luận văn thạc sĩ toán học đầy đủ hóa i ADIC và một số ỨNG DỤNG

Đầy đủ hóa của một vành là hữu íchtrong đại số giao hoán bởi vì nó cho phép chúng ta mang phương pháp của giảitích vào trong đại số.. Chương 1 trình bày một số định nghĩa và chứngminh ch

ĐẦY ĐỦ HÓA I-ADIC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ – HÌNH HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Phùng Hồ Hải

Người thực hiện: ĐẶNG THỊ THƠM

Khóa: K20

HÀ NỘI, 5/2014

Lời mở đầu i

1.1 Căn Jacobson 3

1.2 Địa phương hóa và tính phẳng 6

1.3 Môđun Noether 9

1.4 Hệ ngược và giới hạn ngược của nhóm Abel 12

1.5 Điều kiện đủ cho tính khớp của giới hạn ngược 14

1.6 Vành và môđun phân bậc 24

2 ĐẦY ĐỦ HÓA 27 2.1 Tôpô và đầy đủ hóa của một nhóm Abel 27

2.2 Đầy đủ hóa của một môđun 42

2.3 Đầy đủ hóa I-adic của một vành 63

2.4 Vành và môđun phân bậc liên kết 75

2.5 Đầy đủ hóa của một vành địa phương 82

Mục đích của luận văn là nghiên cứu đầy đủ hóa của một nhóm Abel và củamột môđun, đặc biệt là đầy đủ hóa I-adic Đầy đủ hóa của một vành là hữu íchtrong đại số giao hoán bởi vì nó cho phép chúng ta mang phương pháp của giảitích vào trong đại số Các nội dung được trình bày trong luận văn, chủ yếu lànhững mệnh đề, bổ đề, định lí và các ví dụ trong các tài liệu của tác giả

M F Atiyal and I G Macdonald [1], Matsumura [2] và Allen Altman andSteven Kleiman [3], được trình bày lại một cách chi tiết, những chứng minh

đó trong các tài liệu tham khảo ở trên chỉ được gợi ý chứng minh hoặc khôngchứng minh Ngoài ra, một số bài tập trong các tài liệu tham khảo ở trên đượctôi trình bày dưới dạng mệnh đề hoặc ví dụ trong luận văn

Luận văn gồm 2 chương Chương 1 trình bày một số định nghĩa và chứngminh chi tiết một số kết quả liên quan tới: căn Jacobson, địa phương hóa vàtính phẳng, định lí đồng dư Trung Hoa, hệ ngược và giới hạn ngược của nhómAbel, điều kiện đủ cho tính khớp của giới hạn ngược, vành và môđun phân bậc.Trong mục 1.5, để chỉ ra giới hạn ngược không bảo toàn dãy khớp ngắn tôi sửdụng bài tập 2 trang 114 trong tài liệu tham khảo [1] Đây là những kết quả cơbản được sử dụng để nghiên cứu nội dung chính trong chương 2 của luận văn.Chương 2 nghiên cứu về đầy đủ hóa Phần đầu chương trình bày về nhómAbel tôpô cùng với một số tính chất của nó Tiếp theo, tôi định nghĩa đầy đủhóa của một nhóm Abel tôpô Luận văn trình bày hai cách khác nhau để địnhnghĩa đầy đủ hóa của nhóm Abel Cách thứ nhất là sử dụng các dãy Cauchy,cách thứ hai sử dụng giới hạn ngược Sau khi xây dựng được định nghĩa của đầy

đủ hóa của một nhóm Abel, ta tìm hiểu một số tính chất quan trọng như: điềukiện để một nhóm Abel tôpô là đầy đủ, điều kiện cho tính khớp của đầy đủ hóa,một số đẳng cấu của đầy đủ hóa Tiếp theo, luận văn trình bày một số tính chất

về đầy đủ hóa của một môđun: nếu chúng ta sử dụng lọc I-adic thì đầy đủ hóa

là hàm tử khớp trên các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether; đầy đủ hóa

I -adic của một môđun hữu hạn sinh là hữu hạn sinh; nếuI là ideal cực đại của

vành Noether A thì đầy đủ hóa I-adic của A là một vành địa phương Mục 2.4trình bày về vành và môđun phân bậc liên kết Kết quả quan trọng của mục nàylà: đầy đủ hóaI -adic của một vành Noether là Noether Phần cuối của chươngtrình bày về đầy đủ hóa của vành địa phương Ta có được đầy đủ hóa m-adiccủa vành địa phương (A, m) là một vành địa phương và đầy đủ hóa m-adic củamột vành nửa địa phương A là một vành nửa địa phương (với m = JA).

Một số kết quả quan trọng trong đại số giao hoán được trình bày như là ứngdụng của phương pháp đầy đủ hóa: định lý Krull, bổ đề Hensel

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của

GS TSKH Phùng Hồ Hải Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầyhướng dẫn, người đã dạy cho tôi phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn,tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôihoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toánhọc, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt quanhững khó khăn trong học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn các cán bộ, nhân viên của Viện Toán học đã quantâm giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Viện

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả vềvật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Tác giả

Đặng Thị Thơm

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Phần này sẽ nhắc lại định nghĩa về căn Jacobson và định lí Hamilton-Cayley

mở rộng cùng với các hệ quả của nó

Định nghĩa 1.1.1 Cho A là một vành, căn Jacobson của A được định nghĩa

là giao của tất cả các ideal cực đại của A. Kí hiệu căn Jacobson của A bởi JA.

Mệnh đề 1.1.2 Cho A là một vành, x ∈ J A khi và chỉ khi 1 − xy khả nghịchtrong A với mọi y ∈ A.

Chứng minh Giả sử1 − xy là không khả nghịch, thì tồn tại một ideal cực đại mchứa1 − xy. Vìx ∈ JA nên từ 1 − xy ∈ m ta có 1 ∈m, suy ra m=A (mâu thuẫn).Vậy giả sử là sai, do đó 1 − xy khả nghịch

Ngược lại, giả sử tồn tại một ideal cực đại m của A sao cho x / ∈ m Ta có

m⊂

6= m + (x) ⊆ A, vì m là ideal cực đại nên m+(x) = (1). Do đó tồn tại u ∈ m và

y ∈ A sao cho u + xy = 1, hay u = 1 − xy. Theo giả thiết ta có 1 − xy khả nghịch,suy ra u khả nghịch, mà u ∈ m nên điều đó không thể xảy ra Vậy x ∈ m vớimọi ideal cực đại m của A, do đó x ∈ JA.

Định lí 1.1.3 (Định lí Hamilton-Cayley mở rộng) Cho M là một môđun hữuhạn sinh trên một vành giao hoán A Giả sử M có một hệ sinh gồm n phần tử, I

là một ideal củaA và φ là một tự đồng cấu A-môđun của M sao cho φ(M ) ⊆ IM.Thế thì tồn tại các a i ∈ Ii với i = 1, , n sao cho

φn+ a 1 φn−1+ + a n idM = 0.

Chứng minh Nhận xét rằng, mỗi phần tử a ∈ A có thể xem như một tự đồngcấu của M, gọi là đồng cấu nhân:

a : M → M

x 7→ ax.

Khi đó vành cơ sở A được xem như vành các đồng cấu nhân của M

Giả sử φ là một tự đồng cấu bất kì của M, ta xét tập

A[φ] = {c m φm+ c m−1 φm−1+ + c 0 idM|c 0 , , c m ∈ A, m>0}.

Khi đóA[φ] lập thành một vành giao hoán có đơn vị những tự đồng cấu của M

Ta có thể trang bị cho M một cấu trúc A[φ]-môđun bằng cách đặt f.x = f (x)

với mỗi f ∈ A[φ] và x ∈ M

Nếu M là môđun 0 thì φ là đồng cấu 0 và định lí là tầm thường Ta xét M làmôđun khác 0 Giả sử {x1, , xn} là một hệ sinh của M Khi đó do φ(xi) ∈ IM,nên tồn tại các aij ∈ I với 16i, j 6n sao cho

φ(x 1 ) = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n , φ(x 2 ) = a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n ,

Hệ quả 1.1.4 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán A và I

là một ideal của A thỏa mãn IM = M Khi đó tồn tại

a ≡ 1 ( mod I)

làm cho aM = 0

Chứng minh Áp dụng định lí 1.1.3 bằng cách lấy φ là tự đồng cấu đồng nhấtcủa M Rõ ràng φ(M ) = M = IM ⊆ IM Do đó φ thỏa mãn một phương trìnhdạng:

Chứng minh Áp dụng hệ quả 1.1.4 cùng giả thiết IM = M ta có xM = 0 với

x ≡ 1 ( mod I), hay x − 1 ∈ I. Do I ⊆ JA nên

x − 1 ∈ JA. (*)

Theo mệnh đề 1.1.2 ta có từ (*) suy ra x = 1 − (x − 1)(−1) là một phần tử khảnghịch trong A Lại do xM = 0, nên

M = x−1xM = 0.

Mệnh đề 1.1.6 Cho A là một vành giao hoán và m là một ideal của A chứatrong căn Jacobson JA của A M là một A- môđun và N là một A-môđun concủa M.

1) Nếu M/N là hữu hạn sinh và nếu N + mM = M, thì N = M.

2) Giả sử M hữu hạn sinh, thì m 1 , , m n là các phần tử sinh của M khi và chỉkhi m1, , mn là các phần tử sinh của M0 := M/mM, ( trong đó mi là ảnh của mi

trong M/mM)

Chứng minh 1) Từ giả thiết M = N + mM ta suy ra m(M/N) = M/N Vì M/N

hữu hạn sinh và m ∈ JA nên theo hệ quả 1.1.5 ta có M/N = 0, suy ra M = N.

2) Gọi N là môđun con của M được sinh bởi m1, , mn Vì M hữu hạn sinhnên M/N cũng hữu hạn sinh Nếu x1, , xn là các phần tử sinh của M/mM thì

N + mM = M, do đó áp dụng 1) ta có N = M Suy ra {x 1 , , x n } là các phần tửsinh của M Chiều ngược lại là hiển nhiên Vậy {x1, , x n } là hệ sinh của M khi

và chỉ khi {x1, , xn} là hệ sinh của M/mM

Mệnh đề 1.2.1 (Tính phổ dụng của địa phương hóa) Giả sử S là một tậpđóng nhân của A Khi đó:

1) Ánh xạ tự nhiên ϕ : A → S−1A là một đồng cấu vành

2) Với mọi đồng cấu vành ψ : A → B sao cho ψ(s) khả nghịch trong B với mọi

s ∈ S, tồn tại duy nhất một đồng cấu vành ψ : S−1A → B làm cho biểu đồ saugiao hoán:

i) M = 0.

ii) Mp = 0 với mọi ideal nguyên tố p của A.

iii) Mm = 0 với mọi ideal cực đại m của A.

Chứng minh Các kéo theo (i)⇒(ii)⇒(iii) là hiển nhiên Bây giờ ta chứng minh(iii)⇒ (i) Giả sử tồn tại x ∈ M, x 6= 0 Đặt

I = Ann(x) = {a ∈ A|ax = 0}.

Khi đó I là một ideal của A Hơn nữa, I 6= A, vì 1 / ∈ I Do vậy có một ideal cựcđại m của A sao cho I ⊆ m. Theo giả thiết x/1 = 0 trong Mm, nên tồn tạia / ∈ m

(do đó a / ∈ I) sao cho ax = 0, tức là a ∈ Ann(x) = I, mâu thuẫn

Định nghĩa 1.2.3 Một A-môđun M được gọi là phẳng nếu với mọi đơn cấu

A-môđun f : N0→ N, đồng cấu cảm sinh

idM ⊗f : M ⊗ N0→ M ⊗ N

cũng là đơn cấu

Mệnh đề 1.2.7 Cho B là một A-đại số phẳng Khi đó các mệnh đề sau làtương đương:

i) B là hoàn toàn phẳng trên A

ii) aec = a với mọi ideal a của A.

iii) Spec(B) → Spec(A) là toàn cấu

iv) Với mọi ideal cực đại m của A, thì me 6= (1)

v) Với mọi A-môđun M, đồng cấu M → M ⊗AB là đơn cấu

Chứng minh [1,Chapter 3, Exercise 16]

đều dừng, nghĩa là tồn tại m để Mk = Mm với mọi k >m.

(iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh

Chứng minh Chứng minh (i)⇒ (ii): Lấy tùy ý một dãy tăng các A-môđun concủa module M:

M 1 ⊂ M 2 ⊂ ⊂ M n ⊂

các môđun con của M, mâu thuẫn với (ii)

(iii) ⇒(i): Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun con của M. Vì S là mộttập khác rỗng, nên ta chọn được một môđun con M1∈ S Khi đó nếu M1 khôngphải là một phần tử cực đại trong S thì sẽ tồn tạiM2 thực sự chứa M1 Lặp lại

lập luận đó ta suy ra nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại mộtdãy tăng vô hạn

M 1 ⊂ M 2 ⊂ ⊂ M n ⊂

không ngừng các môđun con của M. Dễ thấy rằng khi đó N = ∪ M i là mộtmôđun con của M, nên N là môđun con hữu hạn sinh Giả sử x1, x2, , xm làmột hệ sinh của N. Vì dãy các môđun nhận được là một dãy tăng nên tồn tại k

Định nghĩa 1.3.2 Cho A là một vành giao hoán có đơn vị Khi đó một

A−môđun M được gọi là môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điềukiện tương đương nói trong định lí 1.3.1 Vành A được gọi là một vành Noethernếu nó là một A−môđun Noether

Nhận xét 1.3.3 Vì một tập con khác rỗng của A là một A−môđun con của

A−môđun A khi và chỉ khi nó là một ideal của A nên A là một vành Noether khi

và chỉ khi A thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương sau đây:

(i) Mỗi tập hợp khác rỗng các ideal của A đều có phần tử cực đại

(ii) Mỗi dãy tăng các ideal của A:

I1⊂ I2 ⊂ ⊂ In ⊂

đều dừng, nghĩa là Ik = Ik+1 với mọi k đủ lớn

(iii) Mỗi ideal của A đều hữu hạn sinh

Ví dụ 1.3.4 (i) Mọi vành chính đều là vành Noether

(ii) Một không gian vectơ là một môđun Noether khi và chỉ khi nó có chiều hữuhạn

(iii) Vành đa thức vô hạn biến R = A[X1, X2, , Xn, ] trên một vành giao hoán

A khác vành 0 không phải là một vành Noether, vì tồn tại một dãy tăng vô hạncác ideal sau đây trong R:

Chứng minh Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi N là một môđun concủa M và P = M/N, theo nghĩa sai khác một đẳng cấu Trước tiên giả sử M làmột môđun Noether Khi đó mỗi dãy tăng trong N cũng là một dãy tăng trong

M, do đó phải dừng, vậy N là Noether Nhận thấy rằng mỗi dãy tăng trong P

đều là ảnh của một dãy tăng trong M qua toàn cấu chính tắc Vì mọi dãy tăngtrongM đều dừng, nên mọi dãy tăng trongP phải dừng VậyP cũng là Noether.Ngược lại, giả sử N và P là những môđun Noether Cho M 1 là một môđuncon của M, ta có

M1/M1∩ N ∼ = M 1 + N/N

là một môđun con của P = M/N Vì P là Noether, nên M1/M1∩ N hữu hạnsinh Mặt khác, M1∩ N cũng hữu hạn sinh, do N là Noether Từ đó suy ra M1

là một môđun hữu hạn sinh Vậy M là môđun Noether

Hệ quả 1.3.6 Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các A-môđun Noether là một

A-môđun Noether

Chứng minh Dễ thấy chỉ cần chứng minh cho trường hợp họ gồm hai môđun,sau đó dùng quy nạp một cách hình thức, ta sẽ nhận được chứng minh của hệquả Giả sử M và N là hai A-môđun Noether, khi đó ta có dãy khớp ngắn các

Mệnh đề 1.3.8 Nếu M là một A-môđun Noether và S là một tập đóng nhâncủa A thì S−1M là một S−1A-môđun Noether

Chứng minh Giả sử N 1 là một môđun con của S−1M Tồn tại môđun con N

của M sao cho N1 = S−1N Vì M là Noether nên N hữu hạn sinh N1 hữu hạnsinh trên S−1A Vậy S−1M là một S−1A-môđun Noether

Hệ quả 1.3.9 Nếu A là một vành Noether và S là một tập đóng nhân của A

thì S−1A cũng là một vành Noether

Sau đây là một kết quả đặc sắc của Hilbert về vành Noether Định lí nàycùng với hai định lí nổi tiếng khác của ông: Định lí không điểm và Định lí xoắn

là những hòn đá tảng, đặt nền móng cho Hình học Đại số và sự ra đời của Đại

f1, f2, , fn,

sao chof1 là một đa thức khác không của I có bậc thấp nhất trong I, f2 là một

đa thức có bậc thấp nhất trong I\(f1), , fm+1 là một đa thức có bậc thấp nhấttrong các đa thức của tập I\(f1, , fm), Bây giờ gọi aj là hệ tử của hạng tửbậc cao nhất của đa thức f j và gọi J là ideal của A sinh bởi tất cả các a j Vì

A là vành Noether nên J hữu hạn sinh Do đó tồn tại số nguyên dương n để

J = (a1, , an) Gọi mj là bậc của đa thức fj và bxmn+1 là hạng tử bậc cao nhấtcủa fn+1 Khi đó ta có b ∈ J, vì vậy b =Pn

i=1 λ i ai với các λi∈ A Dễ thấy rằng

Trong mục này, tôi sẽ trình bày một số vấn đề rất cơ bản về hệ ngược và giớihạn ngược Trước hết, nhắc lại rằng một tập sắp thứ tự I được gọi là một tậpđịnh hướng nếu với mọi i, j ∈ I, đều tồn tại k ∈ I để i6k và j 6k.

Định nghĩa 1.4.1 Cho I là một tập định hướng và một họ các nhóm (A i )i∈I.Với mỗi cặp i 6 j có đồng cấu θji : A j → A i Khi đó họ (A i )i∈I cùng với họ

(θ ji )i6j được gọi là một hệ ngược nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) θii là ánh xạ đồng nhất trên Ai với mọi i ∈ I

(ii) θki = θ ji θ kj với mọi i6j 6k

Để cho tiện, ta kí hiệu hệ ngược này là (A i , θ ji )

Định nghĩa 1.4.2 Giới hạn ngược của một hệ ngược (A i , θ ji ) là một nhóm A

cùng với họ các đồng cấu (fi)i∈I, trong đó fi : A → A i sao cho các điều kiện sauđược thỏa mãn

(i) θjifj = fi, với mọi i6j.

(ii) Nếu A0 là một nhóm cùng với một họ các đồng cấu (gi)i∈I, trong đó

gi : A0 → A i thỏa mãn θjigj = gi với mọi i 6 j, thì tồn tại duy nhất một đồngcấu λ : A0→ A sao cho fiλ = gi với mọi i ∈ I.

Định lí 1.4.3 Giới hạn ngược của một hệ ngược (A i , θ ji ) luôn tồn tại và duynhất sai khác một đẳng cấu

Chứng minh Tính duy nhất: Thật vậy giả sửAcùng với họ các đồng cấu(f i )i∈I

và B cùng với họ các đồng cấu (fi0)i∈I đều là giới hạn của (A i , θ ji ) Khi đó tồntại λ1 : B → A và λ2 : A → B sao cho fiλ1 = fi0 và fi0λ2 = fi với mọi i ∈ I Do

đó fiλ1λ2 = fi với mọi i ∈ I Mặt khácfiidA = fi với mọi i ∈ I Nên do tính duynhất của λ trong định nghĩa, ta suy ra λ1λ2 = idA. Tương tự λ2λ1 = idB, do đó

λ1 và λ2 là các song ánh Vậy A và B đẳng cấu

Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại: Gọi A là tập con của tích trực tiếp của họ

Gọi fi: A → Ai là phép chiếu xuống thành phần thứ i của A Dễ kiểm tra rằng

θjifj = fi với mọi i 6 j Giả sử A0 là một tập cùng với một họ các đồng cấu

(gi)i∈I, trong đó gi: A0 → Ai thỏa mãn θjigj = gi với mọi i6j Do tính chất củacác gi, nên(gi(x)) ∈ Avới mọix ∈ A0 Vì vậy ta xác định được ánh xạλ : A0 → A

cho bởiλ(x) = (g i (x)) với mọix ∈ A0 Rõ ràng f i λ = g i với mọii ∈ I Ta còn phảichứng minh tính duy nhất củaλ Thật vậy giả sử β : A0→ A sao chof i β = g i vớimọi i ∈ I, ta sẽ chỉ ra λ = β. Chú ý rằng (fi(y)) = y với mọi y ∈ A Do đó ta có

λ(x) = (gi(x)) = (fiβ(x)) = (fi[β(x)]) = β(x)

Nội dung chính của mục này là cho chúng ta thấy được giới hạn ngược luônbảo toàn khớp trái Qua ví dụ 1.5.7 được trình bày dưới đây đã chứng tỏ giớihạn ngược không bảo tồn dãy khớp ngắn Chính vì vậy mục đích chính của phầnnày là tìm ra một số điều kiện đủ cho tính khớp của giới hạn ngược.

Định nghĩa 1.5.1 Hệ ngược{A n , θ n+1 }n với tính chất θn+1 là toàn ánh với mọi

n, được gọi là một hệ toàn ánh

Giả sử {A n , θn+1} , {B n , ϕn+1} ,C n , βn+1 là ba hệ ngược Ta nói,

0 → {A n } → {B n } → {C n } → 0

là một dãy khớp ngắn của các hệ ngược nếu tồn tại các đồng cấu (fn) và (gn)

sao cho dãy

Mệnh đề 1.5.2 Nếu 0 → {A n } → {B n } → {C n } → 0 là một dãy khớp của các

các ánh xạ dB và dC được định nghĩa tương tự Ta có ker dA = lim

Từ (*),(**),(***), suy ra dB ◦f = f ◦ d A Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có

dC◦g = g ◦ dB, do đó biểu đồ (2) giao hoán Áp dụng bổ đề con rắn ta có dãykhớp sau

0 → ker dA → ker dB → ker dC → coker dA → coker dB → coker dC → 0. (3)

Từ tính khớp của dãy (3), ta có dãy

0 → ker dA → ker dB → ker dC

Thật vậy, chọn x1 là một giá trị nào đó của A1, ta cần tìm x2 ∈ A 2 sao cho

θ 2 (x2) = x1− a1. Do hệ {A n } là hệ toàn ánh nên luôn tồn tại x2 ∈ A 2 sao cho

θ 2 (x2) = x1− a1. Tương tự, ta tìm được x3 ∈ A 3 sao cho θ3(x3) = x2− a2. Cứtiếp tục quá trình như vậy ta sẽ tìm được (xn)n ∈ A sao cho dA((xn)n) = (an)n.

Vậy dA là toàn ánh, suy ra

coker dA = A/Im dA = A/A = 0.

Thay coker dA = 0 vào dãy khớp (3), ta được dãy khớp

0 → ker dA → ker dB → ker dC → 0 → coker dB → coker dC → 0,

Giả sử hệ ngược (A n , θ n 0 n ) thỏa mãn điều kiện Mittag-Leffler với mỗi n, chúng

ta gọi A0n ⊆ A n là ảnh dừng của dãy (*) Nghĩa là tồn tại i sao cho

A0n = θ (n+i)n (A n+i ) = θ (n+j)n (A n+j ) , ∀j >i.

Giả sử m > n, với x ∈ A0m ta có θmn(x) ∈ A0n Thật vậy, vì x ∈ A0m

nên x ∈ θ (m+k)m (A m+k ), do đó tồn tại y ∈ A m+k sao cho x = θ (m+k)m (y) Vì

θ mn ◦ θ (m+k)m = θ (m+k)n nên θmn(θ (m+k)m (y)) = θ (m+k)n (y), từ đó suy ra

θ mn (x) = θ (m+k)n (y) ∈ A0n với k đủ lớn Khi đó

m là toàn cấu với mọi m > n. Điều này tương đương với lấy bất kì

x ∈ A0n, ta cần chỉ ra z ∈ A0m sao cho θmn(z) = x

Thật vậy, vì x ∈ A0n nên x ∈ θ (n+i)n (A n+i ) với i đủ lớn Do đó tồn tại y ∈ A n+i

sao cho x = θ (n+i)n (y) Ta có

θ mn ◦ θ (n+i)m = θ (n+i)n ⇒ θ mn θ (n+i)m (y)
= θ (n+i)n (y) ⇒ x = θ mn θ (n+i)m (y)
.

Ta có thể chọn được i đủ lớn để θ(n+i)m(y) ∈ A0m, do đó chọn z = θ(n+i)m(y) thì

MàAn+k 6= ∅nên vớikđủ lớn ta cóA0n = θ (n+k)n (A n+k ) 6= ∅với mọin DoA016= ∅

nên tồn tại x1∈ A01 Vì hệ A0n, θ mn|A 0

m
toàn ánh, nên tồn tại x2 ∈ A02 sao cho

θ 21|A 0

2 (x2) = x1. Tương tự, tồn tại x3 ∈ A03 sao cho θ32|A0

3 (x3) = x2. Cứ tiếp tụcnhư vậy, ta sẽ xây dựng được dãy(xn)n ∈Q

là một dãy khớp ngắn các hệ ngược của các nhóm Abel Nếu hệ ngược (An, θmn)

thỏa mãn điều kiện Mittag-Leffler, thì dãy các giới hạn ngược

nên với mỗi n, tồn tạim >n sao cho θkn(A k ) = θ mn (A m ) với mọi k >m Với hệngược (B n , ϕmn) ta sẽ chỉ ra với mỗi n thì ϕkn(A k ) = ϕmn(A m ) với k>m >n.Thật vậy, xét biểu đồ giao hoán sau

là khớp với mọi n, nên Ak ∼= fk(A k ) và Am ∼= fm(A m ) Do đó ta có

ϕkn(A k ) = ϕmn(A m ) Vậy với mỗi n, tồn tại m >n sao cho ϕkn(A k ) = ϕmn(A m )

với mọi k >m.

Lấy x ∈ E m, suy ra gm(x) = cm Với hai hệ ngược (B n , ϕ mn ) và (C n , βmn), ta

có biểu đồ giao hoán sau

khi đó En, ϕmn|Em
là một hệ ngược

Ta đi chứng minh hệ ngược En, ϕmn|Em
thỏa mãn điều kiện Mittag-Leffler,tức là ta cần chỉ ra với mỗi n, tồn tại m > n sao cho ϕkn(E k ) = ϕmn(E m ) vớimọik > m. Thật vậy, lấy x ∈ ϕkn(E k ), suy ra x = ϕkn(y) với y ∈ E k Vì

ϕkn = ϕmn◦ ϕkm nên x = ϕmn(ϕkm(y)) ∈ ϕmn(E m ), do đó ta có

ϕkn(E k ) ⊆ ϕ mn (E m ) , ∀ k >m.

Lấy em ∈ E m, ta cần tìm xk ∈ E k sao cho ϕkn(xk) = ϕmn(em) Thật vậy, lấy

là khớp, nên Am ∼= Im fm = ker gm, mà em− e0m ∈ ker gm nên ta có thể xem

em− e0m = am ∈ A m Vì ϕkn(A k ) = ϕmn(A m ) nên tồn tại ak ∈ A k sao cho

ϕkn(ak) = ϕmn(am) (*)Xét e0k+ ak, ta sẽ chỉ ra e0k+ ak ∈ E k và ϕmn(em) = ϕkn(e0

k + ak) Thật vậy, xétdãy khớp

ϕmn(E m ) ⊆ ϕkn(E k ) Vậy ϕmn(E m ) = ϕkn(E k ) với mọi k > m, điều này cho

ta thấy hệ ngược (E n ) thỏa mãn điều kiện Mittag- Leffler Vì En 6= ∅ nên theomệnh đề 1.5.5 ta có lim

Ví dụ 1.5.7 Cho αn : Z/pZ → Z/pnZ là đơn cấu của các nhóm Abel được

cho bởi αn(1) = pn−1, và cho α : A → B là tổng trực tiếp của tất cả αn Cho

(

αn(xn) = 0, với n6 k,

αn(xn) ∈Z/p n

Z, với n > k.

Vì αn đơn cấu nên αn(xn) = 0 khi xn = 0, do đó

điều này là vô lý Vậy g không phải là toàn cấu, do đó dãy

Định nghĩa 1.6.1 Một vành phân bậcA là một vành (A, +, ) cùng với một họ

((An)n>0, +) các nhóm con của A sao cho

Vì A 0 A 0 ⊆ A 0 nên A 0 là một vành con của A, và mỗi A n là một A 0-môđun

Ví dụ 1.6.2 Cho vành A, chọn A 0 = A, A n = 0 với mọi n > 0, thì ta có mộtvành phân bậc trênA Vành phân bậc này được gọi là vành phân bậc tầm thường

Ví dụ 1.6.3 XétA = k[x1, , xr](vớiklà một trường) Với mỗim = (m1, m2, , mr) ∈

Định nghĩa 1.6.4 Cho A là một vành phân bậc, một A-môđun phân bậc M

là một A-môđun M cùng với một họ (Mn)n>0 các nhóm con của M sao cho

Ta có mỗi Mn là một A0-môđun Phần tử x ∈ M được gọi là thuần nhất nếu

x ∈ Mn với n nào đó và n được gọi là bậc của x, ta kí hiệu n := degx. Bất kì

y ∈ M được viết duy nhất như một tổng hữu hạn P

n

yn = y, ở đó yn ∈ Mn vớimọi n> 0 và y n = 0 hầu hết Thành phần y n 6= 0 được gọi là thành phần thuầnnhất của y Nếu M, N là các A-môđun phân bậc, một đồng cấu các A-môđunphân bậc là một đồng cấu A-môđun f : M → N sao cho f (Mn) ⊆ Nn, ∀n > 0.

Nếu A là vành phân bậc, đặt A+= ⊕

n>0 A n thì ta có A+ là một ideal của A

Định nghĩa 1.6.6 Cho M và N là các môđun phân bậc trên vành phân bậc

A. Một ánh xạ f : M → N được gọi là một đồng cấu môđun phân bậc nếu f làmột đồng cấu môđun và f (Mn) ⊂ Nn với mọi n.

Cho S là vành con của vành A (không nhất thiết phân bậc) Khi đó người tacòn gọi A là S-đại số Với a 1 , a 2 , , a n ∈ A, kí hiệu S [a 1 , , a n ] là tập các tổ hợptuyến tính trên S của các phần tử ap1

1 apn

n , (p 1 , , p n ) ∈ Nn. Tập này rõ ràng

là vành con của A Có thể xem nó như vành các đa thức, nhưng a1, , an ở đâykhông phải là các biến độc lập Nếu tồn tại a1, , an ∈ A để A = S [a1, , an], thì

A được gọi là S-đại số hữu hạn sinh

Mệnh đề 1.6.7 Cho A là vành phân bậc, khi đó hai mệnh đề sau là tươngđương:

i, A là một vành Noether;

ii, A0 là Noether và A là A0-đại số hữu hạn sinh

Chứng minh i ⇒ ii) Xét dãy khớp

của A, mà vành A là Noether nên A+ hữu hạn sinh Giả sử { x1,x2, ,xs} là

hệ sinh của A+, chúng ta có thể lấy xi là thuần nhất tức

Với n = 0 : A0⊆ A0. (Hiển nhiên)

Giả sử (*) đúng với mọi m < n, ta chứng minh (*) đúng với n Lấy y ∈ An, vì

ki > 0suy ra n − ki < n Theo giả thiết quy nạp ta có ai ∈ A0 với mọi 16i6s,

từ đó suy ra y ∈ A0 Vậy An ⊂ A0 với mọi n > 0, suy ra A = ∞⊕

n=0 A n ⊂ A0, do đó

ta có A = A0 hay A là A0-đại số hữu hạn sinh

ii ⇒ i) Vì A là hữu hạn sinh như một A0-đại số nên tồn tại a1, , an ∈ A để

là một toàn cấu vành Theo giả thiết A0 là Noether, nên theo định lí 1.3.3

A0[x1, , xn] là vành Noether Do đó vành thương của nó A = A0[a1, , an] cũng

là vành Noether

ĐẦY ĐỦ HÓA

Chương 2 là chương chính của luận văn Mục đích của chương là nghiên cứu

về đầy đủ hóa Phần đầu chương trình bày về nhóm Abel tôpô cùng với một

số tính chất của nó Tiếp theo, ta định nghĩa đầy đủ hóa của một nhóm Abeltôpô Luận văn trình bày hai cách khác nhau để định nghĩa đầy đủ hóa củanhóm Abel: cách thứ nhất là sử dụng các dãy Cauchy, cách thứ hai sử dụng giớihạn ngược Tiếp theo tôi trình bày các tính chất quan trọng như: điều kiện chotính khớp của đầy đủ hóa, một số đẳng cấu của đầy đủ hóa, đầy đủ hóa I-adiccủa một môđun hữu hạn sinh là hữu hạn sinh, đầy đủ hóaI-adic của một vànhNoether là Noether, với I là ideal cực đại của vành Noether A thì đầy đủ hóa

I-adic của A là một vành địa phương Phần cuối của chương trình bày về đầy

đủ hóa của vành địa phương Ta có đầy đủ hóaI-adic của vành địa phương(A, I)

là một vành địa phương và đầy đủ hóa I-adic của một vành nửa địa phương A

là một vành nửa địa phương (với I = JA)

Mục này trình bày về nhóm Abel tôpô cùng với một số tính chất của nó.Định nghĩa 2.1.1 G là một nhóm Abel tôpô khi G là một không gian tôpô và

là một nhóm Abel sao cho hai ánh xạ sau

φ : G × G → G (x, y) 7→ x + y,

Nhận xét 2.1.2 Nếu {0} là đóng trong G thì G là Hausdorff.

Thật vậy, xét ánh xạ

ϕ : G × G → G (x, y) 7→ x − y.

Vì φ và i liên tục nên ϕ liên tục, do đó ϕ −1 ({0}) là đóng trong G × G Suy ra

(x, y) ⊂ U × V ⊂ (G × G) − ϕ−1({0})

Ta sẽ chứng minh U ∩ V = ∅ Thật vậy, giả sử U ∩ V 6= ∅ thì tồn tại z ∈ U, z ∈ V,suy ra(z, z) ∈ U ×V Ta có(z, z) ∈ ϕ−1({0})mà(z, z) ∈ U ×V ⊂ (G×G)−ϕ−1({0}),điều này dẫn đến vô lý Vậy U ∩ V = ∅, hay G là Hausdorff Nhận xét 2.1.3 Cho U là một lân cận bất kì của 0 trong G thì U + a là lâncận của a trong G

Thật vậy, xét ánh xạ

T a : G → G

x 7→ x + a.

Lấy một tập mở U0 trong G, lấy y ∈ T a−1(U0) suy ra a + y ∈ U0 Do U0 mở trong

G và φ liên tục nên φ−1(U0) mở trong G × G Vì a + y ⊂ U0 nên (a, y) ⊂ φ−1(U0),

do đó tồn tại tập mở W chứa a và V chứa y sao cho W × V ⊂ φ−1(U0) Suy ra

φ (W × V ) ⊂ U0, do đó W + V ⊂ U0 Vậy a + V ⊂ U0, suy ra Ta−1(U0) mở trong

G Vậy Ta liên tục, do đó T −a liên tục Ta sẽ chứng minh U + a là lân cận của a

trong G Thật vậy, vì U là lân cận của 0 trong G nên tồn tại tập mở W0 sao cho

0 ∈ W0⊂ U Do T−a liên tục nên T−a−1(W0) mở, đặt V0= T−a−1(W0) Vì 0 ∈ W0 nên

a ∈ V0 TừV0= T−a−1(W0)suy raV0− a ⊂ W0 Do đó ta cóa ∈ V0 ⊂ a + W0⊂ a + U

Bổ đề 2.1.4 Gọi H là giao của tất cả các lân cận của 0 trong G Khi đói) H là nhóm con của G,

ii) H là bao đóng của {0},

V 1 + V 2 ⊂ V Vì a, b thuộc H nên a ∈ V 1 , −b ∈ V 2, kết hợp với V1+ V 2 ⊂ V ta có

a − b ∈ V với mọi lân cận V của 0 Suy ra a − b ∈ H

Vậy H là nhóm con của G

đóng trong G/H, hay G/H là Hausdorff

iv) Theo iii), nếu H = 0 thì G Hausdorff Ngược lại, giả sử G là Hausdorff ta

sẽ chứng minh H = 0 Thật vậy, giả sử H 6= 0 thì tồn tại x ∈ H, x 6= 0. Do G

Hausdorff nên tồn tại lân cậnVx củax, tồn tại lân cậnV của0sao choVx∩V = ∅

Vì Vx= x + U, với U là một lân cận nào đó của 0, suy ra

(x + U ) ∩ V = ∅. (1)

DoHlà một nhóm nên−x ∈ H, màH = T

λ∈I

V λnên ta có−x ∈ U suy ra0 ∈ x+U,

mà 0 ∈ V nên 0 ∈ (x + U ) ∩ V (mâu thuẫn với (1)) Vậy H = 0

Tiếp theo ta sẽ làm quen với khái niệm đầy đủ hóa của một nhóm Abel tôpô.Cho G là một nhóm Abel tôpô, giả sử rằng 0 ∈ G có hệ cơ sở đếm được các lâncận của 0 Khi đó đầy đủ hóa của G có thể được định nghĩa thông qua các dãyCauchy

Định nghĩa 2.1.5 Một dãy Cauchy trong G là một dãy (xν) các phần tử của

G sao cho, với bất kì lân cận U của 0, tồn tại một số nguyên s(U ) sao cho

với (y ν ) là dãy Cauchy trong G

Định nghĩa 2.1.8 Đầy đủ hóa của G là tập hợp tất cả các lớp tương đươngcủa các dãy Cauchy trong G Kí hiệu đầy đủ hóa của G là G.b

Nhận xét 2.1.9 Cho (xν)và(yν) là hai dãy Cauchy trong G, thì dãy (xν+ yν)

cũng là dãy Cauchy

Thậy vậy, vì hàm φ liên tục tại 0 nên với lân cận U bất kì của 0, tồn tại lâncận U1, U 2 của 0 sao cho

U 1 + U 2 ⊂ U. (1)Dãy (xν) Cauchy nên với lân cận U1 của 0, tồn tại số nguyên s1(U 1 ) sao cho

xν− xη ∈ U 1 , ∀ν, η >s1(U 1 ) (2)Dãy (yν) Cauchy nên với lân cận U 2 của 0, tồn tại số nguyên s2(U 2 ) sao cho

yν− y η ∈ U 2 , ∀ν, η >s2(U 2 ) (3)

Đặt s (U ) = max {s1(U 1 ) , s2(U 2 )}, từ (1), (2), (3) ta có:

xν+ y ν − x η − y η = (x ν − x η ) + (y ν − y η ) ∈ U 1 + U 2 ⊂ U, ∀ν, η >s (U ) ,

điều này tương đương với dãy (xν+ yν) là Cauchy Như vậy, theo nhận xét trên thì ta có thể xây dựng trong Gb phép toán cộngnhư sau: Với hai phần tử [(x ν )] , [(y ν )] trong Gb, ta định nghĩa

[(xν)] + [(yν)] := [(xν+ yν)]

Khi đó ( G, +)b trở thành một nhóm Abel Thật vậy,

i) Với [(xν)] , [(yν)] , [(zν)] ∈ Gb, thì hiển nhiên ta có

Bởi bổ đề 2.1.4, iv) ta có θ là đơn cấu khi và chỉ khi G là Hausdorff

Định nghĩa 2.1.10 Nhóm Abel tôpô G được gọi là đầy đủ nếu θ là đẳng cấu.Theo nhận xét trên ta có: Nếu G đầy đủ thì G là Hausdorff

Ví dụ 2.1.11 Xét G =Q với tôpô thông thường, ta sẽ chỉ ra rằng bQ=R.

Thật vậy, ta đã biết mọi dãy Cauchy trong Q đều hội tụ tới một điểm duynhất thuộc R và ngược lại mọi số thực r đều là giới hạn của một dãy Cauchytrong Q Dựa vào các nhận xét trên ta xét

xn− yn → 0, do đó (xn) ∼ (yn) Ta suy ra [(xn)] = [(yn)], khi đó α là một ánhxạ.

Định nghĩa 2.1.12 Một lọc(G n )n của nhóm Abel Glà một dãy giảm (vô hạn)các nhóm con G n củaG Tức là ta có dãy sau

G = G 0 ⊇ G 1 ⊇ G 2 ⊇ G 3 ⊇ ⊇ G n ⊇

Ví dụ 2.1.13 i) Xét G = Z là một nhóm Abel, định nghĩa một lọc bởi tập

Z0 =Z và Zn = 2nZ với mọi n > 0. Thì (Zn)n là một lọc của Z.

ii) Nếu (Gn)n là một lọc của G, G0 là một nhóm con của G, thì (G0∩ G n )n là mộtlọc của G0

Định nghĩa 2.1.14 Cho (G n )n là một lọc của nhóm AbelG Khi đó lọc (G n )n

là dừng nếu tồn tại số tự nhiênk nhỏ nhất sao cho Gm = G k với mọim> k Khi

Nếu ( xi+ Gi) ∩ ( yj+ Gj) 6= ∅ (ta có thể giả sửi > j), thì tồn tại z ∈ ( xi+ Gi)

liên tục Thật vậy, lấy bất kì một lân cậnU = (x0+ y0) + G n củax0+ y0. Xét lâncận V 1 = x 0 + G n của x0 và lân cận V 2 = y 0 + G n củay0 Ta có:

φ (V 1 × V 2 ) = V 1 + V 2 = (x0+ G n ) + (y0+ G n ) ⊂ (x0+ y0) + G n = U,

điều này chứng tỏ φ liên tục tại (x0, y0) Vì (x0, y0) là điểm bất kì củaG × Gnên

φ liên tục tại mọi điểm của G × G Điều này chứng tỏ φ liên tục

Tương tự ta có ánh xạ

i : G 7→ G

x 7→ −x

liên tục

Do đó khi cho G là một nhóm Abel và cho một lọc (G n )n củaG, thì với tôpô

= G của G, ta có G là một nhóm Abel tôpô Khi nói G là một nhóm Abel tôpôđược định nghĩa bởi lọc (G n )n, thì ta sẽ hiểu G là nhóm Abel tôpô với tôpô =Gđược định nghĩa như trên

Nhận xét 2.1.17 Cho G là một nhóm Abel và một lọc (G n )n của G, gọi H làgiao của tất cả các lân cận của 0 trong G Khi đó,

∩

n >0 G n = H.

n >0 G n = {0} Định lí 2.1.18 Cho nhóm Abel G, và hai lọc tương đương (G n )n và (G0n )n, thìtôpô được định nghĩa bởi hai lọc đó trùng nhau.

Chứng minh Hai tôpô =và =0 được gọi là trùng nhau nếu tập mở của tôpô nàynằm trong tập mở của tôpô kia và ngược lại Gọi =Gn và =G0

n là hai tôpô của

G lần lượt được định nghĩa bởi các lọc (G n )n và (G0n )n. Lấy U ∈ =Gn, ta cần chỉ

Vậy tôpô được định nghĩa bởi hai lọc (G n )n và (G0n)n trùng nhau

Ở trên, ta đã xây dựng được khái niệm đầy đủ hóa của một nhóm Abel tôpôdựa trên các lớp tương đương của các dãy Cauchy Ta sẽ đi xem xét một conđường khác để xây dựng đầy đủ hóa của một nhóm Abel tôpô, đó là dựa vàocấu trúc của giới hạn ngược

Mệnh đề 2.1.19 Cho G là một nhóm Abel tôpô được định nghĩa bởi lọc (G n )n.

Với mỗi n, ta có đồng cấu

Thật vậy, giả sử[(xn)] = [(yn)] Vì(yn)là dãy Cauchy nên tồn tại một hàm đơnđiệu tăngτ : N→N, sao choyτ (n)− ym ∈ G n với mọim >τ (n) Vì[(xn)] = [(yn)],nên tồn tại một hàm đơn điệu tăng η :N→N, sao choxη(n)− yη(n) ∈ G n với mọi

n Ta có thể coi η (n)>max {δ (n) , τ (n)} với mọi n Khi đó

n Vậy ánh xạ f được định nghĩa tốt

Dễ kiểm tra được f là một đồng cấu nhóm

Nếu f ([(xn)]) = xδ(n)+ G n

n = 0 thì xδ(n) ∈ G n với mọi n, do đó [(xn)] = [(0)].Vậy f là đơn cấu

Lấy tùy ý (x n + G n )n∈ lim

là dãy khớp của các nhóm Abel G có tôpô được định nghĩa bởi lọc (G n )n, G0 và

G00có tôpô cảm sinh, nghĩa là tôpô được định nghĩa lần lượt bởi các lọc (G0∩ G n )n

Dễ dàng kiểm tra được f là đơn cấu và g là toàn cấu Xét dãy các đồng cấu sau

Trường hợp 1: Nếu a ∈ G0 thì hiển nhiên z ∈ G0+ G n

Trường hợp 2: Nếu a ∈ G\G0, do a / ∈ G0 nên p (a) 6= 0 Vì p (a) ∈ p (G n ) nên tồntại b ∈ G n và b / ∈ G0 sao cho p(a) = p(b) Suy ra a − b ∈ G0, do đó tồn tại c ∈ G0

sao cho a = b + c Vậy z = b + c + G n ∈ G0+ Gn Do đó ta có

θ(xk) = ε Thật vậy, từ (1) ta có xk− xm ∈ G m , ∀m < k Suy ra

xk+ G m = x m +G m , ∀m < k. (3)

Từ (2) và (3) ta có θ(xk) = ε, điều này chứng tỏ θ là toàn cấu

Vậy ta cóθ là đẳng cấu, do đó ta có đẳng cấuG ∼b= G. Nhận xét 2.1.22 Chúng ta có thể áp dụng hệ quả 2.1.20 với G0 = G n 0 và

G00= G/G n 0 Gọi G n là ảnh của G n trong G/G n 0, ta có

G n ∼ = G/G n

Chứng minh Áp dụng hệ quả 2.1.20 với G0= G n và G00= G/G n ta có dãy

G n

∼

= G/G n

Nhận xét 2.1.24 Ta đã biết khi nhóm Abel G có tôpô được định nghĩa bởi lọc

(G n )n, thìGn có tôpô cảm sinh, nghĩa là tôpô được định nghĩa bởi lọc( Gn∩ G m )m.Mà

Nhận xét 2.1.25 Trong hệ quả 2.1.20 ta xét G được thay bởi G n, G0= G m và

G00= G n /G m (với m > n) Khi đó áp dụng hệ quả 2.1.23 ta có Gcm là nhóm concủa Gcn với mọi m > n Do đó Gb có một lọc được cho bởi

b

G = Gc0⊇Gc1 ⊇Gc2⊇ ⊇ Gcn ⊇

Như vậy, khi (G n )n là một lọc của G thì Gcn

n là một lọc của Gb Với tôpô của

G được định nghĩa bởi lọc (G n )n và tôpô của Gb được định nghĩa bởi lọc Gcn
n thìđồng cấu θ : G → Gb là liên tục

Thật vậy, trước tiên ta cần chỉ ra θ−1 Gcn