Mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức. Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

71.3 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đốivới họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt.. Việc nghiên cứu về mối liên hệ giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ NGỌC QUỲNH

MỐI LIÊN HỆ ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH

XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN

XẠ ẢNH PHỨC

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG

HÀ NỘI, 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả được trìnhbày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Lê Ngọc Quỳnh

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin,phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của trường Đại học Sư phạm Hà Nội vìnhững sự giúp đỡ mà tác giả đã nhận được trong suốt quá trình học tập tại trường.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang,Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm

bộ môn Toán cùng các phòng ban chức năng của trường Đại học An Giang và anh chị,bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thànhnhiệm vụ Nghiên cứu sinh

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện đã dành thời gian đọc vàđóng góp những ý kiến quý báu cho luận án này

Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, những người thân luôntin tưởng, thương yêu, động viên và giúp đỡ tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này

Tác giả

MỤC LỤC

1.1 Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính của hai hàm phân hình có chung ảnhngược đối với các cặp hàm nhỏ 41.2 Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngượccủa họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt 71.3 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đốivới họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt 111.4 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngượccủa họ siêu phẳng di động không tính bội 12

HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI CÁC CẶP HÀM NHỎ 162.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên mặt phẳng phức 172.2 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ 19

3 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNGNHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH VỚI

3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức 363.2 Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình 42

CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI

NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86

MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

Trong toàn bộ luận án, ta thống nhất một số kí hiệu như sau

• PN(C): không gian xạ ảnh phức N− chiều

• vn−1 := (ddckzk2)n−1, σn := dclogkzk2∧ (ddclogkzk2)n−1: các dạng vi phân

• O(1): đại lượng bị chặn

• O(r): đại lượng vô cùng bé cùng bậc với r khi r → +∞

• o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞

• R{ai}qi=1 : Trường con nhỏ nhất của M (trường tất cả các hàm phân hình trên

Cn) chứa C và tất cả aik/ail với ail 6= 0 trong đó ai = (ai0 : · · · : aiN) (1 ≤ i ≤ q)

là các ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C)∗

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị, được xâydựng đầu tiên bởi R Nevanlinna [19] vào năm 1926 cho trường hợp hàm phân hình mộtbiến phức Sau khi bài báo của ông được công bố, lý thuyết này đã được mở rộng vànghiên cứu sâu sắc cho các ánh xạ phân hình nhiều biến phức bởi nhiều nhà toán họcnhư A Bloch, H Cartan, H J Weyles, L Ahlfors, W Stoll, J Noguchi và một số tácgiả khác

Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lý thuyết quantrọng của toán học và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thếgiới với nhiều kết quả đẹp đẽ và sâu sắc đã được công bố Những kết quả của lý thuyếtNevanlinna đã được ứng dụng trong việc nghiên cứu nhiều vấn đề của hình học phức vàgiúp cho việc hình thành lên nhiều hướng nghiên cứu như nghiên cứu về tính duy nhất,tính hữu hạn, sự phụ thuộc đại số và tính suy biến đại số của các ánh xạ phân hình.Đặc biệt, trong những năm gần đây, H Fujimoto ([10], [11]), G Dethloff, Đỗ ĐứcThái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang ([6], [7], [15], [23], [24], [36], [37], [40]), Z Chen -

Q Yan [3] và nhiều tác giả khác đã thu được những kết quả quan trọng về tính duynhất, hữu hạn và suy biến của ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C) với điều kiện về ảnhngược của họ các siêu phẳng Tuy nhiên, các kết quả trên hầu hết chỉ liên quan đến tínhduy nhất hay hữu hạn của ánh xạ phân hình và cần ít nhất điều kiện trên 2N + 2 siêuphẳng Việc nghiên cứu về mối liên hệ giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngượcđối với các siêu phẳng trong trường hợp số siêu phẳng (cố định hoặc di động) ít hơn thìđây vẫn là một vấn đề còn mới mẻ, có rất ít kết quả được công bố

Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Mối liên hệ đại số của cácánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức” Cụ thể, chúng tôi tập trungnghiên cứu mối quan hệ đại số giữa các ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C), đồng thờichúng tôi cũng đưa ra kết quả về sự suy biến đại số của ánh xạ tích của hai ánh xạ phânhình vào PN(C).

2 Mục đích và đối tượng nghiên cứu

Mục đích đầu tiên của luận án là nghiên cứu về hàm phân hình trên mặt phẳngphức C và đưa ra định lý về sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính (tựa M¨obius) của haihàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ Tiếp theo chúng tôi ápdụng lý thuyết Nevanlinna để nghiên cứu bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh

xạ phân hình nhiều biến vào không gian xạ ảnh phức dựa trên các điều kiện đặt ra trênảnh ngược của họ các siêu phẳng cố định hoặc di động cho trước

Đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là các hàm phân hình trên C và các ánh xạ phânhình nhiều biến từ Cn vào không gian xạ ảnh PN(C)

3 Phương pháp nghiên cứu

Dựa trên cơ sở các phương pháp nghiên cứu cũng như những kĩ thuật truyền thốngcủa hình học phức và lý thuyết phân bố giá trị, chúng tôi sẽ cố gắng đề xuất những kĩthuật mới nhằm giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về mối liên hệđại số của các ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh phức Đồng thời, luận án là mộttrong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theohướng nghiên cứu này

5 Cấu trúc luận án

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và kiến nghị, danh mục công trình khoa học củanghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận án bao gồm nămchương:

Chương 1

TỔNG QUAN

Năm 1926, R Nevanlinna đã chỉ ra rằng hai hàm phân hình phân biệt khác hằng f và

g trong mặt phẳng phức C thì không thể có cùng ảnh ngược đối với năm giá trị phânbiệt Ngoài ra, hàm g sẽ là một biến đổi phân tuyến tính (tức là biến đổi M¨obius) của

f nếu chúng có cùng ảnh ngược tính cả bội đối với bốn giá trị phân biệt Hai kết quảtrên được gọi là định lý năm điểm và bốn điểm của Nevanlinna Từ đó, việc tổng quát

và mở rộng các kết quả nói trên cho trường hợp hàm phân hình trên C và ánh xạ phânhình nhiều biến từ Cn vào PN(C) đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trênthế giới với nhiều kết quả đẹp đẽ và sâu sắc được công bố

1.1 Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính của hai hàm

phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ

Mục đích đầu tiên của luận án là nghiên cứu về hàm phân hình trên mặt phẳng phức C

Từ việc nghiên cứu hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với “các giá trị hay cáccặp giá trị”, các tác giả đã mở rộng thành hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đốivới “các hàm nhỏ hay các cặp hàm nhỏ” Trong chương này, chúng tôi quan tâm nghiêncứu trường hợp hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm phân hìnhnhỏ

Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa sau:Giả sử f 6≡ 0 là một hàm chỉnh hình trên C Với mỗi z0 ∈ C, tồn tại một lân cận

Hàm phân hình a được gọi là nhỏ (tương ứng với f ) nếu || T (r, a) = o(T (r, f )) khi

r → ∞ Ta kí hiệu Rf là trường tất cả các hàm phân hình nhỏ (tương ứng với f ) trênC

Hàm phân hình f trên C được gọi là một biến đổi tựa M¨obius, hay biến đổi tựaphân tuyến tính, của hàm phân hình g nếu tồn tại các hàm phân hình nhỏ (tương ứngvới g) αi (1 ≤ i ≤ 4) với α1α4− α2α3 6≡ 0 sao cho f = α1g + α2

α3g + α4 Nếu tất cả các hàm

αi (1 ≤ i ≤ 4) là hàm hằng thì ta nói f là một biến đổi M¨obius hay biến đổi phân tuyếntính của g

Năm 1997, T Czubiak và G Gundersen [4] đã chứng minh được rằng:

Định lý A Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược khôngtính bội đối với sáu cặp giá trị (ai, bi), 1 ≤ i ≤ 6, trong đó ai 6= aj, bi 6= bj với i 6= j, tứclà

min{νf −a0

i, 1} = min{νg−b0

i, 1} (1 ≤ i ≤ 6)

Khi đó f là một biến đổi phân tuyến tính của g

Sau đó P Li và C C Yang [18] đã đưa ra một ví dụ chỉ ra rằng hai hàm phân hình

có chung ảnh ngược đối với năm cặp giá trị có thể không liên kết với nhau bởi một biếnđổi phân tuyến tính Do vậy số các cặp giá trị trong kết quả trên của T Czubiak và G.Gundersen là không thể thay thế bởi một số nhỏ hơn

Trong trường hợp này, con số năm cặp giá trị là không thể giảm hơn được nữa, bộigiao đã được ngắt bởi 1 (hay nói cách khác là không kể bội) Vì vậy các kết quả gầnđây liên quan đến chủ đề này là xoay quanh việc ta có thể “không quan tâm” đến nhữngkhông điểm chung với bội kể từ một bậc nào đó trở đi

Năm 2013, S D Quang [26] đã chỉ ra rằng chúng ta có thể không tính đến các khôngđiểm chung có bội lớn hơn 17 trong trường hợp hai hàm phân hình khác hằng f và gtrên C có chung ảnh ngược đối với 7 cặp hàm phân hình nhỏ không kể bội Cụ thể, kếtquả của S D Quang đạt được như sau:

Định lý B Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai, bi)}7

i=1 là bảycặp hàm nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong đó ai 6= aj, bi 6= bj với mọi i 6= j Cho k

là số nguyên dương hay +∞ Giả sử rằng

min{νf −a0 i,≤k, 1} = min{νg−b0 i,≤k, 1} (1 ≤ i ≤ 7)

Khi đó, nếu k ≥ 17 thì f là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g

Trong kết quả trên, tác giả đã dùng hàm phụ trợ Cartan để đánh giá hàm đếm vàhàm đặc trưng Tuy nhiên, việc sử dụng kỹ thuật này chưa đưa đến được đánh giá tối

ưu nhất Mong muốn của chúng tôi khi nghiên cứu trường hợp hai hàm phân hình cóchung ảnh ngược không tính bội đối với các cặp hàm phân hình nhỏ là có thể giảm được

số cặp hàm nhỏ trong kết quả của Quang Hơn thế nữa, chúng tôi sẽ không tính đến cáckhông điểm chung của các cặp hàm (f − ai) và (g − bi) có bội lớn hơn một hằng số nào

đó trở đi và các hằng số này có thể khác nhau đối với mỗi cặp hàm nhỏ khác nhau Đểlàm được điều đó, chúng tôi đã phát triển các kỹ thuật của P Li và C C Yang [18] khithay các hàm phụ trợ Cartan như trong chứng minh của Quang bởi các hàm phụ trợ là

đa thức theo f và g Nhờ đó chúng tôi đánh giá các hàm đếm chặt chẽ hơn và đưa đếnkết quả tốt nhất theo hướng này

Chương 2 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục các công trình đã công bố liênquan đến luận án) Kết quả chính chúng tôi đạt được về vấn đề này như sau:

Định lý 2.2.1 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai, bi)}qi=1(q ≥6) là q cặp hàm nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong đó ai 6= aj, bi 6= bj với mọi i 6= j.Với ki (i = 1, , q) là q số nguyên dương hay +∞ sao cho

min{νf −a0

i ,≤k i, 1} = min{νg−b0

i ,≤k i, 1} (1 ≤ i ≤ q)

Khi đó f là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g.

Trong trường hợp k1 = k2 = · · · = kq = k, với giả thiết như trong định lý, ta thấynếu k > q−55 thì f sẽ là một phép biến đổi tựa phân tuyến tính của g (xem Hệ quả 2.2.2,chương 2)

Trong trường hợp hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với năm cặp hàm nhỏ,chúng tôi chứng minh định lý sau

Định lý 2.2.8 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai, bi)}5i=1

là năm cặp hàm nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong đó ai 6= aj, bi 6= bj với mọi i 6= j.Với ki (1 ≤ i ≤ 5) là các số nguyên dương hay +∞ trong đó k5 ≥ 2, sao cho

240361k5,trong đó k0 = max1≤i≤5ki Giả sử rằng

min{νf −a0 5,≤k5, 1} = min{νg−b0 5,≤k5, 1}

và min{νf −a0

i ,≤k i, 2} = min{νg−b0

i ,≤k i, 2} (1 ≤ i ≤ 4)

Khi đó f là biến đổi tựa phân tuyến tính của g

Trong trường hợp k1 = k2 = · · · = k5 = k, với giả thiết như trong định lý, ta thấynếu k ≥ 241 thì f sẽ là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g (xem Hệ quả 2.2.9,chương 2) Chúng tôi chú ý rằng, trong trường hợp chỉ có năm cặp hàm nhỏ thì việc

sử dụng các hàm phụ trợ là không đủ để đưa ra kết luận gì về các hàm f và g, do vậychúng tôi đã đưa ra kỹ thuật chứng minh hoàn toàn khác các tác giả trước với ý tưởngrút ra từ chứng minh của bồ đề Borel

1.2 Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình

trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng

cố định với bội bị ngắt

Ngoài việc mở rộng định lý 4 điểm và 5 điểm của Nevanlinna cho hàm phân hình thìviệc tổng quát và mở rộng các kết quả nói trên cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều

biến từ Cn vào PN(C) cũng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thếgiới với nhiều kết quả đẹp đẽ được công bố Đặc biệt về bài toán nghiên cứu tính hữuhạn và phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình.

Cụ thể, năm 1975, H Fujimoto [9] đã chứng minh rằng với hai ánh xạ phân hìnhkhông suy biến tuyến tính f và g từ Cn vào PN(C), nếu chúng có cùng ảnh ngược kể cảbội với (3N + 2) siêu phẳng trong PN(C) ở vị trí tổng quát thì f ≡ g, và tồn tại mộtphép biến đổi xạ ảnh L của PN(C) sao cho g = L(f ) nếu chúng có cùng ảnh ngược kể

cả bội của (3N + 1) siêu phẳng trong PN(C) ở vị trí tổng quát Tiếp theo, năm 1983,

L Smiley [34] chỉ ra rằng khẳng định của H Fujimoto vẫn đúng nếu hai ánh xạ trên cóchung ảnh ngược không kể bội với 3N + 2 siêu phẳng nhưng có thêm điều kiện là chúngtrùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng này Năm 1999, H Fujimoto [11] đã chỉ

ra rằng có không quá 2 ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi haiđối với 3N + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát

Các chứng minh trên của L Smiley và H Fujimoto dựa vào việc đánh giá hàm đếmcủa hàm phụ trợ Cartan Năm 2006, bằng việc đưa ra kĩ thuật mới cho việc đánh giáhàm đếm này và cách phân hoạch họ các siêu phẳng, D D Thai - S D Quang [37] đãchứng minh rằng kết quả của Smiley vẫn đúng trong trường hợp q ≥ 3N + 1 và N ≥ 2

Kỹ thuật này đã khởi đầu cho nhiều kết quả nghiên cứu về vấn đề duy nhất và hữu hạncủa ánh xạ phân hình trong các năm sau đó Năm 2009, Dethloff - Tan [7] đã chỉ rarằng với mỗi số nguyên không âm c thì tồn tại một số nguyên dương N (c) phụ thuộcvào c sao cho kết quả của Smiley vẫn đúng với q ≥ 3N + 2 − c và N ≥ N (c), hơn nữacác tác giả cũng đưa ra được định lý duy nhất trong trường hợp hai ánh xạ phân hìnhchia sẻ 2N + 3 siêu phẳng với bội bị ngắt bởi N

Gần đây, kết quả tốt nhất về tính duy nhất và hữu hạn của ánh xạ phân hình vào

PN(C) trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng được đưa ra bởi Chen - Yan [3] vàQuang [24] Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi nhắc lại các khái niệm sau.Cho f là ánh xạ phân hình từ Cnvào PN(C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fN),cho q siêu phẳng H1, · · · , Hq trong PN(C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn:

a) dim Zero(f, Hi) ∩ Zero(f, Hj)
≤ n − 2 với mọi 1 ≤ i < j ≤ q

Với mỗi số nguyên dương d (hay +∞), ta kí hiệu F {Hj}qj=1, f, d) là tập hợp tất cảánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g từ Cn vào PN(C) sao cho

b) min{ν0

(g,H j ), d} = min{ν0

(f,H j ), d} (1 ≤ j ≤ q) vàc) g = f trên Sq

j=1Zero(f, Hj)

Năm 2009, Z Chen và Q Yan [3] đã chứng minh rằng:

Định lý C Nếu q ≥ 2N + 3 thì g1 = g2 với bất kỳ g1, g2 ∈ F {Hi}qi=1, f, 1)

Gần đây, S D Quang [24] đã đạt được:

Định lý D Nếu q ≥ 2N + 2 và N ≥ 2 thì F {Hi}qi=1, f, 1) chứa nhiều nhất hai ánh xạ.Chúng ta cần chú ý rằng, tất cả các kết quả về vấn đề hữu hạn của các ánh xạ phânhình đều đòi hỏi ít nhất là có 2N + 2 siêu phẳng tham gia Do vậy các câu hỏi sau đâynảy sinh một cách rất tự nhiên

a) Có mối quan hệ nào giữa các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của qsiêu phẳng không kể bội với q < 2N + 2 hay không?

b) Có bất kì mối quan hệ nào giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược củamột số siêu phẳng không kể bội và chỉ đòi hỏi trùng nhau trên một số ít các siêu phẳngtrong đó hay không?

Trong chương 3, chúng tôi sẽ chỉ ra các ánh xạ trong các trường hợp trên là phụthuộc đại số với nhau Kết quả của chương 3 được chúng tôi viết dựa trên bài báo [2](trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án) Cụ thể như sau:

Định lý 3.2.1 Giả sử f1, f2, f3 là ba ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cn

vào PN(C) và {Hi}qi=1 là một họ siêu phẳng trong PN(C) ở vị trí tổng quát với

dim (Zero(f1, Hi) ∩ Zero(f1, Hj)) ≤ n − 2 (1 ≤ i < j ≤ q)

Giả sử rằng các khẳng định sau được thỏa mãn:

(a) min{ν(f0

1 ,H i ), N } = min{ν(f0

2 ,H i ), N } = min{ν(f0

3 ,H i ), N } (1 ≤ i ≤ q),(b) f1 = f2 = f3 trên Sq

i=1Zero(f1, Hi)

Khi đó, nếu q > 2N +5+

√ 28N 2 +20N +1

4 thì một trong các khẳng định sau xảy ra:

(i) Tồn tại q3 + 1 siêu phẳng Hi1, , Hi[q ] +1 sao cho

(fu, Hi1)(fv, Hi1) =

(fu, Hi2)(fv, Hi2) = · · · =

(fu, Hi[q ] +1)(fv, Hi[q

] +1), (1 ≤ u, v ≤ 3),(ii) f1∧ f2∧ f3 ≡ 0

Ở đây, f1∧f2∧f3 ≡ 0 có nghĩa là với mọi biểu diễn rút gọn (fi0: · · · : fiN) của fi, 1 ≤

i ≤ 3, thì ˜f1(z) ∧ ˜f2(z) ∧ ˜f3(z) = 0 với mỗi z ∈ Cn Trong đó, ˜fi(z) = (fi0(z), , fiN(z))được coi là một vectơ trong CN +1 và f1(z) ∧ f2(z) ∧ f3(z) một phần tử trong Λ3CN +1.Trong luận án này, ta nói ba ánh xạ f1, f2, f3 là phụ thuộc đại số nếu f1∧ f2∧ f3 ≡ 0.Đối với trường hợp thu gọn tập đồng nhất, chúng tôi đạt được kết quả như sau

Định lý 3.2.3 Giả sử f1, f2, f3 là ba ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cnvào PN(C) và cho H1, , Hq là q siêu phẳng trong PN(C) ở vị trí tổng quát với

dim (Zero(f1, Hi) ∩ Zero(f1, Hj)) ≤ n − 2 (1 ≤ i < j ≤ q)

Giả sử rằng các khẳng định sau được thỏa mãn:

(a) f1 là không suy biến tuyến tính trên Rf1,

(b) min{ν(f0

1 ,H i ), N } = min{ν(f0

2 ,H i ), N } = min{ν(f0

3 ,H i ), N } (1 ≤ i ≤ q − N − 1),(c) f1 = f2 = f3 trên Sq

i=q−N

S3 u=1Zero(fu, Hi)

Khi đó, nếu q > 3N +12  + N + 1 thì một trong các khẳng định sau xảy ra:

(fu, Hi2)(fv, Hi 2) = · · · =

(fu, Hi

[N +1

2 ]+1)(fv, Hi

[N +1

2 ]+1),(ii) f1∧ f2∧ f3 ≡ 0

1.3 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình

có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt

Khi nghiên cứu bài toán về tính hữu hạn và phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình,

ba đối tượng thường được quan tâm là số siêu phẳng tham gia, mức độ được ngắt củabội giao và các siêu phẳng tham gia là cố định hay di động Sau khi tìm cách giảm được

số siêu phẳng cố định trong nghiên cứu bài toán ở chương 3, ở chương 4 này chúng tôi

sẽ chuyển sang nghiên cứu vấn đề trong trường hợp các siêu phẳng di động

Cũng trong bài báo năm 1999, H Fujimoto [11] đã chứng minh được rằng:

Định lý E Giả sử H1, , H2N +2 là các siêu phẳng trong PN(C) ở vị trí tổng quát.Khi đó tồn tại một số nguyên l0 sao cho, với bất kỳ hai ánh xạ phân hình f và g từ Cnvào PN(C), nếu min(ν0

(f,H i ), l0) = min(ν0

(g,H i ), l0) (1 ≤ i ≤ 2N + 2) thì ánh xạ f × g vào

PN(C) × PN(C) là suy biến đại số

Ở đây, ánh xạ f × g từ Cn vào PN(C) × PN(C) xác định bởi

(f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN(C) × PN(C), ∀z 6∈ If ∪ Ig

Ta nói rằng một ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh là suy biến đại số nếu ảnh của

nó nằm trong một tập con đại số thực sự của đa tạp đó Ngược lại nó sẽ được nói làkhông suy biến đại số

Khi đó các câu hỏi sau được đặt ra một cách tự nhiên:

Có kết quả tương tự nào như kết quả trên của Fujimoto trong trường hợp siêu phẳng

cố định được thay thế bằng siêu phẳng di động hay không?

Mục đích của Chương 4 là đưa ra câu trả lời cho câu hỏi trên Chúng tôi sẽ tổngquát và mở rộng kết quả của Fujimoto trong trường hợp siêu phẳng di động Kết quảcủa Chương 4 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo [3] (trong mục các công trình đãcông bố liên quan đến luận án)

Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết sau đây

Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cnvào PN(C) Ta gọi mỗi ánh xạ phân hình a từ

Cn vào PN(C)∗ là một siêu phẳng di động trong PN(C) Ta nói rằng a là di động chậmtương ứng với f nếu || T (r, a) = o(T (r, f )) khi r → ∞.

Cho a1, , aq (q ≥ N + 1) là q siêu phẳng di động trong PN(C) với biểu diễn rútgọn ai = (ai0 : · · · : aiN) (1 ≤ i ≤ q) Ta nói rằng a1, , aq ở vị trí tổng quát nếudet(aikl) 6≡ 0 với mọi họ chỉ số 1 ≤ i0 < i1 < · · · < iN ≤ q, 0 ≤ l ≤ N Ta kí hiệu M làtrường tất cả các hàm phân hình trên Cn và R{ai}qi=1 là trường con nhỏ nhất của Mchứa C và tất cả aik/ail with ail 6≡ 0

Kết quả của Fujimoto được chúng tôi mở rộng và tổng quát như sau:

Định lý 4.2.1 Giả sử f và g là hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C) và a1, , a2N +2

là các siêu phẳng di động chậm (tương ứng với f ) trong PN(C) ở vị trí tổng quát Khi

đó tồn tại số nguyên dương l0 (không phụ thuộc vào f và g) sao cho nếu

min(ν(f,a0

i ), l0) = min(ν(g,a0

i ), l0) (1 ≤ i ≤ 2N + 2)thì ánh xạ f × g vào PN(C) × PN(C) là suy biến đại số trên R{ai}2N +2

i=1 Liên quan đến vấn đề hữu hạn và suy biến của ánh xạ phân hình với siêu phẳng diđộng, có nhiều kết quả đã được đưa ra bởi M Ru [30] , Z Tu [41], Thai-Quang [36],Dethloff-Tan [6] và các tác giả khác Tuy nhiên, chúng tôi chú ý rằng trong các kết quả

đó các tác giả đều giả thiết rằng f và g bằng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng.Đây là một điều kiện mạnh và khó kiểm tra

1.4 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình

trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng di động không tính bội

Tiếp tục hướng nghiên cứu trong trường hợp siêu phẳng di động, chúng tôi tìm hiểu về

sự phụ thuộc đại số của họ các ánh xạ phân hình trong chương 5 Lý thuyết về sự phụthuộc đại số của ánh xạ phân hình nhiều biến vào đa tạp xạ ảnh phức với siêu phẳng

cố định được đưa ra bởi W Stoll [35] Sau đó, M Ru [30] đã tổng quát kết quả của W.Stoll cho đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức với siêu phẳng di động

Gần đây, P D Thoan, P V Duc và S D Quang [8] [39] đã cải thiện các kết quả của

W Stoll và M Ru

Mục đích của chúng tôi trong chương 5 này là tổng quát và cải thiện hơn nữa cáckết quả của các tác giả trên Chương 5 được viết dựa trên bài báo [4] (trong mục cáccông trình đã công bố liên quan đến luận án)

Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết sau đây

Cho fi : Cn → PN(C) (1 6 i 6 λ) là ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn

giả thiết q > dN (2N + 1)λ

λ − l + 1 .Trong trường hợp d = 1, vào năm 2013, Thoan - Duc - Quang [39] đã chứng minhđịnh lý về sự phụ thuộc đại số như sau

Định lý G Giả sử f1, , fλ : Cn → PN

(C) là các ánh xạ phân hình khác hằng và

gj : Cn → PN

(C)∗ (0 ≤ j ≤ q − 1) là các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát sao cho

T (r, gj) = o(max1≤i≤λT (r, fi)) (0 ≤ j ≤ q − 1) và (fi, gj) 6≡ 0 với 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤

q − 1 Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) min{1, ν0

(f 1 ,g j )} = · · · = min{1, ν0

(f λ ,g j )} với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1,ii) dim{z|(f1, gi)(z) = (f1, gj)(z) = 0} ≤ n − 2 với mỗi 0 ≤ i < j ≤ q − 1,

iii) tồn tại một số nguyên l, 2 ≤ l ≤ λ, sao cho với bất kỳ dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · <

il ≤ λ, fi1(z) ∧ · · · ∧ fil(z) = 0 với mỗi điểm z ∈Sq−1

(f 1 ,g j ),≤k j =

· · · = Supp ν0

(f λ ,g j ),≤k j với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1 Kí hiệu A = Sq−1

j=0Aj Cho l, 2 ≤

l ≤ λ, là một số nguyên sao cho với bất kỳ dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · < il ≤ λ đều có

fi 1(z) ∧ · · · ∧ fil(z) = 0 với mọi z ∈ A Khi đó, nếu

Trong kết quả trên, nếu ta cho kj = +∞ (0 ≤ j ≤ q − 1) thì ta sẽ nhận lại kết luậncủa Đức - Thoan với q > dλN (N + 2)

λ − l + 1 Cũng như vậy, nếu thêm giả thiết d = 1 thì kết

luận của Thoan - Đức - Quang vẫn đúng với q > λN (N + 2)

λ − l + 1 Như vậy, kết quả củachúng tôi là sự tổng quát và mở rộng kết quả của các tác giả trên

Với λ = l = 2 và kj = +∞ (0 ≤ j ≤ q − 1), từ kết quả trên chúng tôi suy ra đượcĐịnh lý duy nhất (xem Hệ quả 5.2.1, chương 5)

Định lý 5.2.5 Giả sử f1, , fλ : Cn → PN

(C) là các ánh xạ phân hình khác hằng và{gj}q−1j=0 là các siêu phẳng di động trong PN(C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn T (r, gj) =o(max1≤i≤λT (r, fi)) (0 ≤ j ≤ q − 1) Cho kj (0 ≤ j ≤ q − 1) là các số nguyên dương hay+∞ Giả sử rằng (fi, gj) 6≡ 0 với 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤ q − 1 và các điều kiện sau đượcthỏa mãn:

i) min{1, ν0

(f 1 ,g j )≤k j} = · · · = min{1, ν0

(f λ ,g j )≤k j} với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1,ii) dim f1−1(gj1) ∩ f1−1(gj2) ≤ n − 2 với mỗi 0 ≤ j1 < j2 ≤ q − 1,

iii) tồn tại một số nguyên l, 2 ≤ l ≤ λ, sao cho với bất kỳ dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · <

il ≤ λ, fi1(z) ∧ · · · ∧ fil(z) = 0 với mỗi điểm z ∈

λ(2N m−m 2 +m+1)

λ−l+1 Bởi vì vế phải của bất đẳng thức trên đạt cực đại tại m = N nên ta suy

ra q > λ(Nλ−l+12+N +1) Do vậy, trong trường hợp d = 1 và k0 = · · · = kq−1 = +∞ thì kết quảcủa Định lý 5.2.5 tốt hơn kết quả của Định lý 5.2.1

Cũng từ Định lý trên, nếu cho λ = l = 2 và k0 = · · · = kq−1 = +∞ thì ta thấy rằng với

f1, f2 thỏa mãn các điều kiện (i) − (iii) và q > N (N + 2) thì rankR{gj}f1 = rankR{gj}f2

Từ đó, ta suy ra được Định lý duy nhất (xem Hệ quả 5.2.5, chương 5)

Kết quả này của chúng tôi tốt hơn các kết quả gần đây về vấn đề duy nhất của cácánh xạ phân hình, không đòi hỏi điều kiện không suy biến tuyến tính trên trường R{ai},trùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng di động không kể bội, ví dụ như so vớikết quả của Z Chen - Y Li - Q Yan [2] với q > 4N2 + 2N , Thoan - Duc - Quang [39]với q > 4N2+ 2

Chương 2

SỰ PHỤ THUỘC TỰA PHÂN

TUYẾN TÍNH CỦA HAI HÀM

ra từ chứng minh của bổ đề Borel

Chương 2 gồm hai mục: mục thứ nhất được dành để trình bày về lý thuyết Nevanlinnacho hàm phân hình trên mặt phẳng phức; mục thứ hai nhằm trình bày các bổ đề và

trong đó Λ là tập chỉ số, mi ∈ Z, và {zi}i∈Λ là họ rời rạc các điểm phân biệt trong U

Ta có thể xem divisor ν như là một hàm số xác định bởi:

Giá của ν được xác định bởi Supp(ν) = {z ∈ U : ν(z) 6= 0}

Với hai divisors ν và µ trên C, ta định nghĩa

Cho f là một hàm phân hình trên miền U ⊂ C Khi đó với mỗi z0 ∈ U , tồn tại lâncận Uz0 ⊂ U chứa z0 và f (z) = (z − z0)m.g(z) với m ∈ Z, g(z) là hàm chỉnh hình trên

Uz0 thỏa mãn g(z0) 6= 0 Nếu m > 0 ta nói z0 là không điểm bậc m của f , ngược lại

m < 0 thì ta nói z0 là cực điểm bậc |m| của f

Định nghĩa 2.1.2 Giả sử {zi}i∈Λ và {zj0}j∈Λ0 lần lượt là các tập không điểm, cực điểmcủa hàm phân hình f trên U trong đó bậc không điểm của f tại zi là mi > 0 và bậc cựcđiểm tại zj0 là nj > 0 (với nj > 0) Ta định nghĩa các divisor không điểm, divisor cựcđiểm và divisor sinh bởi hàm f lần lượt như sau:

Với hai divisors ν và µ trên C, ta định nghĩa N (r, ν 6= µ) = N (r, Sν6=µ)

Định nghĩa 2.1.4 Cho f 6≡ 0 là hàm phân hình trên C Hàm xấp xỉ của f được địnhnghĩa bởi:

m(r, f ) :=

2π

Z

0

log+|f (reiθ)|dθ (r > 1),

ở đó log+x = max{0, logx} với x ∈ (0, +∞)

Định nghĩa 2.1.5 Hàm đặc trưng Nevanlinna của f được xác định bởi

T (r, f ) := m(r, f ) + N (r, νf∞),trong đó N (r, νf∞) là hàm đếm của divisor cực điểm sinh bởi f

Định lý 2.1.6 (Định lý cơ bản thứ nhất) Giả sử f là hàm phân hình trên C và a làmột điểm thuộc C Khi đó

Định lý 2.1.7 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C

và a1, , aq ∈ C là các điểm phân biệt (q ≥ 3) Khi đó

Định lý 2.1.8 (xem [42]) Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng trên C và

a1, , aq (q ≥ 3) là q hàm phân hình nhỏ phân biệt (tương ứng với f ) trên C Khi

Định lý 2.2.1 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai, bi)}qi=1(q ≥6) là q cặp hàm nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong đó ai 6= aj, bi 6= bj với mọi i 6= j.Với ki (i = 1, , q) là q số nguyên dương hay +∞ sao cho

trong đó k0 = max1≤i≤qki Giả sử rằng

min{νf −a0

i ,≤k i, 1} = min{νg−b0

i ,≤k i, 1} (1 ≤ i ≤ q)

Khi đó f là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g

Khi k1 = k2 = · · · = kq = k, chúng tôi sẽ có ngay hệ quả sau:

Hệ quả 2.2.2 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai, bi)}qi=1(q ≥6) là q cặp hàm nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong đó ai 6= aj, bi 6= bj với i 6= j Cho

k là một số nguyên dương hay +∞ Giả sử rằng

min{νf −a0 i,≤k, 1} = min{νg−b0 i,≤k, 1} (1 ≤ i ≤ q)

Nếu k > q−55 , thì f là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g

Trong Hệ quả 2.2.2, chúng tôi liệt kê ra đây một số trường hợp mà ở đó điều kiện

k > q−55 được thỏa mãn như sau:

(i) q = 6 và k ≥ 6,

(ii) q = 7 và k ≥ 3,

(iii) q = 8, 9, 10 và k ≥ 2,

(iv) q > 10 và k ≥ 1

Để chứng minh Định lý 2.2.1 trên, trước hết ta cần các bổ đề sau

Bổ đề 2.2.3 (xem [18]) Giả sử rằng f và g là hai hàm phân hình khác hằng, F = F (f, g)

là một đa thức của f và g với hệ số là các hàm phân hình nhỏ tương ứng với f và g.Bậc của F theo f là p, và bậc theo g là q Khi đó ta có

Bổ đề 2.2.5 Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng trên C Giả sử a là một hàmphân hình nhỏ tương ứng với f và k là một số nguyên dương hay +∞, khi đó

Bổ đề 2.2.6 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {ai}qi=1 và{bi}qi=1 (q ≥ 5) là hai tập hợp các hàm phân hình nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong

đó ai 6= aj, bi 6= bj với mọi 1 ≤ i < j ≤ q Với ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dươnghay +∞ sao cho Pq

i=1

1

ki+ 1 ≤ q − 2 Giả sử rằngmin{νf −a0 i,≤ki, 1} = min{νg−b0 i,≤ki, 1} (1 ≤ i ≤ q)

Khi đó k T (r, f ) = O(T (r, g)) và k T (r, g) = O(T (r, f )) Đặc biệt, Rf = Rg

Chứng minh Theo Định lý 2.1.8 và Bổ đề 2.2.5, với mỗi  > 0, ta có

Chọn  < q − 2 −Pq

i=1

1

ki+ 1, ta được || T (r, f ) = O(T (r, g)).

Tương tự, ta có || T (r, g) = O(T (r, f )) Vậy bổ đề được chứng minh 

Bổ đề 2.2.7 Cho f và g là hai hàm phân hình trên C Cho {ai}5

i=1 và {bi}5

i=1 là hai

họ các hàm phân hình nhỏ (tương ứng với f ) trên C trong đó ai 6= aj và bi 6= bj với mọi

1 ≤ i < j ≤ 5 Giả sử rằng || T (r, f ) = O(T (r, g)), || T (r, g) = O(T (r, f )) và f không làbiến đổi tựa phân tuyến tính của g Khi đó một trong hai khẳng định sau xảy ra:i) || T (r, f ) = 2T (r, g) + o(T (r, f )) hay || T (r, g) = 2T (r, f ) + o(T (r, f ))

ii) || 3

2(T (r, f ) + T (r, g)) ≥

P5 i=1N (r, min{ν0

f −a i ,≤k i, ν0

g−b i ,≤k i}) + o(T (r, f ))

Chứng minh Giả sử rằng khẳng định đầu không xảy ra Ta sẽ chứng minh khẳng địnhthứ hai xảy ra

Bằng việc giải hệ phương trình tuyến tính, ta thấy rằng tồn tại sáu hàm nhỏ ci (i =

1, , 6) (trong đó ít nhất có một hàm không đồng nhất với không) sao cho hàm

F := F (f, g) = c1f g2+ c2f g + c3g2+ c4g + c5f + c6thỏa mãn F (ai, bi) ≡ 0 với mọi i = 1, , 5 Theo Bổ đề 2.2.3, ta có

T (r, F ) ≤ T (r, f ) + 2T (r, g) + o(T (r, f ))

Nếu F ≡ 0, thì (c1g2+ c2g + c5)f ≡ −(c3g2 + c4g + c6) Chú ý rằng có ít nhất một cikhác không, do đó c1g2+ c2g + c5 6≡ 0 Vì vậy,

f = −c3g

2+ c4g + c6

c1g2+ c2g + c5

Vì f không là biến đổi tựa M¨obius của g nên vế phải của phương trình trên là bấtkhả quy Do đó, T (r, f ) = 2T (r, g) + o(T (r, f )) Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy

f(k)(z) = a(k)i

0 (z) and g(k)(z) = b(k)i

0 (z),với mọi 0 ≤ k ≤ min{νf −a0

i0,≤ki0(z), νg−b0

i0,≤ki0(z)} − 1, trong đó h(k) là kí hiệu đạo hàmbậc k của hàm phân hình h Từ đó, ta có

F (f, g)(k)(z) = F (ai 0, bi 0)(k)(z) = 0,với mọi 0 ≤ k ≤ min{νf −a0

i0,≤ki0(z), νg−b0

i0,≤ki0(z)} − 1 Do vậy z là không điểm của

F (f, g) với bội ít nhất là min{νf −a0

N (r, min{νf −a0 i,≤ki, νg−b0 i,≤ki}) + o(T (r, f )).

Cộng vế theo vế của cả hai bất đẳng thức trên, ta được

với mỗi số dương  Cho r −→ +∞, ta được

Vì vậy, ta được T (r, f ) 6= 2T (r, g) + o(T (r, f )) Tương tự, ta cũng có T (r, g) 6=2T (r, f ) + o(T (r, f ))

Xét năm cặp hàm phân hình {(aij, bij)}5

j=1 trong số q cặp {(ai, bi)}qi=1 Khi đó ít nhấtmột trong hai khẳng định của Bổ đề 2.2.7 xảy ra Theo chứng minh trên, ta thấy rằngkhẳng định 2.2.7(i) không xảy ra Do đó khẳng định 2.2.7(ii) xảy ra Vì vậy, ta có

≥ 52q (q − 2 − )(1 +

+ o(T (r, f )),

với mỗi số dương  Cho r −→ +∞, ta được

3

2 ≥ 52q (q − 2 − )(1 +

Vậy f phải là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g Định lý được chứng minh.Trong trường hợp các hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với năm cặp hàm nhỏ,chúng tôi chứng minh định lý sau

Định lý 2.2.8 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai, bi)}5

240361k5,trong đó k0 = max1≤i≤5ki Giả sử rằng

min{νf −a0 5,≤k5, 1} = min{νg−b0 5,≤k5, 1}

và min{νf −a0

i ,≤k i, 2} = min{νg−b0

i ,≤k i, 2} (1 ≤ i ≤ 4)

Khi đó f là biến đổi tựa phân tuyến tính của g

Nếu k1 = k2 = · · · = k5 = k thì từ Định lý 2.2.8 ta sẽ lập tức suy ra được hệ quảsau

Hệ quả 2.2.9 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai, bi)}5

Với phương pháp chứng minh mà chúng tôi đề xuất dưới đây thì kết quả k ≥ 241 làtốt nhất có thể đạt được Tuy nhiên, theo chúng tôi kết quả này vẫn chưa được tối ưu.

Vì trong trường hợp các hàm ai và bi bằng nhau, kết quả tối ưu thu được bởi Quangtrong [25] đúng với k1 = k2 = 3 và k3 = k4 = k5 = 2 Do vậy chúng tôi hi vọng trongthời gian tới có thể đưa ra được cách tiếp cận khác để đạt được kết quả tốt hơn.Chứng minh Định lý 2.2.8 Giả sử phản chứng rằng f không là một biến đổi tựaphân tuyến tính của g Dễ dàng thấy rằng

|| T (r, f ) = O(T (r, g)) and || T (r, g) = O(T (r, f ))

Tương tự chứng minh của Định lý 2.2.1, đầu tiên ta giả sử rằng

k0.

Từ giả thiết của Định lý, ta có:

3

361 +

843361k0

+ 240361k5

1

2, do đó k5 <

96

71 < 2 Điều này là mâu thuẫn.

Vì vậy, ta có T (r, f ) 6= 2T (r, g)+o(T (r, f )) Tương tự, ta cũng có T (r, g) 6= 2T (r, f )+o(T (r, f ))

Do đó, khẳng định 2.2.7(i) không xảy ra Từ đó suy ra khẳng định 2.2.7(ii) xảy ra

4

X

i=1

N[2](r, νg−b0 i,≤ki))+ o(T (r, f )) (2.1)Với mỗi 1 ≤ i ≤ 4, ta kí hiệu Si là divisor rút gọn với giá được định nghĩa bởi

N (r, Si) ≤ N[2](r, νg−b0 i,≤ki) − N[1](r, νg−b0 i,≤ki) + N[1](r, νg−b0 i,>ki) + N[1](r, νf −a0 i,>ki)

với mỗi  > 0 Tương tự, ta cũng có

(2.5)với mỗi  > 0

g − b4.

Dễ dàng thấy rằng c1 6= c2, c01 6= c0

2, α 6= 1, β 6= 1 và tất cả ci, c0i (1 ≤ i ≤ 2) đều là cáchàm nhỏ tương ứng với f Ta có

|| N[1](r, νh0i) + N[1](r, νh∞i) = N[1](r, νf −a0 i 6= ν0

g−b i) + o(T (r, f ))

≤ N (r, Si) + o(T (r, f )),

Lấy z 6∈ Zero(α) ∪ Zero(1 − α) ∪ Pole(α) ∪ Zero(β) ∪ Zero(1 − β) ∪ Pole(β) Nếu

z là không điểm của dhI v, thì z phải là không điểm hay cực điểm của hi nào đó Từ đósuy ra

Y − b4.Với mỗi I ⊂ {1, , 5}, đặt Ic= {1, , 5} \ I Với 0 ≤ u, v ≤ t, u 6= v, và i ∈ ((Iv∪ Iu) \(Iu∩ Iv))c, ta thấy rằng

j∈I vhj

!+ o(T (r, f ))

≥ N



r, ν0Q j∈Iu\Iv hj Q

j∈Iv \Iu hj−

Q j∈Iu\Iv Hj (ai,bi) Q

j∈Iv \Iu Hj (ai,bi)

+o(T (r, f ))



1 + 1

k0

(3 − ) −

≥ 12



1 + 1

k0

(3 − ) −

với mỗi  > 0 Cho r −→ +∞ và sau đó cho  −→ 0, ta được

240361k5.Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Từ trường hợp 1 và trường hợp 2, ta suy ra rằng với mỗi I ∈ I, có J ∈ I \ {I} saocho hI

hJ ∈ C \ {0} Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp a Tồn tại I = {i, j}, J = {i, l}, j 6= l, hI

hJ

= constant Khi đó hj = ahlvới a là một hàm phân hình khác không trên Rf Do đó, f là một biến đổi tựa phântuyến tính của g Điều này mâu thuẫn với giả sử rằng f không là biến đổi tựa phântuyến tính của g

Trường hợp b.Tồn tại hằng số khác không b, c sao cho h{1,2} = bh{3,4} và h{1,3} =

ch{2,4}, tức là

(1 − α)h1h2 = b(1 − β)h3h4 và h1h3 = ch2h4.Khi đó h1

Từ hai trường hợp trên, ta đều thu được điều mâu thuẫn với giả sử phản chứng Vì