Luận Văn thạc sĩ khoa học: Rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Vì vậy, việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng luôn là một yêu cầu đối với ngành Giáo dục nước ta. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được ghi rõ trong các văn bản pháp quy của nhà nước và ngành Giáo dục. Mục 2, điều 28, khoản 1 của Luật Giáo dục (2005) đã ghi: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”. Việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục đã và đang được tiến hành đồng bộ từ giáo dục Mầm non, Tiểu học cho tới giáo dục Trung học phổ thông. Tuy nhiên, bước đầu kết quả đạt được vẫn chưa đáp ứng được yêu cầu đặt ra. Từ thực tiễn học tập của bản thân trong trường phổ thông và Đại học, kết hợp với những kinh nghiệm giảng dạy có được, tôi nhận thấy đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận với kiến thức về hình học không gian. Việc làm sao để học sinh có hứng thú, tích cực, chủ động nhận thức các đối tượng, các khái niệm, các định lí của hình học không gian luôn là vấn đề trăn trở với nhiều giáo viên. Theo Nguyễn Cảnh Toàn, để đào tạo cho học sinh thành những người nắm toán học, để cải tạo thực tiễn thì “không thể chỉ dạy học thứ toán học đã hình thành sẵn mà phải dạy cho học sinh thứ toán học đang vận động, đang phát triển do sự thúc đẩy của thực tiễn và do những nhu cầu nội tại” 5; tr.101. Vì vậy việc dạy cho học sinh khả năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán trong dạy học môn Toán giúp học sinh kiến tạo kiến thức, chứ không tiếp thu kiến thức như “đã có sẵn”. Quá trình dạy học như vậy phản ánh được phương pháp nhận thức hay phương pháp phát minh toán học. Nhờ đó, nó sẽ góp phần phát triển năng lực sáng tạo và phát triển tư duy khoa học cho học sinh. Đối với nhiều kiến thức trong phần Hình học không gian lớp 11 trung học phổ thông, giáo viên không phải mất nhiều thời gian để giúp học sinh phát hiện hay đưa ra những kết luận có tính dự đoán. Vì vậy Vviệc tiến hành dạy học theo hướng dự đoán và kiểm chứng dự đoán sẽ góp phần phát triển năng lực quan sát, năng lực khái quát hoá, khả năng giải quyết vấn đề, chứng minh hoặc bác bỏ một nhận định ... cho học sinh. Từ đó, tạo niềm vui hứng thú cho học sinh, giúp học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập. Ở nước ta hiện nay, đã có một số đề tài nghiên cứu về việc dự đoán và kiểm chứng trong một tình huống dạy học cụ thể như 6, tr.100 111 và bước đầu đã thu được những thành công nhất định. Tuy nhiên, có rất ít các tài liệu trình bày cụ thể việc rèn luyện khả năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán trong dạy học Hình học không gian. Xuất phát từ những lí do trên, đề tài nghiên cứu được chọn là: “ Rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông.

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đàotạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Vì vậy, việc nâng cao chất lượng dạy họcnói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng luôn là một yêu cầu đốivới ngành Giáo dục nước ta

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được ghi rõ trong các vănbản pháp quy của nhà nước và ngành Giáo dục Mục 2, điều 28, khoản 1 củaLuật Giáo dục (2005) đã ghi: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặcđiểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩnăng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”

Việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục

đã và đang được tiến hành đồng bộ từ giáo dục Mầm non, Tiểu học cho tớigiáo dục Trung học phổ thông Tuy nhiên, bước đầu kết quả đạt được vẫnchưa đáp ứng được yêu cầu đặt ra

Từ thực tiễn học tập của bản thân trong trường phổ thông và Đại học,kết hợp với những kinh nghiệm giảng dạy có được, tôi nhận thấy đa số họcsinh còn gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận với kiến thức về hình học khônggian Việc làm sao để học sinh có hứng thú, tích cực, chủ động nhận thức cácđối tượng, các khái niệm, các định lí của hình học không gian luôn là vấn đềtrăn trở với nhiều giáo viên

Theo Nguyễn Cảnh Toàn, để đào tạo cho học sinh thành những ngườinắm toán học, để cải tạo thực tiễn thì “không thể chỉ dạy học thứ toán học đãhình thành sẵn mà phải dạy cho học sinh thứ toán học đang vận động, đang pháttriển do sự thúc đẩy của thực tiễn và do những nhu cầu nội tại” [5; tr.101] Vìvậy việc dạy cho học sinh khả năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán trong dạyhọc môn Toán giúp học sinh kiến tạo kiến thức, chứ không tiếp thu kiến thứcnhư “đã có sẵn” Quá trình dạy học như vậy phản ánh được phương pháp nhận

thức hay phương pháp phát minh toán học Nhờ đó, nó sẽ góp phần phát triểnnăng lực sáng tạo và phát triển tư duy khoa học cho học sinh.

Đối với nhiều kiến thức trong phần Hình học không gian lớp 11 trung họcphổ thông, giáo viên không phải mất nhiều thời gian để giúp học sinh phát hiệnhay đưa ra những kết luận có tính dự đoán Vì vậy Vviệc tiến hành dạy học theohướng dự đoán và kiểm chứng dự đoán sẽ góp phần phát triển năng lực quan sát,năng lực khái quát hoá, khả năng giải quyết vấn đề, chứng minh hoặc bác bỏ mộtnhận định cho học sinh Từ đó, tạo niềm vui hứng thú cho học sinh, giúp họcsinh tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập

Ở nước ta hiện nay, đã có một số đề tài nghiên cứu về việc dự đoán vàkiểm chứng trong một tình huống dạy học cụ thể như [6, tr.100 - 111] và bướcđầu đã thu được những thành công nhất định Tuy nhiên, có rất ít các tài liệutrình bày cụ thể việc rèn luyện khả năng dự đoán và kiểm chứng dự đoántrong dạy học Hình học không gian

Xuất phát từ những lí do trên, đề tài nghiên cứu được chọn là:

“ Rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh trong dạy họcHình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề xuất những biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dựđoán cho học sinh trong dạy học nội dung Hình học không gian lớp 11 Trunghọc phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu quá trình dự đoán và kiểm chứng dự đoán thông qua việc phân tích một vài ví dụ cụ thể trong môn Hình học không gian

- Điều tra thực trạng dạy và học phần Hình học không gian lớp 11 theohướng rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán

- Đề xuất những biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng

dự đoán trong dạy học Hình học không gian lớp 11

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính hiệu quả của cácbiện pháp được đề xuất trong đề tài.

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là quá trình dạy học Hình học khônggian lớp 11 nâng cao ở trường Trung học phổ thông

5 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được những biện pháp sư phạm thích hợp thì có thể rènluyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán cho học sinh trong dạy họcHình học không gian lở lớp 11 Ttrường trung học phổ thông, góp phần nângcao chất lượng dạy học Hình học 11 nói riêng và chất lượng dạy học mônToán nói chung

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp, so sánh, hệ thống hóa,…cáctài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài

- Điều tra – quan sát: Quan sát thực trạng dạy và học môn Toán nóichung, dạy học nội dung “Hình học không gian” lớp 11 theo hướng rèn luyện

kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán nói riêng tại một số trường Trunghọc phổ thông ở tỉnh Bắc Ninh

- Thực nghiệm sư phạm: Để xem xét tính khả thi và hiệu quả của cácbiện pháp sư phạm đã đề xuất

- Phương pháp thống kê: Lập bảng số liệu , xây dựng đồ thị và tính cáctham số đặc trưng để có căn cứ kết luận về tính khả thi và hiệu quả của cácbiện pháp sư phạm đã đề xuất

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Những biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểmchứng cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng caoTrung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu của đề tài

Trong giáo trình Phương pháp dạy học môn Toán (2004), tác giả

Nguyễn Bá Kim đã trình bày những tình huống điển hình trong dạy học mônToán

Về dạy học khái niệm, tác giả trình bày ba con đường dạy học khái

niệm trong đó có con đường qui nạp và con đường kiến thiết Hai con đường

này có ưu điểm là khơi dậy hoạt động tích cực, tự giác của học sinh, góp phầnphát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao tính độc lậptrong việc đưa ra định nghĩa

Về dạy học định lí, tác giả trình bày hai con đường dạy học định lí,

trong đó có con đường Dạy học định lí có khâu suy đoán Con đường này

thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà họcsinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ nhất định

Về dạy học qui tắc phương pháp, tác giả có chú ý “Cùng với nhữngthuật giải và qui tắc tựa thuật giải, ta không được lãng quên một số qui tắc,phương pháp có tính chất tìm đoán như qui lạ về quen, khái quát hóa, tương

những phương tiện kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thựchiện từng bước của phương pháp chung giải Toán” [5; tr.396].

Tác giả Nguyễn Phú Lộc cũng đã đưa ra các phương án dạy họcđịnh lí trong môn Giải tích có khâu nêu giả thuyết [6; tr.100 - 111] Tácgiả quan niệm dự đoán như một giả thuyết khoa học, và phân tích quátrình dạy học này dưới góc độ của nhiều lí thuyết dạy học khác nhau.Trong tài liệu này, tác giả đã làm nổi bật sự cần thiết của việc dạy họcđịnh lí trong G g iải tích có khâu nêu giả thuyết và phương pháp xây dựnggiả thuyết trong dạy học giải tích

Thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông cho thấy giáo viên vàhọc sinh thường ít quan tâm sử dụng cách dạy, cách học theo con đường dựđoán và kiểm chứng Trong khi đó, quá trình dự đoán khơi dậy ở học sinh sựsáng tạo, tư duy lôgic bằng những suy luận có lí, và quá trình kiểm chứngchính là việc chứng minh những dự đoán đó bằng những suy luận chứngminh Hai việc làm này thúc đẩy sự phát triển tư duy toán học cho học sinh,làm tăng hứng thú học tập toán học, đồng thời tập dượt cho những học sinhsay mê toán cách tiếp cận toán học như một nhà khoa học

Trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, có khá nhiều tìnhhuống có thể thiết kế để dạy và học theo con đường dự đoán và kiểm chứng

Đó có thể là một tình huống dạy học khái niệm, một tình huống dạy học định

lí, một tình huống dạy học quy tắc phương pháp hay một tình huống dạy họcgiải bài tập toán học Kĩ năng dự đoán và kiểm chứng không chỉ được rènluyện ở một bộ phận toán học nhất định mà có thể được rèn luyện trong nhiềuphân môn khác nhau của Toán như: Đại số, Giải tích, Hình học Trong luậnvăn này, tôi mong muốn đưa ra những biện pháp dạy học Hình học khônggian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông theo hướng rèn luyện kĩ năng dựđoán và kiểm chứng Luận văn sẽ tập trung vào việc đưa ra biện pháp tổng

quát và ứng dụng vào dạy học các tình huống điển hình của toán học: dạy họckhái niệm, dạy học định lí, dạy học các quy tắc phương pháp và dạy học giảibài tập toán học.

1.2 Kĩ năng

1.2.1 Khái niệm kĩ năng

“Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn Trong

đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện mộtviệc gì” [1, tr.548]

Chúng ta thường nhầm lẫn kĩ năng với phản xạ, thói quen hay mộtloại kiến thức Vì vậy cần thiết phải phân biệt kĩ năng với một số thứ có

vẽ được hình theo yêu cầu Trong khi đó, với một học sinh đã được luyện tập

vẽ hình lập phương nhiều lần thì em này sẽ dùng những kĩ năng có được đểthực hiện yêu cầu đề ra

Kĩ năng khác với thói quen: Hầu hết các thói quen được hình thành mộtcách vô thức, khó kiểm soát Trong khi đó kĩ năng được hình thành một

cách có ý thức do quá trình luyện tập

Kĩ năng khác với kiến thức: Kiến thức thuần túy chỉ là biết, là hiểunhưng chưa bao giờ làm, thậm chí không bao giờ làm Trong khi đó kĩ nănglại là hành động thuần thục trên nền tảng kiến thức

Thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụngkiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể hoặc vận dụng tri thức đã biết đểtiếp cận, tìm ra tri thức mới, nguyên nhân là do: học sinh không nắm vữngkiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, khiến chúng không trở thành cơ sởcủa kĩ năng Muốn hình thành được kĩ năng, đặc biệt là kĩ năng dự đoán vàkiểm chứng các dự đoán, người giáo viên cần phải cho học sinh học Toántrong hoạt động và bằng hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo.

1.2.2 Đặc điểm của kĩ năng

Khái niệm kĩ năng trình bày ở mục 1.2.1 chứa đựng những đặc điểmsau (Phần này có tham khảo trong [3; tr.14 – 15]):

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.Bởi vì, cấu trúc của kĩ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả -hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ cácthuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tạitrong ý thức với tư cách là công cụ của hành động Cùng với vai trò cơ sở củatri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ năng, cần hướng mạnh vào việcvận dụng những tri thức và rèn luyện kĩ năng, vì kĩ năng chỉ có thể được hìnhthành và phát triển trong hoạt động

- Kĩ năng trong toán học phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm:kiến thức, kĩ năng, phương pháp

1.2.3 Sự hình thành kĩ năng

Bất cứ một kĩ năng nào được hình thành nhanh hay chậm, bền vữnghay lỏng lẻo đều phụ thuộc vào khát khao, quyết tâm, năng lực tiếp nhận củachủ thể, cách luyện tập, tính phức tạp của chính kĩ năng đó Dù hình thànhnhanh hay chậm thì kĩ năng cũng đều trải qua những bước sau đây [176]:

- Hình thành mục đích Lúc này thường thì chủ thể tự mình trả lờicâu hỏi “Tại sao tôi phải sở hữu kĩ năng đó?”; “Sở hữu kĩ năng đó tôi cólợi gì?”…

- Lên kế hoạch để có kĩ năng đó Thường cũng là tự làm Cũng cónhững kế hoạch chi tiết và cũng có những kế hoạch đơn giản như là “ngàymai tôi bắt đầu luyện kĩ năng đó”

- Cập nhật kiến thức / lý thuyết liên quan đến kĩ năng đó Thông qua tàiliệu, báo chí hoặc buổi thuyết trình nào đó Phần lớn thì những kiến thức nàychúng ta được học từ trường và từ thầy cô của mình

- Luyện tập kĩ năng Học sinh có thể luyện tập kĩ năng trong các giờhọc tại lớp cùng giáo viên và tự luyện tập

- Ứng dụng và hiệu chỉnh Để sở hữu thực sự một kĩ năng chúng ta phảiứng dụng nó trong cuộc sống và công việc Công việc và cuộc sống thì biếnđộng không ngừng nên việc hiệu chỉnh là quá trình diễn ra thường xuyênnhằm hướng tới việc hoàn thiện kĩ năng của chúng ta

1.3 Dự đoán và kiểm chứng dự đoán trong dạy học môn Toán

1.3.1 Giả thuyết khoa học

Trong bài viết Vấn đề xây dựng giả thuyết nghiên cứu trong các đề tài khoa học của sinh viên, tác giả Nguyễn Phúc Chỉnh – Trường Đại học

Sư Phạm Thái Nguyên đã trích dẫn từ [15]: Giả thuyết khoa học(Scientific hypothesis), hay giả thuyết nghiên cứu (Research hypothesis),

là sự giải thích quan hệ nhân quả của hiện tượng nào đó cần khám phánhưng chưa đủ độ tin cậy, là một sự phán đoán khoa học giả định, làphương thức của hoạt động nhận thức

Giả thuyết khoa học còn gọi là giả thuyết nghiên cứu, là một nhận định

sơ bộ, một kết luận giả định về bản chất sự vật do người nghiên cứu đưa ra để

chứng minh hay bác bỏ [2] Thực chất giả thuyết là câu trả lời có thể có chovấn đề đặt ra, nhưng cần phải chứng minh hoặc bác bỏ Như vậy, hình thànhmột giả thuyết khoa học chính là đưa ra một dự đoán về bản chất sự vật Giảthuyết là một khâu trong phương pháp nghiên cứu khoa học Xét về mặt cấutrúc logic của nghiên cứu thì giả thuyết nằm ở vị trí luận đề Giả thuyết khoahọc luôn vượt ra khỏi phạm vi khảo sát sự kiện, không chỉ giải thích chúng

mà còn làm chức năng dự báo

Theo nhiều nhà nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu khoa học baogồm các bước sau đây:

Bước 1: Quan sát

Bước 2: Phát biểu vấn đề cần giải quyết

Bước 3: Xây dựng giả thuyết (dự đoán) trả lời sơ bộ cho vấn đề đặt ra.Bước 4: Tìm cách để kiểm tra giả thuyết đúng hay sai (kiểm chứng)Bước 5: Kết luận: chấp nhận, bổ sung hay bác bỏ giả thuyết

Đánh giá về vai trò của giả thuyết trong sự phát triển khoa học, F.Engels viết: “Hình thức phát triển của khoa học tự nhiên, trong chừng mực

mà khoa học này tư duy, là giả thuyết Tài liệu kinh nghiệm sau này sẽ chọnlọc lại những giả thuyết ấy, gạt bỏ những giả thuyết này, sửa đổi những giảthuyết khác cho đến lúc, cuối cùng, quy luật được xác định dưới hình thứcthuần khiết” [6; tr.101]

Trong toán học, M Seigel và R Borasi (1994) cho rằng, tri thức

toán học được tạo ra thông qua một quá trình không tuyến tính; trong đó,

sự khái quát hóa các giả thuyết đóng vai trò then chốt Quan điểm này cónhiều điểm chung với luận điểm của Lakatos rằng, tri thức toán học có ýnghĩa được tạo ra thông qua quá trình lặp đi lặp lại của “các chứng minh

và bác bỏ” khi nhà toán học đặt ra cơ cấu giải thích tạm thời – một giảthuyết – trước khi có chứng cứ đầy đủ nhằm giúp cho cơ cấu giải thíchhay giả thuyết đó được chấp nhận Logic của khám phá toán học củaLakatos có thể được diễn giải như một quy trình có tính vòng tròn, trong

đó giả thuyết và chứng minh không chính thức được đưa ra trước Nhưvậy, theo nhiều nhà nghiên cứu lịch sử toán học thì lịch sử phát triển củatoán học là lịch sử của các chứng minh và bác bỏ các giả thuyết khoahọc [6; tr.101] Trong phạm vi hẹp, chúng tôi coi quá trình dự đoán cũnggiống như quá trình hình thành một giả thuyết khoa học Do vậy, dựđoán và kiểm chứng dự đoán được xem là một phương pháp nhận thứckhoa học nói chung và là phương pháp nhận thức toán học nói riêng

1.3.2 Nghiên cứu quá trình dự đoán và kiểm chứng dự đoán

Quá trình dự đoán và kiểm chứng các dự đoán liên quan đến việc ứngdụng kiến thức Đó là một quá trình mà chúng ta có thể làm một cách thật tựnhiên trong rất nhiều tình huống dạy học môn Toán Chẳng hạn như sau:

Ví dụ 1.1 Một học sinh tham gia vào quá trình dự đoán và kiểm chứng

dự đoán nếu như sau một hồi quan sát các vị trí có thể có giữa đường thẳng vàmặt phẳng, học sinh đó đi đến kết luận: đường thẳng và mặt phẳng có thểkhông có điểm nào chung (tạm gọi là vị trí song song), đường thẳng và mặtphẳng có một điểm chung duy nhất (lúc đó đường thẳng xuyên qua mặt phẳnghay tạm gọi là cắt mặt phẳng), đường thẳng và mặt phẳng có vô số điểmchung (tạm gọi là đường thẳng nằm trên mặt phẳng)

a

a

P P

P

A

Hình 1.1Khi đó, học sinh này có thể suy nghĩ đến mối quan hệ giữa số điểmchung của đường thẳng và mặt phẳng với vị trí tương đối của chúng: không

có điểm chung thì song song, có một điểm chung duy nhất thì cắt nhau và có

vô số điểm chung thì chứa nhau Vậy học sinh đó có thể đặt ra câu hỏi: Liệugiữa đường thẳng và mặt phẳng cần có tối thiểu bao nhiêu điểm chung đểchúng chứa nhau (tức là đường thẳng nằm trên mặt phẳng)? Từ kết luận màhọc sinh đó rút ra sau khi quan sát ở trên, học sinh này có thể dự đoán rằnggiữa đường thẳng và mặt phẳng chỉ cần có hai điểm chung phân biệt thì sẽ có

vô số điểm chung tức là mọi điểm của đường thẳng đều nằm trên mặt phẳng.Học sinh này sẽ kiểm tra lại những dự đoán của mình thông qua những kiếnthức đã biết về hình học không gian

Thật vậy: Giả sử A và B là hai điểm phân biệt của mặt phẳng ( )P , 

là đường thẳng đi qua A và B

Theo tính chất thừa nhận “Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biếtcủa hình học phẳng đều đúng” thì trong ( )P có một đường thẳng ' đi qua A

và B Lại theo tính chất thừa nhận “Có một và chỉ một đường thẳng đi quahai điểm phân biệt cho trước” thì  trùng với ' Do đó  nằm trong mặtphẳng ( )P

Như vậy, trong ví dụ này, học sinh đã tham gia vào quá trình dự đoán

và kiểm chứng dự đoán Dự đoán mà học sinh đưa ra đã được khẳng định làđúng sau khi em đó chứng minh nó bằng những suy luận lôgic Cũng cónhững trường hợp dự đoán đưa ra bị bác bỏ nhờ một phản ví dụ hoặc chứngminh được điều ngược lại… Trong trường hợp này người học sẽ tích cực suynghĩ để đưa ra một dự đoán khác chính xác hơn

1.3.2.1 Dạy học có khâu dự đoán và kiểm chứng có yếu tố củalà dạy học khám phá

“Khám phá là quá trình hoạt động và tư duy, có thể bao gồm quan sát,phân tích, nhận định, đánh giá, nêu giả thuyết, suy luận… nhằm đưa ra nhữngkhái niệm, phát hiện ra những tính chất, quy luật … trong các sự vật hiệntượng và các mối liên hệ giữa chúng” [8; tr.159]

Để tham gia vào quá trình dự đoán và kiểm chứng các dự đoán, họcsinh phát hiện ra một vấn đề phải trải qua các hoạt động gần giống như mộtnhà toán học

Ví dụ 1.2 Nhờ mô hình và phương tiện dạy học, học sinh có cơ hội dự

đoán, kiểm chứng (ở một mức độ nào đó) để khám phá một số tính chất thừanhận của Hình học không gian

- Trong mặt phẳng, qua hai điểm phân biệt cho trước kẻ được mấyđường thẳng?

- Em hãy chống hai viên phấn lên bàn và coi hai đầu phấn là hình ảnhhai điểm phân biệt trong không gian Một em khác cầm một cái thước kẻ bằng

gỗ Nếu coi mép thước kẻ là hình ảnh một phần đường thẳng thì liệu có đặtđược thước lên hai đầu viên phấn không?

- Em thứ ba cũng cầm một cái thước kẻ bằng gỗ Muốn đặt cái thước

gỗ thứ hai này lên hai đầu viên phấn (tức là phải có vết phấn trên thước sau

Qua quá trình thực nghiệm và quan sát nói trên, học sinh sẽ nhận thấymuốn thước thứ hai đặt trên hai đầu viên phấn thì nó phải thay thế vị trí củathước thứ nhất, nghĩa là hai đường thẳng tượng trưng bởi hai thước này phảitrùng nhau.

Để cho học sinh tự nghĩ và làm các thí nghiệm tương tự, các em sẽ rút

ra một dự đoán: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệtcho trước Lúc này, giáo viên khẳng định lại dự đoán đó của các em

1.3.2.2 Dạy học có khâu dự đoán và kiểm chứng có yếu tố củalà dạy học kiến tạo

Trong [8; tr.76] của tác giả Bùi Văn Nghị có nêu những luận điểm cơbản của thuyết kiến tạo, một trong những luận điểm đó là: “Học sinh đạt đượctri thức mới theo chu trình: tri thức đã có  dự đoán  kiểm nghiệm 

(thất bại)  thích nghi  tri thức mới”

Kiến thức toán học được học sinh tiếp thu không phải là kiến thức toánhọc đã “được làm sẵn” hay “kiến thức đã hình thành” mà học sinh phải liên

hệ với vốn tri thức đã biết để đưa ra dự đoán, và tích cực vận dụng các kiếnthức đã biết để chứng minh hay bác bỏ dự đoán đó Khi tiến hành dạy họctheo mô hình này, giáo viên có nhiều cơ hội tạo ra sự tương tác giữa giáo viên

và học sinh, giữa học sinh với học sinh thông qua việc thảo luận để đưa ra dựđoán và tranh luận với nhau, nhằm để chấp nhận hay bác bỏ dự đoán đã đưara

Ví dụ 1.3 Giáo viên có thể thiết kế một tình huống dạy học khái niệm

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng như sau:

- Ta đã biết khái niệm hai đường thẳng vuông góc với nhau trongkhông gian, vậy định nghĩa khái niệm cần quan niệm thế nào là đường thẳngvuông góc với mặt phẳng được phát biểu như thế nào?

- Nếu coi cái cọc là hình ảnh một đường thẳng và mặt sân là hình ảnhmột mặt phẳng thì khi nào cái cọc vuông góc với mặt sân?

- Hãy tưởng tượng về công việc của người thợ xây, cChúng ta đã biếttheo sức hút của trái đất thì một chiếc dây dọi được xem là vuông góc với mặtđất Vậy cái cọc muốn vuông góc với mặt sân thì nó phải có phương như thếnào? (Cùng phương với chiếc dây dọi)

- Trong trường hợp mặt phẳng đang xét là một bức tường thì nên quanniệm thế nào về cái cọc vuông góc với bức tường?” Hoặc ngược lại, khi nàothì cái cọc xiên góc (không vuông góc) với bức tường? (Câu trả lời có thểđược dự đoán là: khi có một đường thẳng nằm trên tường không vuông gócvới nó)

- Vậy ngược lại có thể đưa ra dự đoán: một đường thẳng được gọi làvuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với mọi đường thẳng trongmặt phẳng ấy

- Dự đoán này giải quyết được vấn đề đặt ra, đó là trả lời cho câu hỏikhi nào một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, và dự đoán đó phùhợp với những kiến thức đã biết trước đây Đến lúc này giáo viên khẳng địnhtính đúng đắn của dự đoán tìm được và phát biểu khái niệm

1.3.2.3 Dạy học có khâu dự đoán và kiểm chứng có yếu tố củalà dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Then chốt của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề làgiáo viên thiết kế được những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tìnhhuống có vấn đề khai thác được từ nội dung bài học [8; tr.153]

Việc hình thành dự đoán chính là nêu ra một tình huống có vấn đề Giaiđoạn kiểm chứng chính là giai đoạn giải quyết vấn đề và bổ sung chính xáchóa (nếu cần) Việc phát biểu kết luận chính là giai đoạn cuối cùng của dạy

Ví dụ 1.4 Sau khi học xong quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và

mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, giáo viên có thể dạy học sinh xây dựng quytrình xác định hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng (trên hình

biểu diễn) như sau (có thể chia nhóm):

- Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '

Hãy xác định hình chiếu của:

a) Điểm A' trên mặt phẳng (ABCD)

b) Điểm A' trên mặt phẳng (AB D' ')

I

C'

B' D'

B

A A'

Hình 1.2

- Ở trường hợp a) học sinh dễ dàng dự đoán phát hiện (phát hiệndựđoán) hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD) là điểm A và cũng dễ dàngkiểm chứng (giải quyết vấn đề) xem A A' có vuông góc với (ABCD) tại A

hay không

- Ở trường hợp b) học sinh có thể dự đoán (phát hiện)phát hiện (dựđoán) sai rằng hình chiếu của A' trên mặt phẳng (AB D' ') chính là điểm I

(giao điểm của A C' ' và B D' ' ) Khi đó, học sinh có thể tự bác bỏ hoặc bác

bỏ dự đoán đó dưới sự gợi ý của giáo viên (ví dụ: em có chứng minh được' ( ' ')

A I  AB D hoặc nếu 'A I (AB D' ') thì có dẫn đến điều gì mâu thuẫnvới giả thiết không?)

- Giáo viên gợi ý (nếu cần) để học sinh dự đoán (phát hiện) phát hiện ( dựđoán) về hình chiếu của A' trên mặt phẳng (AB D' ') và kiểm chứng dự đoánôán

đó (giải quyết vấn đề)

+ Hãy tìm một mặt phẳng qua A' và vuông góc với (AB D' ')? (Học sinh

có thể dự đoán đó là (ACC A' ') và kiểm chứng để thấy dự đoán đó là đúng)

+ Tìm giao tuyến của (AB D' ') và (ACC A' ')? (Học sinh tìm được giaotuyến là AI )

+ Trong (ACC A' '): A H' AI, H AI Hỏi A H' có vuông góc với

(AB D' ')?

+ Từ đó có kết luận gì về hình chiếu của A' trên mặt phẳng (AB D' ')?

- Giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra quy trình tìm hình chiếu của mộtđiểm trên một mặt phẳng

- Giáo viên nhận xét, chính xác hóa quy trình do học sinh đề xuất

1.4 Chương trình và nội dung Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông

1.4.1 Phân phối chương trình

Theo sách giáo viên Hình học nâng cao 11 phân phối thời gian dạy vàhọc phần Hình học không gian như sau: (33 tiết/47 tiết)

Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

§1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 4 tiết

§3 Đường thẳng song song với mặt phẳng 2 tiết

Chương III: VecTơ trong không gian Quan hệ vuông góc 17 tiết

§1 Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các vectơo 3 tiết

§3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 3 tiết

Ôn tập và kiểm tra chương III 3 tiết

1.4.2 Mục tiêu dạy học Hình học 11 nâng cao

Môn Toán Trung học phổ thông có nhiệm vụ cung cấp cho học sinhnhững kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực,góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suyluận đặc trưng của Toán học, cần thiết cho cuộc sống, góp phần hình thành vàphát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động,

có ý chí và thói quen tự học thường xuyên Môn Toán tạo cơ sở để học sinh tiếptục học lên đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vàocuộc sống lao động theo định hướng của Ban khoa học tự nhiên

Việc dạy học Hình học 11 nâng cao nhằm các mục tiêu sau:

(1) Hoàn thiện kiến thức về Hình học phẳng (chương I: Phép dời hình

và phép đồng dạng trong mặt phẳng) Bổ sung kiến thức về hình học khônggian trong đó Hình học không gian được nghiên cứu chủ yếu bởi phươngpháp tiên đề và phương pháp vectơ (phương pháp tọa độ sẽ tiếp tục đượcnghiên cứu ở chương trình Hình học lớp 12)

- Vectơ là một khái niệm quan trọng mà học sinh đã được biết đếntrong chương trình Hình học lớp 10 (vectơ trong mặt phẳng) Ở chương trìnhHình học 11 các em sẽ làm quen với vectơ trong không gian và dùng nó đểnghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian, đây cũng là cơ sở để trìnhbày phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12

- Phương pháp tiên đề được trình bày dựa trên các kiến thức về hệ tiên

đề Hin – be Tuy nhiên trong chương trình toán 11 theo sách giáo khoa cảicách 2007, chúng ta không gọi các mệnh đề được thừa nhận là tiên đề mà gọi

là những “tính chất thừa nhận”, vì chưa muốn học sinh phổ thông đi sâu vàophương pháp tiên đề

(2) Tiếp tục rèn luyện và phát triển tư duy logíc, trí tưởng tượng khônggian, và kĩ năng vận dụng kiến thức hình học vào việc giải toán, vào hoạtđộng thực tiễn, vào việc học tập các bộ môn khác

1.4.3 Những chú ý khi giảng dạy Hình học 11 nâng cao

(Phần này được viết dựa trên những chú ý trình bày trong tài liệu [10]).Trước kia theo cách giảng dạy cũ, sách giáo khoa chỉ đơn thuần là một tài liệukhoa học dùng cho giáo viên Nội dung các tiết dạy thường được viết côđọng, giống như một bài báo viết trên các tạp trí tToán học: đầu tiên là nêuđịnh nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồicác định lí và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ hoặc các bài toán Trong đợtthay đổi sách năm 2006-2007, sách giáo khoa cố gắng góp phần vào việc cảitiến phương pháp giảng dạy của thầy và phương pháp học của trò Về nộidung kiến thức, chương trình mới có những thay đổi như sau:

(1) Cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, không đòi hỏi phải chính xác mộtcách hoàn hảo Những chứng minh rườm rà, rắc rối thì có thể bỏ qua và thaybằng những kiểm chứng hoặc những minh họa đơn giản Những chứng minhcủa các sự kiện quá đơn giản được lược bỏ

Chẳng hạn: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặtphẳng thì song song với nhau”, “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc vớimột đường thẳng thì song song với nhau” là những sự kiện đơn giản

Chẳng hạn: “Qua phép chiếu song song, tỉ số của hai đoạn thẳng nằmtrên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng khôngthay đổi” là sự kiện có chứng minh tương đối dài dòng và phức tạp

Tuy nhiên không bỏ tất cả các chứng minh vì Hình học là môn học gópphần dạy cho học sinh cách lập luận trong các chứng minh

(2) Tăng cường phần luyện tập và thực hành Đưa vào các câu hỏi vàcác hoạt động nhằm giúp học sinh suy nghĩ tìm tòi chứ không thụ động nghegiảng Các bài tập phần lớn nhằm mục đích củng cố những kiến thức cơ bản,nhằm rèn luyện kĩ năng tính toán không quá phức tạp, và có chú trọng đến cácbài toán thực tiễn Không chú trọng đến các bài tập khó, phức tạp, hoặc cácbài tập phải dùng nhiều mẹo mực mới giải được.

(3) Tăng cường tính thực tế, chú trọng áp dụng vào thực tế đời sống

1.4.4 Nội dung và yêu cầu của Hình học không gian 11 nâng cao

Nội dung Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thôngtrình bày về các đối tượng hình học không gian: điểm, đường thẳng, mặtphẳng và các mối quan hệ giữa chúng (quan hệ song song, quan hệ vuônggóc) Nội dung này được trình bày trong hai chương ứng với chương II vàchương III trong sách giáo khoa

Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song Chương này trình bày đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (là

hai khái niệm cơ bản của hình học không gian) và quan hệ song song giữachúng Học xong chương này, học sinh phải nắm được các yêu cầu sau đây:

(4) Nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình

(5) Nắm được định nghĩa và cách vẽ ba hình không gian: hình chóp,hình lăng trụ và hình chóp cụt

Chương III: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc Chương này

nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng vàmặt phẳng, giữa hai mặt phẳng Kiến thức về vectơ là cơ sở để xây dựng quan

hệ vuông góc trong không gian Học xong chương này, học sinh phải đạtđược các yêu cầu:

(1) Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vuông góc

và giải một số bài toán hình học không gian

(2) Sử dụng được các điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặtphẳng vào việc giải toán

Nắm được khái niệm và cách tính góc, khoảng cách giữa một số đốitượng trong hình học không gian

1.5 Thực trạng dạy học Hình học không gian ở trường Trung học phổ thông theo hướng rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán 1.5.1 Số lượng bài toán yêu cầu học sinh dự đoán và kiểm chứng dự đoán trong sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao

Trong Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, ngoài các bài tập trắcnghiệm cuối mỗi chương thì phần Hình học không gian có 98 bài tập Trong

đó, các bài tập đòi hỏi học sinh phải thực hiện cả hai khâu dự đoán và kiểmchứng dự đoán là 12 (chẳng hạn như các bài tập 8 trang 50, 13 trang 51, 18

trang 55, 25 – 26 trang 59,…[9]), chiếm tỉ lệ 12 12,2%

98  Điều đó cho thấyviệc rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán cho học sinh cũng đãđược quan tâm Tuy số lượng bài tập đòi hỏi học sinh dự đoán và kiểm chứngmột cách tường minh chưa thật nhiều song việc dự đoán và kiểm chứng luônđược ẩn chứa trong mỗi bài toán Hình học không gian Vì vậy, theo chúng tôi,

năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh thông qua nội dung Hình họckhông gian.

1.5.2 Điều tra về kĩ năng dự đoán và kiểm chứng của học sinh

* Đối tượng điều tra: Đối tượng điều tra là 425 HS của 10 lớp từ 11A2đến 11A11 năm học 2011 – 2012, trường Trung học phổ thông Hàn Thuyên –Thành phố Bắc Ninh – Tỉnh Bắc Ninh

* Thời gian điều tra: Tháng 11 năm 2012 (Tại thời điểm điều tra cáchọc sinh này đã là học sinh lớp 12 và hoàn thành xong chương trình Hình họckhông gian lớp 11)

* Phương pháp điều tra: Chúng tôi sử dụng phiếu điều tra được phát tớitừng học sinh thuộc đối tượng điều tra (xem phụ lục 1)

* Kết quả điều tra

1 Trong phân môn Toán em thích học môn nào nhất

Rất ít Bình thường Lôi cuốn

5 Khái quát về độ khó của bài toán Hình học không gian trong các tiết học là

A Không thực hiện được yêu cầu này B Kết luận theo cảm tính

C Cứ xét hết các khả năng có thể xảy ra, khả năng nào đúng thì chọn

D Quan sát hình vẽ, mô hình và lập luận logic để dự đoán mối liên hệ vàdùng giả thiết bài toán để kiểm chứng

8 Dụng ý sư phạm và kết quả điều tra qua 3 bài tập trong phiếu

Bà

i

Dụng ý sư phạm/yêu cầu đối với học sinh Số học sinh đạt yêu cầu /425

1 - Có đưa được ra kết luận (dự đoán) về vị

trí tương đối cần xét hay không?

3 - Từ giả thiết bài toán có dự đoán được

cách dựng thiết diện hay không?

97/425

- Có dự đoán và kiểm chứng được dự

đoán về hình dạng thiết diện hay không?

82/425

Kết quả điều tra trên đây cho thấy đa số học sinh còn gặp khó khăntrong việc học môn Hình học không gian Phần lớn học sinh thấy ít hứng thútrong các tiết học Hình không gian và tỏ ra lúng túng khi đứng trước bài toánthuộc phân môn này

Đa số học sinh còn yếu trong kĩ năng đưa ra dự đoán và kiểm chứng dựđoán thể hiện ở các điểm sau:

- Chưa mạnh dạn đưa ra dự đoán cho bài toán hoặc đưa ra dự đoán màkhông nghĩ tới việc kiểm chứng tính đúng sai của dự đoán đưa ra

- Ít xem xét hết các khả năng có thể xảy ra để đưa ra dự đoán có tínhkhoa học Dự đoán đưa ra thường mang yếu tố cảm tính

- Lập luận dùng để kiểm chứng dự đoán chưa thật chặt chẽ, chưa hợplogic Điều đó cho thấy kĩ năng chứng minh hay bác bỏ một nhận định củahọc sinh còn hạn chế

1.5.3 Ý kiến giáo viên về việc rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh

Chúng tôi sử dụng phiếu thăm dò lấy ý kiến 21 giáo viên của tổ Toán-– Tin trường Trung học phổ thông Hàn Thuyên – Tỉnh Bắc Ninh (phiếu điềutra trong phụ lục 2) về mức độ khó của chủ đề Hình học không gian và mức

độ quan tâm tới việc rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinhthông qua các tình huống điển hình của môn Toán nói chung và của phân mônHình học không gian nói riêng

Kết quả thu được thể hiện trong bảng sau:

1 1 Mức độ khó của phần Hình học không gian

Mức độ Khó Vừa sức Dễ

2 2 Về việc sử dụng phương tiện dạy học

3

3 Việc quan tâm rèn luyện kĩ năng dự đoán

4 Việc quan tâm rèn luyện kĩ năng chứng minh

A Nêu ngay nội dung khái niệm

B Xuất phát từ một khái niệm đã có để đưa ra khái niệm mới như một trườnghợp riêng của khái niệm đã biết

C Xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ, từ đó phân tích, so sánh, khái quáthóa,… để tìm ra dấu hiệu đặc trưng đi đến khái niệm

D Hướng dẫn học sinh hình thành khái niệm

E Để học sinh tự hình thành khái niệm theo cách hiểu riêng của bản thân

6 Cách thức dạy học định lí

A Nêu và chứng minh ngay nội dung định lí

B Giáo viên lập luận để dự đoán định lí và hướng dẫn học sinh chứng minh

C Giáo viên lập luận dự đoán định lí và để học sinh tự chứng minh

D Giáo viên hướng dẫn học sinh dự đoán và chứng minh định lí

E Giáo viên để học sinh tự vận dụng các tri thức đã biết để dự đoán và chứngminh định lí

F Giáo viên dạy học định lí bằng các phương pháp khác

7 Cách thức dạy học quy tắc phương pháp

A Nêu ngay quy tắc và cho ví dụ vận dụng

B Giáo viên lấy một vài ví dụ về bài toán, hướng dẫn học sinh giải các bàitoán đó theo cùng một phương pháp Từ đó hình thành quy tắc phương pháp

C Giáo viên lấy ví dụ về bài toán, để học sinh tự tìm và trình bày lời giải.Cuối cùng, giáo viên khái quát lại thành quy tắc phương pháp

D Giáo viên lấy ví dụ về bài toán, để học sinh tự tìm và trình bày lời giải.Cuối cùng, học sinh khái quát lại thành quy tắc phương pháp

E Giáo viên dạy quy tắc phương pháp bằng các cách khác

Kết quả trên cho thấy:

- Những bài tập hình học không gian có trong chương trình đối vớihọc sinh chủ yếu mang tính vừa sức, một số ít ở mức độ cao hơn một chút, nókhông phải là những dạng bài tập quá khó đối với học sinh

- Trao đổi với giáo viên bộ môn về nội dung chương trình môn họcchúng tôi được biết những bài tập dành cho học sinh có trong chương trìnhphù hợp với trình độ nhận thức của các em Nhưng trong quá trình học tập các

em vẫn gặp không ít khó khăn

- Giáo viên phần lớn còn ít quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng dựđoán và kiểm chứng cho học sinh

1.6 Tóm tắt chương I

Chương này trình bày cơ sở lí luận về kĩ năng, đặc điểm của kĩ năng, sựhình thành kĩ năng và vài nét khái quát về kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dựđoán trong dạy học môn Toán

Quá trình dự đoán và kiểm chứng kích thích sự thay đổi trong nhậnthức của học sinh Qua quá trình này, học sinh tiếp cận kiến thức một cáchchủ động, tự giác để từ đó làm chủ tri thức, góp phần phát triển con ngườimột cách toàn diện, năng động, sáng tạo, phù hợp với yêu cầu của xã hội hiệnnay Mặt khác, Toán học trong quá trình phát sinh, phát triển đều tuân theocác bước từ khâu dự đoán đến kiểm chứng dự đoán để khẳng định hoặc bác

bỏ một nhận định nào đó Vì vậy, có rất nhiều cơ hội để rèn luyện kĩ năng dựđoán và kiểm chứng dự đoán thông qua dạy học môn Toán nói chung và phânmôn Hình học không gian lớp 11 Trung học phổ thông nói riêng

Thực tiễn từ một trường Trung học phổ thông cho thấy việc rèn luyện

kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán cho HS trong quá trình dạy học mônToán, đặc biệt là đối với môn Hình học không gian còn nhiều bất cập, cần cónhững biện pháp khắc phục tình trạng này

CHƯƠNG II NHỮNG BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG DỰ ĐOÁN VÀ KIỂM CHỨNG CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 NÂNG CAO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Nguyên tắc rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp 11

Trong quá trình dạy học, người giáo viên có thể xây dựng và thông báo cácmục tiêu học tập cho học sinh, theo dõi sự tiến bộ và khen ngợi thành tích học tậpkịp thời Khi kiến thức mới được hình thành, người giáo viên có vai trò giúp đỡ đểhọc sinh có điều kiện tương tác một cách hiệu quả nhất với kiến thức đó và thựchành để hiểu sâu về nó Thực hiện được những điều trên thì học sinh đã có thể thựchiện các kĩ năng ở mức độ thành thục nhất định Đây là những kết quả đáng chú ý.Nếu giáo viên muốn yêu cầu học sinh vượt xa hơn mức hiểu biết, thì cần đưa các

em tham gia vào những hoạt động đòi hỏi phải tự hình thành và thử nghiệm kiếnthức mới [14; tr 104], đó là quá trình dự đoán và kiểm chứng các dự đoán

Căn cứ vào mục tiêu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học cũngnhư đặc điểm của môn Hình học không gian trong nhà trường phổ thông,chúng tôi đề xuất một số nguyên tắc sau nhằm rèn luyện kĩ năng dự đoán vàkiểm chứng dự đoán cho học sinh

Thứ nhất, đảm bảo vị trí trung tâm của người học, người học là chủ thể

kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành thái độ

Dù với bất kì mục đích dạy học nào thì mục tiêu cuối cùng mà quá trìnhdạy học hướng tới chính là trang bị tri thức, kĩ năng và tư duy thái độ cho họcsinh Vì vậy, việc đảm bảo vị trí trung tâm của người học là nguyên tắc hàngđầu của mọi quá trình dạy học.

Thứ hai, người giáo viên phải chuyển hóa những tri thức giáo khoa

thành những tri thức dạy học với những tình huống khơi dậy ở học sinh nhucầu dự đoán và kiểm chứng dự đoán

Bản thân những tri thức có thể có hoặc không ẩn chứa yêu cầu dự đoán

và kiểm chứng Để có điều kiện rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng chohọc sinh, người giáo viên cần phải chuyển hóa những tri thức giáo khoa ấythành những tri thức dạy học với những tình huống khơi dậyayyj ở học sinhnhu cầu dự đoán và kiểm chứng dự đoán

Thứ ba, tùy thuộc vào thời lượng của từng nội dung dạy học, vào trình

độ nhận thức của học sinh mà giáo viên quyết định lựa chọn các mức độ rènluyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng sao cho phù hợp

Có những nội dung dạy học nếu để học sinh tự suy nghĩ dẫn đến những

dự đoán thì tốn rất nhiều thời gian trong khi phân phối chương trình khôngcho phép Do vậy, trong quá trình dạy học, người giáo viên phải cân đối thờigian cho từng nội dung, sử dụng phương pháp phù hợp với từng đối tượnghọc sinh để đạt hiệu quả học tập tốt nhất

Tùy theo mức độ tham gia của học sinh vào quá trình dạy học mà ta cóthể chia ra các mức độ rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán như

sau (phần này có tham khảo các phương án dạy học định lí trong môn Ggiải tích có khâu nêu giả thuyết [6; tr 105] Trong [6], tác giả Nguyễn Phú Lộc đã

chia ra thành 9 phương án dạy học định lí trong môn Giải tích có khâu nêugiả thuyết):

- Mức độ 1: Giáo viên đưa ra dự đoán và giáo viên kiểm chứng dự đoánhoặc hướng dẫn học sinh kiểm chứng dự đoán khẳng định tính đúng đắn của

dự đoán đó bằng một phép chứng minh

- Mức độ 2: Học sinh đưa ra dự đoán có sự hướng dẫn của giáo viên và giáoviên khẳng định tính đúng đắn của dự đoán đó đó bằng một phép chứng minh

- Mức độ 3: Giáo viên đưa ra dự đoán và tiến hành kiểm chứng dự đoán

- Mức độ 4: Giáo viên đưa ra dự đoán và hướng dẫn học sinh kiểmchứng dự đoán

- Mức độ 25: Giáo viên đưa ra dự đoán và học sinh tự lực kiểm chứng

dự đoán

- Mức độ 6: Học sinh đưa ra dự đoán có sự hướng dẫn của giáo viên vàgiáo viên kiểm chứng dự đoán

- Mức độ 37: Học sinh đưa ra dự đoán và học sinh kiểm chứng dự đoán

có sự hướng dẫn của giáo viên

- Mức độ 8: Học sinh đưa ra dự đoán có sự gợi ý của giáo viên và họcsinh tự lực kiểm chứng dự đoán

- Mức độ 49: Học sinh tự lực đưa ra dự đoán và tự lực kiểm chứng dự đoánđó

Thứ tư, dự đoán đưa ra không được có lôgic trái ngược nhau, nghĩa là:

* Dự đoán đó có một hệ thống ý kiến giữa chúng không phủ định nhau

về lôgic hay hình thức

* Dự đoán đưa ra không đối lập với những kiến thức đã có, đã đượccông nhận

Thứ năm, việc kiểm chứng ở mức độ nhất định (tùy thuộc trình độ học

sinh và thời gian cho phép) là cần thiết

Dự đoán đưa ra có thể đúng, có thể sai, do vậy, rất cần thiết phải đểhọc sinh kiểm chứng dự đoán đó Giáo viên cần làm cho học sinh thấynhu cầu cần phải kiểm chứng dự đoán đưa ra, để các em thấy rằng dù dựđoán đó đúng cho nhiều trường hợp cụ thể đi chăng nữa thì cũng chưachắc đã đúng cho tất cả các trường hợp

2.2 Qui trình rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng cao

Trong giáo trình Phương pháp dạy học môn Toán, tác giả Nguyễn BáKim đã giới thiệu một qui trình dạy học định lí có khâu suydự đoán mà có thểtrình bày lại như hình 2.1

Hình 2.1 Dạy học định lí có khâu suydự đoán (theo Nguyễn Bá Kim)

Trong sơ đồ 2.1 ta thấy việc dự đoán phát hiện trước việc chứng

minh định lí Đây là điểm khác nhau căn bản giữa hai con đường dạy học định lí có khâu suy đoán và dạy học định lí có khâu suy diễn Ở con đường

dạy học định lí có khâu suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước [5;tr.360]

Trên cơ sở các qui trình đó, chúng tôi sẽ xem xét quá trình dạy họctheo hướng tăng cường dự đoán và kiểm chứng dự đoán ở môn Hình họckhông gian trên cả bốn tình huống điển hình trong dạy học Toán Hình 2.2 làqui trình dạy học theo hướng dự đoán và kiểm chứng các dự đoán áp dụngvào môn Hình học không gian Sơ đồ này được điều chỉnh theo sơ đồ doNguyễn Phú Lộc đề xuất [6; tr 103]

sai

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Học sinh quan sát mô hình, hình vẽ động hoặc tĩnh, xét các khả năng, trường hợp đặc biệt…

Bổ sung, chính xác hóa (nếu cần) và phát biểu thành

Kiểm chứng dự đoán đưa raHình thành dự đoán

Hình 2.2 Qui trình dạy học Hình không gian theo hướng dự đoán và

kiểm chứng các dự đoánTrong qui trình trên, sau giai đoạn hình thành dự đoán là quá trình kiểmchứng dự đoán Quá trình này là cần thiết, vì dự đoán có thể đúng mà cũng cóthể sai Điều này thường gặp trong dạy học môn Toán trong nhà trường phổthông Chẳng hạn, khi được hỏi: “Trong mặt phẳng hai đường thẳng phân biệtcùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song, trong khônggian nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng khác thìhai mặt phẳng này sẽ có quan hệ gì với nhau?” Rất nhiều học sinh sẽ đưa ra

dự đoán sai rằng, hai mặt phẳng đó song song với nhau Vậy nên, giáo viêncần lưu ý học sinh việc kiểm chứng lại những dự đoán đưa ra

Khi đưa ra một tình huống yêu cầu học sinh dự đoán, học sinh cóthể đưa ra nhiều dự đoán khác nhau mà trong đó có thể có dự đoán đúngcũng có thể có dự đoán sai Vì vậy, giáo viên cần phải định hướng chohọc sinh biết thực hiện việc kiểm chứng nhằm khẳng định những dựđoán đúng và bác bỏ những dự đoán sai Đôi khi, từ những dự đoán sai,

có thể bổ sung thêm điều kiện,… để có được một dự đoán đúng Đó làmột chu trình: dự đoán  kiểm chứng  dự đoán  kiểm chứng …cho đến khi dự đoán được chứng minh là đúng

2.3 Biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông

Sau đây, chúng tôi đưa ra một số biện pháp để rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh Các biện pháp này có thể tập luyện cho họcsinh một cách tuần tự hoặc đồng thời tùy theo mức độ nhận thức của học sinh.

2.3.1 Tập luyện cho học sinh thói quen dự đoán

Có nhiều cách dự đoán trong môn Toán Đối với chương trình Hình họckhông gian bậc trung học phổ thông, có thể tập luyện cho học sinh thói quen

dự đoán bằng các cách sau đây:

2.3.1.1 Dự đoán bằng phương pháp qui nạp

Qui nạp khoa học là phép quy nạp không hoàn toàn được thực hiện trên

cơ sở nghiên cứu một bộ phận cần khái quát Song quy nạp khoa học có đặctrưng là kết luận của nó phản ánh chính xác các dấu hiệu bản chất của cả lớprút ra từ một bộ phận đối tượng thông qua mối liên hệ tất yếu của các đốitượng trong lớp Qui nạp khoa học dựa trên cơ sở thiết lập (phát hiện) các mốiliên hệ nhân quả giữa các hiện tượng

Nhờ phương pháp quy nạp người học có thể đưa ra dự đoán về một vấn

đề nào đó Vì vậy, để giúp học sinh hình thành kĩ năng dự đoán thì nên tậpluyện cho học sinh dự đoán bằng phương pháp qui nạp

b Mục đích của biện pháp

Sử dụng phương pháp qui nạp để tập luyện cho học sinh thói quen dựđoán – một trong hai khâu quan trọng của quá trình rèn luyện kĩ năng dự đoán

và kiểm chứng dự đoán cho học sinh

- Bước 3 (khái quát hóa): Khi học sinh nhận ra những thuộc tính chung

đủ dùng để đưa ra một dự đoán nào đó, giáo viên để học sinh phát biểu dựđoán của mình trong trường hợp tổng quát

Ví dụ 2.1 Dạy học khái niệm hình lăng trụ.

- Giáo viên cho học sinh quan sát các hình vẽ 2.3

- Yêu cầu học sinh tìm ra các đặc điểm chung của các hình vẽ vừaquan sát Học sinh có thể nêu ra một số đặc điểm: hai đáy song song, haiđáy là hai đa giác bằng nhau, các cạnh bên song song, các mặt bên là cáchình bình hành,

Hình 2.3

- Giáo viên khẳng định: các hình vẽ vừa quan sát là những hình lăngtrụ Vậy các em hãy nêu một dự đoán về khái niệm hình lăng trụ?

- Giáo viên chính xác hóa khái niệm hình lăng trụ

Ví dụ 2.2 Dạy học định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng

- Giáo viên cho học sinh quan sát các hình ảnh mô phỏng mặt phẳngsẵn có trong phòng học hoặc sử dụng hình 2.4vẽ mô phỏng sau:

- Yêu cầu học sinh quan sát hình vẽ

và xác định các giao tuyến của các mặt

B A

C D

A'

Hình 2.4

- Qua các ví dụ trên và có thể thêm một vài ví dụ về các cặp ba mặtphẳng khác, giáo viên gợi ý học sinh đưa ra một vài nhận xét các trường hợp

có thể xảy ra về giao tuyến của ba mặt phẳng ấy

- Từ những nhận xét trên, học sinh có thể đưa ra dự đoán về giao tuyếncủa ba mặt phẳng phân biệt Nếu học sinh chưa thể khái quát và đưa ra dựđoán thì giáo viên để cho học sinh tự lấy thêm ví dụ về ba mặt phẳng bất kì và

xét vị trí tương đối của ba giao tuyến đó Sau nhiều ví dụ đưa ra, học sinh sẽkhái quát thành dự đoán về nội dung định lí cần dạy.

Ví dụ 2.3 Dạy học quy tắc tìm giao điểm của đường thẳng với mặt

N

C

E A

Hình 2.5

Từ lời giải bài toán trên, học sinh có thể đưa ra dự đoán về quy tắc tìmgiao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Giáo viên chính xác hóa lại dựđoán đó và đưa ra quy tắc chung cho dạng toán này

Quy tắc tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng ( )P :

- Ta tìm trong ( )P một đường thẳng b đồng phẳng với a, khi đó giaođiểm của b và a chính là giao điểm của a và ( )P

- Nếu đường thẳng b chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng ( )Q chứa

a ( )Q ( )P b

Ví dụ 2.4 Dạy học giải bài tập toán học.

Bài toán: Thiết diện của một hình tứ diện có thể là tam giác, tứ giác

hoặc ngũ giác hay không?

- Giáo viên yêu cầu mỗi học sinh vẽ một hình tứ diện tùy ý Sau đó, xácđịnh thiết diện của tứ diện đó khi cắt bởi một mặt phẳng (mặt phẳng cũng dohọc sinh tự đưa ra)

- Tổng hợp các kết quả nhận được: xem có bao nhiêu trường hợp thiếtdiện nhận được là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác

- Đưa ra dự đoán về lời giải bài toán

- Dự đoán đưa ra cần phải được kiểm chứng Giáo viên có thể đặt câuhỏi: “ tứ diện có mấy mặt?”, “Một mặt phẳng cắt tứ diện thì có thể cắt tối đamấy mặt? Suy ra số giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của tứ diện làbao nhiêu? Từ đó kết luận số cạnh tối đa của thiết diện khi cắt tứ diện bởi mộtmặt phẳng?”

2.3.1.2 Dự đoán bằng cách xét tương tự

a Cơ sở khoa học

Danh từ tương tự có nguồn gốc từ một từ toán học của Hi Lạp Từ này

có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số Ví dụ, hệ hai số 3 và 4 tương tự với hệhai số 9 và 12 Trong logic, tương tự là suy luận, trong đó kết luận về sựgiống nhau của các dấu hiệu được rút ra trên cơ sở giống nhau của các dấuhiệu khác của các đối tượng

Có hai loại tương tự là tương tự theo thuộc tính và tương tự theo quan

hệ Gọi là tương tự theo thuộc tính khi dấu hiệu được rút ra trong kết luậnbiểu thị thuộc tính; gọi là tương tự theo quan hệ khi dấu hiệu được rút ra trongkết luận biểu thị quan hệ [6; tr.81]

Vì vậy, xét tương tự cũng là một phương pháp tốt để hình thành dựđoán mới cho những đối tượng mới có mối liên hệ với những đối tượng đãquen thuộc.

Để áp dụng được biện pháp này cần phải biết nhận ra những đối tượngnào cùng loại (ví dụ: các đường thẳng song song là cùng loại), những đốitượng nào có cùng một số tính chất (ví dụ: tam giác và tứ diện là hai đốitượng có chung một số tính chất)

Ví dụ 2.5 Thay vì việc giáo viên mặc định đưa ra định nghĩa góc giữa

hai đường thẳng trong không gian thì chúng ta hãy để cho học sinh độc lập

Việc làm này hoàn toàn phù hợp và không quá sức với học sinh Bởi lẽ, các

em đã có những hiểu biết nhất định về góc giữa hai đường thẳng trong mặtphẳng Trên cơ sở những hiểu biết đã có, các em có thể đưa ra những dự đoán(quan niệm) khác nhau tùy ý về góc giữa hai đường thẳng trong không gian.Công việc của giáo viên trong trường hợp này có lẽ chỉ cần định hướng đểhọc sinh tự nhận thấy quan niệm nào mâu thuẫn (loại bỏ), quan niệm nàokhông mâu thuẫn với những kiến thức đã biết (chấp nhận), từ đó hình thànhđịnh nghĩa

Ví dụ 2.6 Sử dụng tương tự giữa tam giác và tứ diện để dự đoán một

kết quả mới

Trong hình học phẳng ta đã có kết quả: Bài toán 1: Tam giác ABC

vuông tại A thì: cos B cos C2  2 1

Bằng cách xét tương tự giữa tam giác vuông và tứ diện vuông học sinh

có thể đưa ra dự đoán như sau: Bài toán 2: Cho tứ diện vuông OABC có góctam diện đỉnh O là góc tam diện vuông Gọi   ; ; lần lượt là độ lớn cácgóc phẳng nhị diện cạnh AB BC CA, , của tứ diện trên Khi đó:

cos  cos  cos 

(Chú ý: ( )P và ( )Q cắt nhau theo giao tuyến d ta có góc nhị diện cạnh

d, khi đó ( )P và ( )Q gọi là các mặt của góc nhị diện Góc phẳng nhị diện cạnh d là góc xOy sao cho O d , Ox d, Oyd , Ox nằm trên ( )P , Oynằm trên ( )Q )

Ở đây, ta đã sử dụng mô hình dự đoán bằng tương tự theo thuộc tính.Tam giác vuông ABC ở bài toán 1 và tứ diện vuông OABC ở bài toán 2 cóchung các tính chất:

- Góc ở đỉnh A và góc tam diện đỉnh O vuông

- Góc B C; ở tam giác vuông ABC tương tự với các góc nhị diện cạnh

AB BC CA.

Ở bài toán 1, đã có khẳng định: cos B cos C2  2 1, vậy nên, có thể đưa

ra dự đoán tính chất này vẫn còn đúng đối với tứ diện OABC tức là:

cos cos  cos 

Ví dụ 2.7 Sử dụng tương tự giữa tam giác và tứ diện để đưa ra lời giải

bài toán

Ta có thể chứng minh bài toán 1(ở ví dụ 2.6) như sau:

Cách 1 :

Theo hệ thức lượng trong tam

giác vuông ABC ta có:

Ta có: B C 90o nên cosC sinB

Suy ra: cos B cos C sin B cos B2  2  2  2 1

Cách 3 :

Gọi H là hình chiếu của A trên BC Xét AHB và AHC Ta có:

BH cosB

AB

 ; cosC CH

AC

