tổng kết kiến thức chia sẽ kinh nghiệm phòng thi môn toán

- Làm các câu đã vạch theo trình tự dễ đến khó thông thường xuất phát từ câu 1 – bài toán khảo sát hàm số; không được xuất phát từ câu khó vì trong quá trình làm với các câu phân loại ch

(1) Kinh nghiệm làm bài thi, phân bổ thời gian

- Đọc đề thật kĩ từ trên xuống dưới khoảng 3 lần (lặp lại); vạch vào đầu câu của các câu có thể làm

ngay (với các câu hình có thể tưởng tưởng được hình vẽ ngay – vạch ra ý chính)

- Làm các câu đã vạch theo trình tự dễ đến khó (thông thường xuất phát từ câu 1 – bài toán khảo sát

hàm số); không được xuất phát từ câu khó (vì trong quá trình làm với các câu phân loại chắc chắn sẽ

gặp một số vướng mắc mang tính phân loại do dậy sa đà vào câu khó ngay sẽ mất thời gian của các em trong khi với thời gian đó các em đã có một quỹ điểm trên trung bình của các câu dễ)

- Các câu mức độ dễ, trung bình (từ 1 đến 7) làm ngay vào giấy thi, không cần nháp; trình bày to rõ ràng và cẩn thận là được (tính toán bấm máy cho chuẩn xác)

- Tất cả các câu hình các em vẽ hình bằng bút mực (duy nhất đường tròn có thể dùng được thêm bút chì)

- Luôn kiểm tra lại bài làm bằng cách đối chiếu cả đề bài và bài làm (không nên chỉ soát lại bài làm mà không kiểm tra lại kĩ đề bài)

(Khoảng thời gian dành cho các câu từ 1 đến 7 trong khoảng 70 phút đầu là đạt mục tiêu để lấy 9-10)

- Các câu phân loại (8-10); làm câu hỏi theo bản thân là dễ nhất trước; trong quá trình làm bài cần vạch các ý ra nháp; nếu có khó khăn khi làm chưa nghĩ ra hướng làm ngay ở một bước nào đó có thể bỏ qua chuyển sang câu khác; sau đó ghi tiếp vào giấy thi là Làm tiếp câu 8, câu 9 …

- Bài toán bất đẳng thức; yêu cầu hoàn thành chính xác tất cả các câu từ 1 – 9 và còn đủ từ 45 – 60 phút (các em nắm chắc về bất đẳng thức) chắc chắn sẽ xác định được hướng làm vì đủ thời gian để huy động kiến thức và kỹ năng, cùng điểm rơi phong độ

(2) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải và quy trình giải chuẩn

Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

*Giới hạn tại vô cực (với hàm bậc ba, trùng phương); giới hạn tại vô cực; giới hạn tại x0

+; x0− (với hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất – kết luận tiệm cận ngang và tiệm cận đứng)

*Đạo hàm; giải phương trình đạo hàm (hàm bậc ba, hàm trùng phương);

*Bảng biến thiên:

- Kết luận tính đồng biến, nghịch biến

- Kết luận các điểm cực trị, giá trị cực trị (với hàm bậc ba, trùng phương)

*Đồ thi: Ghi toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với các trục toạ độ (nếu có); vẽ đồ thị bằng bút mực

Câu 2 (Bài toán phụ của hàm số)

GTLN, GTNN

*Tập xác định: D = ? (bỏ qua bước này nếu đề bài đã cho)

+) Nếu D là một đoạn thì lập luận hàm số f(x) liên tục trên D; tính đạo hàm; giải pt đạo hàm; tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn; kết luận max, min của hàm số

+) Nếu D là một khoảng; tính đạo hàm; giải pt đạo hàm và lập bảng biến thiên; kết luận max, min của hàm số

Bài toán thực tế liên quan đến min, max

*Gọi ẩn và thiết lập biểu thức; tìm min – max bằng bất đẳng thức AM – GM hoặc khảo sát hàm một

biến

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

Rút gọn sai biểu thức Logarit; chú ý log a x 2n = 2nlog a |x|

*Chú ý các bài toán tính đạo hàm của hàm mũ; hay tính giá trị biểu thức theo một giá trị cho trước

Câu 4 Tích phân và ứng dụng trong tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

*Áp dụng sai công thức; chú ý:

S = f (x) − g(x) dx a

*trong đó a, b cho trước hoặc là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f (x) = g(x)

*Đây là các tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối vì vậy lập bảng xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối rồi khử dấu giá trị tuyệt đối đưa về lớp tích phân thường

Câu 5 Hình giải tích không gian Oxyz

*Hay hiểu sai các công thức

⎥.c" (giá trị tuyệt đối);

*chú ý tính véc tơ tích có hướng ghi chi tiết vào bài làm để dễ kiểm tra sai sót (không nên viết nguyên kết quả; làm khó cho việc kiểm tra lại)

*Tính toán cho đúng là được; nên lập luận cho chặt chẽ; ghi các véc tơ chỉ phương của đường thẳng hay véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng chữ sau đó mới dùng kí hiệu(câu này hay sinh rất hay mắc sai lầm; do vậy các em trình bày rõ ràng cho dễ đối chiếu lại)

Câu 6 Lượng giác và bài toán xác suất thực tế

a) Lượng giác; chú ý việc đổi cung; giá trị âm và dương của biểu thức lượng giác cơ bản trên từng khoảng

b) Xác suất;

*Số phần tử của không gia mẫu là số cách … có n(Ω) = ?

*Gọi A là biến cố cần tính xác suất; số kết quả thuận lợi cho biến cố A là số cách …có n(A) = ?

*Xác suất cần tính

P(A) = n(A) n(Ω) = ? (để kết quả là phân số); chỉ làm tròn khi đề bài yêu cầu Nên chi

tiết cách tìm n(A) nếu cách tính phức tạp

Câu 7 Hình học không gian

*Vẽ hình bằng bút mực, phân biệt chuẩn nét đứt và nét liền

*Quy khoảng cách về điểm đến mặt phẳng; từ điểm về chân đường cao của khối chóp

*Cũng không có chú ý gì nhiều

Câu 8 Hình giải tích trong mặt phẳng Oxy

*Khai thác giả thiết đã cho tìm các điểm giao cắt nếu có

*Chú ý viết nhanh, chính xác phương trình các đường thẳng; toạ độ giao điểm; chân đường cao, …

*Một số bài toán có thể giải đơn giản bằng góc và khoảng cách;

*Khai thác giả thiết cùng hình vẽ để phát hiện tính chất hình học (nếu bài toán có); chứng minh bằng

*Bài toán có yếu tố vuông góc; hoàn toàn có thể chứng minh bằng véc tơ; cộng góc hay tam giác đồng dạng;

*Bài toán liên quan đến độ dài có thể sử dụng tam giác đồng dạng;

*Bài toán có hai đường thẳng song song chú ý đến Thales

*Tham số hoá nếu cần;

*Nếu sử dụng độ dài để tìm điểm; cần chú ý loại nghiệm (sử dụng tính cùng phía, khác phía với đường thẳng); (tính chất nằm trong đoạn thẳng hoặc nằm ngoài đoạn thẳng – sử dụng véc tơ)

*Hình vẽ bằng bút mực (trừ đường tròn – vẽ được bằng bút chì)

Câu 9 Phương trình, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình

*Đặt điều kiện (nếu có); đối với bất phương trình cần giải chi tiết điều kiện, ngược lại điều kiện của bất phương trình quá phức tạp (nghiệm lẻ của phương trình bậc ba) thì giữ nguyên và đối chiếu lại sau

*Xuất phát từ các hướng đơn giản nhất đầu tiên; nâng luỹ thừa đưa được về đa thức hay không?, đặt được ẩn phụ để giảm bớt căn thức hay không? Nghiệm lẻ có thể suy nghĩ đến pp liên hợp với nghiệm

vô tỷ (thông qua phân tích nhân tử); sử dụng các phép liên hợp cơ bản đã biết (chứng minh vô nghiệm, dùng điều kiện, quy đồng, đặt ẩn phụ, xét hàm số, bất đẳng thức); một số bài toán có nghiệm bội chẵn(hay gặp là nghiệm kép) có thể dùng các đánh giá cơ bản

ab ≤ a

2+ b2

2 hay AM – GM với các số không âm)

*Chú ý nếu đưa về phương trình hệ quả thì cần phải thử lại nghiệm; chỉ nhận các nghiệm thoả mãn

*Đối với hệ phương trình chú ý phép liên hợp cơ bản cho hệ chứa căn thức (xét các trường hợp đầy đủ trước khi liên hợp tránh mẫu thức sinh ra không xác định)

Câu 10 Bất đẳng thức, bài toán cực trị

Thông thường đề thi của bộ thường xuất phát từ các đánh giá đơn giản: (x − y)2≥ 0 ;

Với x = a, y = b+ c ta có các đánh giá như:

*Với hai biến đối xứng; đặt ẩn phụ với các đại lượng đối xứng của x, y như: t = x + yhoặc

t = xy hoặc t = x2+ y2 ,…(loại này khá đơn giản)

*Với ba biến đối xứng chú ý các hằng đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản; hoặc một số đánh giá hay gặp

(x + y + z)2= x2+ y2+ z2+ 2(xy + yz + zx) (xy + yz + zx)2 = x2y2+ y2z2+ z2x2+ 2xyz(x + y + z) (x + y + z)3 = x3+ y3+ z3+ 3(x + y)(y + z)(z + x) (x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) − xyz

x4+ y4+ z4 = (x2+ y2+ z2)2− 2(x2y2+ y2z2+ z2x2)

*Chú ý đẳng thức:

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

2(a2b2+ b2c2+ c2a2) − (a4+ b4+ c4) = (a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b− c).

vì vậy với các số thực không âm a, b, c thoả mãn: a2+ b2+ c2= 2(ab + bc + ca) ta có với

với mọi x, y, z

(x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) ≤ xyz với mọi x, y, z là các số thực không âm

(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 89(x + y + z)(xy + yz + zx).

*Các bài toán chứa căn;

- chiều max có thể dùng các bất đẳng thức Cauchy –Schwarz; AM – GM

- chiều min có thể dùng các bất đẳng thức (tổng căn >= căn của tổng – dùng với trường hợp điểm rơi có chỉ có duy nhất một căn khác 0 và tất cả các căn thức còn lại có giá trị bằng 0); mincopski (hay bđt véc tơ) khi trong căn có dạng tổng các bình phương; ngoài ra một số bài toán cần bình phương sau đó mới dùng các đánh giá AM – GM; Cauchy –Schwarz để đảm bảo độ chặt các đánh giá

*Các bài toán có dạng phân thức;

- Tư duy dùng các bất đẳng thức; AM – GM cộng mẫu số; Cauchy –Schwarz dạng phân thức (dạng thuận hoặc dạng nghịch tuỳ yêu cầu max, min)

- So sánh các mẫu thức (nếu các mẫu thức không có dạng đối xứng như nhau);

*Các bài toán hoán vị ba biến;

- Chú ý xem có đặt ẩn phụ đưa về loại 3 biến đối xứng quen thuộc hay không (đơn giản)

- Sử dụng tư duy của bất đẳng thức xếp lại; với b là số nằm giữa a và c ta có

*Các bài toán cực trị dạng thuần nhất

- Các bài toán thuần nhất ba biến không âm

a = x + c2,b = y + c2 với c = min a,b, c{ } (đánh giá đưa về hai biến x, y)

- Giảm biến (với các biến dương) a = x.c;b = y.c; đưa về hai biến x và y

*Bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối sử dụng các đánh giá cơ bản;

|a|+|b|≥|a + b|;|a|−|b|≤|a − b|

hoặc sử dụng phép bình phương nếu cần;

Đánh giá đồng thời các biến sử dụng:

(a − α)(b− α)(c − α) ≥ 0 (a − β)(b− β)(c − β) ≤ 0

*Dạng đại số chuyển về lượng giác

- x, y,z ∈ (α;β),2α − β ≥ 0 khi đó x, y, z là độ dài ba cạnh một tam giác ABC

- x, y, z dương thoả mãn xy + yz + zx = 1; tồn tại ba góc một tam giác ABC sao cho

x = tan A2, y = tan B2, z = tan C2.

- x, y, z dương thoả mãn x + y + z = xyz; tồn tại ba góc nhọn một tam giác ABC sao cho

x = tan A; y = tan B; z = tanC ;

- x, y, z dương thoả mãn x2+ y2+ z2+ 2xyz = 1 ; tồn tại ba góc nhọn tam giác ABC sao cho

x = cos A, y = cos B, z = cosC ;

*Chú ý, với các trường hợp đặc biệt như này có thể dùng để xây dựng các bất đẳng thức phụ dạng đại

hoặc với x, y,z > 0 thoả mãn x + y + z = xyz; khi đó tồn tại ba góc nhọn của một tam giác ABC

thoả mãn x = tan A, y = tan B,z = tanC ;

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

*với x, y, z dương thoả mãn x2+ y2+ z2+ 2xyz = 1 ; tồn tại ba góc nhọn một tam giác ABC sao cho

x = cos A, y = cos B, z = cosC có cos A + cos B ≤ 2sin C2 nên

x + y ≤ 2 1− z2

(3) Các dạng toán phân loại cần chú ý ôn tập

Câu 8: Hình giải tích trong mặt phẳng toạ độ Oxy

*Chú ý về phương pháp chứng minh vuông góc (cộng góc, véc tơ, tứ giác nội tiếp);

*Chú ý về đường thẳng song song cho trước sử dụng Thales

*Chú ý vận dụng các tính chất xoay quanh về tứ giác nội tiếp

*Bài toán liên quan đến đường cao, phân giác, tâm nội và ngoại tiếp xác định phải dễ; huy động các kiến thức cơ bản đã học

Bài 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A với AC = 2AB. Các điểm

M(2;5), N(10;−6) lần lượt thuộc cạnh AB và tia đối của tia CA sao cho CN = 2BM. Tìm toạ độ

các điểm A, B,C biết rằng điểm E(4;1) là trung điểm cạnh BC và B có tung độ nhỏ hơn 5

*Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC

tại P; ta có:

MP = BM.tan B = BM AC AB = 2BM = CN và

MP || CN; do đó MPNC là hình bình hành

*Vì vậy gọi K là trung điểm của MN; ta có K cũng là

trung điểm của CP và K thuộc BC

⎟⎟là trung điểm MN thuộc BC;

*Đường thẳng BC đi qua hai điểm K, E có PT: 3x + 4y −16 = 0

*Đường thẳng AB đi qua B, M có PT: x − 2y + 8 = 0

*Đường thẳng AC đi qua C, N có PT: 2x + y −14 = 0

*Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:

Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(2;3) Đường thẳng đi qua trung

điểm cạnh AB vuông góc với BC tại K(4;9), cắt AC tại điểm E Tìm toạ độ các điểm B,C biết

KE = 2CK và hoành độ điểm M lớn hơn 2

*Giả thiết liên quan đến độ dài các em chú ý sử dụng

tam giác đồng dạng:

*Có điểm A, K có thể tư duy viết pt BC đi qua K, tạo

với AK một góc không đổi

*Ta có hai tam giác vuông ΔKCE ∽ ΔACB(g − g);

*Do đó tam giác AMC vuông cân tại M, và có tứ giác

AMKC nội tiếp nên AKC! = AMC! = 450

*Đường thẳng AK đi qua A, K có PT: 3x − y − 3 = 0

*Gọi (a;b),(a2+ b2> 0) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng BC; ta có phương trình:

3a − b 10(a2+ b2) =

*Đường thẳng AC đi qua A, vuông góc AB có PT: 2x + 3y −13 = 0

*Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ

*Thực hiện tương tự trên tìm được M(2;8) (loại)

Chú ý Ở đây ta sử dụng các kiến thức liên quan đến tam giác đồng dạng khi giả thiết đề cập đến

độ dài (trường hợp đơn giản của hai tam giác vuông có một góc chung); kiến thức cơ bản về tứ giác nội tiếp; viết phương trình đường thẳng tạo với đường thẳng cho trước một góc không đổi Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD với AD = 2AB. Trên đoạn thẳng

BD lấy điểm M sao cho DM = 4MB và gọi E, F lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng DM, BC Tìm toạ độ các điểm A, B,C, D biết E(1;6), F(2;3), D có hoành độ lớn hơn 1 và A có hoành độ âm

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

*Đối chiếu A có hoành độ âm nên nhận A(−5;4)

*Từ AD = 10 và FA = FD toạ độ điểm D là nghiệm của hệ:

*Gọi M(2m+ 4;m) ∈ DM , Gọi N là trung điểm AB ta có:

*Đường thẳng BC đi qua C, D có PT: y +1 = 0

*Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD tại A và B, có BC= 3AD.

Trọng tâm của tam giác ABC là G(7;0), đường thẳng AD có phương trình x−y+1= 0. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua điểm E(0;4). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết điểm B có tung độ nguyên

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

*Ta chứng minh GD ⊥ AD bằng cách chỉ ra GD||AB

*Đối chiếu B có tung độ nguyên nên nhận a = 0 ⇒ A(0;1),B(6;−5),C(15;4), D(3;4)

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB và CD. Đường phân giác trong của các góc B và C cắt nhau tại E và đường thẳng BE có phương trình

x−y−3 = 0. Gọi M là trung điểm của cạnh AD và đường thẳng ME đi qua điểm F(−5;8). Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh CD và tìm tọa độ điểm B, biết rằng C(9;−2).

*Chú ý tính chất hình thang có hai đáy CD và AB nên

*Đường thẳng MF đi qua E, F có PT: 3x + 5y− 25 = 0

*Vì tính chất đường phân giác ta cũng có d(E;CD) = d(E; AB) = d(E;BC) ⇒ E nằm trên

đường trung bình của hình thang ABCD; do đó ME || CD

*Đường thẳng CD đi qua C, song song với ME có PT: 3x + 5y−17 = 0

*Từ đây dễ tìm được B(6;3)

*Chú ý Ta lại một lần nữa chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách sử dụng khoảng cách

Bài 7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thang vuông tại A và B có phương trình đường thẳng CD

là x + 2y −11 = 0 Gọi I(1;0) là trung điểm AB,

⎟⎟ là giao điểm của AC và BD, góc

CID! = 900 Tìm toạ độ các đỉnh của hình thang đã cho biết hoành độ của B lớn hơn hoành độ của A

*Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên CD;

ta có các tứ giác IBCH; IADH nội tiếp đường

tròn vì vậy

BHA! = BHI!+ AHI!= BCI!+ ADI!= 900

*Do đó tam giác ABH vuông tại H nên

IA = IB = IH.

*Ta cũng có ΔIBC = ΔIHC(c− g − c) nên

HC = BC.

*Tương tự ta có: HD = AD.

*Ta chứng minh HK vuông góc với AB bằng

cách chỉ ra HK song song với BC hoặc AD

*Đường thẳng AB đi qua H, K có PT: x − 2y + 5 = 0

*Đường thẳng AB đi qua I, vuông góc HK có PT: 2x + y − 2 = 0

*Vì A, B thuộc AB và IA = IB = IH nên toạ độ điểm A, B là nghiệm của hệ:

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

*Đối chiếu hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A nên nhận B(3;−4), A(−1;4)

*Đường thẳng IC đi qua I, vuông góc HB có PT: y = 0 ⇒ C(11;0)

*Đường thẳng ID đi qua I, vuông góc HA có PT: x −1 = 0 ⇒ D(1;5)

Bài 8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Các điểm M, N

lần lượt là các điểm đối xứng của H qua B và C Biết rằng K(−14;15)là trực tâm tam giác AMN,

phương trình đường thẳng BC là x − y − 3 = 0 và diện tích tam giác ABC bằng 40 Tìm toạ độ các điểm A, B, C với B có tung độ âm

Bài 8. *Đường thẳng AH đi qua K, vuông góc BC có PT: x + y −1 = 0

*Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ:

Bài 9 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm Iđường kính CD.

Gọi M là trung điểm AC, H là hình chiếu vuông góc của M lên AB và K là hình chiếu vuông góc của I lên BD. Biết rằng

Phương trình đường thẳng BK qua K vuông góc BC là 2x + y +12 = 0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ

Xét hai tam giác vuông IKD và MHA có IKD! = MAH! Nên

ΔIKC ∽ ΔMHC ⇒ MHC! = IKC! ⇒ BHC! = BKC!

Do đó BKHC nội tiếp và KHC! = 1800− KBC! = 900 Tức KH ⊥ HC(đpcm)

Phương trình đường thẳng HC qua H vuông góc KH là 7x +11y − 28 = 0

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:

Gọi N là trung điểm của BC, ta có I là giao điểm của IK, IN nên dễ có I(-1;0)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (x +1)2+ y2 = 25

Phương trình đường thẳng AB qua B, H là 3x − y + 8 = 0

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ

Câu 9: Phương trình, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình

Phương pháp liên hợp (chú ý đến các bài toán có dạng phân thức)

Bài 1 Giải bất phương trình:

10x 3x2+ 4x + 5−

9x 11x2+ 12x + 13 + x − 4 = 0

*Nhận thấy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

+) Vì vậy nếu x ≤ 0 ⇒ VT < 0 ; bất phương trình luôn đúng

+) Xét với x> 0 ; bất phương trình tương đương với:

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

⇔ (x − 2)

2(13x + 10) 3x2+ 4x + 5 5x + 2 3x⎛⎝⎜⎜⎜ 2+ 4x + 5⎞⎠⎟⎟⎟

*Đối chiếu với điều kiện x > 0 đang xét suy ra 0< x ≤ 2

*Kết hợp cả hai trường hợp suy ra: S= −∞;2( ]

Bài 2 Giải phương trình trên tập số thực

điều kiện Do đó x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài 3 Giải phương trình trên tập số thực

(x + 2) x + 1 − (2− x) 1− x = x

3+ 8x 2− x2 (khử đi nhân tử chung hai vế)

*Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1

*Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Phương pháp hàm số(chú ý biến đổi; nghiệm lẻ thì dùng máy tính tìm ra A(x) n = ax + b)

Bài 1 Giải phương trình trên tập số thực

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

Bài 2 Giải bất phương trình

*Do đó f(u) nghịch biến trên ! và (*) ⇔ f (t) = f (x) ⇔ t = x ⇔ x2− x + 1 = x ⇔ x = 1

*Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Bài 5 Giải phương trình trên tập số thực:

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

*Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −3.

Bài 6 Giải bất phương trình (x2− 2x)(1 + x −1)( x2+ x − x) ≤ 1

*Vậy nghiệm phương trình x = −1;x = −2± 3

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn (xem tài liệu đã phát)

Phương pháp đặt hai ẩn phụ (xem tài liệu đã phát)

Bài 1 Giải bất phương trình

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

*Vậy nghiệm bất phương trình

1+ x x 1+ x

x + 2− x −2 3− x− 2− x =

Phương trình, bất phương trình chứa mũ và logarit(xem tài liệu đã phát)

Liên hợp đối với hệ phương trình chứa căn thức(ghép cơ bản; sử dụng máy tính bỏ túi tìm đại lượng liên hợp với căn thức – Với x phức tạp cho x = 1000 tìm y theo x; ngược lại y phức tạp cho

*Nhận thấy xy = 0 không thoả mãn hệ phương trình đã cho

*Xét x > 0, y > 0; phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Bài 2 Giải hệ phương trình trên tập số thực:

4 + (x + y2) y − 4x + 8 = 2y2− y + 6x 4( y + 2 x + 1) = 9y x −1

*Nhận thấy y = 0 không thoả mãn, xét y > 0

*Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn

*Vậy nghiệm của hệ (x; y) = (1;0);(2;3)

Bài 6 Giải hệ phương trình trên tập số thực

xy + (x − y)( xy − 2) = y + y − x (x + 1)(y + xy + x − x2) = 4

*Nhận thấy y = 0 không thoả mãn hệ phương trình đã cho, xét y > 0

*Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: