EBOOK lý THUYẾT đàn NHỚT PHẦN 2 PGS TS NGUYỄN văn VƯỢNG

Từ phương nháp mô hình trên, ta thay phương trình trạng thái của vật đàn nhét tuyên tính đẳng hướng không lão hoá, quan hệ giữa ứng suất øt và biến đạng slà tưởng ứng tổng quát có thể bi

Chuong 6 PHUONG PHAP TOAN TU

§1 TRANG THAI UNG SUAT BON

Trước hết ta hãy khảo sát trường hợp trạng thái ứng suất đơn Từ phương nháp mô hình trên, ta thay phương trình trạng thái của vật đàn nhét tuyên tính đẳng hướng không lão hoá, quan hệ giữa ứng suất ø(t)

và biến đạng s(là tưởng ứng tổng quát có thể biểu điển dưới đạng toán tử

Đã Đi: Pyõ: Pạ Và qui gi đi g, là những hệ số hằng số, đạo trưng

cho tỉnh chát vát lý và lưu biên của vạt liệu được xác định băng thực

- Phản tử ba hằng số

a) M6 hinh Thomson

Phương trình trang thai:

do EB, +E, = + 16 = FE, + de E,.E,

Suy ra: k=1 poe Ei +E, P= 1 |

Ne

hz1 ca = THẾ 4 = E 2 b) Mô hình Zener

E, E, 2 gs E, +B,

Nz

§2 TRANG THAI UNG SUAT KHOI

Như đã biết, ở vật thể đàn hồi tuyến tính đẳng hướng tên tại hai

định luật quan trọng sau:

- Định luật biến đổi hình đáng: biểu thức toán học có đạng:

Po, Pis Bs Bima V@ do, G1, 4, dn 1a nhiing hé sé hang sé dae trung cho

tính chất vật lý và lưu biến của vật liệu, chúng được xác định từ thực

hệ số hàng số đặc trưng cho tĩnh chất vật lý và lưu biên của vật liệu,

chúng được xác định từ thực nghiệm

T4

Trong tính toán người ta còn thay biểu (6-10) bằng biểu thức sau:

O(t) =e, +e, +e, =e, te, +2, = 8,

suất ơ;, vào biến dạng e„¡

Nếu chú ý đến biểu thức (1.17), (1.18) và thay vào biểu thức (6.18) san khi tính toán ta được:

Suy ra

2, Mé hinh Kelvin — Voigt

Phương trình trạng thái:

Trạng thái đơn: o=Eet+ ng

Trang thai khéi: $; = 2Ge, + ne, = 2Gle, + te,) (6.17)

Tùy từng loại mô hình người ta còn dựa vào các hằng số mới là kỷ

số các hằng số, Nó vẫn thể hiện được tính chất vặt lý và lưu biến của vật

Trong đó Gạ là môđun đàn hỏi khi trượt trong quá trình biến dạng

chậm và ta có thể gọi đỏ là môđun đàn hồi tĩnh khi trượt

® Trong đó G, là mêđun đàn hỏi khi trượt trong quá trình biến dạng

nhanh và ta gọi đó là môđun đàn hỏi tức thời khi trượt

Trong đố n là thời gian trùng (Rêlaexax))

Pido _ Go _

+ là đại lượng không thứ nguyên thể hién ti sé médun dan hdi tĩnh

và tức thài khi trượt, Kí hiệu

Tương tự trong phương trình toán tử thứ hai của (6.10) quan hệ

giữa tenxơ ứng suất pháp trung bình với tenxø biến đạng pháp trung bình, ta có các tỉ số và ý nghĩa của nó

ae = By trong 46 By - môđun thể tích đàn hỏi tinh (6.26)

Trong dé n’ - thời gian trùng và r là tỉ số môđun thể tích đàn hỏi tĩnh và tức thời

Bụ

LP ap on Ty ‘ - =nứawY B; (6.30)

Po PoP

Trong tất cả các bài toán sau này ta sẽ giả thiết là các thông số

lưu biến là như nhau khi thay đối thể tích cũng như khi thay đổi hình đáng

tet

n=n

¬ "

Khi đó môđun đàn hồi thể tích xác định bởi quan hệ:

§3 CAC BIEU THUC CO BAN

1 Phương trình vi phân chuyển động

Phương trình ví phân cân bằng động khi bỏ qua lực thể tích có

dang:

Ẩn

Vân, jã (6.34)

trong đó uạ, u›, uạ biểu điễn chuyển vị theo 3 phương vuông góc (trong

kỹ thuật thường ding u, v, w theo huéng x, y, 2)

Thay gid trio, = S, + 0) o) theo (1.17) vào biển thức thứ nhất của (6.34), ta có:

as, , 2, Be, B13 a, ax, ox, ox, = > a? uy 6-88) (6.35

Sử dụng phương trình toán tử (6.9); (6.10) và phương trinh (1.9)

được thay vào (6.35) Sau khi tính toán ta có:

hudéng x:

=2 | z(Pu,)= se a, Ox, 3 - (2 P-Qu, +PQu, i} 6.38) (

Tương tự, ta thay vào phương trình ví phân chuyển động theo

hướng x„ xạ, tổng quát ta nhận được phương trình chuyển động của vật

dan nhát tuyến tính theo chuyển vị có dạng:

2 Biểu thức đếi với ứng suất

“Theo (1.17) ứng suất ơ¡ ơ; có dang

6, = 8; + 3

Nếu sử dụng phương trình toán tử (6.10) và phương trình (1.9) và

sau khi điều chỉnh từ (6.35) ta nhận được quan hệ:

PPØ, = 2QP°(6¿ - s) + 3PQs (6.41)

i

78

Bang cach su dung các phương trình động hình hoc (1.2) ta sé xac định được phương trình ứng suất theo chuyển vị

3PQ.uj) + Si | -šP" Qu, + PỢU, J

Xét trường hợp khi biến đạng €.,4 = €,5

có trạng thái biến đạng phẳng Khi đó phương trình chuyển động có đạng:

Ching ta nhan mee:

€n=Ei—£ À

của phương trình động hình học tương ứng thì sau khi tính toán ta

nhận được phương trình chuyển động cho trang thai bién dang phẳng

của vật đàn nhót tuyển tính theo chuyên vị ở đạng sau:

Xét trang thai ting suat phang s,,=0 6ø, =0; =0,

Phuong trinh toan tu vat lý của vạt liệu đàn nhát tuyến tính có dạng

Pon “3 Oy +oy) =20|zs ~3 en + Eno tu)

Từ phương trình thứ nhất và thứ 4 loại trừ ơi, +G›; ta nhàn được phương trình biển đạng ø;; được biểu dién qua €,, + e¿; cho bởi phương trình:

lỆPQ + P@'Ìs,.= [-Per + špa) (ey te) (6.55)

Néu sui dung phuong trinh (6.55) thay giá trị s„ vào phương trình

thứ 2, thứ 3 của (6.54), thì sau khi tính tốn ta được hai phương trình

đối với ơ,, và ø„; cá dạng:

= [PQQ + PQQ] ey -[-2Pag +S PAQ}e

“ } (6.56)

(œna + PP Q| oy =

1 Lapag cẬPQ@ Jeu - [sag + SP 38)s, cĩ ÂmoÏ i 1, 4p

Ứng suất ø,„ hoặc ơ;, cho bởi phương trình:

dan nhĩt tuyến tình, cĩ dạng:

39

Chuong 7 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN

(phương phớp biến đổi Laplax)

Trên cd sở các phương trình cở bản của cơ học môi trường liên tục: các phương trình cần bảng Naviê (1.19), hệ các phương trình liên hệ giữa chuyển vị, biến dạng Cauchy(1.9) các phương trình liên tục và các

quan hệ xác định sự liên hệ giữa ứng suất, biến dạng ở các chương chúng ta có thể tính được chuyển vị, ứng suất trong các bài toán của vật

ảnh đồng nhất hình thức với vật liệu đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

"Theo lý thuyết tương ứng, ta suy ra hai bài toán của vật đàn nhớt, tuyến tính và vật đàn hồi tuyến tính có cùng kích thước, cùng điều kiện biên và ban đầu như nhau thì nghiệm dưới dạng ảnh của bài toán đàn nhớt tuyến tính sẽ đồng nhất hình thức với nghiệm của bài toán đàn hồi

tuyến tính Vấn đề còn lại là từ nghiệm hàm ảnh dùng phép chuyển đổi ngược, ta xác định được nghiệm chuyến vị u(x,t) hay ứng suất ơ,(xt) cần tìm

§1 LÝ THUYẾT CƠ BẢN CỦA SU TUONG UNG

Bang cách biến đổi Laplaxd, Cacxông, định luật đối xử của vật liệu

đàn nhớt tuyến tính đẳng hướng là đồng nhất hình thức với vật liệu đàn

hồi tuyến tính đẳng hướng

84

Vi du

Xét vật đàn nhớt tuyến tính được xác đính trong hệ toa độ vuông

góc XỊ, X., X: như hình 7.1 Vật này chịu các lực bể mat Tix, 4) trên phản 8; của mặt § và chịu chuyển vị U (x,; t) trén phan S,, ngoài ra có

thể có những liên kết mà tại đó chuyển vị bằng không Quá trình tăng

tải S\, S; và thể tích V không thay đổi, có nghĩa ta xét trường hợp biến đạng nhé”,

Điều kiện kết hợp biến đạng:

ÔXjÔA OK OR, Ox; OK, | Ox, OK

Điểu kiện bề mặt:

T, =o5.x, øụ.n,|,= T;@, Ð (7.4)

tị] = tứ, Ð

Trong đó n, là cosm chỉ hướng của pháp tuyển ngoài

Trong các bài toán động cẩn thiết thoả mãn các điều kiện ban đầu sau:

Các phương trình cø bản trên đúng cho vật thể đàn hồi tuyến tính

hoặc vật đàn nhớt tuyến tính Chúng khác nhau chỉ ở các phương trình

vật lý nêu lên quan hệ giữa ứng suất và biến đạng

a) Vi du, vat dan héi tuyến tính đẳng hướng là hai phương trình sau:

£e;- biến đạng dài tỷ đối trung bình

Nếu viết biến dạng theo ứng suất, ta có:

1

86

Ap dụng phép biến đổi Laplax - Cacxông đối với các phương trình cơ bản

ở vật đàn nhớt tuyến tính đẳng hướng chúng ta nhận được bài toán biên

So sánh các phương trình cơ bản của bài toán dan nhớt tuyến tính

đẳng hướng với các phương trình ed bản của bài toán đàn hỗi tuyến tính đẳng hướng ta thấy chúng đồng nhất với nhau về mặt hình thức, do đó

ta tìm được nghiệm ảnh của bài toán đàn nhớt như đã tìm nghiệm ở bài

toán đàn hỏi Nói cách khác, khi vặt thể đàn nhót tuyến tính đẳng

hướng cùng kích thước, cùng điều kiện biên (cùng điều kiện đầu) với vật

thể đàn hẻi tuyến tính thì nghiệm ảnh của bài toán đàn nhớt là đẳng nhất về mặt hình thức với nghiệm của bài toán đàn hồi

Từ nghiệm ảnh của vật dan nhớt tuyến tính, ta dùng phép biến đổi ngược ta sẽ xác định được nghiệm của bài toán đàn nhất

Để làm rõ thêm ta lày ví đụ về cách giải bài toán theo phương pháp chuyển vị Trong lý thuyết đàn hỏi tuyến tính, như đã biết xuất phát từ các phương trình cân bằng Naviê (1.19) bằng cách biểu điễn ứng suất qua biến dạng nhà các phương trình Cauchy ta nhận được 3

phương trình chu

dang viét gon sau:

sn động Lamé véi 3 an sé chuyén vi - u, v, w audi

ụ, - các thành phân chuyển vị (u, v, w)

Ð - khối lượng riêng

88

Đối với vật đàn nhát tuyến tính đẳng hướng:

Từ hệ phương trình chuyển động, phương trình liên hệ giữa biến

đạng chuyển vị và sử đụng quan hệ giữa ứng suất và biến đạng theo (6.15) Sau khi tính toán ta nhận được hệ phương trình chuyển động

ex,

trong đó: À, tỏ phương trình (7.23) là các hãng so Lamé

Con trong phương trình (7.33, 2p) wtp) la cde bam số của p:

Pip) Đạp) ~ Pat) Pulp)

39

Ta thấy nhờ phép biến đổi Laplax, các phương trình chuyển động ở

vật đàn nhớt tuyến tính đẳng hướng không lão hoá là đồng nhất hình

thức với vật liệu đàn hỏi tuyến tính đẳng hướng Sự khác nhau giữa

chúng chỉ ở gid tri A, pw

De đó khi hai vật thể cùng kích thước, cùng các điểu kiện biên ban đầu, cùng chịu tải trọng ngoài như nhau nghiệm ảnh của bài toán vật thé dan nhét sé giống như nghiệm của bài toán đàn hồi

Nếu trong vật đàn nhớt, ta sử dụng biểu thức liên hệ giữa ứng

suất và biến đạng theo (5.52) thi Jam tương tự như trên, ta nhận được

hệ phương trình chuyển động sau:

J aŒ-t)-2 Vu, +[b@~+a@œ- 0T S de+f, =p——t (7.25) 5 ot At ox ‘

Sau khi tiến hành phép chuyển đổi Laplax, với các điều kiện ban đầu bằng không, ta nhận được hệ phương trình có dạng:

wp) V2 ai + A(p) + Hoy +f = ppui

trong đó

u(p) = p.b(p) (7.26) n(p) = p.a(p) 7.27)

§2 TINH CAC GIA TRI ECP), G(P), v(P) VA K(P)

1 Tinh gia tri E(p)

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, người ta thưởng sử dụng hang sé

médun đàn hồi khi kéo E Để thuận tiện sử dụng sau này ta tìm quan

hệ giữa E(p) với các gia tri A(p), u(p)

Xuất phát từ định luật Huc ở trạng thái đơn ta có:

+ Đối vải vật thể đàn hải:

ø¿= Ee,= po

ox

Sau khi tiến hành phép chuyển đổi Laplax, ta có:

90

Êu(x, bì

+ Cồn ở vật đàn nhót có dang:

os, p)= Eip.8 (x, p)= Be) S&P tỳ

Sự khác nhau ở chỗ: đối với vật đàn hồi tuyến tính, mâđưn đàn hồi

E Ja hang sé cha vật liệu Còn E() trong biểu thức (b) là hàm số của

thông số p

Để xác định giá trị E (p) ta dựa vào điều kiện sau:

Ứng suất ở trạng thái don gid sti lA a

Đối với vật thế đàn hỏi ta có:

Oy, = Oy, = EL 8s Gag = Og, F Ops = Gry = Sy, =O

Đối với vật đàn nhớt theo phương trinh (2.1), sau khi thue hiện

phép biến đổi Laplax ta có:

ØuÍ®) = A(p).ð + 30(B).£n(p)

Ø„;Íp) = À(p).6 + 2u(p).ss›(p) = 0 ©

Sah) = X(p).6 + 2n(p).em(p) = 0

Cộng từng về của phương trình trên ta được:

Gulp) + Øø(p) + Gaa(p) = 6, = |B.A(p) + 2n(p)] B(p) (a)

"Thay các giá trị A(p), u(p) theo cdc cong thite (7.21), ta được giá

tri E(p) tinh theo P,(p), Pp) P.(p), P.(p):

Su(p) =

3P,0).P,0œ)

E 1) = SB pyP p) To tw) « Pp) Pap)

2 Tinh các gia tri G(p), vip) va K(p)

Cac gia tri Gp), víp), Kap) lý luận tương tự và sau khi thực hiện

phép biến đổi Laplax ta được:

Vide I: Uén thuan tuy một thanh hình trụ,

Két bài toán uốn thuần tuý như hinh 7.2

a5

Lời giải

Để giải bài toán này chúng ta có thể sử dụng lý thuyết của sự tương ứng Theo lý thuyết đản hồi nghiệm bài toán này là đuy nhất và

được viết như sau:

- Đối với những ứng suất:

O = ay các ting suat khac oj = 0

- Đối với những biến dạng

- Đối với các chuyển vị:

“Trong các thí nghiệm rão kéo hay nến đơn (trong đó chỉ ứng suất

@u khác không) Chỉ số này thường được giái thiết là hằng số m(t, 0) = v

hằng số biến đạng ngang Từ đó hàm gốc của = là v.f)

94

Thay vào, ta nhận được các biểu thức là hàm của thời gian:

a \

Vi du 2 Dao động doc

Xét phương trình đao động đọc của thanh có tiết điện không đổi

làm từ vật liệu đàn nhót tuyến tình không lấp hoá đẳng hướng, chịu tải

trọng phân bế dọc thanh chịu cường độ q(, t)

+ Lue quan tinh - p.—.F dx

êt Tổng hình chiếu các lực xuống phương x sau khi tính toán ta nhận được phương trình chuyển động:

(a)

trong đó: ø, - ứng suất pháp

 - điện tích mặt cất ngang

p - khối lượng riêng

U - chuyển vị theo phương x

© a

Phương trình (a) đúng cá cho vật thể đàn hồi và đàn nhớt Giá

thiết điều kiện ban đầu là:

+ Đối với vật thể đàn hổi: 2, p)=E.ẽ(,p)=E sứ yp @

B~ môđun đàn hồi kéo — nén la hang sé

“Thay (đ) vào (c) ta nhận được phương trình:

cá (SP) -p”u(,p)= ha + pf(x)+g(x)

Trong đó c= °

Pp + Đối với vật đàn nhớt:

= Ba =) du,

o(x, p) = E(p).e & p) = E(p) xo p) (e)

Eq) la ham số của thời gian p

Giá trị E(b) được tính theo công thức sau:

Phuong trinh (g) hoàn toàn tương tự phương trình đao động đọc

du a rT

của thanh từ vật liệu đàn hải, sự khác nhau chỉ ở chỗ hệ số của

dx vật thể đàn hỏi hệ số C? = ° là hằng số, còn trong vật đàn nhát tuyến

p

tính không lão hoá thì C?@) là hàm của thông số p Da đó phương pháp giải bài toán đao động đọc ở vật đàn nhớt tuyến tính, về mặt toán bọc được nghiên cứu tương tự như vật đàn hồi tuyến tính với các điều kiện

biên, điều kiện ban đầu giống nhau

Vide

Xét bài toán đao động dọc của thanh hai đầu ngàm, các điều kiện

ban đầu là:

u(x, 0) = f(x); a(x, 0) = g(x) Bài giải

Xuất phát từ phương trình (), sau khi giải ta xác định được giá tri:

Trường hợp vật khơng nén khi dé K > x vav=

Lsm|y, taÏï- Ba | fre sina, £dé +

=1 sin| t.ự1-} } lo, sina, £.d&

7

Ví dự 3 Dao động ngang của đầm

Xết phương trình đao động ngang của đầm cĩ tiết điện khơng đổi

làm từ vật liệu đàn nhớt tuyến tính khơng lão hố đẳng hướng, chịu tải

Phương trình (a) đúng cho cA vat thé dan héi và vật thể đàn nhát Tiên hành phép biến đổi Laplax với các điểu kién ban dau y(x, 0); y¥ (x, 0), ta duge:

Cho dam có chiều đài 1, chịu đao động cưỡng bức với lực kích thích

phan tố q(x, 0), điều kiện ban dau y(x, 0) = f(x); ¥ (x 0) = g(x) Tim gia trị vœ.Ð

Bài giải

Để giải phưảng trình (e) có nhiều cách, ở day ta sẽ sử đụng phương pháp thông dung trong kỹ thuật Giá sử các hàm y(x, p): ï gỚI tử

7 'X, pì khai triển được thành chuỗi các hầm riêng v„u(x) dạng:

ys p= OF, wy,

Trồng dé ham y,(x) la cac ham trực giao được xác định từ phương trình sau:

Thay (h) vào phương trình đầu của (e) ta được:

s y(X.p) = và 21p AT + x 1 PạŒœ) + pí, +8 Se Sa EEE ETO yuÉ @ :

Hoặc viết:

1

Le ya(®)| q(9,p) y(u),du yixp) =— >) -0

mad c'{p) AA +p?

y,(x)|p jee ).¥,(u).du + Jato, y,(u) |

Đối với các hàm f(u); g(u); q(u, p) đã cho, ta lấy tích phân trên, sau

đó dùng phép biến đổi Laplax nghịch phương trình () ta tìm được giá trị y(x, t)

Giá tri c*(p) được tính như sau:

Thay vao ta dude:

0 ep) = = = tr

8+ +E att py) +9

Thay (k) vao 0) và tiến hành phép biến đổi Laplax nghịch ta tìm

dude ham y(x, t)

Trường hợp vật khóng nén, khi d6 k > x» thi y= s

Gid tri c°(p) dua vé dang: ¢(p) = SIG 4 tp) @®

m

Thay giá trị 3G = E ta được:

e(p) = — (1 + tp) m (m) Thay (m) vào 0) sau khi thực hiện phép biến đối Laplax nghịch, ta

Ví dụ 4 Dao động của tấm

Phương trình vi phân đao động của tăm mỏng hình chữ nhật làm

từ vật liệu đàn nhớt tuyến tính, không lão hoá, đẳng hưởng, chịu tải trọng kích thích phản tế có cường độ q(y Ð)

Tach tit tim ra mét phân tế (hình 7.5) Phân tố chịu tác động của các thành phần nội lực, ngoại lực sau:

+M,, M, - màmen uốn trên một đơn vị chiều dài

+ M,, M - mômen xoắn trên một đơn vị chiều dai

+ Q: - lực cắt trên một đơn vị chiều đài,

Xét sự cân bằng của phần tố, làm tương tự như đối với vật thể đàn

hải, sau khi tính toán ta nhận được phương trình vì phản chuyển động Sau:

^>

é

ate

D.Viwix, y, t) + ph fs a(x, y t) (a)

Các nội lực được xác định bằng các biểu thức sau:

Phương trình (a) đứng cho cả vật đàn hi và đàn nhái

Áp đụng phếp biến đối Laplax đối với phương trình (a)

Với điều kiện ban đầu W(x, y,0) =fx,v) — W@X,y,0)= g(x, y)

Ta được:

DV'.w( y,p)+ ph{p? w —pW(@, ÿ,0)— W(, ÿ,Ø)= qÓ ÿ, P)

Hoặc pW + pW —pftg= —

el Đối với vật thể đàn hỏi tuyến tính D là hằng số con Đối với vật

đàn nhớt tuyến tính thì D là hàm của thông số p

Giá trị D(œ) được tính như sau:

víp)

Nếu tính quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo (5.52) thì ta có:

D Dí@p) =4p.a(p).= (p) = 4p.a(p By) +2a(yy 2 =„y bíp) ee A’ + a(p) h a

b(p)

vị ab

5 J [aE NP) Wye Gn) d5-dy +

oo

He nộ W,„„(, n) đề, dn + Ígem ẤW„„„ (6,1) đề dn (g)

Trong dé:

(x, y) là hàm trực giao được xác định từ phương trình:

Nhằm minh hoạ đơn giản ta xét trường hợp vật không nén Œ -> œ;

al Y= 5) Rhi ds, theo (e): Dip) = = Pp h® 2P,(p)

6 vat Voigt — Kelvin, thay vào ta được:

dum là tần số dao động riêng của vat dan héi khi v =1,

Thay (m) vào (g) sử đụng phương pháp déi Laplax nghich, sau khi tính toán ta được:

107

Chuong 8

SU LAN TRUYEN SONG TRONG VAT DAN NHOT

§1 SỰ LAN TRUYEN SONG HINH SIN DOC TRONG THANH MONG TỪ

VAT LEU DAN NHOT

Chúng ta đã biết về su Jan truyén séng hinh sin doc trong thanh 6 vật liệu đàn hồi, trong phần này ta chủ yếu xét ảnh hưởng của sự tán

sắc trong vật liệu đàn nhớt,

Giá thiết thanh rất mảnh và ứng suất là bé để có thể bế qua sự thay đổi hình dáng, VỊ trí mặt cắt ngang của thanh được xác định bởi toạ độ x, chuyển vị của tiết điện là uŒœ,Щ, (hình 8,1)

Hình 8.1 Biến dạng của thanh mỏng gây nên bởi sóng đọc

Kí hiệu như sau:

# - diện tích mặt cắt ngang

ø - ứng suất pháp

ø - khối lượng riêng

108

Phương trình cần bằng chuyển động của một phản tế chiếu trên

trục x có dạng:

(81)

Đối với các vật liệu có những quan hệ giữa ứng suất, biến dạng

phụ thuộc khác nhau, thay giá trị ø quan hệ với u ta nhận được các phương trình sóng khác nhau

Ví dụ: vật đàn hồi, thay ø = ra ta được phương trình sóng dọc

Hình 8,2 Sự phụ thuộc tốc độ và hệ số của mé hinh Kelvin-Voigt

Đối với sóng hình sin có biên độ ban đầu la A, tan số là = thì Qn