b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C biết rằng tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của C một tam giác có diện tích hình tròn ngoại tiếp là nhỏ nhất.. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT MÔN TOÁN – LỚP 12
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề bài có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3
2
x y x
−
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích hình tròn ngoại tiếp là nhỏ nhất
Câu 2 (1,0 điểm) Cho cot 1
3
α = Tính giá trị biểu thức
2
2 tan
=
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 2sinx+sin 2x+2sin cos 2x x= +1 2 cosx
Câu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 2 2 1 22
2 log (x +2x− +3) log (x+ ≥3) log (x−1)
Câu 5 (1,0 điểm)
2
1
n
x
= − ÷
là số tự nhiên thỏa mãn C n4 =13C n2
b) Một lớp học có 18 học sinh Tổ 1 có 7 học sinh, tổ 2 có 6 học sinh, tổ 3 có 5 học sinh Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh đi dự lễ phát thưởng do nhà trường tổ chức Tính xác suất để chọn được 8 học sinh sao cho mỗi tổ
có ít nhất 1 học sinh tham dự
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC Đường phân giác trong BD có
phương trình x + y – 2 = 0 Đường trung tuyến BN có phương trình 4x + 5y – 9 = 0 Điểm M 2;1
2
÷
6
R= Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Cạnh bên SA
5
BC, N là giao điểm của DM với AC, H là hình chiếu của A trên SB Tính thể tích hình chóp S.ABMN và khoảng cách từ điểm H tới mặt phẳng (SDM)
Câu 8 (1,0 điểm) Giải phương trình sau x3+3x2−4x+ =1 (x2+3) x2− +x 1,x∈¡
Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2
1
a + + =b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3 3 3
P
+
-
HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1
a) Khảo sát
+ Tập xác định: D = ℝ \ {2}
+ Sự biến thiên
1
x
−
= < ∀ ∈
−
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞;2) và (2;+∞)
Giới hạn: xlim→2−y= −∞; limx→2+ y= +∞ => =x 2 là tiệm cận đứng
→−∞ = →+∞ = => = là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
+ Đồ thị:
Giao Ox tại ( ;0)3
3 (0; ) 2
Đồ thị nhận I(2;2) làm tâm đối xứng
2
m
M m
2
m
Gọi A là giao điểm của (d) và đường tiệm cận đứng x = 2 của đồ thị hàm số, ta có:
Trang 3A A
Gọi B là giao điểm của (d) và đường tiệm cận ngang y = 2 của đồ thị hàm số, ta có:
2
B B
= − + => −
I(2;2) là giao điểm hai đường tiệm cận K là trung điểm AB
Do hai đường tiệm cận của hàm số vuông góc nên ∆ IAB vuông tại I Suy ra K là tâm đường tròn ngoại tiếp
2
AB
R KA KB= = = diện tích S
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số dương:
1 2
m
m m
=
− = − <=> − = <=> =
Vậy các đường tiếp tuyến cần tìm là y = – x + 2 và y = – x + 6
Câu 2
2
2 tan
=
3
a= nên ta có:
2
2
2 2
1
cot
1 cot
a
a
a a
sin a ta được:
2 2
2
3
a a
M
Câu 3
2
2
2
4
x
π π
<=> + + = +
<=> + = +
<=> + − =
<=> <=>
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ;
4
x= +π kπ (k∈¢)
Câu 4
2 log (x +2x− +3) log (x+ ≥3) log (x−1)(1)
Trang 41 0
x
+ − >
+ > <=> >
− >
Với điều kiện trên, ta có:
2
2
2
x x
x
<=> − + − + ≥ −
<=> − + + − + ≥ −
<=> − − − ≥
<=> ≤ − ≤
<=> ≤ − ≤
<=> ≤ ≤
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 2 ≤ x ≤ 3
Câu 5
a) Vì n là số tự nhiên nên
2
15
n
= <=> = <=> =
<=> − − =
<=> =
Theo công thức nhị thức Niutơn, ta có:
−
Số hạng chứa x10 tương ứng với 45 – 5k = 10 ⇔ k = 7
b) Gọi A là biến cố “Mỗi tổ có ít nhất một học sinh tham dự” B là biến cố đối lập với biến cố A, tức là
“ Có ít nhất 1 tổ không có học sinh được chọn”
Số phần tử của không gian mẫu là 8
C =
Tính số kết quả có lợi cho B
Do số học sinh của mỗi tổ nhỏ hơn 8 nên 8 bạn được chọn phải đến từ 2 tổ khác nhau
Xét 3 trường hợp:
+ TH1: 8 bạn đến từ tổ 1 và tổ 2: Số cách chọn 8 bạn từ 13 bạn là 8
13 1287
C =
+ TH1: 8 bạn đến từ tổ 1 và tổ 3: Số cách chọn 8 bạn từ 12 bạn là 8
12 495
C =
+ TH1: 8 bạn đến từ tổ 1 và tổ 2: Số cách chọn 8 bạn từ 11 bạn là C118 =165
Theo quy tắc cộng, số kết quả có lợi cho B là 1287+495+165=1947
43758 1326
B
1326
P = −P =
Câu 6
Trang 5Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: (1;1)
x y =>
+ − =
Phương trình BC đi qua B và M: x+2y-3=0
Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua BD thì M’ ∈ BA
Phương trình đường thẳng MM’ qua M, vuông góc BD: 2x – 2y – 3 = 0
H là giao MM’ và BD suy ra ( ; )7 1
4 4
2
M
Phương trình BA qua B và M’: 2x+y-3=0
Gọi tọa độ A(a;3-2a) AB∈ , C(3-2b;b) BC∈
Vì
3 2
N BN
=> = −
A − b C − b b =>N −
Phương trình AC là y = b
4
b
x= −
2
b
E −b +
2
b
x y− − − = d
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC thì I là giao (d) và (d’) nên có tọa độ là nghiệm của hệ:
7 5
9 5
4
b
x y
b I
b
x
−
=
3
b b
BI
b
= −
−
= − = <=> =
+ Với b = –1 ⇒ C(5;–1), thỏa mãn M thuộc cạnh BC Suy ra A(2;–1)
+ Với b = 3 ⇒ C(–3;3), M không thuộc cạnh BC, loại
Vậy A(2;–1), B(1;1), C(5;–1)
Trang 6Câu 7
Vì A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là
5
AC= AD +CD =a
Tam giác SAC vuông tại A: SA AC= .tanα =a 2
Theo định lý Pitago đảo, ta có ∆ AMD vuông tại M
ND = AD = => = =
Ta có:
2
ABMN ABM AMN
a
Vẽ AK ⊥ SM tại K Vì DM ⊥ AM, DM ⊥ SA nên DM ⊥ (SAM) ⇒ DM ⊥ AK
Suy ra AK ⊥ (SDM)
Hai tam giác vuông AHS và AHB đồng dạng (g.g) nên
3
HA= HB= AB => HA HB = AB =>HB = => =
3
d d H SDM= = d B SDM
2
EA= AD =
d B SDM = d A SDM => =d d A SDM = AK
AK = SA + AM => =
Vậy khoảng cách từ H đến (SDM) là
3
a
Câu 8
x + x − x+ = x + x − +x
Trang 7Ta thấy 3 2 1 0 2 3 2 8
7
x
x
≤ −
+ + − + = <=> − + = − + <=> = − không xảy ra, do đó:
2
2 2 2
3
8
7
x
x x
x
<=> + + − − = + − +
<=> + + − − + − + =
+
<=> + − + =
+ + − +
<=> + − =÷
+ + − +
= −
<=>
+ = + + − +
<=> − = − +
Đặt x2− + =x 1 t(t 0)> , phương trình (3) trở thành:
2
1
( ) 2
− =
−
=
<=
= <=> − + = <=> − − = <=> =
− ± +
Câu 9
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số dương, ta có:
2
Nhân từng vế hai bất đẳng thức trên ta được:
Từ đó kết hợp với a2+ + =b2 c2 1 ta được:
1
c ≤ a c +b c
Ta có bất đẳng thức tương tự:
1
a ≤ b a +c a
Cộng (1) và (2) ta được:
1
Từ bất đẳng thức Cô–si ta có:
b +c + ≥bc = =>b c ≤ b +c = + c
+
Tương tự ta có:
1
4 4
Trang 8Từ (3), (4) và (5) ta được:
P
f t = t − t trên (0;+∞)
Có
2
1 '( ) 0
0
t
f t
t
= −
=
= <=> =
Căn cứ bảng biến thiên ta được: ( )f t ≤ f(1) 1,= ∀ >t 0
3
a b c= = =
12
