GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1 đh ĐÔNG á

6 1.2.6.Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á

ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Đà Nẵng

Người ta thường viết lại hàm ngựơc của hàm y = f(x) là y = f-1(x)

Đồ thị của hai hàm số ngược đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần

Đồ thị luôn đi qua điểm A(1, 1)

Nếu α > 0 thì đồ thị đi qua O(0, 0)

Nếu α < 0 thì đồ thị không đi qua O

3

• y = ax

giảm khi 0 < a < 1 (nghịch biến)

Đồ thị luôn đi qua điểm (0, 1)

Nếu a = 10, ta viết log10x = lgx và gọi là logarit thập phân

Hai đồ thị y = ax và y = logax đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

Hình 1.3: Đồ thị hàm số logarit y = log a x

Có miền xác định là R, tuần hoàn chu kỳ π (Hình 1.5)

• Hàm số y = cotgx xác định tại mọi x ≠ kπ , k ∈ Z

Có miền xác định R, tuần hoàn chu kỳ π.(Hình 1.6)

6

1.2.6.Các hàm số sơ cấp

Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hàm hằng

Ví dụ 1.4:

3)4xcos(

xsin

0

n n 1

0 m

n

xb

xbb

xa

xaa)

+++

1.2.7.Hệ tọa độ cực

Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định, gọi là cực và một véc tơ đơn vị

hệ tọa độ cực

xác định bởi góc, ϕ =(OP,OM)và r = OM , ϕ=(OP,OM)gọi là góc cực, r gọi là bán kính cực Nếu 0 ≤ϕ < 2π và r ≥0, cặp số có thứ tự (r,ϕ) các tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng

1.3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1.3.1.Định nghĩa

Lân cận

Cho xo ∈ R và δ > 0 Khi đó ta nói:

+ Khoảng (xo - δ, xo + δ) là δ-lân cận của điểm xo

7

+ Khoảng (xo - δ, xo) là δ-lân cận trái của điểm xo

+ Khoảng (xo, xo + δ) là δ-lân cận phải của điểm xo

lim

Cho trước ε > 0, vì f(x) = C, ∀x nên với bất kỳδ > 0, |x - xo| < δ luôn có:

|f(x) - C| = |C - C| = 0 < ε

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 2 (Giới hạn một phía)

+ Số L được gọi là giới hạn bên trái nếu ∀ε > 0 cho trước, ∃δ > 0 sao cho:

x → − = lim0 ( )

x f

x

1.3.2.Các phép toán về giới hạn

Khi nói đến giới hạn của một hàm số, ta phải xét giới hạn đó khi x → xo hay

x →∞, mà ta thường gọi tắt là “trong một quá trình nào đó”

lim

→ Cf1(x) = CL1 với C là hằng số

b)

a xlim

→ (f1(x) + f2(x))= L1 + L2

8

c)

a x

lim

→ f1(x)f2(x) = L1L2

d)

2 1

2

1 a

L ) x ( f

) x ( f

Nhận xét: Khi L1 = +∞; L2 = -∞ Về mặt hình thức ta có dạng ∞-∞ đó là một dạng vô định, trong trường hợp đó

a x

lim

→ (f1(x) + f2(x)) chưa khẳng định là có giới hạn hay không

lim

1 x

Định lí 2: Xét hàm hợp fou : x ֏f[u(x)] Nếu:

Trong quá trình nào đó u(x) → uo

0

o u

ta có lim f[u(x)] = f(uo) = f[lim u(x)]

Ví dụ 1.7:

2 x

)1xx(

)x(ulim

2 ( )

limu x

1.3.3.Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

Tiêu chuẩn 1: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn bất đẳng thức

= 1 Xét đường tròn đơn vị x > 0 Ta có:

S∆OAB < Squạt OAB < S∆OAM

⇔

2

.2

.2

sin

AM OA x OA x OB OA

OA2 < 2 <

⇔ OA2 sinx<OA2.x<OA2tgx

sinx < x < tgx Chia cho sinx

1x

xsinxcos

xcosx

xsin1

xcos

1xsin

x1

lim

0 x

Ví dụ 1.9:

2

1 1 2 1

2 x 2

x sin lim 2

1 x

x cos 1 lim

2

0 x 2

Tiêu chuẩn 2: Xét hàm f xác định tại mọi x dương khá lớn trở đi Giả sử:

f(x) không giảm (không tăng)

f(x) bị chặn trên (bị chặn dưới)

Khi đó tồn tại giới hạn của f(x) khi x → +∞ (x → -∞)

Ví dụ 1.10:

lim(1 )α eα

α

0 ) (

x v

x avx

)(lim

2

1

x f

x f

)(lim

2

1

x f

x f

Ta có các VCB tương đương sau:

Khi x → 0: sinax ~ ax ; tgax ~ ax ; 1 - cosx ~

2

2

x ; e x - 1 ~ x ; ln(1 + x) ~ x

Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định

00

• Nếu f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) khi x → xo thì

)(

)(lim

x g

x f

o

x

)(

)(lim2

1

x g

x f

Ví dụ 1.13:

)21ln(

3sinlim

Ví dụ 1.14:

6 2

5 3

sinlim

x x x

x tg x x

++

)(lim2

1

x f

x f

)(lim2

1

x f

x f

o

x

x→ = c ≠ 0 thì ta nói hai VCL f1(x) và f2(x) ngang cấp

Nếu c = 1 thì ta nói hai VCL f1(x) và f2(x) là hai VCL tương đương khi x → xo,

kí hiệu f1(x) ~ f2(x)

x g

x f

o

x

)(

)(lim1

1

x g

x f

o

x

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp: Nếu f(x), g(x) là hai VCL trong cùng một quá

trình, f(x) và g(x) đều là tổng của nhiều CVL thì giới hạn của tỉ số f(x)

g(x) là giới hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất ở tử và mẫu số

Ví dụ 1.16:

62

235

2 4

−+

−+

∞

x x x

4

2

5lim

132lim 22

4x

1xlim)4x)(

1x(

)1x)(

1x(lim

1 x 1

−

=+

2x(

)2x(5lim4

x

)2x(5tglim

2 x 2

t 8

t lim )

t ( 2

t cos 1 lim

2

0 t 0

+

−+

∞

x x

)x

512(x

)x

3x

2812(xlim

3 3

2 3

+

++

∞

∞

Ví dụ 1.22:

Tìm

)xtg

1xsin

1(lim

x cos 1 x tg

1 x sin

1 − = −

0x

x2

1limtgx

1xsin

1lim

2

0 x 0

→

14

x sin x x 1 x

sin 1

→

xsin

x3limvàe)x31(lim

0 x x

1.4 HÀM LIÊN TỤC – TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN TỤC

liên tục tại điểm xo

xo : điểm liên tục của hàm f

Những điểm mà tại đó hàm f không liên tục thì được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f

• Hàm f liên tục trên (a, b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc (a, b)

• Hàm f liên tục trên [a, b] nếu f liên tục trên (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b

Nhận xét: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó

x

x x

1cosx)x(

Với x ≠ 0 thì f(x) = xcos1x luôn xác định nên nó liên tục tại mọi điểm x ≠ 0

Với x = 0: Ta có: f(0) = 0

0x

1cosxlim)

x

x m

+∞

→ +∞

→

x x

∞

−

→ +∞

+ +

+ + +

±∞

→

m n khi

, m n khi b

a

, m n khi 0

x b

x b b

x a

x a a lim

n

n m m 1

0

n n 1

0 x

+ limloga(1 ) logae

α

α+

16

Định lí 2

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và µ là một giá tri trung gian giữa m và M thì tồn tại

c ∈ [a, b] sao cho f(c) = µ

1xlim mn 1

5 3

0 x

+

− +

c)

1x

xxlim

++∞

x→+∞ + −

x1

2x1

3(lim

3 1

xxx

x1xlim

4 3 2

++

nxsin

mxsinlim0

xcos1

x2cosxcos1lim0

0

x2sin

x6tglim0

x →

g)

)3x(6sin

x9lim

)x41ln(

lim

0 x

0

x1

x1

− +∞

x 2 x 1

1 x

− +∞

1x

2

x 1

0

x cos 2 x

x cos lim 

2 x khi 2

0 x khi x

1 sin x

1xkhix

1xkhi1x

1xkhi2

xcos

1x0khix2

0xkhix

x3sin

<

0xkhikx

0xkhi

ex

18

2.1 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM – CÁC PHÉP TÍNH CỦA ĐẠO HÀM – ĐẠO

)x(f)x(lim

0

R

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm xo, và được kí hiệu là f ’(xo)

Hàm số f có đạo hàm tại điểm xo được gọi là khả vi tại điểm xo.

Cách tính đạo hàm theo định nghĩa:

− Cho đối số một số gia ∆x, tính số gia y∆ của hàm số:

x

∆ = x - xo x

)x(xx2x

∆+

=

∆

∆+

0 x 0

)x()x(flim

19

Đạo hàm trái của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự Đạo hàm trái

của f tại điểm x0 được kí hiệu là f−' (x0)hayf'(x0 −0) Hiển nhiên hàm số f: (a,b) →

R có đạo hàm tại điểm x0∈ (a,b) khi và chỉ khi nó có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại

)x()x(

−

−

là hệ số góc của đường thẳng MoM Hàm số f có đạo

hàm f’(xo) tại điểm xo khi và chỉ khi (C) có tiếp tuyến tại điểm Mo với hệ số góc f’(xo) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số f tại điểm Mo là: y – y0 = f’(x0)(x –

x0)

x

)x()xx

→

∆

Dùng liên hệ giữa giới hạn và vô cùng bé có thể biểu diễn hệ thức định nghĩa khả vi dưới dạng: (x0 +∆x)−f(x0)=f'(x0)∆x+o(∆x)

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Từ định nghĩa đạo hàm có thể nói hàm f(x) khả vi tại xo khi và chỉ khi ở lân cận của x0 hàm f(x) có thể thay bằng hàm bậc nhất:

)()()

()(

)

Nếu ta coi y = f(x) là phương trình chuyển động thẳng theo thời gian x, thì ∆ylà

đoạn đường đi được trong khoảng thời gian ∆x từ thời điểm x0 đến thời điểm x0 +∆x

20

Đạo của chuyển độngtheo thời gian tại một thời điểm là vận tốc tức thời của

chuyển động tại thời điểm đó

Đạo hàm trên một khoảng

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a,b) Ta nói rằng f có đạo hàm trên (a,b)

x ֏ f ’(x) Gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a,b)

Nếu f ’ liên tục trên (a,b) thì ta cũng nói rằng f khả vi liên tục trên (a,b)

Nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x o thì nó liên tục tại x o

Điều ngược lại không đúng Chẳng hạn hàm số f(x) = x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này

2.1.2.Các quy tắc tính đạo hàm

Định lí

u + v, uv, cu (c ∈ R là một hằng số) có đạo hàm tại điểm xo và

, 0 0

,

)x(v

)x(v)x(u)x(u)x(v)x(

Định lí: Nếu hàm số f : (a,b) → (c,d) có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a,b) và hàm số

g : (c,d) → R có đạo hàm tại điểm uo = f(x0) thì hàm số hợp h = gof : (a,b) → R có

đạo hàm tại điểm x0 và h’(x0) = g’(u0)f’(x0) = g’[f(x)]f’(x0)

Ví dụ 2.2:

f(x) = ax

ax = exlna = eu ⇒ u = x lna

(ax)'=( eu)'u.u'x = eulna = ex lna.lna = axlna

Đạo hàm của hàm số ngược

Giả sử f(x) khả vi tại x0 ∈ (a,b) và f '(x0) ≠ 0 Giả sử f(x) có hàm số ngược x = g(y) Khi đó g(y) cũng khả vi tại y0 và g'(y0) =

)x(f

1

0

Ví dụ 2.3:

21

y = arcsinx ⇒ x = siny; x∈(-1,1) và y∈(-π /2,π /2)

x'y = cosy = ± 1 − sin2 y, cosy > 0

sin

1 − = 1 x− 2x'y = 1 x− 2

y'x =

21

1

2

-xsin

x1

2

x1

1+

-2

x1

1+

2.1.3.Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số f(x) xác định liên tục trong khoảng (a,b) Giả sử f(x) khả vi tại mọi

điểm x∈(a,b), khi đó hàm đạo hàm f ’(x) cũng có thể khả vi và đạo hàm của f ’(x) được

22

gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) Kí hiệu: f "(x) hoặc

2 2

dx

fd Cứ tiếp tục suy diễn như thế

ta có đạo hàm cấp n

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), f(x) được gọi là khả

vi n lần trong (a,b) nếu f là khả vi (n-1) lần trong (a,b) và đạo hàm cấp (n-1) của f cũng khả vi Khi đó đạo hàm cấp n của f được định nghĩa bởi hệ thức:

f(n)(x) = [ f(n-1)(x)]'

Ví dụ 2.4:

a) f(x) = cosx thì: f(2k)(x) = (-1)k cos x

f(2k+1)(x) = (-1)k+1sin x b) f(x) = sinx thì: f(2k)(x) = (-1)k sinx

f(2k +1)(x) = (-1)kcosx

• Các quy tắc tính đạo hàm cấp cao:

gf

)1n(ng'nfgf (fg)(n) = (n) + (n-1) + − (n−2) '' +

gf

!k

)1kn) (

2n)(

1n(n

k ) k n ( k

(fg)(n)= (1+1)ne2x = x x

n

0 k

k

ne eC

∑

=

23

2.2 VI PHÂN – VI PHÂN CẤP CAO

2.2.1.Vi phân hàm một biến

Định nghĩa: Hàm số f(x) khả vi tại x và f(x +∆x)-f(x)=f'(x)∆x + o∆x;

o(∆x) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆x khi ∆ →x 0 được gọi là vi phân của f(x), lấy tại

điểm x và kí hiệu là df, nói khác đi:

Vi phân của hàm số f(df) bằng tích số của đạo hàm (f’(x)) nhân với số gia của

đối số (∆x) Đặc biệt, nếu xét hàm số f(x) = x thì dx = ∆ x Do vậy công thức trên có dạng

df = f ’(x)dx Nghĩa là đạo hàm của hàm số bằng thương số giữa vi phân của hàm số đối với

đối số và vi phân của đối số

Hàm số hợp f(u) khả vi đối với u và u = g(x) là một hàm số khả vi đối với x, khi

Vi phân của df tại x∈(a, b) được gọi là vi phân cấp 2 của f tại x (tương ứng với

dx) và được kí hiệu là d2f(x) (hay d2y) Vậy:

d2f(x) = d(df)(x) = (df)’(x)dx = f’’(x)dxdx = f’’(x)(dx)2 = f’’(x)dx2

Một cách tổng quát, ta định nghĩa vi phân cấp n (n∈N) của f tại x, kí hiệu là

dnf(x) hay dny, là vi phân của vi phân cấp (n – 1) của f tại x

30cos(

30sin29

180

1416,3

2

3(2

1

180

1416,3

Nếu f(x) và g(x) đều liên tục trên [a, b] có các đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại c

ϵ (a, b) để [f(b) – f(a)]g’(c) = [g(b) – g(a)]f’(c)

2.3.4.Định lý Lagrange:

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và tồn tại f’(x) có đạo hàm với x ϵ (a, b) thì tồn tại ξ ϵ (a, b) để: f(b) – f(a) = f’(ξ)(b – a)

2.3.5.Định lý (về tính đơn điệu):

Nếu f(x) có f’(x) > 0 với mọi x ϵ (a, b) thì f(x) tăng trên (a, b) Ngược lại, f’(x) <

0 với mọi x ϵ (a, b) thì f(x) giảm trên (a, b)

+/ f’(x) đi từ (-) sang (+): x 0 là điểm cực tiểu

+/ f’(x) đi từ (+) sang (-): x 0 là điểm cực đại

Quy tắc Lôpitan (De L’Hospital)

x v

x u

)(

'

x v

x u

a

)(

)(lim

x v

x u

a

)x(v

)x(u

' a

1lim)

x(

)x(lnlimK

x ' '

=

+∞

→ +∞

→

)x(g

)x(flim

1x

3) y =

x

2x

3 3x1

x1

−+

2xsin

xsin

xcos1n

2x1khi)x2)(

x1(

1xkhi

x1y

x1

2

x x

x y

−

23

1

2 − +

=

x x

9 Sử dụng quy tắc Lôpitan tính các giới hạn sau:

a)

)x1ln(

eelim

ax ax 0

− −

xsinx

axcos1lim0 x

−

→

c)

) x

1 1 ln(

arctgx 2 lim

x

+

− π

1 lim

1 x

f)

2

xtg)x1(lim1 x

π

−

→

sin5x là nguyên hàm của cos5x

Tính chất 1: Giả sử F(x) khả vi trong (a,b) và F(x) là nguyên hàm của f(x)

∀x∈(a,b) Khi đó:

∀C là hằng số F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) ∀x∈(a,b)

Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) ∀x∈ (a,b) đều có dạng F(x) + C

Họ vô số các nguyên hàm của f(x) với x∈ (a,b) được gọi là tích phân bất định của f(x), x∈ (a,b) và kí hiệu là:∫ ( x ) dx = F ( x ) + C

x : Gọi là biến lấy tích phân

f(x)dx : Biểu thức dưới dấu tích phân

f(x) : Hàm số dưới dấu tích phân

28

∫1 dx = ∫dx = x + C

+α

= α+α

C1

xdxx

1

, α≠ −1

∫ dx=lnx +Cx

1

arctan1

arccot

x C dx

1

1

2 2

Caln

adxa

ax

1

2 2

C x a

x a ln a 2

1 dx x a

29

Caxxlndxax

xarcsina

2

1xax2

1dxx

* Phương pháp khai triển

Muốn tính tích phân bất định của hàm số f(x) ta đưa tích phân cần tính về tích phân cơ bản rồi áp dụng công thức

1x7

1x5

9x3

+

−+

x C

Trong đó f(x) là một hàm số liên tục Để tính tích phân này ta có thể chuyển

đơn điệu có đạo hàm liên tục, ta có:

30

Trong đó t = h(x) là hàm ngược của hàm số x = ϕ(t)

Ví dụ 3.3:

xx

ππ

tcostsin

Cx1x2

1xarcsin2

1Ctcostsin2

1t2

+

−+

=++

tdtt

4 4

dv = dx ⇒ v = x

I =∫ln xdx = xlnx - ∫ dx

x

1

= x ln x −∫dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1 ) + C

* Tích phân các phân thức hữu tỉ

31

n 1

0

m m 1

0

xa

xaa

xb

xbb)x(Q

)x(P)x(R

+++

+++

=

=

Với ai, bi ∈ R và an, bm ≠ 0

Nếu m < n thì R(x) gọi là phân thức thực sự

Nếu m > n thì R(x) gọi là phân thức không thực sự Để đưa phân thức không thực sự về dạng tổng một đa thức và phân thức thực sự ta chia tử số cho mẫu số

Do đó ta chỉ tìm cách tính tích phân các phân thức thực sự:

ax

A

) a x (

NMx

)qpxx(

NMx

m 2

Trong đó: A, M, N, a, p, q ∈ R

4

pq

A

ax

1

) a x (

A

k

k1

1Adx)ax(

11k

AC)ax(1k

A

1 k k

NMx

p q

p x 2 arctg p q

Mp N 2 ) q px x ln(

2

M

2 2

)qpxx(

NMx

m

2

MpN()at(

1.)1m(2

t1

t2

2t1

t1xcos

+

−

t1

dt2

+

32

2 2

t1

dt2)t1

t1,t1

t2(RI

++

−+

=∫

Ví dụ 3.6:

axcosa21

a12

t 1 a 2 1

1 (

t 1

dt 2 ) a 1 ( 2

1

2 2

2 2

2

∫

+ +

−

− +

dt )

a 1 ( I

2 2

a 1

) a 1 ( t 1 ( ) a 1 (

) a 1

) a 1 ( t ( d a 1

a 1 ) a 1 (

−

−

+ +

a 1

x tg a 1

a 1

Đặc biệt:

• Nếu R(sinx,cosx) = R(-sinx,-cosx) thì đặt t = tgx

• Nếu R(sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt:

t = sinx ⇒ dx =

2t1

+ Nếu n lẻ thì đặt: sinx=t

Ví dụ 3.7:

Tính I = ∫cos5xsin2x dx

Đặt sinx = t ⇒ dt = cosxdx

33

I = ∫cos4xsin2xcosxdx = ∫cos4xsin2xd(sinx)

) t 1 (

t ( - 2t4 + t2)dt =

3

tt5

27

m q

baxt

bax

1 k k

k

=

=+

⇒

=+

c) I = R(x, ax2+bx+c)dx

a2

u22

2

,2

ππ

− )

.du

u2 2

tcos

tcos

1ttg

tcos

tdtcosdt

tcos

1

4 3

Dy1

C)y1(

B)

y1(

1

=+

−+

3D - 9C = 1 -

25

1dyy1

14

1dyy1

14

1)

2 2

y1

1y1

−

++

bx

Với ∆ xi = xi− xi−1 ( i = 1 , n )

n, phụ thuộc ξi, chọn tuỳ ý trong [ xi-1, xi] và cách chia khoảng

(

xi

λ

∞

→

→ λ

) n ( 0

Ta nói rằng hàm số f(x) khả tích trên [ a,b]

+) x là biến số lấy tích phân +) f(x) là hàm số lấy tích phân +) f(x)dx biểu thức dưới dấu tích phân Diện tích S của hình thang cong AB ba là:

Định lí 1: Nếu f(x) liên tục trong [a,b ] thì f(x) khả tích trên [a,b]

Định lí 2: Nếu f(x) bị chặn trong [a,b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn

trong [a,b] thì f(x) khả tích trên [a,b]

Định lí 3: Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a,b] thì khả tích trong [a,b]

37

Giả sử f(x) khả tích trên [ a,b ]; ( a < b ) và m ≤ ( x ) ≤ M với x ∈ [a,b] khi

đó tồn tại µ sao cho:

;)()

c(dx

Khi đó:

)Mm

(

;dx)x(gdx)x(g)

x

(

b

a b

a

≤µ

≤µ

= ∫

∫

Đặc biệt nếu f(x) liên tục trong [a,b] ta có:

)(

;)()()

(.)

f

b

a b

* Công thức Newton- Leibnitz:

Nếu f(x) liên tục trong khoảng đóng [a,b] và nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì: (x)dx F(b) F(a)

1dx)x(x)(1

0

α

−

=α

−+α

−

=α

0

1

dxxxdxxx)(

I

33

1dx)x(xdx)x(x)(

3

0

1 −α = −α+α+

−α

=

α

38

+ Với α > 1 , x < α:

3

12dx)x(xdxx

x)(

1

0 1

0

−

α

=α+

−

=α

Đặt x = 2sint ⇒ 4 − x2 = 2 cos t

2

t2(−π≤ ≤ π

) 2sint = 0 ⇒ t = 0

2

t2cos14tdtcos4

2

0 2

0 2

0

)2

t2sint(2dtt2cos12I

* Đổi biến t = ϕϕϕϕ (x)

Xét tích phân (x)dx

b

a

Nếu phép đổi biến t = ϕ(x) thỏa:

ϕ(x) biến thiên đơn điệu trên [a,b] và có đạo hàm liên tục

39

f(x) dx trở thành g(t)dt trong đó g(t) là một hàm số liên tục trong khoảng đóng [ϕ(a),ϕ(b)] thì:

dx)x(b

a

∫ = g(t)dx

) b (

) a (

∫ϕ ϕ

Ví dụ 3.11:

xsin1

xcosI

=

Đổi biến sin x = t; dt = cosxdx ⇒ dx =

xcosdt

1I

1

0 2

Giả sử u(x), v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục trong [a,b] khi đó:

d(uv) = vdu + udv Lấy tích phân đẳng thức này trên [a,b]

)v,u(d

a

b auv)

uv(