DÁNG điệu tại vô hạn của một lớp đa THỨC NHIỀU BIẾN

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAMVIỆN TOÁN HỌC o0o -NGUYỄN THỊ HOÀ DÁNG ĐIỆU TẠI VÔ HẠN CỦA MỘT LỚP ĐA THỨC NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015... VIỆN HÀN LÂM

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

o0o

-NGUYỄN THỊ HOÀ

DÁNG ĐIỆU TẠI VÔ HẠN CỦA MỘT LỚP

ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

o0o

-NGUYỄN THỊ HÒA

DÁNG ĐIỆU TẠI VÔ HẠN CỦA MỘT LỚP

ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TSKH HÀ HUY VUI

Hà Nội - 2015

Mục lục

1.1 Các định nghĩa 4

1.2 Đa giác Newton của đa thức hai biến 4

1.2.1 Đa giác Newton 4

1.2.2 q-bậc và q-phần chính của một đa thức 7

1.2.3 Các đa thức tương đương 10

1.2.4 Khai triển nghiệm của đa thức hai biến theo chuỗi Puiseux 13 2 ĐÁNH GIÁ HAI PHÍA CỦA ĐA THỨC HAI BIẾN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC NEWTƠN 17 2.1 Phát biểu các kết quả chính 17

2.2 Tính ổn định của đa thức thỏa mãn đánh giá của định lý (2.1.1) 23 3 ĐÁNH GIÁ HAI PHÍA CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA DIỆN NEWTON 25 3.1 Đa diện Newton của đa thức 25

3.2 Đánh giá cơ sở 27

Nếu đa thức P (ξ) phụ thuộc vào n biến (ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ) ∈ Rn, để tìm kết

kξk ≥ r ⇒ c 1 kξkd ≤ |P (ξ)| ≤ c 2 kξkd.

Tuy nhiên, việc đặt điều kiện lên đa thức thuần nhất bậc cao nhất P d (ξ) như ởtrên để kiểm soát cấp tăng tại vô hạn là khá hạn chế Chẳng hạn, với đa thứchai biến P (ξ 1 , ξ 2 ) = ξ12+ ξ24+ ξ23+ ξ 1, ta thấy ngay, tồn tại r, c 1 , c 2 > 0 sao cho

thức để kiểm soát cấp tăng tại vô hạn của nó

Cho

P (ξ) = X

|α|≤d

a α ξα, ξ ∈Rn.

Supp(P ) = 

α ∈ (N∪ {0})n|a α 6= 0

,

và đặt N (P ) = Co(SuppP ) là bao lồi của Supp(P )

Ta thấy N(P )xác định một đa diện bị chặn trong Rn, có các đỉnh là các điểm

có tọa độ nguyên không âm

Gọi V (P ) là tập các đỉnh của đa diện N(P )

cấp tăng tại vô hạn của một đa thức thông qua khái niệm đa diện Newton củanó

Định lý Gindikin: hai điều kiện sau là tương đương:

i) Tồn tại r, c 1 và c 2 sao cho:

Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại kết quả nói trên của Gindikin,

Luận văn gồm 3 chương, các chương 1 và 2 trình bày trường hợp hai biến ,chương 3 xét trường hợp số biến là tùy ý Mặc dù về cơ bản, trường hợp hai

nhưng giống như các tác giả của [1], chúng tôi trình bày kết quả thành hai phầnriêng biệt Trong trường hợp hai biến, nhờ sử dụng các khai triển Puiseux, ta

có thêm những thông tin cụ thể và bổ ích khác

Các ứng dụng của Định lý Gindikin trong lý thuyết phương trình đạo hàmriêng được trình bày trong [1] Gần đây, định lý Gindikin đóng một vai trò quantrọng trong một số bài toán ở các lĩnh vực khác của toán học Chẳng hạn, dựatrên kết quả của Gindikin, sự tồn tại cận sai số Holder cho bài toán tối ưuvới ràng buộc đa thức đã được thiết lập [ Hà Huy Vui, Global Holderian errorbound for nondeqe nerate polynomials SIAM] Optim.23 (2013, no.2, 917-933)](Chương J) Trong công trình của Hà Huy Vui và Trần Gia Lộc ( Internationalmathematical Iournal, 2015), đánh giá hai phía của đa thức thỏa mãn điều kiệnGindikin được sử dụng đánh giá số điểm nguyên của một lớp các tập nửa đạisố

A, được kí hiệu là Co(A).

Bao lồi của một tập A là tập lồi nhỏ nhất chứa A

1.2 Đa giác Newton của đa thức hai biến

1.2.1 Đa giác Newton

Xét đa thức

P (ξ, η) = X

(α,β)∈Supp(P )

a αβ ξαηβ, (ξ, η) ∈R2.

(α, β) ∈R2: α ≥ 0, β ≥ 0

.

Đặt N 0 (P ) = Co(Supp(P )), khi đó, N(P ) là một đa giác trong R2

+

Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi N 0 (P ) là đa giác Newton của đa thức P

Với (α, β) , (α′, β′) ∈R2, ta nói (α, β) < (α′, β′) nếu và chỉ nếu

(

α < α′

β < β′

giác mới, gọi là đa giác Newton bổ sung kí hiệu là N(P ) là bao lồi của tập tất

1

2

3

4

5

f

g h

α β

(ii) Cho

P = y4+ x2y4+ x4y3+ x5+ 2.

Supp(P ) = {(0, 4) , (2, 4) , (4, 3) , (5, 0) (0, 0)}

1 2 3 4 5

1

2

3

4

P

nó không chứa các cạnh song song với các trục tọa độ và không nằm trên chúng

1 2 3 4

1

2

3

4

5

α β

N(P ) là đa giác OABCD

Tính chất 1.2.1 Gọi (α 0 , β 0 ), (α 1 , β 1 ), ,(α m+1 , β m+1 ) là các đỉnh của N(P ),khi đó N(P ) là chính quy khi và chỉ khi

0 = α 0 < α 1 < < α m < α m+1 , (1.1)và

β 1 > β 2 > > β m+1 = 0 (1.2)

tồn tại (α′, β′) ∈ N(P ) sao cho: (α, β) < (α′, β′)

Định nghĩa 1.2.5 Một điểm nguyên (α, β) ∈ N(P ) được gọi là điểm to nếu

(α, β) không phải là điểm nhỏ

cạnh không nằm trên trục tọa độ

Mọi đỉnh khác (0, 0) của N(P ) đều là điểm to

Kí hiệu δ(P ) là bao lồi của các điểm nhỏ thuộc N(P ), với N(P ) và δ(P ) tađặt:

LN(P ) là tập hợp tất cả các đa thức Q thỏa mãn Supp(Q) ⊂ N(P )

HN(P ) là tập hợp tất cả các đa thức Q thỏa mãn Supp(Q) ⊂ δ (P )

Các tập LN(P ) vàHN(P ) có thể đồng nhất với các không gian tuyến tính, nếu

q = (q 1, q 2 ) và một giá trị d(N, q) ∈R sao cho:

(i) Với mọi điểm (α, β) ∈ N, ta có hq, (α, β)i ≤ d (N, q),

(ii) Tồn tại ít nhất một điểm (α 0 , β 0 ) ∈ N sao cho: hq, (α 0 , β 0 )i = d (N, q),

và khi đó đường thẳng tựa xác định bởi phương trình: q 1 α + q 2 β = d (N, q)

Nếu thêm điều kiện độ dài q(j)

tuyến ngoài

Với đa thức P và với vectơ q ∈R2, ta đặt d P (q) = max

(α,β)∈Supp(P ) hq, (α, β)i Tagọi d P (q) là q - bậc của P

(α,β)∈N(P ) hq, (α, β)i, tức là

d P (q) = d (N(P ), q)

và q(j), j = 1, 2, m là các pháp tuyến ngoài với các cạnh của N(P ) không nằmtrên trục tọa độ, cho Q là một đa thức tùy ý Khi đó

(i) Q ∈ LN(P ) khi và chỉ khi d Q q(j)

aαβξ α η β là đa thức q- thuần nhất chính của P.

Nhận xét 1.2.4 Các điểm (α, β) ∈ N(P ) sao cho hq, (α, β)i = d P (q) lập thành

(α′, β′) ∈ Supp(Q) sao cho α′′ = α + α′, β′′ = β + β′, bởi vậy:

Định nghĩa 1.2.9 cho hai đa thức P, bP, giả sử rằng N(P ) và N( P )b đều chínhquy Khi đóP và bP được gọi là tương đương, kí hiệu là P ∼ Pb, nếuN(P ) = N( P )b

và P − P ∈ Hb N(P ) Hay nói cách khác P ∼ Pb khi và chỉ khi mọi đơn thức "to"của chúng trùng nhau

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

α H

VìN(P )chính quy nênq(j) ∈R2+,j = 1, 2, m, gọi(α 0 , β 0 ) , (α 1 , β 1 ) , (α m+1 , β m+1 )

là các đỉnh của N(P ) đánh giá theo chiều kim đồng hồ Vì (α j , β j ) ∈ Supp(P )

P ∼ P

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

a

b

c d

Ta thấy các đơn thức "to" của P và bP trùng nhau nên bP ∼ P

1.2.4 Khai triển nghiệm của đa thức hai biến theo chuỗi Puiseux

Ta sẽ sử dụng (không chứng minh), kết quả sau:

Định lý 1.2.2 ([3, vol.2, Supp.A ]) Đa thứcP (ξ, η) có thể phân tích dưới dạng:

hội tụ trong lân cận điểm ∞.

Các chuỗi λ j (ξ), j = 1, 2, M được goi là các khai triển Puiseux tại vô hạn của

số mũ này có thể không phân biệt)

Ta có

b 1 > b 2 > > b m ≥ 0, (1.11)và

µ 1 + µ 2 + µ m = M.

Với các kí hiệu trên ta có thể viết các nghiệm λ j (ξ) có cùng số mũ b j của số

hạng đầu tiên dưới dạng

ii) Nếu q(j) = (1, b j ), j = 1, m và Pq(j) là q(j) - thuần nhất của P, khi đó

Giải hệ (1.12) và (1.13) đối với ẩn số µ j và b j, j = 1, 2, m ta tìm được

2) Khẳng định (ii)cho ta cách tính các hệ số c jl, vớij cố định, các hệ số c jl,

l = 1, , µ j là nghiệm của phương trình λ−βj+1 Pq(j) (1, λ) = 0

q = (q 1 , q 2 ), q 1 > 0, q 2 > 0 Vì ở đây tỷ lệ q 1 /q 2 là quan trọng, nên có thể giả

sử rằng q = (1, b), b ≥ 0 Ta sẽ bắt đầu với trường hợp khi b là khác với cácgiá trị b 1 , , b m, ta có thể giả sử rằng b j −1 > b > b j

Theo định nghĩa, với q = (1, b), P q (ξ, η) bằng tổng các đơn thức có mặt

c αβ ξαηβ trongP (ξ, η), sao cho số mũ(α, β)thỏa mãn điều kiệnα+bβ = d P (q).Vì

P q (ξ, η) = c j ξαj ηβj , (c j 6= 0, q = (1; b) , b j −1 > b > b j ) (1.16)Nếu b = b j, tức là q = q(j) = (1, b j ), thì

i) Nếu (α, β) ∈ N(P ) thì ta có:

|ξ|α|η|β ≤ Ξ N (P ) (ξ, η) , ∀ (α, β) ∈ N(P ) (2.3)ii) Tồn tại ℵ > 0, sao cho với mọi (α, β) ∈ δ (P ) ta có:

|ξ|α|η|β < c′(1 + |ξ| + |η|)−ℵΞN(P )(ξ, η) (2.4)

|ξ|α|η|β ≤ θ (Ξ (ξ, η)), khi |(ξ, η)| → ∞

Chứng minh

i) Vì (α, β) ∈ N(P ) và N(P ) là bao lồi của các đỉnh (α j , β j ), j = 0, 1, m + 1

nên tồn tại a j sao cho:

ii) Ta sẽ chứng minh rằng, nếu (α, β) ∈ δ(P ) thì tồn tại ℵ (α, β) > 0 sao cho

(1 + |ξ| + |η|) β11 , khi đó ở phía bên phải của

(2.6) không vượt quá

II) Với mọi cạnh Γ j (1) không nằm trên trục tọa độ, đa thứcPq(j) (ξ, η) không

có nghiệm trong (R\0)2, trong đó q(j) là vectơ chuẩn tắc ngoài của cạnh

Γ j (1)

Khi dó, điều kiện (II) nói rằng đa thức P∆(ξ, η) không có nghiệm trong (R\0)2.

Giả sử tồn tại ξ 0 6= 0 , η 0 6= 0 và ∆ là cạnh của N(P ) sao cho P∆(ξ 0 , η 0 ) = 0.Gọi q = (q1, q2) là vectơ thuộc R2

+ sao cho giá trị q 1 α + q 2 β, (α, β) ∈ N(P ) đạtmax trên ∆

Chứng minh: (II) ⇒ (III)

Lấy∆là cạnh nối giữa(α j , β j )và(α j+1 , β j+1 ), khi đóP ∆ (ξ, η)có dạngξαj ηβj+1 P[j].(trong đó P[j] là q(j) - thuần nhất) Theo chứng minh của định lý (1.2.1) ta có

P ∼Q

P[j] , j = 1, m

Ta thấy theo cách dựng :∆ là cạnh của N(P ), q ∆ kí hiệu là vectơ vuông góc với

∆, khi đó P q∆ = P ∆ Cũng theo cách xây dựng P[q∆ ] = ( kí hiệu của P[j] ) thỏamãn P ∆ = ξρ1 ηρ2 P[j]

Từ (II) ta có P∆(ξ, η) 6= 0, với ∀ξ 6= 0, ∀η 6= 0, tức là P[q∆ ] (ξ, η) 6= 0, với ∀ (ξ, η) ∈ (R\0)2.

Bổ đề 2.1.2 Cho P (ξ, η) là đa thức bất kì, và (α 0 , β 0 ) ∈R2+, khi đó tồn tại cáchằng số c > 0 , c 0 > 0 sao cho

ξα0 ηβ0

< c |P (ξ, η)| , ξ2+ η2 > c20 (2.7)thì điểm (α 0 , β 0 ) ∈ N(P )

Chứng minh: Giả sử bằng phản chứng (α 0 , β 0 ) / ∈ N(P ) Khi đó ∃q ∈R2+ sao chovới k nào đó ta có:

q 1 α + q 2 β < k, ∀ (α, β) ∈ N(P )

và

q 1 α 0 + q 2 β 0 > k.

Thay (ξtq1 , ηtq2 ) vào (ξ, η) trong (2.7), ta thấy ngay vế trái > c.tk, trong khi đó

vế phải < o tk
( mâu thuẫn) Vậy

(α 0 , β 0 ) ∈ N(P )

N(P Q) = N(P ) + N(Q)

A + B =

c ∈ R2|∃a ∈ A, b ∈ B : c = a + b Chứng minh : Nếu một đơn thức h αβ ξαηβ được chứa trong các đa thức P Q , khi

đó nó là tổ hợp tuyến tính của tích các đơn thức tương ứng trong các đa thức

Bổ đề 2.1.4 Cho P và Q là hai đa thức bất kì, khi đó tồn tại hằng số c =

c (P Q) > 0 sao cho:

c.ΞN(P )(ξ, η) ΞN(Q)(ξ, η) ≤ ΞN(P Q)(ξ, η) ≤ ΞN(P )(ξ, η) ΞN(Q)(ξ, η)

mãn điều kiện Q (ξ, η) 6= 0, với (ξ, η) 6= (0, 0), khi đó tồn tại c δ, δ > 0 sao cho với

∀ (ξ, η), ξ2+ η2 > δ2 ta có:

ΞN(Q)(ξ, η) ≤ c δ |Q (ξ, η)| (2.10)Chứng minh:

• Trường hợp 1: Ta bắt đầu với trường hợp q ∈R2+ , k = deg d Q (q)

Như đã nhắc tới trong phần chứng minh của phần (II) suy ra (III), điều kiện

Q (ξ, η) 6= 0, ∀ (ξ, η) 6= (0, 0) , chứng tỏ rằng các đơn thức ξk/q1 và ηk/q2 xuất hiện

(0, k/q 2 ), (k/q 1 , 0)

Ta có:

Ξ N (Q) (ξ, η) = 1 +

, với ξ2+ η2 > c20

Chứng minh : Nếu ΞN(P )(ξ, η) ≤ c |P (ξ, η)| với ξ2+ η2 > c20 thì

đồng nhất với Rn ( N là số các điểm nguyên của N(P ) )

a αβ ξ α η β được định nghĩa là

kP k := P aαβ

, khi đó mệnh đề trên nói rằng các đa thức thỏa mãn các điềukiện của định lý (2.1.1) là một tập mở trong LN(P )

Chương 3

ĐÁNH GIÁ HAI PHÍA CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA DIỆN NEWTON

3.1 Đa diện Newton của đa thức

Phát biểu bài toán : Tìm điều kiện để điều kiện sau đúng

Tồn tại c > 0 sao cho ∀α ∈ Supp(P ) thì |P (ξ)| ≥ c |ξα|, ∀ξ ∈ Rn

a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n + b m ≤ 0

Nhận xét 3.1.2 N(P ) là đa diện bị chặn không nhất thiết có chiều bằng n.

Kí hiệu V (P ) là tập các đỉnh của đa diện N(P )

Với α, q ∈Rn, tích vô hướng của α và q được xác định bởi

hq, αi = q1α1+ q2α2+ + q n α n , q ∈ R n

Cho N ⊆Rnα là một đa diện và q ∈Rn, đặt: d (N, q) = max

α ∈N hq, αi.Xét hàm tuyến tính:

Kí hiệu N q là mặt của N(P ) sao cho hq, αi đạt max trên N(P )

Định nghĩa 3.1.3 Cho N(P ) là đa giác Newton, gọi d P (q) := d (N(P ), q), khi

đó số d P (q) được gọi là q- bậc của P và được kí hiệu là degq(P )

Bổ đề 3.1.2 Với P và Q là hai đa thức tùy ý, q 6= 0, thì

(P Q)q = P q Q q với degq(P Q) = degqP + degqQ.

ξγi ≤

m

X

i=1

ξγi