diện riemann và định lý abel về phương trình đa thức

Nhúng nguy¶n lþ hung triºn gi£i h.. t÷ìng ùng vîi mët ÷íng n¸u tªp hñp iºm mæ t£ bðiph÷ìng tr¼nh n y tròng nhau vîi thù tü hóng... Bi¸n thi¶n argument Ta ành ngh¾a bi¸n thi¶n argument då

1 Ki¸n sð 7

1.1 Nhâm gi£i ÷ñ 7

1.2 ÷íng li¶n 9

1.3 Bi¸n thi¶n argument 12

1.4 Nhúng nguy¶n lþ hung triºn gi£i h 18

1.5 H m gi£i h 24

1.6 iºm r³ nh¡nh 30

1.7 Di»n Riemann h m gi£i h 31

2 Di»n Riemann h m biºu di¹n bði 43 2.1 H m biºu di¹n bði 43

2.2 Nhâm ìn ¤o h m a trà 62

2.3 Nhâm ìn ¤o h m biºu di¹n bði 64

3 ành lþ Abel 69 3.1 H m ¤i sè 69

3.2 ành lþ Abel 72

K¸t luªn 77 T i li»u tham kh£o 79

Tr÷î h¸t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn h¥n th nh v  s¥u tîi GS.TSKH.

Phòng Hç H£i Thy ¢ d nh nhi·u thíi gian v  t¥m huy¸t h÷îng d¨n tæi

tø b÷î hu©n bà ki¸n sð, lüa hån · t i, lüa hån t i li»u v 

ph÷ìng ph¡p nghi¶n Sau qu¡ tr¼nh nhªn ·t i v  nghi¶n d÷îi sü

h÷îng d¨n khoa hå Thy, luªn v«n " Di»n Riemann v  ành lþ Abel

v· ph÷ìng tr¼nh a tæi ¢ ÷ñ ho n th nh Câ ÷ñ k¸t qu£

n y, â l  nhí sü nhð, æn è d¤y b£o h¸t tªn t¼nh v  nghi¶m

Thy

Tæi xin gûi líi ìn h¥n th nh tîi Thy Cæ trong Vi»n To¡n

hå v  bi»t l  TS o n Trung C÷íng ¢ luæn t¤o i·u ki»n tèt nh§t

v  gióp ï tæi nhi·u trong qu¡ tr¼nh hå tªp nh÷ l m · t i

Tæi xin h¥n th nh ìn Sð Gi¡o -  o t¤o t¿nh Ninh, Ban

Gi¡m hi»u, çng nghi»p tr÷íngTHPT Nguy¹n«ng¤o- huy»nTi¶n

Du-t¿nh Ninh¢t¤oi·u ki»n hotæihå tªpv ho n th nhk¸ h

hå tªp

Tæi xin gûi líi ìn ¸n gia ¼nh,b¤n b± v  th nh vi¶n trong lîp

Cao hå To¡n K21 (Khâa 2013 - 2015) Vi»n To¡n ¢ luæn hia s´ v 

gióp ï º tæi ho n th nh nhi»m vö

H  Nëi, ng y 31 th¡ng 08 n«m 2015

T gi£

Nguy¹n Thà Hi·n

Tªp gi¡ trà n y vîi ph²p to¡n nh¥n l  mët nhâm phn

tû sinh nhâm n y ÷ñ gåi l  nguy¶n thõy 1, biºu di¹n h¼nhhå

Tø â ta suy ra ÷ñ r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1) luæn â óng n

nghi»m (kº £ bëi)

nh  to¡n hå ¢ gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t mët,

hai ¸n th¸ k XVI nh  to¡n hå Þ Tartaglia v  Ferrari ¢ gi£i ÷ñ

ph÷ìng tr¼nh 3 v  4 Sau mët sè ph²p °t v  bi¸n êi ìn gi£n ta

luæn ÷a ÷ñ ph÷ìng tr¼nh ba têng qu¡t v· ph÷ìng tr¼nh d¤ng

Cæng (3) ÷ñ gåi l  æng Cardano Vªn döng h gi£i ph÷ìng

tr¼nh ba ta luæn ÷a ÷ñ ph÷ìng tr¼nh bèn têng qu¡t v· h

nghi»m biºu di¹n ÷ñ d÷îi d¤ng

n y gåi l  æng Ferrari

Trongsuèt mët thíi gian d i nh  to¡nhå g­ng ºt¼m mët

gi£i ÷ñ b¬ng ph÷ìng tr¼nh ¤i sè n«m Nh÷ng

n«m 1824 nh  to¡n hå Norwegian Niels Henrik Abel (1802- 1829) hùng

minh ành lþ sau

ành lþ Abel Ph÷ìng tr¼nh ¤i sè têng qu¡t b lîn hìn bèn khæng gi£i

÷ñ b¬ng «n l  khæng tçn t¤i æng º biºu di¹n nghi»m

mët ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t b lîn hìn bèn theo h» sè nâ b¬ng

hi»n ph²p t½nh ëng, trø, nh¥n, n¥ng l¶n ly thøa b

nguy¶n d÷ìng, v  ph²p khai «n

h luªnv«n: Trongt i li»u[4℄¢tr¡nh ki¸n v· lþ thuy¸t

h mgi£i hº hùng minhànhlþ Abel hohå sinh THPT huy¶nTo¡n

Nga Chóng tæi sû döng t i li»u tham kh£o [4℄ v  k¸t hñp vîi t i li»u

[1℄, [2℄, [3℄, [5℄ º dòng ki¸n v· lþ thuy¸t h m gi£i h nh¬m m

h x¥y düng di»n Riemann mët h m gi£i h v  hùng minh ành

lþ Abel v· ph÷ìng tr¼nh a

Vîi m h tr¶n luªn v«n ÷ñ hia l m ba h÷ìng

Ch÷ìng 1 Ki¸n sð

Trong h÷ìng 1 gçm m sau:

1.1 Nhâm gi£i ÷ñ Trong m n y hóng tæi l¤i mët sè

kh¡i ni»m, v½ dö, ành lþ nhâm gi£i ÷ñ Nhúng ki¸n n y dòng

º hùng minh hai ành lþ lîn luªn v«n â l  ành lþ 2.3.70 v  ành

lþ 3.2.77 (ành lþ Abel) Nëi dung m n y ÷ñ tham kh£o tø t ili»u ([3, tr.31-34℄)

1.2 ÷íng ong li¶n Trong m n y hóng tæi l¤i mët

sè kh¡i ni»m v  v½ dö v· ÷íng li¶n Phn ki¸n n y ÷ñ

dòng hu h¸t trong m ti¸p theo luªn v«n Nëi dung m

n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u [1℄ v  [2℄

Bi¸n thi¶n argument: Nëi dung m n y ÷ñ tham

kh£o tø t i li»u ([4, tr.67-70℄) u ti¶n hóng tæi l¤i ành lþ 1.3.15

(H m argument l  h m li¶n ) v  ÷a ra mët hùng minh hi ti¸t Tø

â l¤i mët sè kh¡i ni»m v  v½ dö Ti¸p theo hóng tæi ph¡t biºu v 

hùng minh hi ti¸t T½nh h§t 1.3.22, 1.3.23, x¥y düng V½ dö 1.3.24 Nëidung m n y ÷ñ dòng nhi·u trong m ti¸p theo v  h÷ìng

sau, bi»t l  h÷ìng 2

1.4 Nhúng nguy¶n lþ triºn gi£i : Trong m

n y hóng tæi l¤i mët sè ành lþ, nguy¶n lþ, kh¡i ni»m triºn

gi£i h nh¬m m h h½nh hu©n bà ki¸n ho m 1.5 Nëi dung

1.5 H m gi£i : Trong m n y hóng tæi l¤i mët sè kh¡i

ni»m,ànhlþ nh÷ v½dö h mgi£i hnh¬m m h h½nh hu©n

bà ki¸n ho m 1.6 Nëi dung m n y ÷ñ tham kh£o tø t i

li»u ([1, tr.137-141℄) Chóng tæi x¥y düng V½ dö 1.5.38,V½ dö 1.5.39 nh¬m

ki¸n ho m 1.4 v  m n y

1.6 iºm r nh¡nh: Trong m n y hóngtæi l¤i mët sè kh¡i

ni»m nh÷ v½ dö nh¬m hu©n bà ki¸n ho m 1.7 v  h÷ìng

sau Nëi dung m n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([1, tr.141-144℄)

1.7 Di»n Riemann h m gi£i : Trong m n y hóng tæi

l¤i mët sè kh¡i ni»m,ành lþ nh÷v½dö di»n Riemann nh¬m

hu©n bà ki¸n ho h÷ìng sau Nëi dung m n y ÷ñ tham

kh£o tø t i li»u ([1, tr.145-150℄) v½ dö trong m n y ·u ÷ñ ph¥n

h hi ti¸t

Ch÷ìng 2 Di»n Riemann h m biºu di¹n bði

Trong h÷ìng 2 gçm m sau:

2.1 H m biºu di¹n bði «n : Trong m n y hóng tæi

l¤i kh¡i ni»m v· h m biºu di¹n bði l¤i ành lþ v  v½ dö

nh¬m m h mæ t£ l÷ñ ç mët h m biºu di¹n bði Nëi

dung m n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([4, tr.90-96℄) Hu nh÷

v½ dötrong m n y hóng tæi ·u t½nh to¡n hi ti¸t Ki¸n trong m

n y hu©n bà ho m 2.2 v  2.3

2.2 Nhâm ìn ¤o h m a trà: Trongm n y hóng tæiành

ngh¾a nhâm ho¡n và mët l÷ñ ç, l¤i mët sè v½ dö, trong â

hai v½ dö hóng tæi ph¥n h hi ti¸t, v½ dö l¤i t÷ìng tü nh÷ hai v½

dö hóng tæi ¢ ph¥n h Nëi dung m n y ÷ñ tham kh£o tø ([4,

tr.96-98℄) Ki¸n m n y nh¬m hu©n bà ho m 2.3 v  h÷ìng

sau

2.3 Nhâm ìn ¤o h m biºu di¹n bði «n : Düa v o t i

li»u ([4, tr.99-100℄) hóng tæi ph¡t biºu v  hùng minh ành lþ 2.3.70,¥y

l  ành lþ h½nh luªn v«n n y Ki¸n trong m n y nh¬m m

h º hùng minh ành 3.2.77 (ành lþ Abel)

Ch÷ìng 3 ành lþ Abel

Trong h÷ìng 3 gçm m sau:

3.1 H m ¤i sè : Trongm n y hóng tæi l¤i kh¡ini»m h m

¤i sè Nh¬m m h º hùng minh ành lþ Abel theo ngæn ngú

to¡n hóng tæi ¢ ph¡t biºu T½nh h§t 3.1.75 (T§t £ h m ¤i

sè ·u l  h m gi£i ) º hùng minh ÷ñ t½nh h§t n y hóng tæi i

hùng minh Bê · 3.1.76, ¥y l  Bê · 8.7 trong t i li»u tham kh£o ([5,tr.52-53℄) Chóng tæi hùng minh bê · n y hi ti¸t

3.2 ành lþ Abel: n y hóng tæi vªn döng ki¸n ¢ hu©n

D¢y(1.1) ÷ñ gåi l mët th¡p hu©n n¸uG i l nhâm hu©n

G i −1 vîimåii = 1, 2, , n.D¢y(1.1)÷ñ gåil mët th¡pAbel(t÷ìngùng n¸u nâ l  mët th¡p hu©n v  nhâm th÷ìng G i −1 /G i

l  nhâm Abel (t÷ìng ùng vîi måi i Th¡p (1.1) ÷ñ gåi l  th¡p

nguy¶ntè n¸unâl  mët th¡p çngthíi nhâm th÷ìng

G i −1 /G i nguy¶n tè vîi måi i Nhâm G ÷ñ gåi l  mët nhâm gi£i

÷ñ n¸u tçn t¤i mët th¡p Abel(1.1) G

V½ dö 1.1.3

(i) Måi nhâm Abel ·u l  nhâm gi£i ÷ñ

(ii) Nhâm S 3 l  mët nhâm gi£i ÷ñ v¼ tçn t¤i mët th¡p Abel

S 3 ⊃ < (123) > ⊃ {(1)}.

ành lþ 1.1.4

(i) Måi nhâm on mët nhâm gi£i ÷ñ l  mët nhâm gi£i ÷ñ

(ii) ƒnh çng §u mët nhâm gi£i ÷ñ l  mët nhâm gi£i ÷ñ

֖

gi£i ÷ñ n¸u v  n¸u H v  G/H l  nhâm gi£i ÷ñ

ành lþ 1.1.5 Nhâm ph²p th¸ S n khæng gi£i ÷ñ n¸u n > 5

Chùng minh Gi£ sû S n l  nhâm gi£i ÷ñ Khi â tçn t¤i mët th¡p Abel

ành lþ 1.1.6 N¸u mët nhâm on nhâm S n t§t £

và S n, th¼ nâ tròng vîi to n bë nhâm S n

Chùng minh Gåi G l  nhâm nhâm S n hùa t§t huyºn vànhâm S n Ta G ⊂ S n Gåi δ l  mët phn tû b§t k¼ thuë S n Tabi¸t r¬ng δ luæn ph¥n h ÷ñ th nh h huyºn và n¶n δ ∈ G, d¨n

¸n Sn ⊂ G Do â ta nhâm G tròng vîi nhâm Sn

t÷ìng ùng vîi mët ÷íng n¸u tªp hñp iºm mæ t£ bði

ph÷ìng tr¼nh n y tròng nhau vîi thù tü hóng) i·u â

ngh¾a, tçn t¤i h m ìn i»u t«ng s(t) ành tr¶n a 1 ≤ t ≤ b 1 sao ho

s(a 1 ) = a 2 , s(b 1 ) = b 2 , γ 2 (s(t)) = γ 1 (t).V½ dö 1.2.8 Hai ph÷ìngtr¼nh tham sè γ 1 (t) = γ 2 (a+ t(b −a)), 0 ≤ t ≤ 1

N¸u ph÷ìngtr¼nh thamsè mët ÷íng tçnt¤iph÷ìng tr¼nh

tham sè z = γ(t) = ϕ(t) + iψ(t), vîi h m ϕ(t), ψ(t) kh£ vi li¶ntr¶n o¤n [0, 1], th¼ ÷íng ÷ñ gåi l  ÷íng ong trìn ÷íngli¶n lªp l¶n tø húu h¤n ÷íng trìn ÷ñ gåi l  "÷íng ong trìn

tøng V½ dö ìn gi£n nh§t v· ÷íng trìn tøng kh l  ÷íng

g§p kh

Tuy vªy, tø nay v· sau, khi dòng hú "÷íng "÷íng" hay hu

Mët÷íng ÷ñ gåil âng n¸uiºmuv iºm tròngnhau,

l  n¸u nâ ph÷ìng tr¼nh tham sè z = γ(t), t ∈ [0, 1] th¼ γ(0) = γ(1).Nâi hung, ÷íng thº tü l  ∃(t 1 , t 2 ) 6= (0, 1), t 1 6= t 2 sao

ho γ(t 1 ) = γ(t 2 )) ÷íng khæng tü ÷ñ gåi l  ÷íng ìn.Nh÷ vªy, ÷íng l  ìn n¸u vîi t 1 6= t 2 ta γ(t 1 ) − γ(t 2 ) 6= 0 (trøtr÷íng hñp ÷íng âng v  t 1 = a, t 2 = b

ành ngh¾a 1.2.9 (Xem [4, tr.80℄)

Cho C l  mët ÷íng li¶n vîi mët ph÷ìng tr¼nh tham sè hâa

z = γ(t) Chóng ta k½ hi»u ÷íng C−1 tªp hñp iºm tròng vîitªp hñp iºm ÷íng C nh÷ng ành h÷îng theo hi·u ng÷ñl¤i, ph÷ìng tr¼nh nâ l  γ1(t) = γ(1 − t)

(i) Gi£ sû hai ÷íng C 0 v  C 1 ph÷ìng tr¼nh tham sè ln l÷ñt

hai ÷íng C 0 v  C 1 ÷ñ gåi l  çng lu¥n vîi nhau trong mi·n

D nh÷ l  nhúng ÷íng u mót b§t ëng n¸u tçn t¤i ¡nh xali¶n

δ : I × I → D (t, u) 7→ δ(t, u)

sao ho

(

δ(t, 0) = γ 0 (t) δ(t, 1) = γ 1 (t) δ(0, u) = δ(1, u) , ∀ u ∈ I

Trong tr÷íng hñp khi ÷íng C 1 ph÷ìng tr¼nh tham sè z = γ 1 l mët h¬ng ¡nh γ 1 (t) = t l  γ 1 ¡nh x¤ o¤n T = [0, 1] th nh mët

iºm) v  ÷íng C 0 çng lu¥n vîi ÷íng C 1 th¼ ta nâi r¬ng C 0

v· mët iºm, hay l : C 0 çng lu¥n vîi 0

V½ dö 1.2.12

Gi£ sû ho v nh kh«n

V = {z ∈ C : 1 < |z| < 3 }

v  gi£ sû r¬ng C 0 l  ÷íng li¶n thuë V n¬m trån trong nûa

v nh kh«n Imz > 0 v  nèi hai iºm z = 2 v  z = −2 N¸u C1 l  ÷íng

x 0

t½nh h§t â th¼ C 0 çng lu¥n vîi C 1 X²t C 2 n¬m trong nûa

v nh kh«n d÷îi Imz < 0 v  nèi hai iºm z = 2 v  z = −2 th¼ C 0 khæng

çng lu¥n vîi C 2 trong V v¼C 0 khæng thº bi¸n d¤ng v o C 2 m  khæng

÷íng trán ìn và

1.3 Bi¸n thi¶n argument

Ta ành ngh¾a bi¸n thi¶n argument då theo ÷íng C mët

x 0

y

A

B

3π 2

z

H¼nh1.3:Bi¸nthi¶nargumentdå theo÷íng C

ành lþ 1.3.15 (Xem ành lþ 6 [4, tr.67℄) Gi£ sû r¬ng mët ÷íng ong

li¶n C vîi mët ph÷ìng tr¼nh tham sè z = z(t), khæng i qua gè tåa ë

v  gi£ sû r¬ng t¤i iºm u ÷íng ong C argument l  ϕ 0 Ta â thºmët gi¡ trà argument èi vîi t§t £ iºm ÷íng ong C

sao tr¶n to n bë ÷íng ong argument z(t) bi¸n êi li¶n b­t

u tø ϕ 0

Nâi h ta thº hån èi vîi méi t mët gi¡ trà ϕ(t) arg z(t)

º sao ho h m ϕ(t) l  li¶n èi vîi 0 ≤ t ≤ 1 v  ϕ(0) = ϕ 0

Chùng minh º hùng minh ÷ñ ành lþ n y ta l m theo hai b÷î sau:

B÷î 1: (Xem H¼nh 1.4(a))

Trong l¥n b¡n k½nh õ nhä t¤i iºm t = 0 ta luæn h ÷ñ mëtnh¡nh ìn trà arg 0 z(t) arg z(t) thäa m¢n arg 0 (0) = ϕ 0 Ta hùngminh h m n yli¶n trong l¥n U δ 0 (0).V¼ ÷íng C li¶n tr¶n

o¤n [0, 1] n¶n li¶n trong l¥n Uδ 0(0), k¸t hñp vîi H¼nh 1.3(a) ta

x 0

y

z(0) z(t) C

z(1)

b)

x 0

Chùng minh t÷ìng tü nh÷ B÷î 1 ta ÷ñ h m arg i (z(t)) li¶n vîi måi

t ∈ U i (t i ), i = 1, 2, , n Vªy h m ϕ(z(t)) l  h m li¶n Ta ành ngh¾a

h m ϕ(z(t)) hay h m ϕ(t) l  h m mæ t£ bi¸n êi li¶n arg z(t) dåtheo ÷íng ong C

ành ngh¾a 1.3.16 Cho ÷íng C ph÷ìng tr¼nh tham sè l  z = z(t), t ∈ [0, 1] Gåi ϕ(t) l  h m mæ t£ bi¸n êi li¶n arg z(t) dåtheo ÷íng C.Hi»u ϕ(1) − ϕ(0) ÷ñ gåi l  bi¸n thi¶n argument

l  ϕ(t) = πt Theoànhngh¾a tr¶n ta bi¸n thi¶n argumentdå theo

÷íng C l  ϕ(1) − ϕ(0) = π · 1 − π · 0 = π

ành ngh¾a 1.3.18 Cho mët ÷íng âng C khæng qua gè tåa ë

z = 0.N¸ubi¸nthi¶n argumentb¬ng 2πk,th¼ hóng tanâir¬ng÷íng

C quay k váng quanh iºm z = 0

0

1

1 2

x

y

b b b

H¼nh1.5:÷íng C

ành ngh¾a 1.3.20 Gi£ sû mët ÷íng C vîi ph÷ìng tr¼nh tham

sè z = z 1 (t) khæng i qua iºm z = z 0 Chóng ta thº nâi r¬ng ÷íng

C quay k váng quanh iºm z = z 0 n¸u ÷íng vîi ph÷ìng tr¼nh

z 2 (t) = z 1 (t) − z 0 quay k váng quanh iºm z = 0 (Xem H¼nh 1.6)

Do â º ành sè váng quay mët ÷íng quanh iºm z = z 0

hóng ta ph£i nh¼n v o sü quay v z 1 (t) − z 0 (v nèi iºm z 0 v 

z1(t))

quay mët váng quanh iºm z = 1.

T½nh h§t 1.3.22 (Xem B i tªp 260 [4, tr.70℄) Cho z = z 1 (t) v  z =

z 2 (t) l  ph÷ìng tr¼nh tham sè hai ÷íng ong C 1 v  C 2 khæng qua

iºm z = 0 Cho bi¸n thi¶n argument då theo ÷íng ong t÷ìngùng b¬ng ϕ 1 v  ϕ 2

(i) N¸u ÷íng ong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè l  z(t) = z 1 (t) · z 2 (t)

th¼ bi¸n thi¶n argument då theo ÷íng ong C b¬ng ϕ 1 + ϕ 2

(ii) N¸u ÷íng ong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè l  z(t) = z 1 (t)

z2(t) th¼

bi¸n thi¶n argument då theo ÷íng ong C b¬ng ϕ 1 − ϕ 2.

Chùng minh Gåi ϕ 1 (t) v  ϕ 2 (t) ln l÷ñt l  hai h m mæ t£ bi¸n êi li¶n

arg z 1 (t) v  arg z 2 (t) då theo ÷íng C 1 v  C 2, ϕ(t) l  h m

mæ t£ bi¸n êi li¶n arg z(t) då theo ÷íng C Trong tr÷ínghñp (i) ϕ(t) = ϕ 1 (t) + ϕ 2 (t), trong tr÷íng hñp (ii) ϕ(t) = ϕ 1 (t) − ϕ 2 (t).Bi¸n thi¶n argument z då theo ÷íng C b¬ng:

ϕ(1) − ϕ(0) = (ϕ 1 (1) ± ϕ 2 (1)) − (ϕ 1 (0) ± ϕ 2 (0))

= (ϕ 1 (1) − ϕ 1 (0)) ± (ϕ 2 (1) − ϕ 2 (0))

= ϕ 1 ± ϕ 2

T½nh h§t 1.3.23 (Xem B i tªp 280 [4, tr.80℄) Cho bi¸n thi¶n

ar-gument då theo ÷íng ong C â ph÷ìng tr¼nh tham sè z = z(t) l  ϕ, v 

w0(t) l  £nh li¶n ÷íng ong C qua ¡nh x¤ w = √n

ành lþ 1.4.25 ành lþ duy nh§t

Gi£ sû f(z) l  h m h¼nh trong mët mi·n G v  b¬ng 0 tr¶n mët tªp

hñp E â iºm giîi h¤n n¬m trong G Khi â f(z) çng nh§t b¬ng 0 trong

G

Nguy¶n lþ 1.4.26 N¸u h m bi¸n n o â â thº triºn th nh

h m h¼nh bi¸n th¼ triºn â l  duy nh§t

Thªt vªy, tø ành lþ duy nh§t suy ra r¬ng, hai h m h¿nh h¼nh

b¬ng nhau tr¶n s³ çng nh§t b¬ng nhau Nh÷ vªy, h m e z

ành lþ sau ¥y ÷ñ gåi l  nguy¶n l½ triºn gi£i h

ành lþ 1.4.28 N¸u h m h¼nh trong mët mi·n n o â triºn

gi£i ÷ñ sang mët mi·n rëng hìn th¼ triºn â l  duy nh§t

Chùng minh Gi£ sû f 0 (z) l  h m h¿nh h¼nh trong mi·n G 0 v  f 1 (z),

f 2 (z), l  triºn gi£i h f 0 (z) l¶n mi·n G 1 ⊃ G 0 Khi â, h m

f (z) = f 2 (z) − f 1 (z) h¿nh h¼nh trong G 1 v  b¬ng 0 trong mi·n G 0 Theo

ành l½ duy nh§t, h m f (z) ≡ 0 trong mi·n G 1 l  f 1 (z) ≡ f 2 (z) trong

G 1

Sau ¥y, ta s³ mð rëng kh¡i ni¶m triºn gi£i h Gi£ sû h m f 0 (z)

h¿nh h¼nh trong mi·n G0, h m f1(z) h¿nh h¼nh trong mi·n G1, çngthíi phn giao G0∩ G1 l  mët mi·n (mët tªp hñp mð v  li¶n thæng).N¸u trong G0 ∩ G1, h m f0(z) v  f1(z) tròng nhau th¼ ta nâi r¬ng,

T÷ìng tü nh÷ vªy, ta kh¡i ni»m triºn gi£i h h m f 0 (z) theomët d¥y huy·n mi·n.

Gi£sû mi·nG 0 , G 1 , , G n t½nh h§tsau¥y:vîimåij = 0, 1, 2, , n−

1, G j ∩ G j+1 6= φ l  mët mi·n Gi£ sû tçn t¤i h m f j (z) ành v h¿nh h¼nh tr¶n G j, çng thíi f j (z) = f j+1 (z) tr¶n G j ∩ G j+1 , (j =

0, 1, 2, , n − 1).Khi â ta nâi h m f n (z) l  triºn gi£i h h m

f 0 (z) theo d¥y huy·n mi·n G 0 , G 1 , , G n ( Xem H¼nh 1.10)

D¹ th§y r¬ng, triºn gi£i h theo mët d¥y huy·n mi·n, n¸u

tçn t¤i , l  duy nh§t

Trong nhi·u tr÷íng hñp, mi·n G 0 v  G n giao réng Khi â,trong G 0 ∩G n,ta hai h m f 0 (z) v  f n (z) tròngnhau khæng? C¥u tr£líi nâi hung l  khæng, ngh¾a l  sau khi triºn ta th÷íng nhªn ÷ñ

h m vîi h m ban u ( Xem H¼nh 1.11)

Nâi h triºn gi£i h th÷íng d¨n ¸n h m a trà

H¼nh1.11: triºntheod¥ytruy·n mi·nkh²pk½n

º th§y rã hìn sü xu§t hi»n t½nh a trà khi triºn h m h¿nh

h¼nh theo mët d¥y huy·n mi·n, ta ÷a v o kh¡i ni»m triºn gi£i

h theo mët ÷íng (Xem H¼nh 1.12)

ành ngh¾a 1.4.30

Gi£ sû ho ÷íng C li¶n v  h m ϕ(ζ) ành tr¶n ÷íng

C

Tr÷î ti¶n ta l÷u þr¬ng, ành tr¶n ÷íng vîi ànht¤i

iºm ÷íng n¸u ÷íng tü th¼ t¤i iºm tü h m

ϕ(ζ) thº nhªn nhúng gi¡ trà nhau (v¼ iºm â ùng vîi nhúng gi¡trà nhau tham sè trong ph÷ìng tr¼nh tham sè ÷íng

Gi£ sû vîi méi ζ ∈ C, ta mët h m f ζ (z) h¿nh h¼nh trong mët l¥n

U ζ n o â ζ, tròng vîi h m ϕ(ζ) tr¶n phn ÷íng C n¬mtrong l¥n U ζ Khi â ta nâi r¬ng h m f ζ (z) ho mët triºn

f 0 (z), trong â z 0 l  iºm u ÷íng C, ¸n iºm z ∗

÷íng C, k¸t qu£ qu¡ tr¼nh triºn l  h m f z ∗ (z) h¿nh h¼nhtrong l¥n iºm z ∗ ∈ C

Cng nh÷ tr¶n ¥y, ta th§y r¬ng, triºn gi£i h theo mët ÷íng

n¸u tçn t¤i th¼ duy nh§t Tø t½nh duy nh§t triºn gi£i h,

ta m»nh · sau

M»nh · 1.4.31 Gi£ sû f (z) l  h m h¼nh trong mi·n G, C l 

÷íng ong tòy þ n¬m trong G Khi â, f (z) triºn ÷ñ då theo

÷íng ong C v  sau qu¡ tr¼nh triºn, ta v¨n nhªn ÷ñ h m ban u

Câ thº xem triºn gi£i h då theo mët ÷íng nh÷ l  tr÷íng

hñp giîi h¤n triºn gi£i h theo mët d¥y truy·n mi·n: thay

homët d¥y huy·n mi·n v  h m h¿nh h¼nh trong mi·n â, ta

l§y hå li¶n mi·n v  h m nh÷ vªy Ng÷ñ l¤i, sü triºn gi£i

h då theo mët ÷íng luæn luæn thº mæ t£ nh÷ l  triºn

gi£i h theo mët d¥y huy·n mi·n n o â

ành lþ 1.4.32 Cho ÷íng ong C 1 â iºm u z 0 v  iºm z ∗

N¸u

h m f 0 (z) â thº triºn gi£i då theo ÷íng ong C 1 th¼ nâ

â thº triºn gi£i då theo ÷íng ong C 2 õ gn C 1 v  â

iºm u z0 v  iºm z∗

ành lþ 1.4.33 Gi£ sû ta è ành hai u mót ÷íng ong C v  bi¸nthi¶n li¶n C º nhªn ÷ñ mët tªp hñp n o â ÷íng ong N¸utrong qu¡ tr¼nh bi¸n thi¶n li¶n ÷íng ong C, triºn gi£¿

h m f 0 (z) då theo ÷íng ong nhªn ÷ñ luæn luæn tçn t¤i, th¼ k¸tqu£ ph²p triºn h m f 0 (z) l  duy nh§t, khæng phö thuë vi»

÷íng ong tø tªp hñp ÷íng ong nâi tr¶n

ành lþ 1.4.34 Gi£ sû G l  mi·n ìn li¶n, f 0 (z) l  h m h¼nh t¤i

iºm z 0 ∈ G n o â N¸u h m f 0 (z) triºn gi£i ÷ñ theo ÷íngong tòy þ n¬m trong G vîi iºm u z 0 th¼ tçn t¤i h m h¼nh trongmi·n G v  tròng vîi f 0 (z) trong mët l¥n ªn z 0

ànhl½ tr¶n ¥y th÷íng ÷ñ gåi l ành l½ ìn ¤o.Nh÷ vªy,trong mët

mi·n ìn li¶n th¼ k¸t qu£ nhªn ÷ñ khi triºn h m khæng phö thuë

v o ÷íng (m  h¿ phö thuë v o iºm u v  iºm ÷íng

v¼ ÷íng u mót thº bi¸n thi¶n li¶n ÷ñ

l¶n nhau Khi mi·n l  a li¶n, triºn h m theo mët ÷íng

nhau u mót) thº d¨n ¸n nhúng k¸t qu£ nhau

bi»t, khi triºn h m theo mët ÷íng âng , trð v· iºm ban u,

ta thº nhªn ÷ñ mët h m h¿nh h¼nh vîi h m xu§t ph¡t trong

l¥n iºm â ¥y h½nh l  l½ do tçn t¤i h m a trà

1.5 H m gi£i h

Nh÷tr¶n ¢th§y,º h m h¿nhh¼nh trongmët mi·n,ta th÷íng

triºn h m h¿nh h¼nh ho tr÷î t¤i l¥n mët iºm n o â i·u â

d¨n ¸n ành ngh¾a sau ¥y

Ph¥ntû gi£i h t¤i iºm z 0 l  mët h m n o â ành v  h¿nh h¼nhtrong mët l¥n iºm z 0.

Nh÷ vªy, ho mët phn tû gi£i h t¤i iºm z 0 l  ho mët

(f 0 , U 0 ),trongâf 0 (z) h¿nhh¼nhtrongl¥n U 0 z 0.Hai (U 0 , f 0 )

v  (V 0 , g 0 ) ÷ñ xem l  ành mët phn tû gi£i h t¤i z 0 n¸u

f 0 |U 0 ∩ V 0 = g 0 |U 0 ∩ V 0

ành ngh¾a 1.5.36

Tªp hñp t§t phn tû gi£i h nhªn ÷ñ b¬ng h triºn

gi£i h phn tû f 0 (z) ÷ñ gåi l  h m gi£i h sinh bði f 0 (z)

Khi khæng g¥y nhm l¨n, ta s³ nâi " phn tû" thay ho " phn tû gi£i

h"

N¸u dòng thuªt ngú phn tû gi£i h v  h m gi£i h thi ành l½ duy

nh§t thº ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: n¸u mët phn tû gi£i h mët

h m gi£i h çng nh§t b¬ng 0, th¼ h m gi£i h â çng nh§t b¬ng 0

Chó þr¬ng"h m gi£i h"khængph£il  h mtheongh¾athæng th÷íng:

ùng vîi mët iºm thº nhi·u phn tû gi£i h nhau (v¼ thº

triºn phn tû gi£i h ban u ¸n iºm â theo nhúng ÷íng

nhau) Nh÷ vªy, h m gi£i h thº nhªn nhúng gi¡ trà nhau t¤i

mët iºm Sè phn tû gi£i h mët h m gi£i h thº l 

væ h¤n Tuy nhi¶n, ta ành lþ sau

ành lþ 1.5.37 Tªp hñp phn tû nhau mët h m gi£i

t¤i mët iºm l  tªp hñp khæng qu¡ ¸m ÷ñ

Chùng minh phn tû nhau mët h m gi£i h t¤i mët iºm

thº nhªn ÷ñ b¬ng h triºn phn tû ban u theo ÷íng

n oâ Theoành lþ, khi triºn theohai ÷íng õgn nhau

hung iºm u v  iºm ta thu ÷ñ mët phn tû gi£i h

M°t måi ÷íng ·u thº x§p x¿ bði mët ÷íng g§p kh

¿nh vîi tåa ë húu t¿ Tªp ÷íng g§p kh nh÷ vªy l  ¸m ÷ñ

n¶n suy ra tªp hñp phn tû gi£i h mët h m gi£i h t¤i mët

gåi l  iºm ¡nh d§u) ¸n iºm z, γ n¬m ho n to n trong G Hai

(z, γ) v  (z ′ , γ ′ ) trong â γ, γ ′ l  hai ÷íng n¬m trong G v  nèi z 0

vîi z, ÷ñ l  nh÷ nhau n¸u khi triºn phn tû t¤i z 0 ¸n z theohai ÷íng â, ta ÷ñ k¸t qu£ nh÷ nhau Nh÷ vªy, hai (z, γ) v 

(z ′ , γ ′ ) ÷ñ xem l  nh÷ nhau n¸u z = z ′, γ ′ thº nhªn ÷ñ tø γ b¬ng

h bi¸n thi¶n li¶n trong mi·n G B¬ng h â, z ∈ G thº t÷ìngùng vîi nhi·u "iºm" nhau (tòy thuë ÷íng nèi z 0 vîi z), v 

ta x²t h m gi£i h khæng ph£i tr¶n mi·n m°t ph¯ng m  l 

tr¶n èi t÷ñng h¼nh hå mîi gåi l  di»n Riemann

Trong nhúng phn ti¸p theo, ta s³ nghi¶n s¥u hìn v· di»n

Riemann  ¥y, ta h¿ mæ t£ qu¡ tr¼nh vøa nâi tr¶n ¥y ho mët sè h m

thº l :

√

z, l  h m ng÷ñ h m z2(ii) H m ln z, h m ng÷ñ h m ez

Ta bi¸t r¬ng, méi iºm z ∈ C \ {0}, f(z) = √ z = √

re i(

ϕ

2 +kπ) ), k = 0, 1.Cho z huyºn ëng theo ÷íng k½n γ n¬m trong G 0 v  iºm u

v  iºm t¤i z 0 = 1 (r = 1, ϕ = 0), th¼ − π

2 < ϕ <

π

2 v  0 < r ≤ 2.Khi â, z ∈ D 1 vîi D 1 = {z ∈ C, |z| < 2, Rez ≥ 0} V¼ z ∈ D 1 v  do

th¼ bi¸n thi¶n arg z b¬ng 0 V¼ vªy, t¤i iºm z 0 = 1 h m w 0 (z) khængthay êi Vªy ta ¢ x¥y düng ÷ñ h m gi£i h w(z) = √

z h¿nh h¼nhtr¶n mi·n D 1 ⊃ D 0, t¤i méi iºm z ∈ D 1 h m n y mët phn tû gi£i

h duy nh§t l  (w 0 (z), V 0 ) vîi V 0 l  l¥n iºm z

v  iºm t¤i z 0 = 1 (r = 1, ϕ = 0) th¼ x£y ra tr÷íng hñp sau:

(i) Khi γ khæng bao quanh iºm 0 (gè tåa ë) th¼ do t½nh li¶n

h m arg z, bi¸n thi¶n argumet z då theo ÷íng γ b¬ng

0 n¶n f (z) = √

z = √

re i

ϕ

2 = w 0 (b¬ng gi¡ trà ban u)

(ii) Khi γ quay quanh iºm 0 mët sè h®n váng, bi¸n thi¶n ment z l  2kπ n¶n f (z) = √

re i(

ϕ

2 +kπ) = w 0 (b¬ng gi¡ tràban u), k l  sè váng quay v  l  sè h®n

(iii) Khi γ quayquanh iºm 0mët sè l´ váng,bi¸n thi¶n argument

V¥y tø phn tû gi£i h (w0(z), U0) ta ¢ x¥y düng ÷ñ h m gi£i h

0 1 x

y

b b

H¼nh1.16:H¼nhminhhåa hoV½dö1.5.39

V½ dö 1.5.40 Ta x¥y düng h m gi£i h ln z xu§t ph¡t tø phn tû gi£i

h t¤i iºm z 0 = 1 Phn tû gi£i h t¤i z 0 = 1 l  gi¡ trà h½nh (ln z)

(÷ñ ành bði ln 1 = 0) Ta bi¸t r¬ng, méi iºm z 6= 0 t÷ìng ùng vîimët tªp hñp væ h¤n phn tû gi£i h h m ln z, phn tû n yd¤ng:

(ln z) + 2kπi (k = 0, ±, ±2, ).

D¹ th§y r¬ng, thº triºn gi£i h phn tû xu§t ph¡t f 0 (z) = (ln z)

theo mët ÷íng tòy þ khæng i qua gè tåa ë Thªt vªy, gi£ sû ζ l 

iºm tòy þ thuë C, C ζ l  o¤n ÷íng C nèi 1 vîi ζ

Khi â, ta l§y phn tû f ζ (z) theo sau:

Trong â h ph¥n u ti¶n ÷ñ l§y theo ÷íng i tø 1 ¸n iºm

A rçi tø A ¸n iºm z (÷íng n y khæng bao quanh gè tåa ë), k

l  sè ln ÷íng C bao quanh gè tåa ë (nh÷ vªy k l  sè nguy¶nd÷ìng, ¥m k = 0) D¹ th§y r¬ng, h ph¥n u ti¶n h¿ phö thuë

iºm z v  ta

fς(z) = (ln z) + 2kπ i.

x 0

y

1 A ζ

ë Ch¯ng h¤n, n¸u ÷íng C 1 nèi iºm 1 vîi z ∗ khæng bao gè tåa

ë, ta xem "iºm" (z ∗ , C 1 ) ð "tng thù 0", th¼ iºm (z ∗ , C 2 ) vîi C 2 baoquanh gè tåa ë mët váng ð vàtr½vîi z ∗ nh÷ng n¬mtr¶n " tngthùnh§t" Vîi iºm z ∗ ð tng thø k, (ln z) + 2kπi (k = 0, ±, ±2, ),ta

f ς (z ∗ ) = (ln z) + 2kπ i

Nh÷ vªy, h m ln z ∗ s³ trð th nh h m ìn trà vîi tªp ành l  C \ {0}

nh÷ng ÷ñ hçng l¶n nhi·u tng Gi¡ trà h m ln z ∗ "tr¶ntng thù k"s³ ÷ñ gåi l  "nh¡nh ìn trà thù k" h m ln z º mæ t£ h½nhhìn nhúng i·u nâi tr¶n, ta x¥y düng mët èi t÷ñng h¼nh hå mîi nh÷

sau:

L§y mët tªp ¸m ÷ñ phi¶n b£n m°t ph¯ng C m  ta gåi

l  l¡, ÷ñ theo phn ¥m v  x¸p hçng l¶n nhau sao

ho gè tåa ë m°t ph¯ng n¬m tr¶n mët iºm

l¡ ÷ñ ¡nh sè bði sè nguy¶n k = 0, ±, ±2, Då theophn ¥m méi l¡ ·u hai bí tr¶n v  d÷îi Ta d¡n bí tr¶n

l¡ tù k vîi bí d÷îi l¡ thù (k + 1), k = 0, ±, ±2, Nh÷ vªy,

iºm n¬m tr¶n l¡ nhau T¤i z = 0, ta mët kiºu xo­n è væh¤n

h m lægarit.

Ta th§y r¬ng di»n Riamann h m lægarit mæ t£ h½nh t½nh a

trà v  nh¡nh ìn trà h m lægarit Thªt vªy,gi£ sû ta xu§t ph¡t tø

iºm a 6= 0 n o â "l¡ thù 0" v  i theo mët ÷íng âng baoquanh iºm gè tåa ë k ln theo h÷îng d÷ìng (n¸u k < 0 ngh¾a l 

÷íng bao quanhgè k lntheoh÷îng ¥m).Khiâ, tas³ khængquayv· iºm a ban u tr¶n l¡ thù 0, m  l  iºm ð và tr½ â nh÷ng tr¶n l¡ thù

k Nh÷ ¢ h¿ ra tr¶n ¥y, gi¡ trà h m ln z t¤i â b¬ng (ln z) + 2kπi

V  nh÷ vªy, gi¡ trà h m ln z t¤i iºm tr¶n l¡ thùk b¬ng gi¡ trà t¤i

Nh÷ vªy, khi nghi¶n t½nh atrà h mgi£i h, ta quan ni»m

"iºm" khæng l  iºm thæng th÷íng m  l  iºm tr¶n m°t ph¯ng C,

vîi÷íng nèi tø iºm ¡nh d§u¸n nâ.Tø â, ta ànhngh¾a

sau

ành ngh¾a 1.6.41 (Xem H¼nh 1.18)

Cho h m gi£i h f (z) trong mi·n G sinh bði phn tû gi£i h (f 0 , U 0 )

t¤i iºm z 0 C°p (a, C) vîi a ∈ C, C l  mët ÷íng nèi iºm ¡nhd§u z 0 ¸n a, ÷ñ gåi l  iºm b§t th÷íng æ lªp h m f (z) n¸u vîimåi z 1 ∈ C õ gn a, phn tû f z 1 (z) thº triºn gi£i h theo÷íngtòy þ n¬n trong ¾a thõng 0 < |z − a| < δ = |z 1 − a|

ành ngh¾a 1.6.42 (Xem H¼nh 1.18)

Gi£sû f (z) l h m gi£i htrong ¾a thõng0 < |z −a| < δ l f (z)

triºn ÷ñ theo mët ÷íng tòy þ n¬m ¾a thõng trong â) Hìn

núa,gi£ sû f (z) khæng ph£il  h m h¿nhh¼nh trongv nh kh«n, l tçnt¤i iºm z 1 ¾a thõng v  phn tû gi£i h f z 1 (z) t¤i iºm â h m

f (z),sao hokhi triºnf z 1 (z)theo÷íngtrán |z−a| = r, (r = |z 1 −a|),

ta khæng nhªn l¤i ÷ñ phn tû gi£i h f z 1 (z) t¤i iºm z 1 i·u ângh¾al , khii vángquanh iºm a, ta¢ huyºntønh¡nh n ysangnh¡nh

h m gi£i h f (z).

Ta nâi a l  iºm r nh¡nh æ lªp h m gi£i h f (z).Ch¯ng h¤n z = 0

l  iºm r³ nh¡nh h m ln z, v¼ khi váng quanh 0 mët váng theo h÷îng

d÷ìng, ta huyºn tø nh¡nh thù k sang nh¡nh thù k + 1

T÷ìng tü nh÷ vªy iºm z = 0 l  iºm r³ nh¡nh h m

√

z

iºm r³ nh¡nh h m gi£i h ÷ñ ph¥n l m hai lo¤i nh÷ sau

Gi£ sû a l  mët iºm r³ nh¡nh h m gi£i h f (z).Khi triºn mët

phn tû gi£i h f (z) theo mët ÷íng bao quanh a nhi·u ln

hai kh£ n«ng x£y ra:

(i) Ta luæn huyºn sang mët nh¡nh mîi h m f (z)

(ii) ¸n mët n o â ta quay trð v· nh¡nh ban u

Trong tr÷íng hñp thù nh§t iºm a ÷ñ gåi l  iºm r nh¡nh lægarit (v½

dö, iºm a = 0 l  iºm r³ nh¡nh lægarit h m gi£i h ln z) Trong

tr÷íng hñp thù hai, n¸u m l  sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t (m > 1) sao ho

khi triºn phn tû ¢ ho theo mët ÷íng bao quanh a, m ln,

ta trð v· phn tû ban u,th¼ a ÷ñ gåi l iºm r nh¡nh §p m h m

f (z) Ch¯ng h¤n, z = 0 l  iºm r³ nh¡nh 2 h m

√

z

1.7 Di»n Riemann h m gi£i h

Trong phn n y hóng ta s³ x¥y düng di»n Riemann ho h m gi£i h

tòy þ, t÷ìng tü nh÷ ¢ l m èi vîi h m ln z

ành ngh¾a 1.7.43

Mët (z 0 , f 0 (z)), trong â f 0 (z) l  mët phn tû gi£i h h m

f (z) t¤i iºm z0, ÷ñ gåi l  mët iºm di»n Riemann theo ngh¾a hµp

h m f (z) n¬m tr¶n iºm z 0.

Chó þr¬ng, hai (z 0 , f 0 (z)) v  (z 0 , f 1 (z)) ÷ñ xem l  ànhmët iºm di»n Riemann, n¸u phn tû gi£i h f 0 , f 1 l  t÷ìng

÷ìngnhau, l  f 0 v  f 1 tròng nhau trongmët l¥n n oâ iºm

H» l¥n {U α } tr¶n di»n Riemann l  h» t§t l¥n måi

iºm tr¶n di»n Riemann

D¹th§yr¬ng,ànhngh¾ah» l¥n nh÷ tr¶n trangbà hodi»n Riemann

mët tæpæ Hìn núa, méi iºm tr¶n di»n Riemann mët l¥n

çng phæi vîi mët h¼nh trán trong m°t ph¯ng

Thªt vªy, Gi£ sû P 0 = (z 0 , f 0 ) l  mët iºm tr¶n di»n Riemann X²t l¥n

P 0 l  tªp hñp iºm P = (ζ, f 0 ),trong â|ζ − z 0 | < εvîiε > 0

Cuèi di»n Riemann l  mët khæng gian li¶n thæng, v¼ hai phn tû

gi£i h tòi þ mët h m gi£i h thº nhªn ÷ñ tø nhau qua ph²p

triºn då theo mët ÷íng n o â

º k¸t th di»n Riemann theo ngh¾a hµp, ta ph£i ành kh¡i

ni»m çng nh§t giúa hai di»n Riemann

Gi£ sû iºm P mët di»n Riemann ÷ñ ành bði (ζ, f 0 ).Khi â, iºm ζ m°t ph¯ng ÷ñ gåi l  h¼nh hi¸u iºm P

thuë di»n Riemann Hai di»n Riemann nhªn ÷ñ tø nhau qua mët ¡nh

x¤ çngphæi b£oto n h¼nh hi¸u méiiºm ang xemx²t l çng nh§t

vîi nhau

Rã r ng l , ành ngh¾a di»n Riemann n¶u tr¶n h¿ ph£n ¡nh tr÷ng

t½nh a trà h m gi£i h (iºm r³ nh¡nh, quan h» giúa nh¡nh

ìn trà), hùkhæng ph£n ¡nh h h§t b£n th¥n h mâ Hai h m

gi£i h tr÷ng t½nh a trà s³ di»n Riemann çng nh§t vîi

nhau (v½ dö h m f (z) = ln z v  f (z) = ln z + z)

B¥y gií, ta s³ ÷a ra mët mæ t£ h¼nh hå quan ho di»n Riemann

h m gi£i h Ta x²t mët khæng gian bèn hi·u, m  iºm nâ

÷ñ ho bði hai tåa ë (z, w) Méi h m gi£i h f (z) thº li¶nh» vîi "ç thà" nâ, l  m°t hai hi·u khæng gian bèn hi·u, lªp l¶n

tø iºm d¤ng (z, F (z)), Trong â F (z) l  gi¡ trà måi phn tûgi£i h thº h m t¤i iºm z (v½ dö, trong tr÷íng hñp h m ln z th¼

l  tªp hñp iºm {(z, (ln z) + 2kπi)}) M°t thº n y thº xem l mët trong nhúng mæ h¼nh di»n Riemann h m gi£i h F (z) vîimët i·u ki»n bê sung: t¤i méi iºm thuë C, phn tû gi£i h

nhau ph£i gi¡ trà nhau (i·u n y khæng ph£i bao gií thäa

m¢n, h¯ng h¤n èi vîi h m (z − 1) ln z th¼ t¤i z = 1, gi¡ trà måi phn tû

l  nh÷ nhau) Trong tr÷íng hñp ng÷ñ l¤i, mët sè iºm n o â khæng

gian bèn hi·u ph£i ÷ñ xem l  lªp l¶n tø nhúng iºm nhau

di»n Riemann.Vîi quy÷î tr¶n ¥y, di»n Riemannnhªn ÷ñ tø nhau

qua ¡nh x¤ çng phæi giú nguy¶n h¼nh hi¸u s³ ÷ñ çng nh§t vîi nhau

V¼ th¸ ta thº hi»n ÷ñ bi¸n d¤ng li¶n (bi¸n êi çng phæi)

m°t hai hi·u nhªn ÷ñ trong khæng gian bèn hi·u theo tåa ë w (giúnguy¶n z) B¬ng h â, ta nhªn ÷ñ m°t lªp bði phi¶n b£n nhúngph¯ng h½nh hìn, nhúng mi·n ph¯ng)

Tr÷î ¥y, ta ¢ x¥y düng di»n Riemann h m lægarit theo h ¢

mæ t£ B¥y gií, ta s³ l m i·u t÷ìng tü vîi h m gi£i h

m

√

z Tahi»n mët nh¡t theo phn ¥m v  k½ hi»u mët m°t ph¯ng

vîi nh¡t bði G Trong mi·n G h m gi£i h

z) l  gi¡ trà h½nh ành ngh¾a bði

n¬mtr¶n mi·n Gl  mët bë gçmm phi¶nb£n mi·n G.Ta th¶mv obë

m l¡â iºm di»n Riemann n¬m tr¶n phn ¥m Khi

âta nhªn ÷ñ mët h "d¡n" l¡ Gmæ t£ nh÷sau Ta bi¸tr¬ng,nh¡nh ìn trà f k (z) thº triºn li¶n ¸n bi¶n nh¡t

m  t¤i â gi¡ trà nh¡nhìn tràl  nh÷ nhau Ta ¡nh sè l¡

G nh÷ sau: nh¡nh f k −1 (z) ùng vîi l¡ thù k (k = 1, 2, , m) Gi¡ trành¡nh f k (z) tr¶n bí d÷îi nh¡t t¤i z = −x l  ( √ m

z)e πi 2 k−1 m , gi¡trà t¤i bí tr¶n l  ( √ m

z)e πi 2 k+1

m Nh÷ vªy, bí d÷îi l¡ thù k s³ ÷ñ çngnh§t vîi bí tr¶n l¡ thù k − 1, (k = 1, 2, , m), bí d÷îi l¡thù nh§t çng nh§t vîi bí tr¶n l¡ thù m

Di»n Riemann nh÷ ¢ mæ t£ tr¶n ¥y ÷ñ gåi l  di»n Riemann

h m «n b m

ph¯ng mæ t£ tr¶n ¥y thº ¡p döng ho tr÷íng hñp têng qu¡t Ta s³

tr¼nh b y ng­n gån qu¡ tr¼nh â

Gi£ sû F (z) l  h m gi£i h tòy þ h¿ iºm b§t th÷íng lªp

Tø méi iºm m°t ph¯ng m  tr¶n â ½t nh§t mët iºm b§t th÷íng

h m F (z), ta v³ mët tia i tø iºm â ¸n ∞, khæng i qua h¼nhhi¸u b§t kýiºm b§tth÷íng n o tia÷ñ v³ sao ho hóng

khæng nhau Khi â, m°t ph¯ng z ÷ñ theo tia nâi tr¶ntrð th nh mët mi·n ìn li¶n G Theo ành lþ ìn ¤o, h m F (z) ÷ñph¥n th nh mët tªp hñp n­m l  ¸m ÷ñ nh¡nh h¿nh h¼nh

ànhngh¾a di»n Riemanntr¶n ¥yphö thuë v oh mgi£i h (m  nhí

nâ ta x¥y düng ÷ñ di»n Riemann t÷ìng ùng) B¥y gií, ta s³ ho mët

ành ngh¾a di»n Riemann khæng phö thuë v o h m

ành ngh¾a 1.7.45

Di»nRiemann theo ngh¾a hµp l mët m°t nhªn ÷ñ b¬ng hd¡n mët

tªp hñp ¸m ÷ñ n o â mi·n ph¯ng vîi i·u ki»n sau ¥y: méi iºm

thuë di»n Riemann l¥n l  mët mi·n ph¯ng, çng thíi h¼nh hi¸u

iºm nhúng mi·n ph¯ng dòng º d¡n ÷ñ giú nguy¶n

Tr¶n di»n Riemannành ngh¾a tr¶n ta thº ho h m h m

n y l  ìn trà tr¶n di»n Riemann nh÷ng a trà tr¶n mët m°t ph¯ng

Tr¶n di»n Riemann thº x²t h m h¿nh h¼nh, m  tr¶n m°t ph¯ng

hóng l  h m a trà

Câ thº hùng minh r¬ng, èi vîi méi di»n Riemann x¥y düng nh÷ tr¶n,

tçn t¤i h m gi£i h m  di»n Riemann tròng vîi di»n Riemann ¢ ho

B¥y gií ta s³ h¿ ra r¬ng, èi vîi h m tr¶n di»n Riemann, ta

thº l§y h ph¥n theo ÷íng tr¶n mët mi·n Tr÷î ti¶n ta

mët sè kh¡i ni»m sau Mët tªphñp tr¶n di»n Riemann÷ñ gåi l  ìn

di»p n¸u trong tªp hñp â khæng iºm nhau n o mët

h¼nh hi¸u Nâi næm na, thº xem tªpìn di»p l  tªpm  v· àa ph÷ìng

h¿ hùa iºm trong mët l¡ Nh÷ vªy, méi tªp di»n

Riemann thº ph¥n th nh húu h¤n tªpìn di»p, v¼ ta thº phõ nâbði

húu h¤n l¥n õ nhä húu h¤n iºm, m  méi l¥n õ nhä l  mët

mi·n ìn di»p

N¸u÷íng C n¬m trong mët mi·n ìn di»p di»n Riemann th¼

h ph¥n

ành lþ sau d¥y l  mët tr÷íng hñp ri¶ng ành lþ hy n¶u tr¶n.

ành lþ 1.7.47 Gi£ sû h m f (z) h¼nh (ìn trà) trong mët mi·n

ìn li¶n húu h¤n tr¶n di»n Riemann Khi â ph¥n h m f (z) theomåi ÷íng ong âng n¬m trong mi·n â b¬ng khæng

ành ngh¾a 1.7.51 ([4, tr.86℄) iºmm  ð ât½nh duy nh§t £nh li¶n

÷íng bà bi¸n m§t nh÷ng khæng ph£i l  iºm r³ nh¡nh ÷ñ

gåi l  iºm khæng ành duy nh§t h m ¢ ho

Khi quay quanh iºm z = 0 mët váng bi¸n thi¶n argument z l  2π,bi¸n thi¶n argument z2 l  4π, bi¸n thi¶n argument