luận văn thạc sĩ tuán học ĐỊNH lý SARD nửa đại số CHO tập GIÁ TRỊ tới hạn SUY RỘNG

VIỆN TOÁN HỌCNGUYỄN HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015... VIỆN TOÁN HỌCNGUYỄN HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI S

VIỆN TOÁN HỌC

NGUYỄN HUYỀN TRANG

ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP

GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

VIỆN TOÁN HỌC

NGUYỄN HUYỀN TRANG

ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP

GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG

Chuyên ngành: Hình học và tô pô

Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐINH SĨ TIỆP

Hà Nội - 2015

Lời nói đầu

Định lý Sard là một trong những định lý quan trọng, và được sử dụngrộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Định lý Sard đượcphát biểu như sau:

Định lý: Cho f : Rn → Rk là ánh xạ khả vi vô hạn, U là tập mở trong

Rn Đặt Σ = {x ∈ U : rank (dfx) < k}, tập các điểm tới hạn của f Khi

đó K0(f ) = f (Σ) ⊂ Rk, tập các giá trị tới hạn của f , có độ đo Lebesguebằng không

Nếu Σ = ∅ (f (Σ) = ∅) và f là riêng thì theo định lý phân thớ mann, f là phân thớ tầm thường địa phương Hơn nữa nếu Σ 6= ∅ và f

Ehres-là riêng thì f Ehres-là phân thớ tầm thường địa phương trên Rk\f (Σ)

Gọi B (f ) là tập các y ∈ Rk sao cho f không phải là phân thớ tầmthường địa phương tại y, hay tập các giá trị rẽ nhánh của f Dễ thấy

B (f ) ⊇ K0(f ) Nếu f không riêng, nói chung B (f ) 6= K0(f ) (Xem Ví

dụ 3.24) Việc đặc trưng B (f ) vẫn là một câu hỏi mở ngay cả cho trườnghợp f là đa thức

Xét f : Rn → Rk là ánh xạ nửa đại số, khả vi vô hạn Theo [8],

B (f ) ⊂ K (f ) = K0(f ) ∪ K∞(f ) với K∞(f ) là tập các giá trị tới hạntại vô hạn của f được định nghĩa như sau

với ν là hàm Rabier (xem Định nghĩa 3.2)

Mục đích chính của luận văn này là tìm hiểu Định lý Sard nửa đại

số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng K (f )(Định lý 4.1) Định lý nàykhẳng định tập K∞(f ) là một tập "bé"(có độ đo Lebesgue bằng 0) và

do đó f là phân thớ tầm thường địa phương trên một tập đủ lớn mà cụthể hơn là tập nửa đại số mở trù mật của Rk

Luận văn cấu trúc gồm bốn chương Chương 1 trình bày kiến thức

về Giải tích hàm và Hình học vi phân Chương 2 trình bày khái niệm

cơ bản của hình học nửa đại số như tập nửa đại số, hàm nửa đại số vàtrình bày Định lý Tarski-seidenberg và một số hệ quả Chương 3 trìnhbày về hàm Rabier, tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị rẽ

nhánh Trong Chương 3 tác giả cũng trình bày kỹ một vài ví dụ minhhọa cho các tập trên Chương 4 trình bày nội dung và chứng minh cụthể của Định lý Sard nửa đại số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Đinh Sĩ Tiệp.Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy, người hướngdẫn khoa học của mình, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quátrình nghiên cứu của tôi Đồng thời tôi cũng xin được chân thành cảm

ơn các thầy cô phản biện đã đọc kỹ bản thảo luận văn và chỉ dẫn chotôi những ý kiến quý báu

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Viện Toán học-Viện Khoa học và Côngnghệ Việt Nam, Trung tâm đào tạo sau đại học và các thầy cô trong tổhình học và topo đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ tục hànhchính để tôi hoàn thành bản luận văn này

Cuối cùng tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình, người thân vàbạn bè về những lời khích lệ động viên tôi trong suốt quá trình học tập,

để tôi có thể vượt qua mọi khó khăn và đạt kết quả như ngày hôm nay

Do điều kiện về thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luậnvăn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhậnđược sự chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô và bạn bè để luận văn đượchoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, năm 2015Học viên

Nguyễn Huyền Trang

S X (x, R) Mặt cầu tâm x bán kính R trong không gian X

B X (x, R) Hình cầu mở tâm x bán kính R trong không gian X

grad f (a) Gradient của f tại a

R [x1, , xn] Không gian các đa thức hệ số thực.

f∗ Toán tử liên hợp của toán tử f

k.k Chuẩn Euclide trên Rn.

f|D Hạn chế của f trên D

LỜI NÓI ĐẦU 2

1.1 Một số khái niệm và định lý của giải tích hàm 6

1.2 Một số khái niệm và định lý của độ đo 8

1.3 Phân thớ 10

2 Hình học nửa đại số 11 2.1 Tập nửa đại số 11

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ 11

2.1.2 Đinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả 14

2.2 Hàm nửa đại số 18

3 Hàm Rabier và tập các giá trị tới hạn suy rộng của hàm số 25 3.1 Hàm Rabier 25

3.2 Tập các giá trị tới hạn suy rộng 42

4 Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng 48

Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này tác giả nhắc lại một số kiến thức về Giải tích hàm vàHình học vi phân cần thiết để định nghĩa hàm Rabier và tập các giá trịtới hạn, đồng thời được sử dụng trong chứng minh Định lý Sard nửa đại

số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (Định lý 4.1)

1.1 Một số khái niệm và định lý của giải tích hàm

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian tuyến tính trên trường R Ta nóik.k là chuẩn trên X nếu nó thỏa 3 tính chất sau:

gian định chuẩn sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) =

kx − yk) đều có giới hạn trong X

Cho X và Y là các không gian banach trên R Tập hợp các ánh xạtuyến tính liên tục f : X → Y được ký hiêu là L(X, Y )

Định nghĩa 1.4 Cho một không gian tuyến tính X trên R Hàm số

f : X → R được gọi là dưới tuyến tính nếu

Định lí 1.7 (Định lý Hahn–Banach dạng giải tích) Giả sử f : X → R

là dưới tuyến tính và ϕ : U → R là một phiếm hàm tuyến tính trên mộtkhông gian con U của X Nếu ϕ bị chặn trên bởi f trên U (|ϕ (x)| 6

f (x), ∀x ∈ U ) thì tồn tại một mở rộng tuyến tính ψ : X → R của ϕ(ψ (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ U ) cũng bị chặn trên bởi f trên X.

Định lí 1.8 (Định lý Hahn–Banach dạng hình học) Cho A và B là haitập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn X, A làtập mở Khi đó tồn tại siêu phẳng tách A và B

Định lí 1.9 (Nguyên lý ánh xạ mở) Nếu f : X → Y là một toán tửtuyến tính toàn ánh liên tục giữa các không gian Banach X và Y , thì f

là một ánh xạ mở Đặc biệt ∃r > 0 : f (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, r)

Định nghĩa 1.10 Cho tập hợp X, kí hiệu 2X là các tập con của X.Tập Σ ⊂ 2X được gọi là σ-đại số nếu:

đo được

Định nghĩa 1.12 Cho (X1, Σ1, µ1) ; (X2, Σ2, µ2) là các không gian đođược Hàm f : X1 → X2 được gọi là đo được nếu ∀A ∈ Σ2, f−1(A) ∈ Σ1.Định nghĩa 1.13 Cho (X, Σ, µ) là một không gian đo được, A ∈ Σ.Một dãy hàm {fn} được gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm số f trên tập

A nếu ∃B ⊂ A, B ∈ Σ, µ(B) = 0 sao cho lim

n→∞fn(x) = f (x), ∀x ∈ A\B.Định lí 1.14 (Định lý lebesgue về sự hội tụ bị chặn) Giả sử fn là dãycác hàm đo được trên X thỏa mãn:

1) fn bị chặn bởi một hàm khả tích g không âm trên X

α∈I

V oln(Bα)

)

với {Bα}α∈I là một phủ đếm được của A bằng các hình hộp

Độ đo Lebesgue của A được cho bởi độ đo ngoài Lebesgue V oln(A) =

V oln∗(A) nếu với E ⊂ Rn

V oln∗(E) = V ol∗n(A ∩ E) + V ol∗n((Rn\A) ∩ E)

Nhận xét 1.17 Tập A ⊂ Rn có độ đo không nếu ∀ε > 0, ∃ phủ mở đếmđược của A bằng một họ các hình hộp {Bα}α∈I sao cho P

mở Ánh xạ f được gọi là phân thớ khả vi tầm thường địa phương trên

V nếu f |f−1 (V ) : f−1(V ) → V là một phân thớ tầm thường trên V

Định nghĩa 1.20 Cho f : Rn → Rk

khả vi vô hạn lần, a ∈ Rk Ánh xạ

f được gọi là phân thớ (khả vi) tầm thường tại a nếu f là một phân thớtầm thường địa phương trên một lân cận Va của a

tập con nửa đại số có dạng:

Chứng minh Ta có A là tập nửa đại số nên A là hợp hữu hạn của cáctập có dạng

{y ∈ Rn : P (y) = 0, Q1(y) > 0, , Ql(y) > 0}

với l ∈ N và P, Q1, , Ql ∈ R[y1, , yn] Để đơn giản ta giả sử chính A

có dạng đó Khi đó

số hay F−1(A) là nửa đại số.

• Nếu A là tập con nửa đại số của Rn

và L ⊂ Rn là một đường thẳngthì L ∩ A là hợp của hữu hạn điểm và khoảng mở Do đó L ∩ A là nửađại số

2.1.2 Đinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả

Định lí 2.4 (Tarski-Seidenberg-dạng thứ nhất)([3]) Cho hệ phươngtrình và bất phương trình đa thức theo biến là T = (T1, , Tp) và X, với

Định lí 2.5 (Tarski-Seidenberg-dạng thứ hai)([3]) Cho A là tậpcon nửa đại số của Rn+1 và π : Rn+1 → Rn là ánh xạ chiếu lên n tọa độđầu tiên Khi đó π(A) là tập con nửa đại số của Rn

Chứng minh Vì A là hợp hữu hạn của các tập có dạng

x = (x1, , xn+1) ∈ Rn+1; P (x) = 0; Q1(x) > 0, , Qk(x) > 0 với l ∈ N và P, Q1, , Qk ∈ R[x1, xn+1] Để đơn giản ta có thể giả sửrằng chính A có dạng đó Ta có

π(A) = {(x1, , xn) ∈ Rn : ∃xn+1 ∈ R, (x1, , xn+1) ∈ A}

Theo định lý 2.4, tồn tại một tổ hợp C(x1, xn) các phương trình vàbất phương trình đa thức sao cho mỗi phần tử của π(A) đều thỏa mãnC(x1, x2, xn), do đó π(A) là nửa đại số.

Hệ quả 2.6 1) Nếu A là tập con nửa đại số của Rn+k thì ảnh của nóbởi phép chiếu lên n tọa độ đầu tiên là một tập con nửa đại số của Rn

2) Nếu A là một tập con nửa đại số của Rm và F : Rm →

Rn là một ánh xạ đa thức thì ảnh trực tiếp F (A) là một tập con nửa đại

số của Rn

Chứng minh Hệ quả 1) dễ dàng được suy ra từ Định lý 2.5 bởi quy nạptheo k Với hệ quả 2), trước hết ta có {(y, x) ∈ Rn × Rm : x ∈ A; y = F (x)}

là tập con nửa đại số của Rm× Rn

Xét phép chiếu của tập đó lên Rn tathu được F (A) Áp dụng 1) ta có F (A) là nửa đại số

Hệ quả 2.7 Nếu A là tập con nửa đại số của Rn thì bao đóng của nótrong Rn cũng là nửa đại số

Chứng minh Bao đóng của A là:

Định nghĩa 2.8 ([3]) Công thức thứ tự đầu tiên thu được bởi các quytắc sau:

1) Nếu P ∈ R [x1, xn] thì P = 0 và P > 0 là công thức thứ tự đầutiên

2) Nếu Φ và Ψ là công thức thứ tự đầu tiên thì "Φ và Ψ", "Φ hoặcΨ", "không Φ" (kí hiệu tương ứng là Φ ∧ Ψ, Φ ∨ Ψ, ¬Φ) là công thức thứ

tự đầu tiên

3) Nếu Φ là công thức thứ tự đầu tiên và x thuộc R thì ∃xΦ và ∀xΦ

là công thức thứ tự đầu tiên

Công thức thu được bởi chỉ quy tắc 1) và 2) được gọi là "công thứclượng hóa tự do".Theo định nghĩa, tập con A ⊂ Rn là nửa đại số khi vàchỉ khi tồn tại công thức lượng hóa tự do Φ(x1, , xn) sao cho

(x1, , xn) ∈ A ⇔ Φ(x1, , xn)

Định lí 2.9 (Tarski-Seidenberg-dạng thứ ba)([3]) Nếu Φ(x1, , xn)

là công thức thứ tự đầu tiên thì tập các (x1, , xn) ∈ Rn thỏa mãnΦ(x1, , xn) là nửa đại số.

Chứng minh Dễ thấy quy tắc 1) và 2) chỉ sinh ra các tập nửa đại số.Đối với quy tắc 3), nếu

là tập con nửa đại số của Rn× Rk.

Ví dụ 2.14 • Nếu f : A → B là ánh xạ đa thức (tất cả tọa độ của fđều là đa thức) thì nó là nửa đại số

Chứng minh Ta có

Γf = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}

= {(x, y) ∈ A × B : f (x) − y = 0}

là tập nửa đại số nên f là hàm nửa đại số

• Nếu f : A → B là ánh xạ hữa tỉ chính quy (tất cả các tọa độ của

f là phân thức hữu tỉ không triệt tiêu trên A) thì nó là nửa đại số

là tập nửa đại số nên f là hàm nửa đại số.

• Nếu f : A → R là hàm nửa đại số thì |f| là hàm nửa đại số

Chứng minh Do f là nửa đại số nên ta có Γf là hợp của hữu hạn cáctập có dạng {(x, y) ∈ A × R : P (x, y) = 0, Q1(x, y) > 0, , Ql(x, y) > 0}với l ∈ N; P (x, y), Q1(x, y), , Ql(x, y) ∈ R [x, y] Để đơn giản ta có thểgiả sử rằng chính Γf có dạng đó Khi đó

là tập nửa đại số nên |f | là hàm nửa đại số

• Nếu f : A → R là hàm nửa đại số và f > 0 trên A thì √f là hàmnửa đại số

Chứng minh Do f là nửa đại số nên ta có Γf là hợp của hữu hạn các

là tập nửa đại số nên f là hàm nửa đại số theo định lý 2.8.

Hệ quả 2.16

1) Ảnh và nghịch ảnh của tập nửa đại số bởi ánh xạ nửa đại số lànửa đại số

Chứng minh Cho A ⊂ Rn và B ⊂ Rk là các tập nửa đại số Giả sử ánh

xạ f : A → B là hàm nửa đại số Cho ˜A ⊂ A, ˜B ⊂ B là nửa đại số

• Ta có f ( ˜A) là nửa đại số Thật vậy,

o

= π1n(x, y) ∈ Rn× Rk : x ∈ A, y ∈ ˜B, y = f (x)o

với π1(x, y) = x là phép chiếu lên n tọa độ đầu tiên Do đó f−1( ˜B) lànửa đại số

2) Hợp thành của hai ánh xạ nửa đại số là nửa đại số

Chứng minh Cho A ⊂ Rm, B ⊂ Rn và C ⊂ Rk là các tập nửa đại số.Giả sử f : A → B và g : B → C là các ánh xạ nửa đại số Khi đó

là nửa đại số, với π(x, y, z) = (x, z) là phép chiếu lên Rm+k.

Trong phần còn lại tác giả phát biểu một số kết quả không tầm thườngđược sử dụng trong chứng minh Định lý 4.1

Định nghĩa 2.17 ([6]) Ta nói tập A ⊂ Rn có tính chất Whitney vớihằng số M nếu bất kỳ hai điểm x, y ∈ A có thể được nối trong A bởi mộtđường cong trơn từng khúc có độ dài 6 M kx − yk

Cho A ⊂ Rn × Rp

, t ∈ Rp và kí hiệu At = {x ∈ Rn : (x, t) ∈ A} Ta

có định lý sau:

Định lí 2.18 ([6]) Tồn tại M = M (n) > 0 sao cho với mọi tập nửa đại

số A ⊂ Rn × Rp tồn tại phân hoạch hữu hạn A = `

i∈I

Li thỏa mãn vớimỗi t ∈ Rp, mỗi tập Lit có tính chất Whitney với hằng số M Đặc biệt

At = `

i∈I

Lit với mỗi t ∈ Rp

Bổ đề 2.19 ([1],[2])(Bổ đề chọn đường cong)

Cho A ⊂ Rn là tập nửa đại số Cho x ∈ ¯A Khi đó tồn tại một ánh

xạ nửa đại số liên tục γ : [0, ε) → Rn sao cho γ(0) = x và γ((0, ε)) ⊂ A

Bổ đề 2.20 ([1],[2])(Bổ đề chọn đường cong tại vô hạn)

Cho A ⊂ Rn và cho φ : A → Rq là ánh xạ nửa đại số Giả sử tồntại dãy xl ∈ A sao cho xl → ∞, φ(xl) → y với y ∈ Rq Khi đó tồn tạiđường cong nửa đại số γ : (α, β) → Rn sao cho γ(t) ∈ A, lim

t→β|γ(t)| =+∞, lim

Định lí 2.23 (Định lý phân ngăn trụ) Cho S ⊂ Rn là tập nửa đại số.Khi đó tồn tại một phân hoạch S thành họ hữu hạn các buồng nủa đại

số {ei}i∈I, tức là S = `

i∈I

ei với ei là nửa đại số và ei∩ ej = ∅ với i 6= j

Định nghĩa 2.24 (Chiều của tập nửa đại số) Ta định nghĩa chiều củamột tập nửa đại số S như sau:

DimS = max

i∈I dim ei

Hàm Rabier và tập các giá trị tới hạn suy rộng của hàm số

Chương này trình bày về hàm Rabier và tập các giá trị tới hạn suy rộng.Ngoài ra, chương này trình bày một vài ví dụ minh họa tập các giá trịtới hạn suy rộng và tập các giá trị rẽ nhánh

Trước tiên, ta trình bày về định nghĩa và tính chất của hàm Rabier.Định nghĩa 3.1 Cho X, Y là không gian Banach trên R, A ∈ L(X, Y ).Toán tử liên hợp của A, kí hiệu là A∗ ∈ L(Y0, X0), được định nghĩa nhưsau:

(A∗ϕ)(x) = ϕ(A(x)), ∀x ∈ X, ϕ ∈ Y0.Định nghĩa 3.2 ([8]) Cho X, Y là các không gian Banach trên trường

R, A ∈ L(X, Y ) Khi đó, ta định nghĩa hàm Rabier bởi

kϕk=1,ϕ∈Y 0kA∗ϕk

Mệnh đề 3.3 ν(A) > 0 khi và chỉ khi A là toàn ánh.

Chứng minh Trước hết giả sử ν(A) > 0 và giả sử A không là toàn ánh

Ta chứng minh ∃ϕ ∈ Y0, kϕk = 1, ker ϕ ⊇ Im A Đặt Z = Y /Im A, do

Z 6= {0} nên Z0 6= {0} Lấy ˜ϕ ∈ Z0, ˜ϕ 6= 0, k ˜ϕk = 1 Ánh xạ ϕ : Y → Rđược xác định như sau

Dễ thấy ˜ϕ 6= 0 nên ϕ 6= 0 Với mọi y ∈ Im A thì y ∈ ker ϕ, do đó

Im A ⊆ ker ϕ Mà kϕk = k ˜ϕk = 1 nên ta chỉ cần chứng minh ϕ là phiếmhàm tuyến tính

Lấy y1, y2 ∈ Y, k ∈ R, k 6= 0, trước hết ta chứng minh [y1 + y2] =[y1] + [y2] và [ky1] = k [y1] Lấy z ∈ [y1 + y2] thì z = y1 + y2 + a =

y1 + (y2 + a) ∈ [y1] + [y2] với a ∈ Im A Lấy z ∈ [y1] + [y2] thì z =

y1 + a1 + y2 + a2 = y1 + y2 + (a1 + a2) ∈ [y1 + y2] với a1, a2 ∈ Im A Dovậy [y1 + y2] = [y1] + [y2] Đẳng thức còn lại chứng minh tương tự Bâygiờ ta có ϕ(y1+ y2) = ˜ϕ ([y1 + y2]) = ˜ϕ ([y1] + [y2]) = ˜ϕ ([y1]) + ˜ϕ ([y2]) =ϕ(y1) + ϕ(y2) và ϕ(ky1) = ˜ϕ ([ky1]) = ˜ϕ (k [y1]) = k ˜ϕ ([y1]) = kϕ(y1) nên

Mệnh đề 3.4 ([8]) Cho X, Y, Z là các không gian Banach trên R,

ϕ∈Y 0 ,kϕk=1

{kϕk kAk} = kAk, suy ra kAk > kA∗k

Bây giờ ta chứng minh kAk 6 kA∗k Trước hết ta chứng minh Y0 6={0} Thật vậy, với Y 6= {0} thì tồn tại v ∈ Y, v 6= 0 Đặt x = v

kvk thìkxk = 1 và hxi = hvi Xét phiếm hàm tuyến tính ˜ϕ : hxi → R xác địnhbởi ˜ϕ (x) = 1 Theo định lý Hahn-Banach tồn tại một phiếm hàm tuyếntính ϕ : Y → R thỏa mãn ϕ|hxi = ˜ϕ và kϕk = 1 Do vậy Y0 6= {0}

Lấy x ∈ X, kxk = 1 Nếu Ax = 0, theo lập luận ở trên Y0 6= {0} nêntồn tại ϕ ∈ Y0 : kϕk = 1 Ta có ϕ (Ax) = 0 = kAxk

Giả sử Ax 6= 0, xét phiếm hàm tuyến tính ˜ϕ : hAxi → R với ˜ϕ (y) =kyk Ta có

Áp dụng định lý Hahn-Banach tồn tại một phiếm hàm tuyến tính ϕ :

Y → R thỏa mãn ϕ|hAxi = ˜ϕ và kϕk = k ˜ϕk = 1 Khi đó (ϕ ◦ A) (x) =

˜

ϕ (Ax) = kAxk Tóm lại ∀x ∈ X, kxk = 1, ∃ϕ ∈ Y0 sao cho kϕk =