Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở trường trung học phổ thông việt nam

23 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TOÁN VIỆT NAM 25 2.1.. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong tất cả các đề th

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Lan

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Lan

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học môn bộ Toán

Mã số : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh, người đã bỏ nhiều công sức, giúp

đỡ và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân t rọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu,

TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Thị Nga, TS Vũ Như Thư Hương và các quý thầy

cô đã tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu trong suốt thời gian tham gia lớp cao học chuyên ngành didactic Toán Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti đã có những

ý kiến đóng góp quý báu cho luận văn

Xin chân thành cảm ơn:

• Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

• Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán-Tin trường THPT Tân Phước đã giúp

đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Toán khóa 22, những người đã chia sẻ khó khăn, vui buồn với tôi trong suốt những năm tháng cao học Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến những người thân yêu trong gia đình đã động viên, khích lệ, quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này

Nguyễn Thị Tuyết Lan

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 4

MỞ ĐẦU 5

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 5

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu 7

3 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu 7

4 Tổ chức luận văn 8

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC 9

1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn 9

1.1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a] 9

1.1.2 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b] 18

1 2 Kết luận chương 1 23

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TOÁN VIỆT NAM 25 2.1 Phân tích Chương trình 25

2.2 Phân tích sách giáo khoa 26

2.2.1 Phân tích SGK lớp 10 26

2.2.2 Phân tích SGK lớp 11 31

2.2.3 Phân tích SGK lớp 12 37

2.3 Kết luận chương 2 55

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 60

3.1 Mục đích thực nghiệm 60

3.2 Hình thức – tổ chức thực nghiệm 60

3.2.1 Thực nghiệm 1 60

3.2.2 Thực nghiệm 2 60

3.3 Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm 60

3.3.1 Giới thiệu thực nghiệm 1 60

3.3.2 Giới thiệu thực nghiệm 2 61

3.4 Phân tích thực nghiệm 62

3.4.1 Phân tích thực nghiệm 1 62

KẾT LUẬN CHUNG 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Kí hiệu Từ được viết tắt

SGKCB10 Sách giáo khoa Đại số cơ bản 10 SGKNC10 Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10 SGVCB10 Sách giáo viên Đại số cơ bản 10 SGVNC10 Sách giáo viên Đại số nâng cao 10 SGKCB11 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích cơ bản 11 SGKNC11 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích nâng cao 11 SGVCB11 Sách giáo viên Đại số và Giải tích cơ bản 11 SGVNC11 Sách giáo viên Đại số và Giải tích nâng cao 11 SGKCB12 Sách giáo khoa Giải tích cơ bản 12

SGKNC12 Sách giáo khoa Giải tích nâng cao 12 SGVCB12 Sách giáo viên Giải tích cơ bản 12 SGVNC12 Sách giáo viên Giải tích nâng cao 12

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong tất cả các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông (THPT) và tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Việt Nam, bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (KSSBT và vẽ

ĐT hàm số) luôn xuất hiện trong câu hỏi số 1 Chẳng hạn:

Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 (1)

x y x

+

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010

Câu I(2, 0 điểm) Cho hàm số y= − −x4 x2 + 6

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

6

Qua nhiều lần chỉnh lí nhưng Chương trình, sách giáo khoa (SGK) Việt Nam vẫn giữ lại bài

1 Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

2 Sự biến thiên

o Tính đạo hàm y ; '

o Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định; '

o Xét dấu đạo hàm y và suy ra chiều biến thiên của hàm số '

• Tìm cực trị

• Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

• Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

3 Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị

CHÚ Ý

1 Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox

2 Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa

độ

3 Nên lưu ý đến tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác [7, tr.31]

thiên của hàm số đó rồi dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên để vẽ đồ thị hàm số Hơn nữa, bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số là bài toán tổng hợp khá nhiều kiến thức về hàm số

như: tập xác định, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đối

xứng của hàm số,… Nếu so với các đề thi Tú Tài của Pháp thì một bài toán khảo sát hàm

với các bước như trong chương trình Toán Việt Nam không còn tồn tại nữa

chỉ hạn chế ở một số dạng hàm số quen thuộc như:

ax b

+

Như vậy, SGK lớp 12 chỉ giới thiệu tối đa 4 dạng hàm số trên Chúng tôi tự hỏi, nếu gặp bài

HS sẽ ứng xử như thế nào?

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Bài toán khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị hàm số ở trường Trung học phổ thông Việt Nam”

Câu hỏi 1: Trong các giáo trình giải tích cho những năm nhất Đại học, bài toán KSSBT

và vẽ ĐT hàm số có còn xuất hiện hay không? Nếu có thì những tính chất nào của hàm số

mà các giáo trình này yêu cầu khảo sát và những dạng hàm số nào được yêu cầu khảo sát?

Câu hỏi 2: Trong các SGK hiện hành ở bậc THPT, những tính chất nào của hàm số được

yêu cầu khảo sát? Đối với các tính chất của hàm số được yêu cầu khảo sát trong bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số thì những dạng hàm số nào đã xuất hiện khi nghiên cứu riêng các

tính chất trên? Các dạng hàm số nào không còn được quan tâm trong bài toán KSSBT và vẽ

ĐT hàm số ở lớp 12?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic toán Cụ thể, chúng tôi sử dụng lý thuyết nhân học, lý thuyết tình huống để phục vụ cho nghiên cứu của mình Dưới tham chiếu của lý thuyết nhân học, đối tượng nghiên cứu của chúng tôi – bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số - có thể được xem là một kiểu nhiệm vụ - chúng tôi kí hiệu

TKSSBT-ĐT Như chúng tôi đã nói trong phần mở đầu, kiểu nhiệm vụ này huy động nhiều đối

tượng tri thức của giải tích Như vậy, mục tiêu chính của luận văn là nghiên cứu các điều

kiện sinh thái xoay quanh kiểu nhiệm vụ này trong thể chế dạy học Toán bậc THPT

tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào xoay quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học?

toán bậc THPT? Vấn đề khảo sát hàm thông qua việc nghiên cứu các tính chất hàm số và vẽ

đồ thị hàm số tiến triển như thế nào trong thể chế dạy học toán bậc THPT?

3 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2 đã đặt ra ở mục 2 Để đạt được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:

bậc Đại học để làm rõ vị trí và đặc trưng của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số Điều này

góp phần trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: Bài toán khảo sát sự

biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở bậc Đại học

hàm số trong chương trình dạy học toán bậc THPT Qua đó thấy được ảnh hưởng của quan

hệ thể chế đến ứng xử của HS khi giải quyết bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số Những việc

làm trên góp phần trả lời cho câu hỏi Q2 Vấn đề này được chúng tôi trình bày trong chương

2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và SGK toán ở Việt Nam

Từ kết quả phân tích giáo trình đại học, chương trình và SGK giúp chúng tôi đặt ra giả thuyết nghiên cứu hoặc câu hỏi nghiên cứu

và hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu hoặc trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra Vấn đề

này được chúng tôi trình bày trong chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

4 Tổ chức luận văn

Luận văn gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lý

thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn

Phần nội dung, gồm có 3 chương:

 Chương 1 - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở bậc Đại học

Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ vị trí của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm

số trong các giáo trình Đại học

 Chương 2 - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và

sách giáo khoa T oán ở Việt Nam

Trong chương này, chúng tôi sẽ làm rõ vị trí và sự tiến triển của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số thông qua việc nghiên cứu các tính chất và vẽ đồ thị trong các SGK hiện hành Từ những kết quả phân tích có được chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết nghiên cứu

 Chương 3 – Nghiên cứu thực nghiệm

Trong chương này, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm nhằm kiểm chứng giải thuyết

Phần kết luận

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ

THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC

Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình giải tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào xoay quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học?

Ngoài ra, nếu xem tri thức trong Giáo trình Đại học gần với tri thức bác học thì những kết quả phân tích của chương này sẽ được chúng tôi chọn làm tham chiếu cho phân tích ở

chương tiếp theo, chương 2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong

C hương trình và sách giáo khoa Toán Việt Nam

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tham khảo các giáo trình toán dùng ở bậc đại học

Cụ thể, chúng tôi chọn hai giáo trình sau để phân tích:

Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi kí hiệu hai giáo trình trên lần lượt là [a] và [b] Chúng tôi chọn các giáo trình này vì đây là giáo trình được sử dụng phổ biến ở các trường Đại học - Cao đẳng Hơn nữa,

Bộ giáo trình “Toán học cao cấp” này được soạn căn cứ vào chương trình khung đã được ban hành, và thực tế giảng dạy của hệ cao đẳng của một số trường đại học kĩ thuật và căn cứ vào chương trình môn Toán hiện nay của các trường Trung học Phổ thông, […]

[19, tr.3]

Với mục tiêu nghiên cứu đề ra, chúng tôi chỉ đặc biệt chú ý đến các nội dung liên quan đến

1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn

tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm của hàm

số, … các giáo trình trên đưa ra các định lý về giá trị trung bình và ứng dụng của nó, bài

1.1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a]

1.1.1.1 K hảo sát hàm số y = f(x)

Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự dưới đây:

(1) Miền xác định của f

(2) Chiều biến thiên: tìm khoảng tăng, giảm của hàm số

(3) Cực trị (nếu có)

(4) Tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có)

(5) Tiệm cận (nếu có)

(6) Bảng biến thiên

(7) Vẽ đồ thị [19, tr 171]

thức về hàm số và những kiến thức này đã được đưa vào trình tự KSHS một cách tường

hàm số Các tính chất được yêu cầu trong trình tự KSHS, chúng tôi thấy các tính chất như

cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận có kèm theo phía sau chữ “nếu có” hoặc “nếu cần thiết” Như vậy, các tính chất cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận không bắt buộc khảo

điều đó Điều này chứng tỏ rằng tính đơn điệu là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát ở tất

cả các hàm số

Để minh họa cho trình tự trên, [a] có đưa ra ví dụ sau:

Sau đây, lấy một thí dụ cốt để minh họa các bước khảo sát:

Xét hàm số ( ) 3

1

x

f x

x

=

(1) Hàm số chỉ xác định khi 3 0

1

x

x− ≥ nghĩa là khi 0

1

x

x− ≥ , tức là x ≤ 0 hoặc x > 1

Miền xác định D là f ( ,0] (1, −∞ ∪ +∞ )

(2) Muốn xét chiều biến thiên của hàm số, phải tính f x ' ( )

Ta có: '( ) 3 3

x

f x x

x

−

' ( )

f x = 0 khi x = 0 và 3

2

x =

' ( )

f x không xác định khi 0 < ≤ x 1

Từ bảng dấu của f ’

suy ra:

f(x) giảm khi x < 0 hoặc 1 3

2

x

< <

f(x) tăng khi 3

2

x > (3) Cực trị:

Đạo hàm f'đổi dấu từ - sang + khi vượt qua 3

2

x = do đó 3

2

x = là điểm cực tiểu,

( )

f = ; lưu ý: điểm x = 0 không phải là điểm cực trị

(4) Muốn xét tính lồi, lõm; ta tính '' ''

3

1 3

x

f f x

f x x

=

−

''

f cùng dấu với x − x1nên f ≥ trong miền xác định, do đó f(x) là hàm số lồi '' 0

(5) x = 1 là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có phương trình x =

1 Muốn tìm tiệm cận xiên ta viết f(x) dưới dạng:

1

Dúng công thức khai triển Taylor của (1+x) αkhai triển Taylor có:

1 2

Do đó có thể viết:

1

Từ biểu thức trên suy ra:

,

x → +∞ có ( ) 1

x

x

−

,

x

x

−

Vậy f(x) có hai tiệm cận xiên:

1 2 1 2

y x khi x

y x khi x

• Chú ý:

Trong nhiều trường hợp để việc khảo sát được đơn giản, người ta còn chú ý phát hiện các đặc điểm của hàm số f, chẳng hạn phát hiện tính chu kì và tính chẵn, lẻ của hàm số f

Một hàm số f(x) xác định trong một khoảng đối xứng [-a,a] được gọi là hàm chẵn nếu

f x = −f x x∈ −a a ; hàm lẻ nếu ( ) f x = − ( ( )) ;f x− x∈ − [ , ]a a

Vì đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung và đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ nên k hi khảo sát các hàm số này chỉ cần xét x ≤ hoặc 0 x ≥ rồi lấy đối xứng là có toàn bộ đồ 0

thị

(6) Từ những kết quả trên có bảng biến thiên sau:

Hình 5.7

(7) Đồ thị [19, tr.171-174]

Qua ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy rằng:

không có điểm uốn còn các tính chất còn lại đều được khảo sát

của hàm số (bước 5) đã dùng đến kiến thức về giới hạn của hàm số Cụ thể là tính giới hạn

của hàm số khi x dần ra vô cực, kết quả của việc tính giới hạn này được ghi vào bảng biến

- Bên cạnh đó, trước khi đưa ra bảng biến thiên và đồ thị của hàm số, [a] đưa ra chú ý về

tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số Nếu biết được các tính chất này của hàm số thì phạm

đồ thị hàm số Tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số không có mặt trong trình tự KSHS mà chỉ được nêu thông qua lời giải của ví dụ Như vậy, việc khảo sát tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số trong bài toán này trong giáo trình [a] chỉ mang tính khuyến khích

sử dụng cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] là: miền xác

định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận của hàm số, giới hạn hàm số, tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của hàm số Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất

khảo sát mà chỉ khuyến khích nhằm làm cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được đơn giản và chính xác hơn

1.1.1.2 Khảo sát đường cho dưới dạng tham số



=

x

f t

dạng tham số có thể xác định nhiều hàm ẩn của y theo x Việc khảo sát các đường cho dưới dạng tham số có thể nói là phức tạp hơn bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) vì phải khảo sát đồng thời nhiều hàm số trong cùng một lúc Và được cho bởi trình tự sau:

Có thể khảo sát một đường cong cho dưới dạng tham số theo trình tự dưới đây:

- Miền xác định, các điểm gián đoạn của các hàm số x = x(t), y = y(t) Nhận xét tính chẵn - lẻ, tuần hoàn (nếu có)

- Xét x t y t để xét chiều biến thiên của x, y theo t '( ), ( )'

- Tìm các tiệm cận của đường cong (nếu có):

Nếu

0

lim ( )

t t y t

0

lim ( )

t t x t a

Nếu

0

lim ( )

t t x t

0

lim ( )

t t y t b

Nếu

0

lim ( )

t t x t

0

lim ( )

t t y t

đồng thời tồn tại các giới hạn

y

x