BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN hóa

202.3.2 Đưa phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng về hệ phương trình cấp một theo biến thời gian 212.3.3 Khái niệm tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy 222.4 Tính đặt chỉnh đ

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội - Năm 2015

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm 6

1.1.1 Không gian L2 6

1.1.2 Không gian Hm 6

1.1.3 Không gian H∞ 7

1.1.4 Không gian BCm 7

1.1.5 Không gian Cm([a, b], E) 7

1.1.6 Không gian S Biến đổi Fourier 8

1.2 Nửa nhóm liên tục 9

1.2.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục 9

1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục 9

1.2.3 Các tính chất của nửa nhóm liên tục 10

1.2.4 Định lý Hille-Yosida 13

1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach 15

2 Bài toán Cauchy cho phương trình dạng tiến hóa 18 2.1 Khái niệm mặt đặc trưng 18

2.2 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya 19

2.2.1 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya Bài

toán Cauchy 192.2.2 Định lý Cauchy-Kowalewskaya 202.3 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng 202.3.1 Phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng Bài

toán Cauchy 202.3.2 Đưa phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở

rộng về hệ phương trình cấp một theo biến thời gian 212.3.3 Khái niệm tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy 222.4 Tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy khi các hệ số

của phương trình chỉ phụ thuộc vào biến thời gian 232.4.1 Định lý Petrowsky 232.4.2 Định lý Hadamard trong trường hợp hệ số hằng 252.4.3 Một số ví dụ 302.5 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 312.5.1 Phương trình truyền nhiệt Bài toán Cauchy 312.5.2 Các tính chất của toán tử Laplace 322.5.3 Nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt 332.5.4 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình

truyền nhiệt 36Kết luận 37Tài liệu tham khảo 38

Mở đầu

Phương trình tiến hóa là các phương trình đạo hàm riêng chứa biếnthới gian t Các dữ kiện ban đầu của bài toán Cauchy cho phương trìnhtiến hóa thường được cho trên các mặt phẳng t = 0 hoặc t = t0

Đối với các phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya thì các mặtphẳng t = t0 là không đặc trưng, song đối với các phương trình kiểuKowalewskaya mở rộng thì các mặt phẳngt = t0 thường lại là đặc trưng,nên việc nghiên cứu bài toán Cauchy cho chúng sẽ phức tạp hơn

Mục đích của luận văn nhằm trình bày tính đặt chỉnh đều củabài toán Cauchy cho các phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya vàKowalewskaya mở rộng

Luận văn gồm hai chương, chương 1 bao gồm một số kiến thức chuẩn

bị gồm một số không gian hàm, khái niệm nửa nhóm liên tục, bài toánCauchy cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach.Nội dung chính của luận văn là chương 2, trong đó trình bày về tínhđặt chỉnh đều của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa Đối vớiphương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya, luận văn đã phát biểu Định

lý Cauchy-Kowalewskaya về tính giải được và duy nhất nghiệm của bàitoán trong lớp hàm giải tích

Luận văn đã phát biểu và chứng minh các Định lý Petrowsky vàHadamard về tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy đối với các phươngtrình dạng tiến hóa khi các hệ số của phương trình tương ứng là các hàm

số chỉ phụ thuộc biến thời gian hoặc là hằng số Do Định lý Kowalewskaya không thể áp dụng cho bài toán Cauchy cho phương trìnhkiểu Kowalewskaya mở rộng, nên công cụ của nửa nhóm đã được ápdụng để giải bài toán Cauchy đối với phương trình kiểu Kowalewskaya

Cauchy-mở rộng Luận văn đã minh họa phương pháp nửa nhóm thông qua việcgiải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt.

Nội dung chính của luận dựa trên các tài liệu [2], [3]

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡtận tình của thầy PGS TS Hà Tiến Ngoạn, sự nỗ lực của bản thân và

sự động viên của bạn bè

Một lần nữa tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướngdẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tới các thầy cô trong Viện Toán học đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này Tácgiả cũng xin cảm ơn tất cả bạn bè đặc biệt là các bạn lớp cao học K21Viện Toán học Cho dù đã cố gắng, nhưng do thời gian và kiến thức củabản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giảmong sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và các bạn

Tác giảNguyễn Hữu Dũng

Các kí hiệu

• R+ = {t ∈ R : t ≥ 0}

• |x| là chuẩn của x trong không gian Euclid Rn

• ||f ||E là chuẩn của hàm f trong không gian Banach E

• ∆ là toán tử Laplace

Hàm f ∈ H∞ khi và chỉ khi với mọi m sao cho f ∈ Hm Ta nói dãy

{fk} ⊂ H∞ hội tụ tới f ∈ H∞ nếu với mọi m thì fk −→ f trong Hm

1.1.5 Không gian Cm([a, b], E)

Giả sửE là không gian Banach hoặc không gian tôpô vectơ ĐặtCm([a, b], E)

là tập hợp các hàm

f : [a, b] −→ E

khả vi liên tục đến cấp m trong E Nếu E là không gian Banach thì

Cm([a, b], E) cũng là không gian Banach với chuẩn

Trường hợp nếuE = H∞thìCm([a, b], H∞) = {f (t)|f (t) ∈ H∞, a ≤ t ≤ b}

là không gian Frechet với các nửa chuẩn:

1.1.6 Không gian S Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.1 Không gian S = S(Rn) là tập hợp tất cả các hàm

f (x) ∈ C∞ sao cho với mọi đa chỉ số α, β tồn tại Cα,β > 0 và

xαDβf (x) ≤ Cα,β ∀x ∈ Rn,

trong đó xα = (xα1, xα2, , xαn)

Giả sử f (x) ∈ S Biến đổi Fourier của f (x), kí hiệu là bf (ξ) với

ξ = (ξ1, ξ2, , ξn), được định nghĩa bởi công thức

f (ξ)b

2

Biến đổi Fourier là một song ánh từ S lên S Công thức (1.1) cho phépthác triển biến đổi Fourier từ L2 vào L2 Biến đổi Fourier là một songánh và đẳng cự từ L2 lên L2, đồng thời các công thức (1.1) - (1.6) vẫncòn đúng

1.2.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục

Định nghĩa 1.2 Giả sử E là không gian Banach Tập hợp các toán tử

{Tt, t ≥ 0} trong đó Tt ∈ L(E; E) được gọi là nửa nhóm liên tục nếu

{Tt} thỏa mãn các tính chất sau:

a) T0 = I, I là toán tử đồng nhất của E,

b) TsTt = Ts+t (t, s ≥ 0),

c) Ánh xạ t → Tt của R+ → L(E; E) là liên tục theo t trong tôpô hội

tụ từng điểm của E, tức là với t0 ∈ R+ và với mỗi x ∈ E ta có

Khi đó {Tt, t ≥ 0} là một nửa nhóm liên tục

1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục

Định nghĩa 1.3 Giả sử {Tt, t ≥ 0} là một nửa nhóm liên tục Trongkhông gian E ta xét toán tử A cho bởi

Ax = lim

h→+0

1

Khi đó miền xác định D(A) của A là tập hợp sau

1.2.3 Các tính chất của nửa nhóm liên tục

Sau đây là một số tính chất của nửa nhóm liên tục

Tính chất 1.1 Cho {Tt} là một nửa nhóm liên tục trong không gianBanach E Khi đó, tồn tại các hằng số dương M, B sao cho:

kTtk ≤ M eBt, ∀t ≥ 0

Chứng minh Cho a > 0 bất kỳ, Ba ký hiệu là ảnh của một khoảngđóng của [0; a] dưới ánh xạ t → Tt của R+ → L(E; E) với E là khônggian Banach Khi đó Ba là compact cho tôpô hội tụ từng điểm trong

Với số phức p ∈ C mà Re p > B chúng ta định nghĩa biến đổi Laplace

R(p) của nửa nhóm {Tt, t ≥ 0} theo công thức sau

Toán tử R(p) là hàm chỉnh hình theo biến p khi Rep > B và nhận giátrị trong L(E, E) Do Tt giao hoán với A nên R(p) cũng giao hoán với

1h

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Tính chất 1.3 Giả sử số phức p hội tụ tới ∞ khi biến thiên trong mộthình quạt với |Imp| < CRe p (C > 0) Khi đó, với mỗi x ∈ E, pR(p)x

hội tụ tới x trong E khi p −→ ∞

Chứng minh Ta đặt p = σ + iτ (σ, τ ∈ R) Khi đó từ (1.8) suy ra

Định nghĩa 1.4 Toán tử tuyến tính A được gọi là toán tử đóng nếu

Tiếp theo ta chứng minh D(A) trù mật trong E Thật vậy, lấy x ∈ E

bất kỳ R(p)x ∈ D(A) kéo theo pR(p)x ∈ D(A) Mặt khác pR(p)x −→

x ∈ E Suy ra D(A) trù mật trong E

Chú ý rằng: Toán tử tuyến tính liên tục thì đóng Ngược lại nói chung

là không đúng

Tính chất 1.5 Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt} Khi đó

dTt

dt = ATt = TtA (1.13)1.2.4 Định lý Hille-Yosida

Định lý sau cho ta điều kiện đủ để một toán tử là toán tử sinh của mộtnửa nhóm liên tục

Định lý 1.1 Cho A là một toán tử tuyến tính đóng từ E vào E vớimiền xác định D(A) trù mật trong không gian Banach E Giả sử rằngtồn tại λ0 > 0 sao cho giải thức R(p; A) = (λI − A)−1 của A tồn tại

và là một toán tử bị chặn trong E với tất cả các giá trị nguyên λ > λ0.Khi đó hai điều kiện sau là tương đương:

(a) A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt} nào đó

(b) Tồn tại những hằng số M, B > 0 sao cho với mọi k = 1, 2, vàvới mọi λ ∈ R, λ > B ta có

Do đó (b) được chứng minh (Lưu ý: pR(p) = (I + p−1A)−1).

mTtx là một dãy Cauchy trong E hội tụ đến 1 giới hạn, mà ta kí hiệubởi Ttx Sự hội tụ là đều theo t trong một khoảng đóng [0, T ],t < +∞

Nhiều khi bởi (1.16), ta thấy rằng, khi 0 ≤ t ≤ T, mTt có dạng là tập

bị chặn của toán tử tuyến tính Ta kết luận rằng: mTtx → Ttx, x ∈ E,đều liên quan tới t trong một khoảng đóng Cho x ∈ E, t → Ttx làhàm số liên tục theo t trong R+ : TsTt = Ts+t và T0 = I, cho nhữngtính chất đúng khi mT thay cho T Chú ý rằng, từ (1.16) ta có:

kTtk ≤ M eBt, ∀t ≥ 0 (1.17)Phần chứng minh còn lại là A là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt}.Giả sửA0 là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt} Từ (1.17) ta thấycho Reλ đủ lớn, giải thức R(λ; A0) là bằng với

ở đây giới hạn có được theo nghĩa của sự hội tụ điểm trong E

Do đó (λI − A0)−1 = (λI − A)−1, và suy ra A0 = A nên A là toán tửsinh của {Tt}

1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân

thường trong không gian Banach

Giả sử E là không gian Banach, A là toán tử đóng trong E với miềnxác định D(A) trù mật trong E Ta xét bài toán Cauchy cho phươngtrình vi phân thường trong không gian E

d

dtu(t) = Au(t) + f (t) (1.18)

Ta có định lý sau:

Định lý 1.2 Giả sử A là toán tử đóng với miền xác định D(A) trù mậttrong E Giả sử rằng A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt} nào

đó Ta cũng giả sử rằng t → f (t) và t → Af (t) là liên tục trong tôpôcủa E với t ∈ [0; T ] đối với vế phải của f (t) Khi đó với giá trị tùy ýban đầu u0 ∈ D(A) bài toán Cauchy (1.18), (1.19) có nghiệm duy nhất

u(t) ∈ C1([0, T ], E) và nghiệm được cho bởi công thức sau

dtuλ(t) = (AJλ)uλ(t) + f (t) là xác định duy nhất cho giá trị

ban đầu u0 bởi vì AJλ là một toán tử bị chặn

Đặt u(t) − uλ(t) = vλ(t) cho nghiệm u(t) của (1.20)

Khi đó ta có:

d

dtvλ(t) = (AJλ)vλ(t) + (A − AJλ)u(t).

uλ(t) Khi đó u(t) là xác định và duy nhất.

Chương 2

Bài toán Cauchy cho phương trình dạng tiến hóa

Trong chương này ta ký hiệu (x, t) ∈ Rn+1 = Rn × R, trong đó

x = (x1, , xn) ∈Rn, t ∈ R là biến thời gian Đặt ν = (ν1, , νn) ∈Nn,

2 S được gọi là mặt không đặc trưng nếu với mọi (x, t) ∈ S ta có

X

|ν|+j=m

aν,j(x, t)(ϕx)νϕjt 6= 0

2.2 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya

2.2.1 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya Bài toán

là phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm u(x, t) của phương trình (2.1) sao chokhi t = t0 thỏa mãn các điều kiện ban đầu sau đây

trong đó các hàm ϕ0(x), , ϕm−1(x) là các hàm cho trước.

Nhận xét: Đối với phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya các mặtphẳng t = 0 hoặc t = t0 là các mặt phẳng không đặc trưng

2.2.2 Định lý Cauchy-Kowalewskaya

Định lý 2.1 Giả sử các hệ số của Lvà các hàmf (x, t), ϕ0(x), , ϕm(x)

là giải tích trong lân cận của điểm (x0, t0) Khi đó, tồn tại duy nhấtnghiệm u(x, t) của bài toán (2.1), (2.4) mà là hàm giải tích trong lâncận của điểm (x0, t0)

2.3 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở

Ví dụ 2.3 Phương trình truyền nhiệt (m = 1)

là phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm u(x, t) của phương trình (2.5) sao cho

khi t = t0 thỏa mãn các điều kiện sau:

- Đối với phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng thì các mặt phẳng

t = 0 hoặct = t0 có thể là mặt đặc trưng, chẳng hạn như đối với phươngtrình truyền nhiệt (2.6)

2.3.2 Đưa phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở

rộng về hệ phương trình cấp một theo biến thời gian

Trong các phương trình tiến hóa (2.1) hoặc (2.5) ta đặt

dtv1 = v2

d

dtvm−2 = vm−1d

vi(t) là hàm lấy giá trị trong H∞ với (t ≥ 0 ), vi(t) là khả vi liên tụctheo t và thỏa mãn (2.8).

Dạng ma trận của bài toán (2.8)

vm−2(x, t0) = ϕm−2(x)

vm−1(x, t0) = ϕm−1(x)

(2.9)

trong đó ϕ0(x), , ϕm−1(x) là các hàm được cho trước trong (2.7)

2.3.3 Khái niệm tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy

Định nghĩa 2.4 Ta nói bài toán Cauchy (2.5) và (2.7) là đặt chỉnhđều theo t trong [0, T ] nếu khi f (x, t) ≡ 0, với mọi dữ kiện ban đầu

ψ = (ϕ0(x) , , ϕm−1(x)) ∈ Q

H∞ và thời điểm ban đầu t0 bất kỳ

(0 ≤ t0 ≤ T ), thì tồn tại duy nhất nghiệm u(t, t0) ∈ Cm((0, T ), H∞)

và u(t, t0) phụ thuộc liên tục vào ψ đều theo t0

Nhận xét: - Tương tự ta có định nghĩa đối với tính đặt chỉnh đều củabài toán Cauchy (2.8), (2.9).

- Tính đặt chỉnh đều của các bài toán Cauchy nói trên là tương đương

2.4 Tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy khi

các hệ số của phương trình chỉ phụ thuộc vào biến thời gian

∂x trong ma trận A bởi 2πiξ với ξ = (ξ1, , ξn) Đây

là phương trình vi phân thường chứa tham số ξ

Bây giờ, xét hệ nghiệm cơ bản v0(ξ, t; t0) , v1(ξ, t; t0), , vm−1(ξ, t; t0)

của hệ (2.11) với t = t0 là thời gian ban đầu, có nghĩa là:

vj(ξ, t; t0) =





vj0(ξ, t; t0)

vjm−1(ξ, t; t0)





Điều kiện cần và đủ cho bài toán Cauchy (2.5), (2.7) đặt chỉnh đều theo

t ∈ [0; T ] là tồn tại các hằng số dương C, p sao cho

|vj(ξ, t; t0)| ≤ C(1 + |ξ|)p, (0 ≤ t0 ≤ t ≤ T ; j = 0, , m − 1) (2.13)trong đó C, p không phụ thuộc vào t0, vj(ξ, t, t0) là hệ nghiệm cơ bảncủa bài toán (2.11), (2.12)

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh điều kiện cần:

Giả sử (2.13) không đúng Gọi j là số nguyên dương bất kỳ, tồn tại

kv(x, t∗)k =

Z

ˆ

f (ξ)

2

dξ

!12

≤ c(l) (1 + 2 |ξ∗|)l (2.15)Với c(l) là một hằng số chỉ liên quan tới l Chú ý rằng, trong (2.14), j

có thể lớn tùy ý Do đó so sánh (2.14) với (2.15) ta thấy mâu thuẫn củagiả thuyết là bài toán Cauchy đặt chỉnh đều Do đó, điều kiện cần củabài toán được chứng minh

Tiếp theo ta chứng minh điều kiện đủ:

Giả sử F ( vj0(ξ, t; t0) = Rxj(t; t0) là biến đổi Fourier ngược của

2.4.2 Định lý Hadamard trong trường hợp hệ số hằng

Nếu aj,ν là hệ số hằng, ta kí hiệu λj(ξ) (j = 1, 2, , m) cho nghiệm củaphương trình đặc trưng sau đây

với C, p phụ thuộc T, nhưng độc lập với ξ

Việc chứng minh định lý được tiến hành theo một số bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Điều kiện cần để bài toán Cauchy (2.5), được đặt chỉnh đều

là tồn tại các hằng số C và p dương sao cho với mọi ξ ∈ Rn, ta có

|Re λi(ξ)| ≤ p log(1 + |ξ|) + C, i = 1, , m, (2.18)với λi(ξ) (i = 1, , m) là các nghiệm của (2.17)

Chú ý: Nếu chúng ta xét trường hợp t ≥ 0 thì (2.18) trở thành

Reλi(ξ) ≤ p log(1 + |ξ|) + C

Chứng minh Giả sử bài toán được đặt chỉnh đều nhưng (2.18) khôngđúng Với bất kỳ k(> 0), tồn tại một ξ∗, (|ξ∗| > 1), và tồn tại mộtnghiệm của (2.17) thỏa mãn Reλ(ξ∗) ≥ k log(1 + |ξ∗|) Mặt khác,

u(x, t) = exp{λ(ξ∗)t + iξ∗x} thỏa mãn L[u] = 0 Hơn nữa

≤ C(l)(1 + |ξ∗|)m+l−1,

với k bất kỳ Mâu thuẫn

Tiếp theo, giả sử (2.18) là đúng Ta chứng minh tính đặt chỉnh đều

Bổ đề 2.2 (Petrowsky) Giả sử rằng ta có hệ phương trình vi phânthường với hệ số hằng

và a∗ii nằm trên đường chéo chính là nghiệm λ1, , λN của

det(λI − A) = 0 (tính cả bội), nghĩa là nếu ta đặt Cv = w thì(2.20) trở thành

dtv

(2)

1 = λ1v1(2),d

dtv

(2)

2 = a21v1(2) + λ2v2(2),d

m

dtmv +Xaν,j(2πiξ)d

j

dtjv = 0 (2.22)trong đó v(ξ, t) là biến đổi Fourier của u(x, t) theo biến x

Đây là phương trình vi phân thường phụ thuộc tham số ξ Trong trườnghợp này, nghiệm v(ξ, t) của (2.22) tồn tại trong −∞ < t < +∞ và xácđịnh duy nhất từ điều kiện ban đầu tại t = 0

Ta xét việc đánh giá của v(ξ, t) khi |ξ| → +∞ Trước hết ta viết

vj(ξ, t) như là nghiệm của (2.22) thỏa mãn điều kiện ban đầu

di

dtiv(ξ, t)

t=0 = δij, (2.23)với i, j = 0, 1, , m − 1, δij là kí hiệu Kronecker

Bổ đề 2.3 Giả sử điều kiện Hadamard (2.18) được thỏa mãn Trongtrường hợp này, nếu cố định T > 0 thì tồn tại số nguyên dương l vàhằng số dương C sao cho

|v(ξ, t)| ≤ C(1 + |ξ|)l (ξ ∈ Rn) (2.24)với v(ξ, t) trong |t| ≤ T, C và l chỉ phụ thuộc T