABCD), (SBD) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)
⇒ CD ⊥ SH
⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ SC
⇒ Góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng (SC;CH)=SCH=600
∆ ABC vuông ở B ⇒ CA= AB2+BC2 = AB 2=a 2
CH
∆ SHC vuông tại H ⇒ tan 60 6
3
o a
SH CH= =
Vì ABCD là hình thang ⇒
2
ABCD
a
S = AB BC AD+ =
Thể tích khối chóp: . 1 .S 3 6
S ABCD ABCD
a
Gọi M, I lần lượt là trung điểm SC, AC Trong mặt phẳng (SAC), đường trung trực của SC cắt AC tại J, đường trung trực của AC cắt IJ tại O
Vì OM // SH (cùng nằm trong mặt phẳng (SAC) và vuông góc AC) nên OM ⊥ (ABCD) Mặt khác M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC nên OM là trục của đường tròn này
Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
cos
Trang 52 2 6 (g.c.g) JC SC ,
18
OM JM IC JM a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là 2 2 42
9
a
R OC= = OM +MC =
Bài 7
Gọi D, E lần lượt là trung điểm AB, BC Suy ra ( 1 3; ; 2), (1; 1 5; )
Phương trình mặt phẳng trung trực AB đi qua D và nhận uuurAB= − −( 1; 1; 4) làm vectơ pháp tuyến: -x-y+4z-7=0 (P)
Phương trình mặt phẳng trung trực BC đi qua E và nhận BCuuur=(4; 3; 3)− − làm vectơ pháp tuyến: 4x-3y-3z+2=0 (Q)
Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q) thì d là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
Xét điểm M(1;0;2) thuộc (P) và (Q) nên M ∈ d Vì d ⊥ AB, d ⊥ BC nên một vectơ chỉ phương của d là
; (15;13;7)
AB BC
uuur uuur
Suy ra phương trình giao tuyến của (P) và (Q): 1 2( )
15 13 7
d
Gọi I(1+15t;13t;2+7t) ( )∈ d Ta có:
2
5 (1 15 ) (13 ) (2 7 ) 5
443 58 0
0 (1;0; 2)
58 427 754 480
443 443 443 443
t t
=
= −
Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm
Nếu I(1;0;2) =>R=IA=3 Phương trình (S): (x−1)2+y2+ −(z 2)2 =9
Nếu ( 427; 754 480; )
443 443 443
443
R IA
x+ + +y + −z =
Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn bài toán, có phương trình là (x−1)2+y2+ −(z 2)2=9 và
x+ + +y + −z =
Bài 8
Qua M kẻ đường thẳng song song BD cắt AB tại N Vẽ MH ⊥ AN tại H I là giao AC và BD
Trang 6Vì ABCD là hình thang cân nên ∆ABC= ∆BAD c g c( )=>IAB IBA INA= =
Suy ra ∆ AMN cân tại M ⇒ H là trung điểm AN
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 3 0 ( 1; 4)
3 13 0
x y
B
x y
+ − =
− + =
Phương trình MN qua M và song song BD là x-3y+21=0
Tọa độ N là nghiệm của hệ 3 0 ( 3;6)
3 21 0
x y
N
x y
+ − =
− + =
Phương trình MH qua H và nhận uuuurAB(1; 1)− làm vectơ pháp tuyến: x-y+5=0
Tọa độ H là nghiệm của hệ 3 0 ( 1; 4)
5 0
x y
H
x y
+ − =
− + =
H là trung điểm AN ⇒ A(1;2)
Phương trình đường thẳng AC đi qua A và M là 3x-y-1=0
Tọa độ I là nghiệm của hệ 3 1 0 (2;5)
3 13 0
x y
I
x y
− − =
− + =
Vì AB // CD nên 1 3 (3;9) (4;11)
2
AI AB
IC =CD = =>uuur= uur= =>
Tương tự BDuuur=3.uurBI =(9;3)=>D(8;7)
Vậy A(1;2), B(–1;4), C(4;11), D(8;7)
Bài 9
2
3
(2 5) ( 5) 10 (1)
( ) 1
4
I
Điều kiện: y ≥ –4 Với điều kiện này ta có:
1
2
2
3
(1) (y 5) (2 x y x ) 0
2
2 ( )
y x x
y x x
I
≥
<=> = −
= −
<=>
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số dương và bất đẳng thức Cô–si cho 3 số dương, ta có:
Do đó:
( 2) ( 1) 0
2
x
<=> =
Thử lại x = 2 là nghiệm của (2) Suy ra y = 0 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (2;0)
Bài 10
3
2
a b ab bc abc
P
a b c
=
+ + +
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số dương và bất đẳng thức Cô–si cho 3 số dương, ta có:
Trang 73 3
2
54 9.2 .9 9( 9 )
54 9.2 b.9 9(b 9 )
54 2.3 .9 81 2( 9 81 )
232 135 9( 9 9 ) 2( 9 81 ) 243( ) 243
abc a b c a b c
a b c a b c
P
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 9 81 81; 9 ;c 1
a b c
a b c
+ + =
Vậy GTLN của P là243
2
