Giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất với các cung có giá trị khoảng

Để giải quyết bài toán này trong trường hợp “độ dài” các cung là mờ, tôi chọn đề tài: “GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT VỚI CÁC CUNG CÓ GIÁ TRỊ KHOẢNG” Trong đó, thuật toán Dijkstra

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Nguyễn Tân Ân

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn là kết quả nghiên cứu và tổng hợp các kiến thức mà học viên

đã thu thập được trong quá trình học tập tại trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là sự hướng dẫn, giúp đỡ của PGS

TS Nguyễn Tân Ân

Tôi xin cam đoan luận văn không phải là sản phẩm sao chép của bất kỳ tài liệu khoa học nào

Học viên

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS TS Nguyễn Tân

Ân, người hướng dẫn khoa học, đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi thực hiện luận văn

Tôi xin cảm ơn các thầy cô trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Cao đẳng Công nghiệp Thực Phẩm và các đồng nghiệp trong khoa Công nghệ thông tin đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân và các bạn bè chia sẻ, gúp

đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã hết sức cố gắng hoàn thành luận văn với tất cả sự nỗ lực của bản thân, nhưng luận văn vẫn còn những thiếu sót Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn bè đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT v

DANH LỤC HÌNH VẼ vi

DANH LỤC BẢNG viii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 4

1.1 Đồ thị 4

1.1.1 Các định nghĩa về đồ thị 4

1.1.2 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông 6

1.1.3 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận 8

1.1.4 Ma trận trọng số 10

1.1.5 Danh sách cạnh 10

1.2 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số xác định 11

1.2.1 Định nghĩa 11

1.2.2 Các thuật toán 12

1.2.3 Thuật toán Dijkstra 12

1.3 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số mờ 18

1.3.1 Đặt bài toán 18

1.3.2 Một số cách biểu diễn giá trị mờ của các cung 20

1.3.3 Biểu diễn giá trị mờ của các cung bằng khoảng 22

1.4 Kết luận chương 1 26

CHƯƠNG II: SỐ HỌC KHOẢNG 27

2.1 Số học khoảng 27

2.1.1 Một số khái niệm cơ bản 27

2.1.2 Tóm tắt một số phương pháp xếp hạng các khoảng 28

2.1.3 Biểu diễn thứ tự các khoảng 30

2.1.4 Chọn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất để xác định khoảng 35

2.2 Áp dụng thuật toán Dijkstra trong bài toán tìm đường đi ngắn nhất với độ dài các cung là khoảng 41

2.3 Kết luận chương 2 51

CHƯƠNG 3: CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG 52

3.1 Bài toán 52

3.2 Xây dựng chương trình ứng dụng 52

3.2.1 Lựa chọn giải pháp 52

3.2.2 Thiết kế hệ thống 53

3.2.3 Một số giao diện chính của chương trình 54

3.3 Kết luận chương 3 60

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

- DM: người ra quyết định

- Tên các huyện, thành phố, thị xã của tỉnh Phú Thọ:

Tên huyện, thành, thị Kí hiệu

DANH LỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Đơn đồ thị, giả đồ thị 5

Hình 1.2 Bậc của đồ thị 6

Hình 1.3 Biểu diễn Đường đi Euler và đồ thị Euler 6

Hình 1.4 Đường đi trên đồ thị vô hướng 7

Hình 1.5 Đường đi trong đồ thị 8

Hình 1.6 Ma trận liền kề 4 đỉnh 9

Hình 1.7 Ma trận liền kề 5 đỉnh 9

Hình 1.8 Ma trận liên thuộc 10

Hình 1.9 Sơ đồ thuật toán Dijkstra 15

Hình 1.10 Đồ thị G trong bài toán áp dụng thuật toán Dijkstra 17

Hình 1.11 Tập mờ 22

Hình 1.12 Đồ thị hàm thuộc của tập mờ 23

Hình 1.13 Đồ thị hàm thuộc của tập A 24

Hình 1.14: Tập mờ lồi 24

Hình 1.15: Tập mờ chuẩn 24

Hình 1.16: Tập mờ vừa lồi vừa chuẩn 25

Hình 1.17: Tập α-cut của tập mờ A 25

Hình 2.1: Hàm mức độ loại bỏ A trong cặp khoảng (A,X) thuộc S2 31

Hình 2.2 Bài toán mạng 42

Hình 2.3 Giải pháp cải tiến bài toán 45

Hình 2.4 Bản đồ US thời gian lái xe giữa các thành phố chính 47

Hình 3.1 Giao diện chính 55

Hình 3.2 Giao diện nhập dữ liệu 56

Hình 3.3 Bài toán mạng thử nghiệm 56

Hình 3.4 Kết quả bài toán thử nghiệm 57

Hình 3.5 Kết quả bài toán ứng dụng 60

DANH LỤC BẢNG

Bảng 1.1 Kết quả bài toán áp dụng thuật toán Dijkstra 18 Bảng 1.2 Phân bố khả năng của học sinh theo điểm 21 Bảng 2.1 Phân tích nội dung của các ô trong bảng Fuzzy Rejection với bài toán tìm khoảng nhỏ nhất (Interval Minimization) 34 Bảng 2.2 Bảng Fuzzy Rejection 38 Bảng 2.3 Bảng Fuzzy Rejection hoàn thiện, với ô (i,j) chứa giá trị thành viên

mờ để xác định khả năng có thể loại bỏ của khoảng thứ i so với khoảng thứ j.39 Bảng 2.4 Bảng lựa chọn cuối cùng 40 Bảng 2.5 Các đường đi từ Bostom tới Los Angeles và độ dài của chúng 49 Bảng 3.1 Bảng kí hiệu tên các huyện thành thị trong tỉnh Phú Thọ 59 Bảng 3.2 Khảo sát thời gian lái xe giữa các huyện thành thị trong tỉnh Phú Thọ 59

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tìm đường đi ngắn nhất trong một đồ thị tức là tìm đường đi ngắn nhất

từ một nút cho trước đến một nút khác cũng cho trước Mỗi cung trong mạng thường biểu diễn cho thời gian vận chuyển hoặc chi phí trong việc đi lại… Bài toán này đã được nhiều tác giả quan tâm và có ý nghĩa rất lớn trong thực

tế Một trong những thuật toán nổi tiếng giải bài toán này là thuật toán Dijkstra Tuy nhiên, dễ nhận thấy rằng, các giá trị mà các cung biểu diễn (thời gian vận chuyển hoặc chi phí trong việc đi lại) có thể dao động đáng kể tùy thuộc vào điều kiện giao thông, tải trọng cụ thể, vv Khi đó các giá trị này là

mờ và bài toán trở thành bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong trường hợp

“độ dài” các cung là mờ Rõ ràng, trong trường hợp này thuật toán Dijkstra thông thường không thể áp dụng được Để giải quyết bài toán này trong trường hợp “độ dài” các cung là mờ, tôi chọn đề tài:

“GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT VỚI CÁC CUNG CÓ GIÁ TRỊ KHOẢNG” Trong đó, thuật toán Dijkstra đã được thiết kế lại để xử lý các trường hợp mà hầu hết các thông số đều không chính xác và đưa về khoảng

Mặc dù số học khoảng đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu, nhưng trong thực tế việc sắp xếp thứ tự các khoảng và ứng dụng số học khoảng trong việc

ra quyết định còn ít người nghiên cứu Công trình khá ấn tượng về vấn đề này

là công trình của Okada và Gen (1994) [6] Tuy nhiên, các thuật toán mà các tác giả đề xuất trong đó sinh ra một tập hợp các khoảng không thể so sánh được, vì thế kết quả của nó không thể giải quyết nhiều bài toán với khoảng một cách hiệu quả Cụ thể, Okada và Gen (1994) đã cố gắng giải quyết vấn đề với các khoảng không thể so sánh bằng cách sử dụng một chiến lược xếp hạng

của riêng mình nhưng phương pháp của họ dường như làm việc một cách đặc biệt và do đó kết quả không đủ tổng quát trong các trường hợp khi giải bài toán đường đi ngắn nhất

Trong luận văn này, trước tiên đưa ra một cách so sánh dựa theo các quan hệ thứ tự khác nhau của Moore (1979) [5], Ishibuchi và Tanaka (1990) [3], Kundu (1997)) [4] Sau đó luận văn trình bày một phương pháp sắp xếp thứ tự ưu tiên mờ đối với các khoảng (Sengupta và Pal (2001)) [7] với một thứ tự rõ ràng hơn và thuyết phục hơn so với thứ tự của Okada và Gen (1994) [6] Trên cơ sở đó, luận văn áp dụng thuật toán của Dijkstra để giải bài toán đường đi ngắn nhất sang trường hợp các cung có giá trị là khoảng Cuối cùng

là chương trình ứng dụng giảm thiểu chi phí vận tải trong trường hợp chi phí này có biến động

II MỤC TIÊU, ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong khuôn khổ của luận văn sẽ thực hiện và giải quyết những vấn đề sau:

- Nghiên cứu giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong trường hợp giá trị của các cung là mờ được biểu diễn dưới dạng các khoảng

- Từ đó xây dựng ứng dụng trong bài toán giảm thiểu chi phí vận tải

III Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Tìm hiểu mở rộng thuật toán Dijkstra để giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong trường hợp giá trị của các cung trên đồ thị

Tìm hiểu thuật toán Dijkstra và nghiên cứu xây dựng đồ thị với các cung có giá trị khoảng để định hướng nghiên cứu lâu dài và đưa vào thực tiễn

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp

- Phương pháp trao đổi khoa học, lấy ý kiến chuyên gia

- Phương pháp thực nghiệm và đối chứng qua chương trình thử nghiệm

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

1.1 Đồ thị

1.1.1 Các định nghĩa về đồ thị

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các

đỉnh đó Người ta thường ký hiệu đồ thị G = (V,E), trong đó V là tập hợp các đỉnh (Verterx), E là tập hợp các cạnh (Edge) Người ta phân loại đồ thị theo

các đặc tính và số cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị [1]

Định nghĩa 1: Đơn đồ thị G = (V, E) gồm V là tập các đỉnh và E là tập

các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh [1]

Định nghĩa 2: Đa đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm V là tập các đỉnh và

E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là cạnh

Hai cạnh e 1 và e 2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh

Rõ ràng mỗi đơn đồ thị là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị nào cũng là đơn đồ thị

Định nghĩa 3: Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm V là tập các đỉnh

và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử (không nhất thiết là phân biệt) của V gọi là các cạnh Cạnh e được gọi là khuyên nếu nó có dạng

e=(u,u) [1]

Tóm lại, giả đồ thị là loại đồ thị vô hướng tổng quát nhất vì nó có thể chứa các khuyên và các cạnh lặp Đa đồ thị là loại đồ thị vô hướng có thể chứa cạnh bội nhưng không thể có các khuyên, còn đơn đồ thị là loại đồ thị vô hướng không chứa cạnh lặp hoặc các khuyên

Đơn đồ thị Giả đồ thị

Hình 1.1 Đơn đồ thị, giả đồ thị

Định nghĩa 4: Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) gồm V là tập các đỉnh

và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các

cung Nếu trong mạng có thể có đa kênh thoại một chiều, ta sẽ phải sử dụng đến khái niệm đa đồ thị có hướng

Định nghĩa 5: Đa đồ thị có hướng G = (V, E) gồm V là tập các đỉnh và

E là họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung

Hai cung e 1 và e 2 tương ứng với cùng một cặp đỉnh được gọi là cung lặp

Bậc của đồ thị được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1: Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V,E) được

gọi là liền kề nếu (u,v)E Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các

đỉnh u và v Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e

Định nghĩa 2: Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là

số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó

Đỉnh v gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu

Hình 1.2 Bậc của đồ thị

Ta có deg(v1)=7, deg(v2)=5, deg(v3)=3, deg(v4)=0, deg(v5)=4, deg(v6)=1, deg(v7)=2 Đỉnh v4 là đỉnh cô lập và đỉnh v6 là đỉnh treo

1.1.2 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông

Có thể coi năm 1736 là năm khai sinh lý thuyết đồ thị, với việc công bố lời giải “bài toán về các cầu ở Konigsberg” của nhà toán học lỗi lạc Euler (1707-1783) Thành phố Konigsberg thuộc Phổ (nay gọi là Kaliningrad thuộc Nga) được chia thành bốn vùng bằng các nhánh sông Pregel, các vùng này gồm hai vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof và một miền nằm giữa hai nhánh của sông Pregel Vào thế kỷ 18, người ta xây bảy chiếc cầu nối các vùng này với nhau

Hình 1.3 Biểu diễn Đường đi Euler và đồ thị Euler

Dân thành phố từng thắc mắc: “Có thể nào đi dạo qua tất cả bảy cầu, mỗi cầu chỉ một lần thôi không?” Nếu ta coi mỗi khu vực A, B, C, D như

v 4

một đỉnh và mỗi cầu qua lại hai khu vực là một cạnh nối hai đỉnh thì ta có sơ

đồ của Konigsberg là một đa đồ thị G như hình trên Bài toán tìm đường đi

qua tất cả các cầu, mỗi cầu chỉ qua một lần có thể được phát biểu lại bằng mô

hình này như sau: Có tồn tại chu trình đơn trong đa đồ thị G chứa tất cả các

cạnh

Định nghĩa 1 Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số

nguyên dương, trên đồ thị vô hướng G =(V , E) là dãy x 0 , x 1 , … , x n-1 , x n

trong đó u = x 0 , v = x n (x i , x i+1 ) E, i= 0, 1, 2, , n -1 Đường đi nói trên còn

có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh: (x 0 , x i ), (x 1 , x 2 ), … (x n-1 , x n )

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình

Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại

Ví dụ:

Hình 1.4 Đường đi trên đồ thị vô hướng

Ta có: d, b, a là đường đi đơn độ dài 2; d, b, c không là đường đi do (b, c) không phải là cạnh; d, b, a, d là chu trình độ dài 3 Đường đi d, a, b, a

không là đường đi đơn vì cạnh (a, b) có mặt hai lần

Định nghĩa 2: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v trong đó n là số

nguyên dương, trên đồ thị có hướng G=(V, A) là dãy: x 0 , x 1 , … x n-1 , x n

Đường đi nói trên còn có thể hiểu diễn dưới dạng dãy các cung:

Hình 1.5 Đường đi trong đồ thị

Định nghĩa 3 Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thông nếu

luôn tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó

1.1.3 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận

Để lưu trữ đồ thị và thực hiện các thuật toán khác nhau với đồ thị trên máy tính cần phải tìm những cấu trúc dữ liệu thích hợp để mô tả đồ thị Viêc chọn cấu trúc dữ liệu nào để biểu diễn đồ thị có tác động rất lớn đến hiệu quả của thuật toán Vì vậy, việc chọn lựa cấu trúc dữ liệu để biểu diễn dồ thị phụ thuộc vào từng tình huống cụ thể (bài toán và thuật toán cụ thể)

Định nghĩa 1: Cho đồ thị G=(V,E) (vô hướng hoặc có hướng), với

V={v 1 ,v 2 , , v n } Ma trận liền kề của G ứng với thứ tự các đỉnh v 1 ,v 2 , , v n là

Như vậy, ma trận liền kề của một đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng, nghĩa là a  ij a ji, trong khi ma trận liền kề của một đồ thị có hướng không có tính đối xứng

2110

1103

2030

10200

01001

01210

11011

Hình 1.7 Ma trận liền kề 5 đỉnh

Định nghĩa 2: Cho đồ thị vô hướng G=(V, E), v 1 , v 2 , , v n là các đỉnh và

e 1 , e 2 , , e m là các cạnh của G Ma trận liên thuộc của G theo thứ tự trên của V

110000

101100

000011

Hình 1.8 Ma trận liên thuộc

1.1.4 Ma trận trọng số

Ma trận trọng số là được dùng để biểu diễn đồ thị

Xét đồ thị G=(X, U) (có hướng hay vô hướng)

Giả sử tập X gồm n đỉnh và được sắp thứ tự X={ }, tập U gồm n cạnh và được sắp thứ tự U={ }

Ví dụ, danh sách {a,b},{a,c},{b,c} mô tả đồ thị vô hướng trong hình dưới đây, trong đó ba đỉnh a, b, c được nối với nhau

Thông thường, danh sách kề không coi trọng thứ tự giữa các cạnh Trong Khoa học máy tính, danh sách kề là một cấu trúc dữ liệu gắn bó chặt chẽ với việc biểu diễn đồ thị Trong một biểu diễn danh sách kề, với mỗi đỉnh trong đồ thị, ta lưu trữ tất cả các đỉnh khác có cạnh nối với đỉnh đó - danh sách kề của đỉnh Ví dụ, đồ thị trong hình vẽ có biểu diễn danh sách kề:

Trong đời sống, chúng ta thường gặp những tình huống như sau: để đi

từ địa điểm A đến địa điểm B trong thành phố, có nhiều đường đi, nhiều cách đi; có lúc ta chọn đường đi ngắn nhất (theo nghĩa cự ly), có lúc lại cần chọn đường đi nhanh nhất (theo nghĩa thời gian) và có lúc phải cân nhắc để chọn đường đi rẻ tiền nhất (theo nghĩa chi phí), v.v

Có thể coi sơ đồ của đường đi từ A đến B trong thành phố là một đồ thị, với đỉnh là các giao lộ (A và B coi như giao lộ), cạnh là đoạn đường nối hai giao lộ Trên mỗi cạnh của đồ thị này, ta gán một số dương, ứng với chiều dài của đoạn đường, thời gian đi đoạn đường hoặc cước phí vận chuyển trên đoạn đường đó,

Đồ thị có trọng số là đồ thị G=(V,E) mà mỗi cạnh (hoặc cung) eE

được gán bởi một số thực m(e), gọi là trọng số của cạnh (hoặc cung) e

Trong phần này, trọng số của mỗi cạnh được xét là một số dương và

còn gọi là chiều dài của cạnh đó Mỗi đường đi từ đỉnh u đến đỉnh v, có chiều dài là m(u,v), bằng tổng chiều dài các cạnh mà nó đi qua Khoảng cách d(u,v)

giữa hai đỉnh u và v là chiều dài đường đi ngắn nhất (theo nghĩa m(u,v) nhỏ nhất) trong các đường đi từ u đến v

Bài toán tìm đường đi ngắn nhất:

Cho đơn đồ thị liên thông, có trọng số G=(V,E) Tìm khoảng cách

d(u 0 ,v) từ một đỉnh u 0 cho trước đến một đỉnh v bất kỳ của G và tìm đường đi ngắn nhất từ u 0 đến v

1.2.2 Các thuật toán

Có nhiều thuật toán để giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị

có trọng số:

- Dijkstra (1956- Hà Lan): áp dụng với đồ thị có trọng số không âm

- Bellman Ford: áp dụng với đồ thị có trọng số âm

- Giải thuật tìm kiếm A*: sử dụng hàm kinh nghiệm heuristic để tăng tốc độ tìm kiếm

- Floyd: tìm đường đi ngắn nhất với mọi cặp đỉnh

Tuy nhiên trong khuôn khổ luận văn này tôi lựa chọn trình bày thuật toán Dijkstra

1.2.3 Thuật toán Dijkstra

Trong trường hợp trọng số trên các cung là không âm thuật toán do Dijkstra đề nghị giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến các đỉnh còn lại của đồ thị làm việc hữu hiệu hơn rất nhiều so với thuật toán trình bày trong mục trước Thuật toán được xây dựng dựa trên cơ sở gán cho các đỉnh các nhãn tạm thời Nhãn của mỗi đỉnh cho biết cận trên của độ dài đường đi ngắn nhất từ s đến nó Các nhãn này sẽ được biến đổi theo một thủ tục lặp, mà

ở mỗi một bước lặp có một nhãn tạm thời trở thành nhãn cố định Nếu nhãn của một đỉnh nào đó trở thành cố định thì nó sẽ cho ta không phải là cận trên

mà là độ dài của đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến nó

Thuật toán được mô tả cụ thể như sau:

procedure Dijkstra;

(* Đầu vào: Đồ thị có hướng G=(V,E) với n đỉnh, sV là đỉnh xuất

phát, a[u, v], u, v V, ma trận trọng số;

Giả thiết: a[u, v]  0, u, v  V

Đầu ra: Khoảng cách từ đỉnh s đến tất cả các đỉnh còn lại d[v], v  V Truoc[v], v V, ghi nhận đỉnh đi trước v trong đường đi ngắn nhất từ s

đến v *)

begin

(* Khởi tạo *) for v  V do

begin

d[v] := a[s,v] ; Truoc[v]:=s;

Tìm đỉnh u  T thỏa mãn d[u] = min{ d[z] : z e T};

T := T \ { u ) ; (* Cố định nhãn của đỉnh u *)

if d[v] > d[u] + a[u,v] then begin

d[v] := d [u ] + a[u,v] ; Truoc[v] := u ;

end;

end;

end;

Hình 1.9 Sơ đồ thuật toán Dijkstra

Định lý: Thuật toán Dijkstra tìm được đường đi ngắn nhất trên đồ thị

sau thời gian cỡ O(n 2 )

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh là thuật toán tìm được đưòng

đi ngắn nhất từ đỉnh s đến các đỉnh còn lại của đồ thị Giả sử rằng ở một bước

lặp nào đó các nhãn cố định cho ta độ dài các đường đi ngắn nhất từ s đến các

đỉnh có nhãn cố định, ta sẽ chứng minh rằng ở lần lặp tiếp theo nếu đỉnh u* thu được nhãn cố định thì d[u*] chính là độ dài đường đi ngắn nhất từ s đến

u*

Bắt đầu

d[s] := 0; T := V \ {s }

vV d[v] := a[s,v] ;

S

Kết thúc

S

Ký hiệu S i là tập các đỉnh có nhãn cố định còn S 2 là tập các đỉnh có nhãn tạm thời ở bước lặp đang xét Kết thúc mbỗi bước lặp nhãn tạm thời

d[v] cho ta độ dài của đường đi ngắn nhất từ s đến v chỉ qua những đỉnh nằm

hoàn toàn trong tập S 1 Giả sử rằng đường đi ngắn nhất từ s đến u * không nằm

trọn trong tập S 1 tức là nó đi qua ít nhất một đỉnh của tập S 2 Gọi z S 2 là đỉnh đầu tiên như vậy trên đường đi này Do trọng số trên các cung là không

âm, nên đoạn đường từ z đến u * có độ dài L > 0 và

d[z] < d[u * ] - L < d[u * ]

Bất đẳng thức này là mâu thuẫn với cách xác định đỉnh u * là đỉnh có

nhãn tạm thời nhỏ nhất Vậy đường đi ngắn nhất từ s đến u * phải nằm trọn

trong S 1 , và vì thế d[u * ] là độ dài của nó Do ở lần lặp đầu tiên S 1 = {s} và sau

mỗi lần lặp ta chỉ thêm vào S 1 một đỉnh u * nên giả thiết là d[v] cho độ dài đường đi ngắn nhất từ s đến v với mọi vS 1 là đúng với bước lặp đầu tiên

Theo quy nạp suy ra thuật toán cho ta đường đi ngắn nhất từ s đến mọi đỉnh

của đồ thị

Bây giờ sẽ đánh giá số phép toán cần thực hiện theo thuật toán, ở mỗi

bước lặp để tìm ra đỉnh u cần phải thực hiện O(n) phép toán, và để gán nhãn lại cũng cần phải thực hiện một số lượng phép toán cũng là O(n) Tb huật toán phải thực hiện n-1 bước lặp, vậy thời gian tính toán của thuật toán là cỡ O(n 2 )

Định lý được chứng minh

Khi đã tìm được độ dài của đường đi ngắn nhất d[v] thì đường đi này

có thể tìm dựa vào nhãn Truoc[v], vV, theo quy tắc giống như chúng ta đã

4

2 4 2

6

2 3

2

3

Hình 1.10 Đồ thị G trong bài toán áp dụng thuật toán Dijkstra

Áp dụng thuật toán Dijkstra cho bài toán trên ta xây dựng được bảng kết quả sau:

Bảng 1.1 Kết quả bài toán áp dụng thuật toán Dijkstra

Các bài toán đường đi ngắn nhất được chia thành 3 dạng chính:

- Tìm đường đi ngắn nhất từ một nút nguồn đến một nút đích

- Tìm đường đi ngắn nhất từ một nút nguồn đến tất cả các nút đích

- Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai nút bất kỳ

Bài toán được đề cập đến ở đây là bài toán ở dạng thứ nhất: tìm đường

đi ngắn nhất từ một nút nguồn đến một nút đích cho trước

* Xây dựng đường đi trong đồ thị:

Theo định nghĩa với bài toán đường đi ngắn nhất ta xây dựng đường đi

trên cung i,j là một hàm x(i,j) thỏa mãn các tính chất sau:

 x ij =0 hoặc x ij =1 ứng với việc có hay không sử dụng cung i,j trong

* Giới hạn đường đi:

Đường đi trên cung không vượt quá trọng số của cung

),(),(u v c u v

* Cân bằng đường đi tại nút đỉnh:

Tổng đường đi vào tại một đỉnh bằng tổng đường đi ra tại đỉnh đó (trừ đỉnh đầu và đỉnh đích)

i j f j

i

f

),()

,

( (với i là một đỉnh thông thường trong đồ thị)

Tổng đường đi ra khỏi đỉnh nguồn bằng tổng đường đi vào đỉnh đích

 



n j

n j

t j f j

s f

),()

,(

1.3.2 Một số cách biểu diễn giá trị mờ của các cung

Trong thực tế, nhiều trường hợp con người không thể biết chính xác, không thể biết đầy đủ thông tin về những đối tượng đang quan tâm Có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó Ví dụ các dụng cụ đo không chính xác, sự cảm nhận của người khảo sát cũng không thống nhất ở mọi nơi, mọi lúc; hoàn cảnh xem xét và đối tượng được xem xét trong thế giới thực vô cùng phức tạp Khi không có thông tin chính xác và đầy đủ, người ta thường biểu diễn thông tin đó bằng các giá trị mờ

Lý thuyết tập mờ do L Zadeh người Mỹ đề xuất vào năm 1965 Từ đó con người có một công cụ toán học chặt chẽ để biểu diễn và xử lý thông tin

mờ Sau này và cho đến nay, lý thuyết tập mờ đã không ngừng phát triển và ngày được ứng dụng rộng rãi Đã có rất nhiều công trình phát triển và ứng dụng lý thuyết tập mờ Từ các công trình đã có, có thể nói, để biểu diễn thông tin mờ người ta thường theo các cách sau:

i Dùng hàm thuộc để biểu diễn độ thuộc của các phần tử vào tập mờ Việc tính toán dựa trên các hàm thuộc có nhiều thuận lợi như đảm bảo sự chặt chẽ toán học và quá trình tính toán cũng không quá phức tạp với các hàm thuộc được chọn hợp lý Theo hướng này người ta đã phát triển, mở rộng các phép tính toán trên tập mờ bằng các Triangular Nom thay cho các toán tử Max, Min như L Zadeh đề xuất hoặc bên cạnh việc dùng hàm thuộc để biểu diễn độ thuộc của các phần tử vào tập mờ, người ta còn xét thêm cả hàm không thuộc để biểu diễn độ không thuộc của phần tử vào tập mờ với điều kiện tổng độ thuộc và độ không thuộc phải nhỏ hơn 1 Trực cảm, người ta cho

rằng như thế mới hợp lý Những tập mờ được biểu diễn theo phương pháp này được gọi là tập mờ trực cảm (Intuitionnistic Fuzzy Sets)

ii Dùng lý thuyết khả năng Theo cách này người ta dựa vào sự phân

bố khả năng của các phần tử vào tập mờ Ví dụ, một học sinh đạt loại khá thì loại khá của học sinh được biểu diễn nhờ các mức độ khả năng như sau:

Bảng 1.2 Phân bố khả năng của học sinh theo điểm

đã được tác giả Nguyễn Cát Hồ và cộng sự nghiên cứu, hoàn thiện và ứng dụng trong rất nhiều công trình được công bố

Trong luận văn này, với bài toán cụ thể là bài toán tìm đường đi ngắn nhất khi thông tin về các trọng số của các cung là thông tin mờ, tôi chọn cách biểu diễn các thông tin mờ bằng các khoảng

Ví dụ quãng đường từ A đến B khoảng 60-70 km

Mỗi cung trong mạng thường biểu diễn cho thời gian vận chuyển hoặc chi phí trong việc đi lại… Trong đó, giá trị mà các cung biểu diễn (thời gian vận chuyển hoặc chi phí trong việc đi lại) có thể dao động đáng kể tùy thuộc vào điều kiện giao thông, tải trọng cụ thể, vv Khi đó các giá trị này là mờ và

bài toán trở thành bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong trường hợp “độ dài” các cung là mờ, hầu hết các thông số đều không chính xác

1.3.3 Biểu diễn giá trị mờ của các cung bằng khoảng

Trên thực tế, các giá trị mà các cung biểu diễn (thời gian vận chuyển hoặc chi phí trong việc đi lại) có thể dao động đáng kể tùy thuộc vào điều kiện giao thông, tải trọng cụ thể, vv Khi đó các giá trị này không biểu thị bằng các số rõ mà thường được thể hiện thông qua các giá trị xấp xỉ và có một giải pháp là đưa về khoảng

Ví dụ quãng đường từ A đến B khoảng 60 đến 70 km Trong những trường hợp này phải dùng số mờ để biểu diễn độ dài các cung

Trước khi bàn đến cách biểu diễn các giá trị mờ bằng khoảng, chúng ta hãy xem lại định nghĩa tập mờ kinh điển của L Zadeh

Định nghĩa 1: Tập mờ A xác định trên không gian nền X là một tập

hợp thỏa mãn:

+ Mỗi phần tử của A có dạng (x, A (x))

+ A(x) là một ánh xạ từ X  [0,1] được gọi là hàm thuộc xác định độ

thuộc của x vào tập A

Ví dụ:

Hình 1.11 Tập mờ

Giả sử tập mờ A các số tự nhiên trong không gian nền :

X={1,2,3,4,5,6,7} nhỏ hơn nhiều so với 6 Xác định phụ thuộc hàm ( x )

B

dạng liệt kê sau:

A = {(1,1),(2,0.8),(3,0.6),(4,0.4), (5,0.2),(6,0)}

- Các số tự nhiên có độ phụ thuộc là: A (1)= 1 ; A (2)=0.8 ; A (3)= 0.6;

A (4) = 0.4, A (5)= 0.2; A (6) = 0 Biểu diễn hàm thuộc có thể dùng bảng,

dùng đồ thị hoặc dùng một biểu thức đại số hay phối hợp các cách trên

Trong nhiều tài liệu để biểu diễn tập mờ người ta cũng thường dùng ký hiệu sau:

n A A

A A

x

x x

x x

x x

x x

x A

1 3

()

A x nÕu 1



2 6

Hình 1.13 Đồ thị hàm thuộc của tập A

Cùng với khái niệm tập mờ, người ta còn đưa ra khái niệm số mờ Ta xét một vài định nghĩa:

Định nghĩa 2: Tập mờ A của không gian nền U là tập mờ lồi nếu và chỉ

nếu với mọi u 1 , u 2 trong U ta có:

Định nghĩa 4: Số mờ là tập mờ A trong không gian nền U vừa lồi vừa

chuẩn

Hình 1.16: Tập mờ vừa lồi vừa chuẩn

Định nghĩa 5: Tập α-cut của tập mờ A trên không gian nền U là tập kinh

điển A α ={u i | (u i ) α}

Hình 1.17: Tập α-cut của tập mờ A

Thông thường người ta dùng số mờ có hàm thuộc dạng hình thang hay hình tam giác, gọi tắt là số mờ hình thang, số mờ hình tam giác Người ta cũng định nghĩa các phép toán hay dùng trên các số mờ

Trong ngôn ngữ nói, có thể mô tả số mờ với các từ như xấp xỉ, khoảng,

gần đến, Khi đó số mờ x được mô tả kiểu "x khoảng từ a đến b" và biểu diễn trên một khoảng [a, b] Ta thấy biểu diễn số mờ bằng giá trị khoảng là một

cách biểu diễn rất tự nhiên

1.4 Kết luận chương 1

Chương này luận văn trình bày một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết

đồ thị và lý thuyết tập mờ Trong đồ thị có trọng số không âm nhấn mạnh thuật toán Dijkstra để giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ một nút gốc đến một nút đích cho trước Mỗi cạnh trong đồ thị thường biểu diễn cho thời gian vận chuyển hoặc chi phí trong việc đi lại Tuy nhiên, các giá trị này (thời gian vận chuyển hoặc chi phí trong việc đi lại) có thể dao động đáng kể tùy thuộc vào điều kiện giao thông, tải trọng cụ thể, Khi đó ta có thể biểu diễn các giá trị này là mờ và bài toán trở thành bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong trường hợp “độ dài” các cung là mờ trong đó các thông số đều không chính xác và đưa về khoảng

CHƯƠNG II: SỐ HỌC KHOẢNG 2.1 Số học khoảng

2.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Một giá trị khoảng có thể được coi như:

(a) phần mở rộng của khái niệm số thực và cũng là một tập hợp con của đường thẳng thực?,

(b) một số mờ suy biến phẳng hoặc khoảng mờ từ số không trái đến số không phải mở rộng

(c) α-cut của một số mờ

Như một hệ số, một khoảng biểu thị mức độ dung nạp hay một khu vực

mà các tham số có thể có Trong thực tế, tính chính xác của loại này có thể được trích dẫn ở vô số các tình huống

Các chữ in thường biểu thị số thực và các chữ cái in hoa biểu thị những

số khoảng hoặc khoảng đóng trên đường thẳng thực Một khoảng được quy định như sau:

A = [a L , a R ] = {t |a L ≤ t ≤ a R }

hoặc, trong ký hiệu thay thế,

A = m( A), w( A)

= {t |(m( A) w( A)) ≤ t ≤ (m( A) + w( A))}

Trong đó a L , a R , m(A) và w(A) là những giới hạn trái, giới hạn phải,

điểm giữa và nửa độ rộng hoặc độ rộng (từ nay về sau được gọi là độ rộng)

của khoảng thời gian A trên trục số thực tương ứng Nếu a L = a R = a thì A=[a,a] là một số thực

Đặt = {+, , , ÷} là một phép toán hai ngôi Khi đó, phép toán mở

rộng giữa 2 khoảng số A và B được định nghĩa như sau:

] a , a [

0 ,

] a , a [

L R

R L

Khi đó, phép cộng và phép trừ mở rộng thành:

A  B = [a L + b L , a R + b R ]

A B = [a L - b L , a R - b R ]

2.1.2 Tóm tắt một số phương pháp xếp hạng các khoảng

Cho 2 khoảng A và B nếu:

(1) Không chồng chéo ví dụ: a R <b L , thì tồn tại một mối quan hệ ưu tiên chặt

chẽ giữa A và B

(2) Chồng chéo một phần, ví dụ a L< b L ≤ a R< b R , thì tồn tại một mối quan hệ

ưu tiên chặt chẽ giữa A và B

(3) B chứa trong A tức là BA, khi đó

(a) Nếu m( A) = m(B) và w(A) ≥ w(B), thì tồn tại một mối quan hệ ưu tiên

chặt chẽ giữa A và B Để tìm khoảng min (hay max) giữa A và B (trừ trường hợp BA), thì B luôn được ưu tiên hơn A

(b) Nếu m(A) ≤ m(B) và w(A) ≥ w(B), thì tồn tại một mối quan hệ ưu tiên

chặt chẽ giữa A và B Cụ thể, để chọn được khoảng max giữa hai khoảng này thì B được ưu tiên hơn A

(c) Nếu m(A) ≥ m(B) và w(A) ≥ w(B), thì cũng tồn tại một mối quan hệ ưu

tiên chặt chẽ giữa A và B Để chọn được khoảng min giữa hai khoảng này thì

B được ưu tiên hơn A

(d) Để tìm khoảng min từ trường hợp (b) và tìm khoảng max trong

trường hợp (c), các phương án đưa ra có thể mang tính mềm dẻo hoặc tính

mờ

Hai quan hệ bắc cầu được đưa ra bởi Moore (1979) không thể giải thích việc xếp hạng giữa các khoảng chồng lấp Phương pháp xếp hạng của Ishibuchi và Tanaka (1990 ), tiên tiến hơn phương pháp của Moore (1979) một cách đáng kể, có thể có giá trị cho tất cả các trường hợp trên, ngoại trừ trường hợp 3 (d) Kundu (1997) đã giới thiệu một mối quan hệ mờ để so sánh hai khoảng thời gian bất kỳ trên dòng thực, và có thể giải quyết vấn đề của Ishibuchi và Tanaka nhưng nó có thể không đầy đủ trong trường hợp khác Với hai khoảng A và B bất kỳ, nếu m (A) = m ( B) và w (A)  w (B), phương pháp tiếp cận của Cates Kundu chỉ ra rằng cả A và B là lựa chọn tối ưu (min hoặc max) nhưng chưa phù hợp Okada và Gen (1994) đã mở rộng phương pháp Ishibuchi và Tanaka; và xác định giao diện giữa việc sắp thứ tự một phần và thứ tự tuyệt đối Họ dự định giảm số lượng các cặp khoảng không thể

so sánh (như trường hợp 3 (d) ) Tuy nhiên, cơ sở hợp lý cho việc lựa chọn giữa các thứ tự một phần và tuyệt đối không được bàn đến Ngoài ra, khi chọn thứ tự tuyệt đối theo Okada và Gen [6] để giải quyết trường hợp 3(d) thì không giải quyết được tính duy nhất và tính hiệu quả của phương pháp so