a Giải phương trình cosx+sin2x=sinx+sin2xcotx b Nhân dịp kỷ niệm ngày Nhà giáo Việt Nam, trường THPT X tuyển chọn được 24 tiết mục văn nghệ tiêu biểu, trong số đó lớp 11A có 2 tiết mục đ
Trang 1Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y x 3 6x2 9x1
Câu 2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1
1
x y x
, biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 3x+4y-2=0
Câu 3 (1,0 điểm).
a) Giải bất phương trình 21 x 3 21 x 3 5
b) Cho log 5 a3 Tính log 4575 theo a
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
1
2 0
ln(2 1) ( 1)
x
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-7=0 và đường thẳng d:
Tìm tọa độ giao điểm của d với (P) và lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d đồng thời vuông góc với (P)
Câu 6 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình cosx+sin2x=sinx+sin2xcotx
b) Nhân dịp kỷ niệm ngày Nhà giáo Việt Nam, trường THPT X tuyển chọn được 24 tiết mục văn nghệ tiêu biểu, trong số đó lớp 11A có 2 tiết mục để công diễn trong toàn trường Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai buổi công diễn, mỗi buổi 12 tiết mục Tính xác suất để 2 tiết mục của lớp 11A được biểu diễn trong cùng một buổi
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SD vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), AD = a, AOB 120o, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SB
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng
chứa trung tuyến và đường cao kẻ từ C lần lượt là y + 2 = 0 và 3x-2y+8=0 Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ
A đi qua K(-18;3) Tính ABC biết rằng điểm A có tung độ âm và thuộc đường thẳng d: x+2y+2=0
Câu 9 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 2 2
Câu 10 (1,0 điểm) Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Trang 2-Hết -ĐÁP ÁN
Câu 1
1,0đ
1.Tập xác định: D = R
2.Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên: Ta có: y' 3 x212x9,x R
1 ' 0
3 1 ' 0
3
x y
x x y
x
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;1) và (3;) ; hàm số nghịch biến trên
khoảng (1;3)
*Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ=y(1)=3;
Hàm số đạt cực tiểu tại x=3; yCT=y(3)= -1
*Giới hạn tại vô cực:
lim ; lim
0,5
*Bảng biến thiên:
3.Đồ thị:
0,5
Trang 3*Với x= 3 ta có 7
2
y Suy ra tiếp tuyến là
2 12 2 24
2 11 ( )
23
C
P A
C
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y= 3 1
4 x 4
và y= 3 23
4 x 4
Câu 3
1,0đ
a)Điều kiện: x 3
Đặt 2 x 3 t 0
, bất phương trình đã cho trở thành
2
2
t
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 3 x 2
0,5
b)Ta có:
2
45
log 75 log (3.5 ) 1 2log 5 2 4 log 75 2log 75 2 2 2
log 45 log (3 5) 2 log 5 2
a a
0,5
Câu 4
dx
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
1
0
1
0
1 1 (2 1)( 1)
0,5
Trang 40 1 0
(1 ln 3) ( )
1 1
(1 ln 3) (2ln(2 x 1) ln(x 1))
0 2
1
(1 ln 3) 2ln 3 ln 2 2
ln 3 ln 2
1
(3ln 3 2ln 2 1)
2
dx
dx
0,5
Câu 5
1,0đ
Gọi M d (P).Vì M ∊ d nên M(-2t+3;4t-8;-t)
Suy ra M ∊ (P) ( 2 t 3) (4 t 8) ( t) 7 0 t 12, hay M(-21;40;-12)
0,5
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P) nên (Q) có cặp vtcp ( 2; 4; 1)
(1;1;1)
d P
u n
Suy ra n Q [ ; ] (5;1; 6)n n d P
Lấy N(3;-8; 0) ∊ d nên N ∊ (Q)
Suy ra phương trình (Q): 5x+y-6z-7=0
0,5
Câu 6
1,0đ
a)Điều kiện: sinx0
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
cos sin sin 2 (1 cot ) 0
cos sin 2cos (sin cos ) 0 (cos sin )(1 2cos ) 0
cos sin
1 cos
2
2 3
x
k Z
0,5
b)Gọi hai buổi công diễn là I, II Số cách chia 24 tiết mục thành hai buổi công diễn chính là
số cách chọn 12 tiết mục cho buồi I, đó là 12
24
C
Gọi A là biến cố “2 tiết mục của lớp 11A được biểu diễn trong cùng một buổi”
Nêu 2 tiết mục của lớp 11A cùng biểu diễn trong buổi I thì số cách chọn 10 tiết mục còn lại
cho buổi I là C Hai tiết mục của lớp 11A cùng có thể cùng biểu diễn trong buổi II.1022
Vì vậy, số cách chia để biến cố A xảy ra là: 10
22
2.C
Do đó
10 22 12 24
2 11 ( ) 0, 4783
23
C
P A
C
Ghi chú: Xác suất cũng có thể được tính theo công thức
2 12 2 24
2 11 ( )
23
C
P A
C
0,5
Trang 5Vì SD (ABCD)
nên SCBC
( ),( ) 45o
(do ∆SCD vuông tại D nên SCD =90o)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA = OD, kết hợp với AOD180O AOB60O Suy ra
∆OAD đều
Do đó: OA = OD = a, ADO 60O
Suy ra AB = AD.tan 600=a 3
Suy ra
2 0
3
.tan 45 3 1
.SD.S 3
ABCD
S ABCD ABCD
Kẻ Bx // AC => mp(S, Bx) // AC)
1 ( ,SB) d(O,(S, Bx)) d(D, (S, Bx))(1)
2
d AC
Hạ DKBx, DH SK Vì Bx (SDK) nên BxDH => DH (S, Bx) (2)
Vì BD=2DO =2a và DBK DOA 60o đồng vị nên sin 60o 3
Suy ra ∆SDK vuông cân tại D 2 6(3)
HD
Kết hợp (1), (2), (3) ta suy ra d(AC,SB)=1 6
a
DH
0,5
Trang 6Câu 8
1,0đ
Từ hệ 2 0 ( 4; 2)
3 2 8 0
y
C
Gọi M, N là trung điểm AB, BC
Ta có:
: 2 2 0 ( 2 2; )( 0) : 2 0 ( ; 2)
Mà M là trung điểm AB nên B(2a+2m+2;-a-4)=> ( 1; 6)
2
a
Vì CH AB nên u CH.AM 0 2(2a m 2) 3( a 2) 0 a2m2(1)
0,5
Ta có: KA ( 2a16;a 3)
và ( 17; 12)
2
a
Vì A, N, K thẳng hàng nên KA cùng phương KN Do đó:
(-2a+16)(-a-12)=2(a-3)(a+m+17)(2)
Thay (1) vào (2) ta được 2
5
3( )
13 28( )
Suy ra A(4;-3), B(1;-1)
Ta có
3.( 5) ( 2)( 1) 1 (3; 2), ( 5; 1) os( , )
9 4 25 1 2 ( , ) 135o
0,5
Câu 9
1,0đ
Điều kiện: x 2
Đặt x2 3 u, x2 (u >0,v v, 0), bất phương trình đã cho trở thành:
( 1)( 3) 0
Ta có:
2 2
2
1
Do đó (1) tương đương với x2 3 x 2 30
0,5
Trang 7 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x =-1 và 2 x 2 2 3
Câu 10
1,0đ Đặt 2 tan ; y2 2 tan ; z2 2 tan 2(0 A, B,C )
Từ giả thiết ta có tan tan tan tan tan tan 1
Khi đó:
1 tan tan
Suy ra , A+B+C= +k2
2 2 2
k k Z Hay
Từ (1) suy ra k = 0 Do đó: A+B+C= Khi đó:
0,5
sin sinB sin 2sin os 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2 2 2
2 2
2 4
z
A B
A B
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3
2
0,5