Nhập môn k – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều

DANH M ỤC CÁC KÝ HIỆU Set Phạm trù tập hợp Top Phạm trù các không gian tôpô CW Phạm trù các phức CW Grp Phạm trù các nhóm Ab Phạm trù các nhóm Aben n Bund Phạm trù các phân thớ vec-

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành: Hình h ọc và Tôpô

Mã s ố: 60 46 01 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUY ỄN THÁI SƠN

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

M ỤC LỤC

3

3

3

3

3

3

3

3

3



3

3

3

3

3

3

3

3

Chương 2 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH K – NHÓM CỦA MỘT SỐ CÁC

KHÔNG GIAN TÔPÔ 35

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Chương 3 - LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU 55

3

3

3

0

3

1

3

3

3

3

n

p 72

3

3

3

L ỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Thái Sơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi chân thành cảm ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học

Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp học tập trong suốt quá trình học Cao học

Chân thành cảm ơn phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập cũng như khi làm luận văn

Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn sự động viên của bạn bè, gia đình đã luôn bên tôi, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như khi tôi hoàn thành

luận văn tốt nghiệp này

DANH M ỤC CÁC KÝ HIỆU

Set Phạm trù tập hợp

Top Phạm trù các không gian tôpô

CW Phạm trù các phức CW

Grp Phạm trù các nhóm

Ab Phạm trù các nhóm Aben

n

Bund Phạm trù các phân thớ vec-tơ n-chiều

( )

n

Bund B Phạm trù các phân thớ vec-tơ n-chiều có đáy là B

( )

Vect B Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vec-tơ trên B

( )

k

Vect B Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vec-tơ k

chiều trên trên B

f

  Lớp đồng luân của ánh xạ f

n

n Phạm trù các không gian vec-tơ n-chiều trên trường 

M Ở ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

K-lý thuyết tôpô (còn gọi là K-lý thuyết hình học) là một lý thuyết đối đồng điều suy rộng và là một công cụ mạnh của Tôpô đại số Công cụ này cho phép giải quyết nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô cũng như nhiều lĩnh vực khác của toán học Năm 1958, Grothendieck khi nghiên cứu về định lý Riemann – Roch trong Hình học đại số đã khởi xướng ý tưởng về K-lý thuyết tôpô Đến năm 1961, K-lý thuyết tôpô đã chính thức được hình thành bởi các công trình nghiên cứu độc lập của Atiyah và Hirzebruch

K-lý thuyết tôpô được xây dựng nhờ không gian phân thớ, nó cho phép chuyển

một loạt các bài toán của giải tích và tôpô thành các bài toán đại số K-lý thuyết tôpô

đã nảy sinh một cách tự nhiên ra K-lý thuyết đại số

K-lý thuyết tôpô xuất hiện trước và liên quan tới các phân thớ vec-tơ phức trên các đáy là các không gian tôpô Đối tượng cơ bản của K-lý thuyết tôpô là các lớp tương đương ổn định của các phân thớ vec-tơ (phức) Bằng phép toán tổng Whitney các phân thớ vec-tơ, ta xây dựng được một vị nhóm Abel, rồi thông qua nhóm Grothendieck, ta xây dựng được các nhóm K0 và K1 của một không gian tôpô

K-lý thuyết đại số liên quan đến nhiều đối tượng hơn Năm 1962, Swan để ý

thấy rằng có sự tương ứng giữa phạm trù các không gian tôpô nào đó (như không gian compắc, Hausdorff) với phạm trù các đại số Banach hoặc C -đại số Ý tưởng là ở chỗ

tập các nhát cắt liên tục của mỗi một phân thớ vec-tơ trên không gian tôpô X là một ( )

C X -môđun Điều này dẫn tới việc nghiên cứu các môđun xạ ảnh, các K-nhóm đại

số và đó là xuất phát điểm của K-lý thuyết đại số

Điều đặc biệt là giữa K-lý thuyết tôpô và K-lý thuyết đại số có một mối liên

hệ mật thiết với nhau thông qua một định lý kinh điển Từ mối liên hệ này ta có thể

chuyển từ việc tính toán các K-nhóm từ bên này (tôpô) sang bên kia (đại số) mỗi khi

việc tính toán ở bên này khó hơn bên kia, và ngược lại Thông qua việc tìm hiểu sơ bộ

những vấn đề trên, chúng tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về K-lý thuyết mà

cụ thể là K-lý thuyết tôpô, đồng thời tìm hiểu về mối liên hệ mật thiết giữa K-lý thuyết tôpô và K-lý thuyết đại số Tuy nhiên, việc nghiên cứu K-lý thuyết ở tầm tổng quát là rất khó khăn vì phải dùng đến nhiều kiến thức của cả Đại số và Giải tích Vì

vậy, chúng tôi đã giới hạn việc tìm hiểu của mình trong phạm vi nhỏ hơn và đề tài của

chúng tôi mang tên là : “Nh ập môn K- lý thuy ết và liên quan tới lý thuyết đồng điều”

2 N ội dung và phương pháp nghiên cứu

Luận văn tìm hiểu hai vấn đề chính: Mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott với K-lý thuyết và K-lý thuyết như là lý thuyết đồng điều trên Đại số Banach

Phương pháp nghiên cứu: Luận văn sử dụng những công cụ mạnh là Đại số đồng điều và Giải tích hàm, trong một chừng mực có thể, là cách trình bày theo tinh

thần của Toán học hiện đại – ngôn ngữ Phạm trù và Hàm tử

3 C ấu trúc luận văn

phân thớ - đây là nền tảng xây dựng K-lý thuyết, phân loại đẳng cấu vec-tơ, các phép toán trên phân thớ vec-tơ như tổng Whitney và tích ten-xơ, sau đó là xây dựng K-lý thuyết

tôpô như: Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản; Sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn

và tuần hoàn Bott; Sử dụng đối đồng điều để tính K-nhóm

Chương 3: Trình bày mối liên quan tới lý thuyết đồng điều, hay cụ thể hơn là mối

liên hệ giữa K-lý thuyết tôpô và K-lý thuyết đại số, nội dung trong chương này trình bày hai vấn đề sau: K-lý thuyết như là lý thuyết đồng điều trên đại số Banach và mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott với K-lý thuyết Nhờ định lý kinh điển nói về mối liên hệ

mật thiết giữa K-lý thuyết tô pô và K-lý thuyết đại số, ta có thể chuyển từ việc tính toán các K-nhóm từ bên này (tôpô) sang bên kia (đại số) mỗi khi việc tính toán ở bên này khó hơn bên kia, và ngược lại

4 Ký hi ệu trong luận văn

Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc

sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu)

Để trích dẫn một kết quả, tác giả dùng những ký hiệu quan thuộc Chẳng hạn,

nếu ghi “1.2.1” có nghĩa là xin xem mục 1.2.1 ở Chương 1; nếu ghi “2.1.2” có nghĩa là xin xem mục 2.1.2 ở Chương 2; còn nếu ghi “[10, tr.110]” có nghĩa là xin xem trang

110 của Tài liệu tham khảo số 10

Chương 1

Trong chương này, nội dung chủ yếu được tác giả trình bày là các nét cơ bản về

K-lý thuyết tô pô phức Sơ lược các nội dung như sau: Mô tả không gian phân thớ, đây là

nền tảng xây dựng K-lý thuyết; Đa tạp Grassman, dùng cho việc phân loại các đẳng

cấu vec-tơ; Phân thớ vec-tơ phức cùng các phép toán tổng trực tiếp (tổng Whitney) và tích ten-xơ Các định nghĩa về các nhóm đầu tiên không rút gọn được K X( ) và nhóm đầu tiên rút gọn được K X( ) của K-lý thuyết tô pô Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cung

cấp thêm mô tả tầm thường và mô tả hình học của mỗi nhóm, đồng thời chỉ ra rằng hai nhóm này đều được trang bị một cấu trúc vành

Các định nghĩa trong nội dung này được tham khảo từ [4], [11], [13]

1.1 Sơ lược về không gian phân thớ

Trước khi vào định nghĩa không gian phân thớ, ta xét các ví dụ sau để hình dung được về các khái niệm mới này

• Mặt trụ hai chiều:  

1

1

x S



• Lá mobius: 2 ( ) ( )

0 1 0 1 1

M ,  ,t  , -t

• Mặt xuyến:  

1

x S

S S x S

p



• Lấy M n là đa tạp vi phân n-chiều, với mỗi x M n ta có không gian tiếp xúc

của M n tại x là: n

x

T M

Đặt :

n

x

x M

TM T M



  , được gọi là phân thớ tiếp xúc của M n Trong trường hợp này ta khó hình dung ra tích trực tiếp như các ví dụ ở trên, nhưng về bản chất đó

là phân thớ

Nhận xét về đặc điểm chung của các không gian nêu trên

• Mỗi không gian đều được phân ra thành hợp của một họ các “thớ”

• Mỗi “thớ” đều đồng phôi với nhau (nếu xét về mặt topo thì chúng là một)

• Trên không gian toàn thể có thể là tích trực tiếp hoặc có thể không, nhưng khi xét ở địa phương thì chúng luôn luôn là tích trực tiếp

Từ đây ta có các khái niệm về không gian phân thớ sau

đó, bộ ba x (E,p,B) được gọi là một không gian phân thớ tầm thường địa phương hay phân th ớ (với thớ mẫu F ) n ếu tính chất tầm thường địa phương sau đây thỏa mãn:

x B

  tồn tại tập mở U B  chứa x và j: U F  p U- 1( ) đồng phôi sao cho tam giác sau đây giao hoán

( )

( ) 1 1

pr

U F p U E

U

j

 

t ức là pr U p p- 1( )U  j, trong đó pr : U F U, u, f U   ( )pr u, f : u U( )  là phép chi ếu tự nhiên

Tên gọi và nhận xét

• E: được gọi là không gian toàn thể của phân thớ (ta thường đồng nhất x vớiE và

gọi E là không gian phân thớ)

• B: được gọi là đáy hay cơ sở của phân thớ

• p: được gọi là phép chiếu (không gian toàn thể lên đáy) và dễ thấy p toàn ánh

• F: được gọi là thớ mẫu

•  x B,p x- 1( )( )F : được gọi là thớ tại x và ta có 1( )

x B

E p- x





y U

p U- p y

-

 , j( )y, f p y- 1( )

• j: U F  p U- 1( ) được gọi là đồng phôi theo thớ và cặp ( )U,j được gọi là

bản đồ địa phương xung quanh x của phân thớ

• Đặc biệt khi ta chọn EBF thì E chắn chắn thỏa mãn các định nghĩa ở trên (đồng phôi j Id), và E khi đó được gọi là phân thớ tầm thường

Ánh x ạ liên tục h : E1E2 được gọi là một đồng cấu phân thớ từ x1 đến x2 n ếu tam giác sau giao hoán

1 2

1 h 2

B

 

  t ức là p1p2h

Định nghĩa 1.1.3 Một đẳng cấu phân thớ là một đồng cấu phân thớ đồng thời cũng là

m ột đồng phôi

2 1

h- : E E cũng là đẳng cấu phân thớ

Ta thường viết h : E1  E2

Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù các phân thớ) Đặt Bund B( ) là ph ạm trù các phân thớ trên B , trong đó vật Ob: là họ các không gian phân thớ trên B và c ấu xạ

( )( 1 2)

Bund B

Mor E ,E : là t ập các đồng cấu phân thớ từ E1 đến E2

Phân th ớ x (E,p,B) (th ớ mẫu F ) được gọi là phân thớ tầm thường nếu E B F  

1.2 Đa tạp phức Stiefel và đa tạp phức Grassman

Giả sử tôpô của tất cả các đa tạp được giới thiệu ở phần này thừa hưởng tôpô thông thường của 

Định nghĩa 1.2.1 Ta định nghĩa đa tạp phức Stiefel như sau:

W   A M |A* A I ,n k   

trong đó A* là ma tr ận chuyển vị liên hợp của A

Nói theo một cách khác, ( )k

n

W  là tập của tất cả n hệ tọa độ (n phức của các vec-tơ trực chuẩn) trong k với n k Xét về khía cạnh tôpô nó là một không gian compắc, như một không gian con đóng của tích trực tiếp của n bản sao của mặt cầu

1

k

S -

Định nghĩa 1.2.2 Ta định nghĩa đa tạp phức Grassman như sau:

( )k {

n

G   các không gian vec- tơ con n- chi ều của k , n k }

t ức là tập tất cả các mặt phẳng n- chi ều trong k cùng đi qua gốc tọa độ

Để hiểu rõ hơn về đa tạp này, ta xét phép chiếu tự nhiên sau:

( 1 ) ( 1 )

p

v , ,v v , ,v



   



cho phép ta xem ( )k

n

G  như một không gian compắc với tôpô thương Một CW -cấu

trúc cũng được xác định sao cho mỗi ( )k

n

W  là một phức với số ô hữu hạn và ta có thể

chỉ ra rằng ( )k

n

G  là một đa tạp Hausdorff với số chiều là k k n( - )

Ta có k k1  Dãy này cảm sinh dãy các đa tạp phức Stiefel ( )k ( k 1)

W  W    và dãy các đa tạp phức Grassman phức sau ( )k ( )k 1

G  G    Ta đặt:





  và ( ): ( )k





ta thu được hai không gian tôpô giới hạn trực tiếp

1.3 Ph ạm trù Bund

là các không gian tôpô th ỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Ánh x ạ p : E B liên t ục và toàn ánh;

(ii) V ới mọi b B  , không gian p b- 1( ) có c ấu trúc của một không gian vec-tơ

ph ức V ; (iii) Điều kiện tầm thường địa phương: vơi mọi b B  , tồn tại một lân cận mở U b

c ủa b và một đồng phôi:

( )

1

b

U : U V b p U b

-th ỏa mãn pjU b( )b,v b , v ới mọi ( )b,v U V b Hơn nữa, j phù h ợp với cấu trúc không gian vec-tơ trên các thớ, tức là

b

U b V : b V p b

-    là m ột đẳng cấu của các không gian vec-tơ với mọi b B

Một số thuật ngữ:

 Với bất kỳ phân thớ vec-tơ x(E,p,B), ta gọi E là không gian tổng thể, B là

không gian đáy, và p là ánh xạ chiếu của phân thớ;

 Với mọi b, không gian p b- 1( ) là thớ của phân thớ vec-tơ tại b B , ta sẽ ký hiệu

lại là E b Chú ý về số chiều: Cho x(E,p,B) là một phân thớ vec-tơ phức Nếu với mỗi

b B , số chiều của thớ E b là giống nhau và bằng hằng số n 0, ta nói rằng x là một phân thớ vec-tơ phức n-chiều và ta có thể thay không gian vec-tơ phức V bằng n

trong định nghĩa trên

(thay n bằng n) Tuy nhiên, ở đây chúng tôi chỉ tập trung vào các phân thớ vec-tơ

phức, do đó “phức” đôi khi sẽ không được nhắc đến nếu không gây nhầm lẫn gì

Một số ví dụ về phân thớ vec-tơ n-chiều

(B n ,p,B)

e  

trong đó

n

p : B B b,v b

 

là phép chiếu tự nhiên lên thành phần thứ nhất

n

G là một đa tạp phức Grassman Ta định nghĩa

( )k  ( ) ( )k k 

và phép chiếu

( ) ( )

( )





Bộ ba g ( ( )k p ( )k )

n,k E n , ,G n là phân thớ phức chính tắc n-chiều

( )k  ( ) ( )k k 

và phép chiếu tương ứng lên thành phần đầu tiên

( ) ( )

( )





Bộ ba h ( ( )k p ( )k )

n,k E' n , ,G n là phân thớ phức (k n- -) chiều Khi phép toán tổng

trực tiếp trên các phân thớ được xác định, ta thấy rằng hai phân thớ này có mối liên hệ

với nhau, cụ thể là hn,k gn,k là phân thớ tầm thường k-chiều trên ( )k

n

Một đồng cấu phân thớ vec-tơ là một ánh xạ bảo toàn các thớ và là ánh xạ tuyến tính trên mỗi thớ Ta có định nghĩa chính xác hơn như sau:

đồng cấu của các phân thớ ( )f ,g :xx' được xác định bởi hai ánh xạ

f : E E' và g : B B' sao cho bi ểu đồ sau giao hoán:

f

g

 

 

t ức là p' f g p và thu h ẹp

( ) ( ) ( )

f : p b-  p- f b

là ánh x ạ tuyến tính với mọi b B 

x' có cùng đáy B và đồng cấu (f ,id : B) xx' thỏa tam giác giao hoán sau:

 

f

B

 

đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đồng cấu phân thớ (f ,id : B) xx' sao cho

f : EE' là m ột đồng phôi và thu hẹp f : p b- 1( )p- 1( )f b( ) là m ột đẳng cấu tuyến tính trên m ỗi thớ, với mọi b B 

Ở mục này, ta có thể đề cập đến phạm trù của các phân thớ vec-tơ phức, mà ta

ký hiệu là Bund Vật của phạm trù và các xạ được định nghĩa như trong Định nghĩa

trù Top và n

Chú ý rằng với mỗi B Top , Bund cho phạm trù con Bund B( ) là phạm trù

của các phân thớ vec-tơ trên B

Cuối cùng số chiều được bảo toàn, tức là với mọi n 0, các phân thớ vec-tơ

phức n-chiều cũng tạo ra một phạm trù mà ta ký hiệu là Bund

1.4 Xây dựng phép toán trên các phân thớ vec-tơ

ánh x ạ liên tục Phân thớ cảm sinh từ f t ừ x - ký hi ệu là f * x( ), được xác định như sau: Đặt p : Y Y B E Y và p : Y E B E E , khi đó ta muốn biểu đồ sau giao hoán

E

Y

p B

f

 

Chú ý rằng YB E: f * E( ) là không gian tổng thể của f * x( ), chính xác hơn là cái kéo lùi của p Y và p E

 1

B là đẳng cấu với nhau nếu B là không gian comp ắc Hausdorff

0 1

f , f : AB Khi đó các phân thớ cảm sinh f * E0 ( ) và f * E1 ( ) là đẳng cấu với nhau

n ếu A là không gian Hausdorff comp ắc

như sau:

:' E E ,p p ,B

trong đó

E E  e ,e  E E |p e p e

và ánh x ạ chiếu

1 2 1 2

p p : E E  B

được xác định bởi

(e ,e1 2)p e1( )1 p e2( )2

Phép toán x x  ' được gọi là tổng Whitney của xvà x' và là tích trong phạm trù Bund Bn( )

Như đã đề cập ở phần trước, tiếp theo ta có thể định nghĩa đẳng cấu:

( ) ( )

k

f :

h g  e



