Dự báo chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia tử với ngữ nghĩa định lượng tối ưu

Vì vậy em chọn “ Dự báo chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia tử với ngữ nghĩa định lượng tối ưu ’’ làm luận văn nghiên cứu, việc sử dụng dự báo chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân tôi được thực hiện dưới sự dìu dắt và hướng dẫn nhiệt tình của TS Vũ Như Lân

Các số liệu, kết quả do bản thân nghiên cứu và tìm hiểu được trình bày trong luận văn này trung thực và chưa từng được công bố dưới bất cứ hình thức nào

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên

Nguyễn Xuân Đăng

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS Vũ Như Lân, người

đã hướng dẫn khoa học, đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi thực hiện luận văn Tôi xin cảm ơn các quí thầy cô Trường Đại Học Công nghệ Thông Tin và Truyền Thông Thái Nguyên đã giảng dạy và truyền kiến thức cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân, bạn bè và gia đinh đã ủng

hộ và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã hết sức cố gắng hoàn thành luận văn với tất cả sự nỗ lực của bản thân, nhưng luận văn vẫn còn những thiếu sót Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn bè, đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 7

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

2.1 Đối tượng 2

2.2 Phạm vi nghiên cứu 2

3 Hướng nghiên cứu của đề tài 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết 3

4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn 3

5 Ý nghĩa khoa học của luận văn 4

6 Cấu trúc luận văn 4

PHẦN 2: NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 Những vấn đề cơ sở của lý thuyết tập mờ và logic mờ 5

1.1.1 Lý thuyết tập mờ 5

1.1.2 Logic mờ 6

1.1.2.1 Định nghia logic mờ 6

1.1.2.2 Các phép toán logic mờ 7

1.2 Chuỗi thời gian mờ 11

1.2.1 Khái niệm: 11

1.2.2 Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ 12

1.3 Quan hệ mờ 13

1.3.1 Các quan hệ mờ 13

1.3.2 Các phép toán của quan hệ mờ 13

1.3.3 Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ 14

1.3.4 Hệ mờ 14

1.4 Lý thuyết tối ưu 17

1.5 Giới thiệu về đại số gia tử và một số tính chất 18

1.5.1 Sơ lược về đại số gia tử 18

1.5.2 Biến ngôn ngữ 20

1.5.3 Đại số gia tử của biến ngôn ngữ 22

1.5.4 Các tính chất cơ bản của ĐSGT tuyến tính 24

1.5.5 Thuật toán tính toán của đại số gia tử 25

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 28

CHƯƠNG 2: DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN MỜ 29

2.1 Thuật toán dự báo chuỗi thời gian mờ của Song và Chissom 29

2.2 Thuật toán dự báo mờ của Chen 36

2.2.1 Thuật toán của Chen phương pháp ứng dụng vào dự báo tuyển sinh đại học Alabama 36 2.2.2 Thuật toán bậc cao của Chen 43

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 45

CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH DỰ BÁO SỬ DỤNG ĐSGT VỚI NGỮ NGHĨA 46

3.1 Xây dựng Thuật toán dự báo chuỗi thời gian mờ với ngữ nghĩa định lượng tối ưu 46

3.2 So sánh các kết quả của các Thuật toán dự báo chuỗi thời gian mờ 56

3.3 Nhận xét chung 58

PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

PHỤ LỤC 62

DANH MỤC VIẾT TẮT

STT Ký hiệu viết tắt Ý nghĩa

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Cấu hình cơ bản của hệ mờ 14 Hình 2.1: Số sinh viên nhập học thực tế và số sinh viên nhập học dự báo 36

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 : Các cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn 9

Bảng 1.2 Một số phép kéo theo mờ thông dụng 10

Bảng 1.3 Ví dụ về tính âm dương giữa các gia tử 23

Bảng 2.1: Chuyển đổi các giá trị lịch sử thành giá trị ngôn ngữ 32

Bảng 2.2: Xác định các quan hệ thành viên 34

Bảng 2.3 Bảng mờ hóa dữ liệu 39

Bảng 2.4 Mối quan hệ Logic mờ của tuyển sinh 40

Bảng 2.5 Nhóm mối quan hệ logic mờ 40

Bảng 2.6 Kết quả dự báo của Chen 42

Bảng 3.1 Số sinh viên nhập học tại trường đại học Alabama từ 1971 đến 1992 46

Bảng 3.2 Giá trị đầu và giá trị cuối của các khoảng giải nghĩa được chọn 54

Bảng 3.3 Kết quả tính toán dự báo tối ưu số sinh viên nhập học 55

Bảng 3.4: So sánh các phương pháp dự báo với 7 khoảng chia 57

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Logic mờ ra đời đã cung cấp một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây dựng các hệ thống có khả năng xử lý thông tin không chính xác Nhờ có logic mờ mà con người xây dựng được những hệ có tính linh động rất cao, những hệ chuyên gia có khả năng suy luận như những chuyên gia hàng đầu và

có khả năng tự hoàn thiện thông qua việc thu nhận tri thức mới

Ngày nay logic mờ có phạm vi ứng dụng rộng rãi trên thế giới, từ những hệ thống cao cấp phức tạp như những hệ dự báo, nhận dạng, robos, vệ tinh, du thuyền, máy bay,… đến những đồ dùng hằng ngày như máy giặt, máy điều hoà không khí, máy chụp hình tự động,… Trong đó việc dự báo lấy chuỗi thời gian mờ làm cơ sở để nghiên cứu ứng dụng đã mang lại nhiều kết quả cao và có giá trị thực tiễn Thuật toán dự báo chuỗi thời gian mờ đã được Song & Chissom nghiên cứu và đưa ra đầu tiên trên tạp chí “Fuzzy Sets and Systems” năm 1993 [14, 15, 16] và được Chen cải tiến vào năm 1996 [ 3 ] Nhiều nghiên cứu dự báo có giá trị thực tế đã được thực hiện trên cơ sở phương pháp luận dự báo theo Thuật toán chuỗi thời gian mờ nêu trên Ở Việt Nam những nghiên cứu đầu tiên về lĩnh vực này được tác giả Nguyễn Công Điều nghiên cứu và đăng trên các tạp chí “ khoa học và công nghệ ’’

Tiếp cận đại số gia tử là cách tiếp cận khác biệt so với tiếp cận mờ, với những kết quả ứng dụng có hiệu quả gần đây của ĐSGT do nhiều nhà khoa học ở Việt Nam như: N.C Ho and W Wechler, Nguyễn Cát Hồ, Vũ Như Lân,

Lê Xuân Viết … nghiên cứu gần đây là minh chứng quan trọng cho tính đúng đắn của tiếp cận có xuất phát điểm khoa học dựa trên một hệ tiên đề chặt chẽ Các tham số của ĐSGT cho phép tính toán các giá trị ngữ nghĩa hợp lý Tuy nhiên để lựa chọn bộ tham số tốt có thể phải cần đến nhiều lớp gia tử tác

động lên phần tử sinh ban đầu trong biến ngôn ngữ Và trên thực tế chỉ có nhiều nhất 3 lớp gia tử tác động Vì vậy nhiều giá trị ngôn ngữ trong biến ngôn ngữ có thể được mô tả chưa chính xác, dẫn đến quá trình suy luận không hợp lý và phép giải mờ không đưa ra được giá trị đúng đắn trong các ứng dụng Chính vì vậy cần thiết tạo ra một khoảng ngữ nghĩa rộng hơn khoảng ngữ nghĩa do chỉ 1 lớp gia tử tác động để có thể thay thế nhiều lớp gia tử khác cần có, tạo ra khả năng mô tả hợp lý hơn toàn bộ các giá trị ngôn ngữ trong biến ngôn ngữ Khoảng ngữ nghĩa này được tạo ra bằng tham số hiệu chỉnh ngữ nghĩa và các tham số hiệu chỉnh ngữ nghĩa có thể thay thế cho các tác động của nhiều lớp gia tử lên phần tử sinh

Vì vậy em chọn “ Dự báo chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia tử

với ngữ nghĩa định lượng tối ưu ’’ làm luận văn nghiên cứu, việc sử dụng dự

báo chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia tử với ngữ nghĩa tối ưu là một hướng đi khác trong các ứng dụng của ĐSGT Và để có thể thấy rõ tính hiệu quả của nó cần phải được nghiên cứu thử nghiệm trên cơ sở số liệu của các tác giả đã phát minh ra khái niệm chuỗi thời gian mờ và ứng dụng cho bài toán dự báo cụ thể [14, 15, 16, 3]

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2.1 Đối tượng

Nghiên cứu Thuật toán dự báo chuỗi thời gian mờ và đưa ra kết quả nghiên cứu về dự báo chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia tử với tham số hiệu chỉnh ngữ nghĩa

2.2 Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu chuỗi thời gian mờ

- Nghiên cứu Thuật toán dự báo của Chen

- Nghiên cứu đại số gia tử với khoảng ngữ nghĩa

- Nghiên cứu đề xuất Thuật toán dự báo chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia tử với ngữ nghĩa định lượng tối ưu

- Ứng dụng dự báo trên cơ sở chuỗi dữ liệu của Chen [3]

3 Hướng nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu khoảng ngữ nghĩa

- Nghiên cứu cách mô tả chuỗi thời gian theo các giá trị ngôn ngữ

- Nghiên cứu xây dựng nhóm quan hệ ngữ nghĩa và so sánh với quan hệ

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Phân tích tổng hợp, hệ thống hóa các tài liệu có liên quan để xây dựng cơ sở lý luận cho đề tài nghiên cứu

4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

+ Phương pháp điều tra khảo sát: Thu thập, nghiên cứu thông tin về dự báo, Thuật toán tính toán của đại số gia tử với khoảng ngữ nghĩa và những vấn đề liên quan

+ Phương pháp chuyên gia: Kiểm tra, đưa ra những kết quả dự báo về chuỗi thời gian mờ dựa trên đại số gia tử với tham số hiệu chỉnh ngũ nghĩa và

hỏi ý kiến các chuyên gia về tính cấp thiết, khả thi và tìm kiếm những thông tin có liên quan

+ Phương pháp thử nghiệm: Xây dựng chương trình tính toán trên MATLAB và chạy thử chương trình

5 Ý nghĩa khoa học của luận văn

Định hướng ứng dụng mới của tiếp cận đại số gia tử với ngữ nghĩa định lượng tối ưu trong bài toán dự báo chuỗi thời gian mờ

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận luận văn được chia làm 3 chương: + Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức cơ sở

+ Chương 2: Dự báo chuỗi thời gian mờ

+ Chương 3: Dự báo chuỗi thời gian mờ sử dụng ĐSGT với ngữ nghĩa định lượng tối ưu

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Những vấn đề cơ sở của lý thuyết tập mờ và logic mờ

1.1.1 Lý thuyết tập mờ

Lý thuyết tập mờ lần đầu tiên được Lofti A.Zadeh, một giáo sư thuộc trường Đại học Caliornia, Berkley giới thiệu trong một công trình nghiên cứu vào năm 1965 và sau đó liên tục phát triển mạnh mẽ

Năm 1970, tại trường đại học Mary Queen, thành phố London- Anh, Ebrahim Mamdani đã sử dụng logic mờ để điều khiển một máy hơi nước mà ông không thể điều khiển bằng kỹ thuật cổ điển

Tại Nhật, logic mờ được ứng dụng vào nhà máy xử lý nước của hãng Fuji Electronic vào năm 1983, hệ thống xe điện ngầm của Hitachi năm 1987 Tuy logic mờ ra đới ở Mỹ, ứng dụng lần đầu ở Anh, nhưng nó lại được phát triển và ứng dụng nhiều nhất ở Nhật

Định nghĩa: Cho không gian nền U, tập A  U được gọi là tập mờ nếu

A được xác định bởi hàm µA(x) : X→ [0,1]

A

 (x) : X→ [0,1]

Trong đó, A là nhãn mờ của biến X, thường mang một ý nghĩa ngôn ngữ nào đó, mô tả định tính thuộc tính của đối tượng, chẳng hạn như cao, thấp, nóng, lạnh, sáng, tối

 được gọi là hàm thuộc, hàm liên thuộc hay hàm thành viên

(membership function)

Với xX thì A(x) được gọi là mức độ thuộc của x vào A

Như vậy ta có thể coi tập rõ là một trường hợp đặc biệt của tập mờ, trong đó hàm thuộc chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1

Ký hiệu tập mờ, ta có các dạng ký hiệu sau:

Liệt kê phần tử: giả sử U = {a,b,c,d} ta co thể xác định một tập mờ

A=

d c b a

02.03.01

 trong trường hợp U là không gian liên tục

Lưu ý: Các ký hiệu  và  không phải là các phép tính tổng hay tích phân,

mà chỉ là ký hiệu biểu thị tập hợp mờ

Ví dụ: Tập mờ A là tập “số gần 2” xác định bởi hàm thuộc

2

) 2 ( 

Biến ngôn ngữ đã được Zadeh đưa ra năm 1973 như sau:

Một biến ngôn ngữ được xác định bởi bộ (x, T, U, M) trong đó:

- X là tên biến Ví dụ “nhiệt độ”, “tốc độ”, “độ ẩm”,…

- T là tập các từ là các giá trị ngôn ngữ tự nhiên mà x có thể nhận Ví

dụ x là “tốc độ” thì T có thể là {“chậm”, “trung bình”, “nhanh”}

- U là miền các giá trị vật lý mà x có thể nhận Ví dụ x là “tốc độ” thì U

có thể là {0km/h,1km/h, …150km/h}

- M là luật ngữ nghĩa, ứng mỗi từ trong T với một tập mờ At trong U Như vậy, biến ngôn ngữ là biến nhận các giá trị ngôn ngữ (linguistic terms) mỗi giá trị ngôn ngữ thực chất là một tập mờ xác định bởi một hàm thuộc và khoảng giá trị số tương ứng và logic mờ cho phép các tập này có thể xếp phủ lên nhau

Logic mờ được phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện lập luận một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo lôgic vị từ cổ điển Lôgic mờ có thể được coi là mặt ứng dụng của lý thuyết tập mờ để xử lý các giá trị trong thế giới thực cho các bài toán phức tạp

Trong logic mờ thì mệnh đề là một câu phát biểu đúng sai, mỗi mệnh

đề mờ là một câu phát biểu không nhất thiết là đúng hoặc sai Mệnh đề mờ được gán cho một giá trị trong khoảng từ 0 đến 1 để chỉ mức độ đúng (độ thuộc) của nó

- Nếu v(P1) ≤ v(P2) thì v(NOT P1) ≥ v(NOT P2)

Định nghĩa 1: Hàm n : [0,1] → [0, 1] không tăng thỏa mãn các điều

kiện n(0) = 1, n(1) = 0, được gọi là hàm phủ định

Định nghĩa 2: (Phần bù của một tập mờ): Cho n là hàm phủ định, phần

bù Ac của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc được xác định bởi:

Ac(x) = n(A(x)), với mỗi x

* Phép giao hai tập mờ

Định nghĩa 1 ( T - chuẩn): Hàm T: [0,1]2  [0,1] là phép bội (T -

chuẩn) khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:

- T(1, x) = x, với mọi 0  x  1

- T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0  x, y 1

- T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x  u, y v

- T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0  x,y, z 1

Định nghĩa 2 (Phép giao hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng

không gian nền  với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng Cho T là một Chuẩn Phép giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ (ký hiệu (ATB) trên  với hàm thuộc cho bởi biểu thức:

T-(ATB)(x) = T(A(x), B(x)), với mỗi x  

Ví dụ:

Với T(x,y) = min(x,y)ta có: (ATB)(x) = min(A(x),B(x))

Với T(x,y) = x,y ta có (ATB)(x) = A(x).B(x) (tích đại số)

* Phép hợp hai tập mờ

Định nghĩa 1 (T - đối chuẩn): Hàm S:[0,1] 2 được gọi là phép tuyển (

T-đối chuẩn) nếu thoả mãn các điều kiện sau:

S(0,x) = x, với mọi 0  x  1

S có tính giao hoán : S(x,y)= S(y,x) với mọi 0  x , y  1

S không giảm: S(x,y)= S(u,v), với mọi x  u, y  v

S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0  x, y, z1

Định nghĩa 2 (phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng

không gian nền  với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng Cho S là một T - đối chuẩn Phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ ( kí hiệu ASB)) trên  với hàm thuộc cho bởi biểu thức:

(ASB)(x)=S(A(x),B(x)), với mỗi x

Ví dụ:

Với S(x,y) = max(x,y): (ASB)(x)= max(A(x), B(x))

Với S(x,y) = x + y – x.y: (ASB)(x)= A(x) + B(x) – A(x) B(x)

Ta có thể biểu diễn phép hợp của hai tập mờ qua hai hàm sau:

S(x,y) = max(x,y) và S(x,y) = x+y – x.y

* Luật De Morgan

Cho T là T - chuẩn, S là T - đối chuẩn và n là phép phủ định mạnh Khi

đó bộ ba(T, S,n) là bộ ba De Morgan nếu:

n(S(x,y)) = T(n,(x),n(y))

Với phép phủ định n(n-1) = 1- x, chúng ta có một số cặp chuẩn và đối chuẩn thoả mãn luật DeMorgan trong bảng 1.1

T-Bảng 1.1 : Các cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn

1 (

)

y x y

) 2 ( )

y x y

x y x H

1 ) ,

lS(x,y) = S(T(x,y),n(x)) Bảng 1.2 dưới đây sẽ liệt kê một số phép kéo theo mờ hay được sử dụng nhất

Bảng 1.2 Một số phép kéo theo mờ thông dụng

Els e

3 Mandani xy = min(x,y)

other x

x    y  



7 Kleene – Dienes xy = max(1 –x,y)

8 Kleene – Dienes –Lukasiwicz xy = 1- x + y

Giả sử Y(t) là chuỗi thời gian (t = 0, 1, 2,…)

U là tập nền chứa các khoảng giá trị của chuỗi thời gian từ nhỏ nhất đến lớn nhất Xác định hàm thuộc : U [0,1] của tập mờ A, còn tập A trên không gian nền U được viết như sau:

A = {((u1/u1, (u2/u2, …, (un/un), : ui U ; I = 1, 2, …, n}

(ui)là độ thuộc của ui vào tập A

1.2.2 Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ

Định nghĩa 1: Y(t) (t = … 0, 1, 2, …) là một tập con của R1 Y(t) là tập nền trên đó xác định các tập mờ fi(t) F(t) là tập chứa các tập fi(t) (I = 1, 2,…) khi đó ta gọi F(t) là chuỗi thời gian mờ xác định trên tập nền Y(t)

Định nghĩa 2: Tại các thời điểm t và t-1 có tồn tại một mối quan hệ mờ

giữa F(t) và F(t-1) sao cho F(t) = F(t-1) * R(t-1, t) với R(t-1, t) là quan hệ mờ giữa F(t)

và F(t-1) trong đó * là kí hiệu của một toán tử xác định trên tập mờ

Ta cũng có thể kí hiệu mối quan hệ mờ giữa F(t) và F(t-1) bằng F(t-1)F(t) Nếu đặt F(t-1) = Ai và F(t) = Aj thì ta kí hiệu mối quan hệ logic mờ giữa chúng như sau: AiAj với Ai được qui định là vế trái (LHS), và Aj qui định là vế phải của mối quan hệ mờ (FLR)

Những FLR này có thể được nhóm lại để thiết lập những quan hệ mờ

Định nghĩa 3: Nhóm các mối quan hệ mờ

Các mối quan hệ logic có thể gộp lại thành một nhóm nếu trong ký hiệu trên, cùng một vế trái sẽ có nhiều mối quan hệ tại vế phải ví dụ nếu ta có các mối quan hệ: AiAk, AiAm thì ta có thể gộp chúng thành nhóm các mối quan hệ logic mờ sau: AiAk, Am

Định nghĩa 4: Giả sử F(t) suy ra từ F(t-1) và F(t) = F(t-1) * R(t-1,

t) cho mọi t Nếu R(t-1, t) không phụ thuộc vào t thì F(t) được gọi là chuỗi

thời gian mờ dừng, còn ngược lại ta có chuỗi thời gian mờ không dừng

Định nghĩa 5: Giả sử F(t) suy đồng thời từ F(t-1), F(t-2),…, F(t-m)

m>0 và là chuỗi thời gian mờ dừng Khi mối quan hệ mờ có thể viết được F(t-1), F(t-2), …, F(t-m) F(t) và gọi đó là Thuật toán dự báo bậc m của chuỗi

Định nghĩa: Cho U ≠  ; V =  ; R là một tập mờ trên U x V gọi là

một quan hệ mờ (quan hệ hai ngôi)

0  R (x,y) =  R(x,y) 1 Tổng quát: RU1U2…… Un là quan hệ n ngôi

0 R(u1, u2,……un) = R(u1, u2,… un) 1

1.3.2 Các phép toán của quan hệ mờ

Định nghĩa: Cho R là quan hệ mờ trên X x Y, S là quan hệ mờ trên

Y x Z, lập phép hợp thành SoR là quan hệ mờ trên X x Z

Có R(x,y) với (x,y) XY, S(y,z) với (y,z)YZ Định nghĩa phép hợp thành:

Phép hợp thành max – min xác định bởi: (SoR)(x,z)

Phép hợp thành max – prod xác định bởi: (SoR)(x,z)

Phép hợp thành max – T ( với T là T - chuẩn) xác định bởi: (SoTR)(x,z)

1.3.3 Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ

Suy luận xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ - đó là quá trình suy ra những kết luận dưới dạng các mệnh đề trong điều kiện các quy tắc , các luật, các dữ liệu đầu vào cho trước cũng không hoàn toàn xác định Trong giải tích toán học chúng ta sử dụng Thuật toán sau để lập luận:

Định lý: “Nếu một hàm số là khả vi thì nó liên tục”

Sự kiện: Hàm f khả vi Kết luận: Hàm f là liên tục

Đây là dạng suy luận dựa vào luật logic cổ điển Modus Ponens

1.3.4 Hệ mờ

Kiến trúc cơ bản của một hệ mờ gồm 4 thành phần chính: Bộ mờ hoá,

hệ luật mờ, động cơ suy diễn mờ và bộ giải mờ như hình 1.1 dưới đây

Hình 1.1 Cấu hình cơ bản của hệ mờ

* Bộ mờ hoá

Thực hiện việc ánh xạ từ không gian đầu vào S vào các tập mờ xác

định trong S được cho bởi hàm thuộc  : S  [0,1] Bộ phận này có chức năng chính dùng để chuyển một giá trị rõ x  X thành một giá trị mờ trong

SU (U là không gian nền) Có hai phương pháp mờ hoá như sau:

Bộ mờ hoá

Bộ giải hoá (Dauzzifier) Đầu vào rõ Các tập mờ

Động cơ suy diễn mờ (Fuzzy Interence Engine)

+ Singleton fuzzifiter: Tập mờ A với x1 và hàm liên thuộc được định nghĩa như sau:

+ No – Singleton fuzziffier: Với các hàm liên thuộc nhận giá trị lớn nhất là 1 tạo x = xi và giảm dần từ 1 đến 0 với các giá trị dịch chuyển x  x1

* Hệ luật mờ

Gồm nhiều mệnh đề dạng:

IF < tập các điều kiện được thoả mãn > THEN < tập các hệ quả >

Giả sử hệ luật gồm M luật Rj (j= 1 ,M) dạng

Rj: IF x1 is A i and x2 is A and x n

2 is A n j THEN y is Bj Trong đó xi (i =1 ,n ) là các biến đầu vào hệ mờ, y là biến đầu ra của hệ mờ -

các biến ngôn ngữ, Ai j là các tập mờ trong các tập đầu vào X và B jlà các tập

mờ trong các tập đầu ra Y – các giá trị của biến ngôn ngữ (ví dụ: “Rất nhớ”,

“nhỏ”, “Trung bình”, “Lớn”, “Rất lớn”,) đặc trưng bởi các hàm thuộc

j i A



và  B j Khi đó j

R là một quan hệ mờ từ các tập mờ đầu vào X = X1  X2

  Xn tới các tập mờ đầu ra Y

* Động cơ suy diễn

Đây là một bộ phận logic đưa ra quyết định sử dụng hệ mờ để thực hiện

ánh xạ từ các tập mờ trong không gian đầu vào X thành tập mờ trong không

một hàm ánh xạ từ tập mờ trong X tới tập mờ trong

xA j

* Bộ giải mờ

Đây là một ánh xạ từ các từ các tập mờ trong R thành các giá trị rõ ràng trong R Có nhiều phép giải mờ, với mỗi ứng dụng sẽ có một phương thức giải mờ khác nhau tuỳ thuộc yêu cầu ứng dụng Dưới đây sẽ liệt kê một số phương thức giải mờ thông dụng

j y j B

M i

j y j B

j y x

h y

1

) ( '

1

) ( ' )



 được tính theo công thức

)) ( ),

( ), ( (

)

A n

*

*)

'2

(2

*)1'(1

*)()

(

j y j B

j y j

j j y j B

M i

j j y j B

j y x

mh y

1

2/)('1

2/)(')





+ Phương pháp tâm của các tập (Center – of – Sets): phương pháp này

mỗi luật được thay thế bởi tập singleton tâm cj

n i T

M

n i T j c x

y

1

)(1

)(cos





1.4 Lý thuyết tối ưu

Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực khoa hoc – công nghệ và kinh tế - xã hội Trong thực tế việc tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng Phương án tối ưu là phương án hợp lý, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu quả cao

Cho hàm số f: D ⊂ Rn →Rn Bài toán tối ưu có dạng tổng quát: Max (Min) f(x), với x ∈ D ⊂ Rn Như vậy, cần tìm điểm x = (x1, x2, …, xn) ∈ D

⊂ Rn

sao cho hàm mục tiêu f(x) đạt được giá trị lớn nhất đối với bài toán Max – cực đại hóa ( giá trị nhở nhất đối với bài toán min – cực tiểu hóa)

Các bài toán tối ưu được chia thành các lớp sau:

- Bài toán quy hoạch tuyến tính

- Bài toán tối ưu phi tuyến hay còn gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến bao gồm cả bài toán quy hoạch lồi và bài toán quy hoạch toàn phương

- Bài toán tối ưu rời rạc, tối ưu nguyên và hỗn hợp nguyên

- Bài toán quy hoach động

- Bài toán quy hoạch đa mục tiêu

- Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên / mờ, đại số gia tử…

1.5 Giới thiệu về đại số gia tử và một số tính chất

1.5.1 Sơ lược về đại số gia tử

Đại số gia tử một cấu trúc đại số định lượng ngữ nghĩa của miền giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ, đã được thiết lập, nghiên cứu và phát triển từ hơn hai chục năm nay [7, 8, 12] Một tính chất tự nhiên của ngữ nghĩa các giá trị ngôn ngữ là ngữ nghĩa có tính so sánh được, nghĩa là giữa chúng có tồn tại khách quan một quan hệ thứ tự Trong khi ngữ nghĩa ngôn ngữ dựa trên tập

mờ bỏ qua quan hệ thức tự này, ĐSGT cố gắng phát hiện các tính chất của ngữ nghĩa các giá trị ngôn ngữ dựa trên các mối quan hệ thứ tự đó [13] Như vậy, ĐSGT Thuật toán hóa ngữ nghĩa các giá trị ngôn ngữ, nó cố gắng phát hiện các tính chất tự nhiên của các giá trị ngôn ngữ vốn tồn tại trong cấu trúc thứ tự đó

Mô hình tính toán của ĐSGT với 1 gia tử dương và 1 gia tử âm chỉ phụ thuộc vào bộ tham số α và θ Sau khi xác lập α và θ , các nhãn ngôn ngữ được chuyển thành các giá trị ngữ nghĩa định lượng tương ứng Khi các giá trị α và

θ là các giá trị hợp lý hoặc tối ưu, các nhãn ngôn ngữ cũng được xác định tương ứng bằng các giá trị ngữ nghĩa định lượng hợp lý hay tối ưu Trên thực

tế, nhãn ngữ nghĩa có thể khác nhau cùng tác động lên phần tử sinh nhưng chúng lại có cùng một giá trị ngữ nghĩa định lượng Như vậy, việc gán các nhãn ngữ nghĩa trong biến ngôn ngữ là bài toán đa nghiệm Có nghĩa là có nhiều cách gán các nhãn ngữ nghĩa để có cùng một giá trị ngữ nghĩa định lượng Nói một cách khác là giá trị ngữ nghĩa định lượng tối ưu trên cơ sở cặp (α, θ) tối ưu chỉ đúng cho 1 cách chọn số lớp gia tử (tức độ dài k) tác động lên phần tử sinh để gán cho các nhãn ngữ nghĩa trong các bài toán ứng dụng

Trong lý thuyết ĐSGT, bài toán tìm độ sâu k tối ưu là bài toán còn mở

Vì vậy số lượng lớp gia tử thường được chọn trước cho từng nhãn ngữ nghĩa trong mọi ứng dụng hiện nay Từ đó có thể thấy rằng:

(1) Tồn tại độ lệch giữa giá trị ngữ nghĩa định lượng được xác định

theo cặp (α, θ) hợp lý nào đó và giá trị ngữ nghĩa định lượng lượng tối ưu

được xác định theo cặp (α, θ) tối ưu với độ sâu k cho từng nhãn ngữ nghĩa

(2) Tồn tại độ lệch giữa giá trị ngữ nghĩa định lượng lượng tối ưu được

xác định theo cặp (α, θ) tối ưu với độ sâu k1 và giá trị ngữ nghĩa định lượng

lượng tối ưu được xác định theo cặp (α, θ) tối ưu với độ sâu k2 ≠ k1 cho từng

nhãn ngữ nghĩa

Từ phân tích trên đây dẫn đến ý tưởng là có thể có một cách khác xác

định giá trị ngữ nghĩa định lượng tối ưu trên cơ sở cặp (α, θ) hợp lý được

chọn mà không cần tính toán đến độ sâu k tối ưu Như vậy mô hình tính toán

đơn giản hơn và hiệu quả có thể nhiều khả năng tốt hơn mô hình tính toán

truyền thống

Để thuận tiện cho việc biểu diễn ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ, giả

sử rằng miền tham chiếu thông thường của các biến ngôn ngữ X là đoạn [a, b]

còn miền tham chiếu ngữ nghĩa Xs là đoạn [as,bs] ( 0 ≤ as < bs ≤ 1 ) Việc

chuyển đổi tuyến tính từ [a, b] sang [as,bs] được gọi là phép ngữ nghĩa hóa

tuyến tính (linear semantization) còn việc chuyển ngược lại từ đoạn [as,bs]

sang [a, b] được gọi là phép giải nghĩa tuyến tính (linear desemantization)

Trong nhiều ứng dụng của ĐSGT, đã sử dụng miền ngữ nghĩa là đoạn

[as=0, bs=1], khi đó phép ngữ nghĩa hóa tuyến tính được gọi là phép chuẩn

hóa (linear Semantization = Normalization) và phép giải nghĩa tuyến tính

được gọi là phép giải chuẩn (Linear Desemantization = Denormalization )

Như vậy có thể biểu diễn phép ngữ nghĩa hóa tuyến tính và phép giải nghĩa

tuyến tính đơn giản như sau:

Linear Semantization (x) = xs = as + ( bs – as ) ( x – a ) / ( b – a) (1.1a)

Linear Desemantization (xs) = x = a + ( b – a ) ( xs – as ) / ( bs – as) (1.2a)

Normalization (x) = xs = ( x – a ) / (b – a ) (1.1b)

Denormalization (xs) = x = a + ( b – a )xs (1.2b)

1.5.2 Biến ngôn ngữ

Khái niệm biến ngôn ngữ lần đầu tiên đươc Zadeh viết: “ Khi thiếu hụt

tính chính xác bề ngoài của những vấn đề phức tạp, một cách tự nhiên là tìm

cách sử dụng các biến ngôn ngữ, đó là các biến mà giá trị của chúng không

phải là số mà là các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo

Động lực cho việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là đặc trưng ngôn ngữ

của các từ, các câu thường là ít xác định hơn số” Để khái niệm này trở thành

một khái niệm toán học, Zadeh hình thức hóa khái niệm này như sau:

Định nghĩa: Biến ngôn ngữ được đặc trưng bởi một bộ gồm năm thành

phần (X,T(X), U, R, M), ở đây X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ

của biến X, U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ

xem như là một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú

pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi

giá trị ngôn ngữ trong T(X) với một tập mờ trên U

Ví dụ 1.1 Xét biến ngôn ngữ có tên AGE, tức là X = AGE, biến cơ sở u

có miền xác định là U = [0, 100] Khi đó tập các giá trị ngôn ngữ tương ứng

của biến ngôn ngữ là T(AGE) bao gồm các giá trị

not young not old not very young not very old

very young very old young or old

more–or–less young more–or–less old …

possibly young possibly old …

Các giá trị ngôn ngữ young và old được gọi là các giá trị nguyên thủy

Mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(AGE) là tên của một biến mờ trên U, tức là biến

có thể nhận giá trị trên U với mỗi giá trị ứng với một mức độ tương thích trong đoạn [0, 1], ràng buộc hạn chế trên mỗi giá trị ngôn ngữ hình thành ngữ nghĩa cho giá trị ngôn ngữ đó, ví dụ ngữ nghĩa của old được cho như sau:

5

501

100

50

1 2

Trong các nghiên cứu của mình về biến ngôn ngữ và lập luận xấp xỉ, Zadeh luôn nhấn mạnh hai đặc trưng quan trọng nhất của biến ngôn ngữ:

- Đặc trưng thứ nhất là tính phổ quát của cấu trúc miền giá trị của chúng, tức là miền giá trị của hầu hết các biến ngôn ngữ có cùng cấu trúc cơ

sở theo nghĩa các giá trị ngôn ngữ tương ứng là giống nhau ngoại trừ phần tử sinh nguyên thủy

- Đặc trưng thứ hai là tính chất ngữ nghĩa độc lập ngữ cảnh của các gia

tử và các liên từ trong khi ngữ nghĩa của các phần tử sinh nguyên thủy là phụ thuộc vào ngữ cảnh

Hai đặc trưng trên của biến ngôn ngữ cho phép ta sử dụng một tập các gia tử ngôn ngữ cho nhiều biến ngôn ngữ khác nhau và có thể mô tả hình thức miền giá trị của các biến ngôn ngữ bởi một cấu trúc ngôn ngữ toán học thuần nhất Vấn đề quan trọng nhất ở đây là Thuật toán phải dựa trên các yếu tố nào

để cho cấu trúc toán học đó phản ánh được càng nhiều ngữ nghĩa tự nhiên của giá trị ngôn ngữ Một cách tiếp cận đến vấn đề này đã được đề xuất trong [7, 8] dựa trên một số đặc trưng ngôn ngữ sau:

- Các giá trị ngôn ngữ có ngữ nghĩa tự nhiên của chúng khi được con người sử dụng trong cuộc sống hàng ngày, con người sử dụng ngữ nghĩa này

để xác định quan hệ thứ tự giữa các giá trị ngôn ngữ của cùng một biến

- Các gia tử ngôn ngữ được con người sử dụng để nhấn mạnh về mặt ngữ nghĩa của giá trị ngôn ngữ, tức là mỗi gia tử có thể làm mạnh lên hoặc yếu đi ngữ nghĩa tự nhiên của giá trị ngôn ngữ được tác động

Với mỗi giá trị ngôn ngữ x trong T(X) và tập H các gia tử ngôn ngữ, khi đó H sẽ được phân hoạch thành hai tập con rời nhau sao cho một tập chứa các gia tử làm tăng ngữ nghĩa của x và tập còn lại chứa các gia tử làm giảm ngữ ngĩa của x Hơn nữa trong mỗi tập con đó của H, các gia tử cũng được sắp thứ tự theo mức độ nhấn ngữ nghĩa của chúng, ví dụ như mức độ nhấn ngữ nghĩa của gia tử very được xem là mạnh hơn gia tử more Đồng thời các tác giả giới thiệu khái niệm đại số gia tử như là một cấu trúc toán học để Thuật toán hóa cấu trúc tự nhiên miền giá trị của các biến ngôn ngữ

1.5.3 Đại số gia tử của biến ngôn ngữ

Giả sử X là một biến ngôn ngữ và miền giá trị của X là Dom(X)

Định nghĩa: Một đại số gia tử AX tương ứng của X là một bộ 4 thành

phần AX=(Dom(X), C, H, ) trong đó C là tập các phần tử sinh, H là tập các gia tử và quan hệ “” là quan hệ cảm sinh ngữ nghĩa trên X

i) Hai phần tử sinh của biến ngôn ngữ có khuynh hướng ngữ nghĩa trái ngược nhau: fast có khuynh hướng “đi lên” còn gọi là hướng dương ký hiệu

c+, slow có khuynh hướng “đi xuống” còn gọi là hướng âm, ký hiệu c- Đơn giản, theo quan hệ thứ tự ngữ nghĩa ta có: c+ > c Chẳng hạn old > young,

true>false

ii) Về trực giác, mỗi gia tử có khuynh hướng làm tăng hoặc giảm ngữ nghĩa của phần tử sinh nguyên thủy Chẳng hạn như Very fast > fast và Very slow < slow điều này có nghĩa gia tử Very làm mạnh thêm ngữ nghĩa của cả hai phần tử sinh fast, slow Nhưng Little fast < fast, Little slow > slow vì thế Little có khuynh hướng làm yếu đi ngữ nghĩa của phần tử sinh Ta nói Very là gia tử dương và Little là gia tử âm

Ta ký hiệu H là tập các gia tử âm, H+ là tập các gia tử dương và H = H-H+ Nếu cả hai gia tử h và k cùng thuộc H+ hoặc H, thì ta nói h, k sánh được với nhau Dễ thấy Little và Possible là sánh được với nhau và Little > Posible, vì Little false > Possible false > false Ngược lại, nếu h và k không đồng thời thuộc H+ hoặc H-, khi đó ta nói h, k ngược nhau

iii) Hơn nữa, chúng ta nhận thấy mỗi gia tử đều có sự ảnh hưởng (làm tăng hoặc làm giảm) đến ngữ nghĩa của các gia tử khác Vì vậy, nếu k làm tăng ngữ nghĩa của h, ta nói k là dương đối với h Ngược lại, nếu k làm giảm ngữ nghĩa của h, ta nói k là âm đối với h

Chẳng hạn xét các gia tử ngôn ngữ V (Very), M (More), L (Little), P (Possible), của biến ngôn ngữ TRUTH Vì L true < true và VL true< L true<

PL true, nên V là dương đối với L còn P là âm đối với L Tính âm, dương của các gia tử đối với các gia tử khác không phụ thuộc vào phần tử ngôn ngữ mà

nó tác động Thật vậy, nếu V dương đối với L thì với bất kỳ phần tử x ta có: (nếu x  Lx thì Lx  VLx) hay (nếu x  Lx thì Lx  VLx)

Nhìn chung, với bất kỳ h, kH, h được gọi là dương đối với k nếu

(xX){( kx  x  hkx  kx) hay (kx  x hkx  kx )} Một cách tương tự,

h được gọi là âm đối với k nếu (xX){( kx  x hkx  kx) hay (kx 

xhkx  kx)} Tính âm, dương của các gia tử được thể hiện trong Bảng 1.2

Bảng 1.3 Ví dụ về tính âm dương giữa các gia tử

iv) Một tính chất ngữ nghĩa quan trọng của các gia tử được gọi là tính

kế thừa Tính chất này thể hiện ở chỗ khi tác động gia tử vào một giá trị ngôn ngữ thì ngữ nghĩa của giá trị này bị thay đổi nhưng vẫn giữ được ngữ nghĩa gốc của nó Điều này có nghĩa là với mọi gia tử h, giá trị hx thừa kế ngữ nghĩa của x Tính chất này góp phần bảo tồn quan hệ thứ tự ngữ nghĩa: nếu hx  kx thì h’hx  k’kx, hay h’ và k’ bảo tồn quan hệ ngữ nghĩa của hx và kx một cách tương ứng Chẳng hạn như theo trực giác ta có Ltrue  Ptrue, khi đó: PLtrue  LPtrue

1.5.4 Các tính chất cơ bản của ĐSGT tuyến tính

Xét một số tính chất cơ bản của ĐSGT tuyến tính

Trước hết ta thấy rằng khi tác động gia tử h  H vào phần tử x  X, thì

ta thu được phần tử ký hiệu hx

Với mỗi x  X ta ký hiệu H(x) là tập tất cả các phần tử u thuộc X xuất phát từ x bằng cách sử dụng các gia tử trong H và ta viết u = hn…h1x, với hn,

…, h1  H

Định lý 1.1 Cho tập H– và H+ là các tập sắp thứ tự tuyến tính của ĐSGT AX = (X, G, H, ) Khi đó ta có các khẳng định sau:

Với mỗi u  X thì H(u) là tập sắp thứ tự tuyến tính

Nếu X được sinh từ G bởi các gia tử và G là tập sắp thứ tự tuyến tính thì X cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính Hơn nữa nếu u < v, và u, v là độc lập với nhau, tức là u  H(v) và v  H(u), thì H(u)  H(v)

Một cách tổng quát, mỗi miền ngôn ngữ của biến ngôn ngữ có thể được tiên đề hóa và được gọi là đại số gia tử AX = (X, G, H, ), trong đó H là tập thứ tự tuyến tính bộ phận Chúng ta có định lý sau:

Định lý 1.2 Cho ĐSGT AX = (X, G, H, ) Khi đó ta có các khẳng

định sau:

Các toán tử trong Hc là so sánh được với nhau, c  {+, –}

Nếu x  X là điểm cố định đối với toán tử h  H, tức là hx = x, thì nó

là điểm cố định đối với các gia tử khác

Nếu x = hn…h1u thì tồn tại chỉ số i sao cho hi…h1u của x là một biểu diễn chuẩn của x tương ứng với u (x = hi…h1u và hi…h1u ≠ hi-1…h1u) và hjx

Định lý 1.3 Cho x = hn…h1u và y = km…k1u là hai biểu diễn chuẩn của

x và y tương ứng với u Khi đó tồn tại chỉ số j ≤ min{n, m} + 1 sao cho hj’ =

kj’ với mọi j’ < j (ở đây nếu j = min {m, n} + 1 thì hoặc hj là toán tử đơn vị I,

1.5.5 Thuật toán tính toán của đại số gia tử

Gọi AX = (X, G, C, H, ≤) là một cấu trúc đại số với tập X là tập nền của AX: G = { C+, C-} là tập phần tử sinh C = {0, w, 1}

Trong đó: 0, w, 1 tương ứng là cận trái, trung hòa và cận phải

H là tập toán tử một ngôi được gọi là các gia tử

≤ Là biểu thị quan hệ thứ tự trên các giá trị ngôn ngữ Gọi H- là tập hợp các gia tử âm, H+ là tập hợp các gia tử dương của AX

Ký hiệu: H- = { h-1, h-2,…, h-q}

H+ = { h1, h2,…, hp} Trong đó: h-1 < h-2 <…< h-q

fm x fm y

Đẳng thức trên không phụ thuộc vào các phần tử x, y và do đó ta có thể

ký hiệu là (h) và đây là độ tính mờ của gia tử h Tính chất của fm(x) và (h)

Sign(hc) = -Sign(c) nếu h là âm đối với c

Sign(hc) = sign(c) nếu h là dương đối với c

Sign(h’hx) = -Sign(hx) nếu h’hx hx và h’ là âm đối với h

Sign(h’hx) = Sign(hx) nếu h’hx hx và h’ là dương đối với h

Sign(h’hx) = 0 nếu h’hx = hx

Gọi fm là một độ đo tính mờ trên X, ánh xạ ngữ nghĩa định lượng :

X  [0,1], được sinh ra bởi fm trên X, được xác định như sau:

Với những dữ liệu thực tế thu được theo thời gian thường chịu những ảnh hường của những yếu tố khác nhau nền việc dự báo chuỗi thời gian theo hướng khác nhau là rất cần thiết và cần được nghiên cứu

CHƯƠNG 2: DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN MỜ 2.1 Thuật toán dự báo chuỗi thời gian mờ của Song và Chissom

Trong phần này, sử dụng khái niệm và phương pháp dự báo của chuỗi

thời gian mờ được Song et al và Chissom đưa ra để xây dựng thuật toán dự

báo cho chuỗi thời gian Từ đó ứng dụng trực tiếp cho chuỗi dữ liệu sinh viên nhập học từ 1971 đến 1990 [15, 16, 3]

Giả sử U là không gian nền: U = u1,u2, ,un  Tập A là mờ trên không gian nền U nếu A được xác định bởi hàm:

A : U  [0.1]

A được gọi là hàm thuộc (Membership function) Còn với bất kỳ một phần tử

u nào của A thì hàm A (u) được gọi là độ thuộc của u vào tập mờ A.[15]

Tập mờ A trên không gian nền U được viết như sau:

Bước 3 Xây dựng các tập mờ trên tập nền

Bước 4: Mờ hóa chuỗi dữ liệu

Bước 5: Xác định các quan hệ mờ

Bước 6: Dự báo bằng phương trình Ai=Ai 1* R, ở đây ký hiệu * là toán tử max-min

Bước 7: Giải mờ các kết quả dự báo

Dựa vào thuật toán trên xây dựng các phương pháp dự báo tuyển sinh đại học Alabama được trình bày ngắn gọn như sau:

n

n A A

A

u

u u

u u

u

2 2