Chuyên đề phương trình lượng giác Trần Duy Thúc

Khi đó phương trình 2 sẽ trở thành phương bậc hai theo cos2x.Khi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t... Phân tích:

Chuyên đề phương trình lượng giác Phần 1 Ôn tập công thức lượng giác

sin

coscot 

x

2sin

1cot

II Giá trị lượng giác cung liên quan đặc biệt

1) Hai cung đối nhau 2) Hai cung bù nhau 3) Hai cung khác nhau 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

cot)

cot(

tan)

tan(

cos)

cos(

sin)sin(

x x

x x

x x

cot)2cot(

tan)2tan(

cos)2cos(

sin)2sin(

x x

x x

x x

cos(

sin)

x x

x x

x x

tan2

cot

;cot2

tan

sin2

cos

;cos2

a

a b b a b

a

sinsincoscos)

cos(

)

2

cossincossin)

b a b

a

tantan1

tantan

)tan(

)3

VI Công thức hạ bậc Công thức viết các hàm lượng giác theo t tan x

2

1 t





VI Công thức biến đổi tổng và tích

1 Công thức biến đổi tích thành tổng

 

cos( ) cos( )2

1

sin

sin

)cos(

)cos(

)sin(

a b

a

b a b

a b

a

b a b

a b

cos

2cos.2cos2cos

cos

2sin.2cos2sin

sin

2cos.2sin2sin

sin

b a b a b

a

b a b a b

a

b a b a b

a

b a b a b

cos a cos bsin(a b)2) tan a tan b

cos a cos bsin(a b)3) cot a cot b

Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos4x sin4x cos2x

Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin 5 sin 3 sin 4

b) cosx sinx 2 1 sin 2x

c) 1 sin 2x sinx cosx 2

d) cotx tanx 2cot2x

Bài 5 Cho tanx 2 Tính giá trị của biểu thức sau:

2 sin sin cos

3 cos 2 sin cos

3 cos 2 sin cos

2 sin sin cos cos

3 cos 2 sin cos

Phần 2 Phương trình lượng giác

I Phương trình lượng giác cơ bản

3 Phương trình: tan x  tan     k , k Z

4 Phương trình: cot x cot     k , k Z

f) cot(45o - x) =

33

g) sin3x - cos2x = 0 h) x cos3x

53

x x

v)  

2

23

Bài 11 Giải các phương trình sau :

b) 2 cos2x 3 2 cosx 1 0 d) tanx 1 tanx 3 0

e) cotx 1 tanx 3 0 f) cos 5x 2sin2x 1

Bài 12 Giải các phương trình sau :

a) sinx sin 3x cosx 0 c) sin 3 sin2x x sin 4 sinx x

b) sin 5x sinx 2 cos2x 1 d) 2 cos4x 1 2 sin4x

Bài 13 Giải các phương trình sau :

a) 4 sin cos cos2x x x 1 c) sin 3 sin2x x sin 4x cos2 cos 3x x

b) sin 5 cosx x sin cos 5x x 2 cos2x 1 d) 1 cos2 sinx x cos2x

e) 4 cos2 sin cosx x x sin 8x f) 4 4 5

sin cos

8

Bài 14 Giải các phương trình sau :

a) 4 sin3x cos2x 3sinx c) sin2x 3 cosx 4 cos3x

b) 2sin2 cosx x sin 3x 1 d) 2sin 3 sinx x 1 cos 4x

II Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

A Lý thuyết cần nhớ

Dạng 1: 2

a sin x bsinx c 0( ), đặt: t sin ,x t 1 Pt( ) trở thành: at2 bt c 0

Dạng 2:acos2x bco xs c 0( ), đặt: t cos ,x t 1 Pt( ) trở thành: at2 bt c 0

Dạng 3:atan2x btanx c 0( ), đặt: t tanx Pt( ) trở thành: at2 bt c 0

Dạng 4:acot2x bcotx c 0( ), đặt: t cotx Pt( ) trở thành: at2 bt c 0

Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự

 Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:

1) sin2xcos2x1

2)

2 2

7) cos3x 4 osc 3x 3 osc x 8) sin 3x 3 sinx 4 sin3x

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos 4x 12 sin2x 1 0 (2)(CĐ Khối A,B,D – 2011)

Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ

bậc nâng cung của 2 1 2

cos x sin x cos 4x 0 (3)

Phân tích:Ta thấycos4x sin4x cos2x, chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của

2cos 4x 2 cos 2x 1 Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo cos2x.Khi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t

Ví dụ 4 Giải phương trình: 2cos 2x 1 cos3x  4

Phân tích:Khi gặp bài lượng giác đầu tiên ta đánh giá về hàm số lượng giác,các góc trong đó Thử

đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể Bài bày ta thấy phương trình chỉ có chứa một hàm cos nên ta

Ví dụ 6 Giải phương trình: 2 3tan xsin 2x0 6 

Phân tích: Khi gặp bài toán có chứa tan và cot ta nhớ đặt điều kiện và xem mối liên hệ giữa các góc

trong bài toán Bài này chưa tanx và sin2x nên ta nghĩ đến công thức t tan sin 2 2 2

Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung

sẽ xuất hiện cos2x Cụ thể:

4.cos 2 cos 2 1 sin 2 5 cos 2 0

21cos 2 4 cos 2 1 1 cos 2 5 0

2cos 2 0

Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau:

Bài 15.Giải các phương trình sau:

a) cos2x5cosx 2 0 b) 2cos2xcosx 1 0 c) cot2x4cotx 3 0

tan x 1 3 tanx 30 e) cos 2x9cosx 5 0 f) cos 2xsinx 3 0

Bài 16.Giải các phương trình sau:

a) 3sin22x7cos2x30 b) 6cos2x5sinx70 c) cos2x5sinx30

d) cos2xcosx10 e) 6sin23xcos12x14 f) 4sin4x12cos2x7

Bài 18.Giải các phương trình sau:

a) 3 tan xcotx2 2 sin  x

k) tan2xtan tan 3x x2 (ĐHQG Hà Nội 1996) l) 4 sin 3 xcos 2x 5 sinx1

III Phương trình bậc nhất theo sin và cos

Mở rộng 1 :a sinx bcosx csiny hoặc a sinx bcosx ccosy

Mở rộng 2 :a sinx bcosx csiny d cosy

Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này

Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:

b a b a b

a

a b b a b

a

sinsincoscos)

cos(

)

2

cossincossin)

Ví dụ 11 Giải phương trình: 3 cos 2xsin 2x2  11

Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau Nếu quen sin

đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…!

Phân tích: Các em để ý không phải là luôn luôn nhưng khi thấy xuất hiện 3 thì thường là rơi vào

dạng bậc nhất theo sin và cos hoặc mở rộng của nó.!!

12 8sin x.cosx 3 sinxcosx4cosx 1 cos 2 x  3 sinxcosx

3cos 4cos 2 cos 3 sin cos 3 sin 2cos3

3

212

sin 3x 3 cos 9x 1 4sin 3x 13

Phân tích: Thấy 3 là ta thử nghĩ đên dạng bậc nhất theo sin và cos, nhưng bài khác góc và lệch

bậc?? Để ý tý Em sẽ thấy công thức nhân 3 (sin thì 3-4) Ta thấy 3

sin 9x3sin 3x4sin 3x

k x

Ví dụ 14 Giải phương trình: cosx 3 sinx2 os3c x  14

Phân tích: Đây là dạng mở rộng 1, em cứ giải tương tự như dạng cơ bản Chia hai vế của phương

trình cho 2 được:

2 x 2 xc x vì vế phải là hàm cos nên để cho tiện thì các em cũng đưa vế trái về hàm cos Tức là: 1cos 3sin cos cos sin sin cos

Ví dụ 15 Giải phương trình: cos 3xsin 5x 3 cos 5 xsin 3x  15

Phân tích: Đây là dạng mở rộng 2 Đưa các giá trị lượng giác cùng góc đưa về một vế là chuyển góc

3x về một vế và 5x về một vế Tiếp theo Em cứ giải tương tự như dạng cơ bản

Giải

22

Ví dụ 19 Giải phương trình: tanx3cotx4 sin x 3 cosx  19

Phân tích: Bài toán có tan và cot các Em nhớ phải đặt điều kiện và sau khi giải xong phải kết hợp điều

kiện Gặp tan và cot suy nghĩ tự nhiên là ta cứ chuyển về cos và sin Qui đồng đồng bỏ mẫu,khi bài

toán không đúng dạng thì các thường các Em phải phát được nhân tử chung trước Cái này cần rèn

sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 sin 3 cos 0

sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 0

29

Bài 20.Giải các phương trình sau:

a) 2sinx2cosx 2 b) sin 2x 3 cos 2x 2

c) sin4x 3 cos4x2 d) cosx 3 sinx 1

e) 3 cos3xsin3x 2 0 f) cos 2x2sin 2x3

Bài 21.Giải các phương trình sau:

a) 2sin2 cos2x x 3 cos4x  2 b) sin 2 sin2 1

x x d) cos2x 3 sin 2x 1 sin2x

e) 5sin 2x6cos2x13 f) 2sin 3xsin 2x 3 cos 2x

g) sin 3xsin 5x 3 cos5 xcos3x h) 3 sin 4xcos 4xsinx 3 cosx

i) sin 7xcos 6x 3 sin 6 xcos 7x j) sin 5x 3 cos 5x2cos 3x

Bài 22.Giải các phương trình sau:

x x b) 4sin3xcos3x4cos3xsin 3x3 3 cos 4x3

c) 2 2 sin xcos cosx x 3 cos2x d) 2cosx1 sin xcosx1

e) 2cos 2x 6 cos xsinx f) sin 3 cos 2

g) 4sin3x 1 3sinx 3 cos3x h) sin cos 4x x 3 cos5x 2 sin 4 cosx x

i) 4sin 2x3cos 2x3 4sin x1 j) cos2 sin 2 3

3 sin 6x4cos 2x 1 3cos 2 x

c) cos cos33 sin sin33 5

sinxcosx  2 1 sin 2 x sinxcosx 2

IV Phương trình đẳng cấp sin và cos

A Lý thuyết cần nhớ

a sin x b sin cosx x c cos xd 1

Cách 1:Chia hai vế chocos x hoặc 2 sin x2

Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 phải là nghiệm của phương trình này không?? Nếu phải thì nhận nghiệm

sin sin cos cos

a sin x b sin xcosx c sin xcos x d sin cosx x e cos x0 3

Cách giải: Chia hai vế của (2) cho cos x3 hoặc sin x3 Chia hai vế của (3) cho 4

cos x hoặc sin x4 rồi làm như trên

x x k k Z không là nghiệm của phương trình (22) nên ta chia hai vế

của phương trình (22) cho 3

x x

Giải

26  3sinx4sin x  4cos x3cosx 2cosx 0 3sinx4sin x4cos xcosx 0

TH1: Xétcosx 0 sinx 1.Khi đó phương trình   vô nghiệm

sin 1 cos sin x cos

28 cos 2x 3 sin 4x 1 sin 2x 

TH1: Xétcosx 0 sinx 1.Khi đó phương trình   vô nghiệm

Bài 24.Giải các phương trình sau:

a) sin2x2cos2x3sin cosx x b) sin2x3sin cosx x 1

c) 2sin2x3cos2xcos2x5sin2x0 d) 5sin 22 x6sin4x2cos 22 x0

e) 5sin2x5sin2x4cos2x0 f) 2sin 32 x10sin6xcos 32 x 2

g) sin4xcos4x3sin cosx x0

Bài 25.Giải các phương trình sau:

trình ta sẽ đưa về phương trình đa thức

Dạng 2: a sin xcosxbsin cosx x c 0

a tan xcot x b tanxcotx  c 0

Cách giải: Điều kiện: sin 2x0

a tan xcot x b tanxcotx  c 0

Cách giải: Điều kiện: sin 2x0

a sin xcos x bsin 2x c 0

Cách giải: Đặt sin 2 , 1 sin4 cos4 1 1sin 22 1 1 2

Cách giải: Đặt

2 4

Chú ý:Dạng 5,6,7,8,9 thật ra có thể xem như là phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác nên

các Em có thể xem lại mục II Nên ở đây Thầy chỉ đưa ra ví dụ của dạng 1 và 2 thôi nhé!

Thay t trở ngược lại   các Em tự giải tiếp nhé…!

Ví dụ 31 Giải phương trình: 2 cos sin 2 1  31

Tới đây các Em làm tiếp pt   như trên nhé….!

Ví dụ 32 Giải phương trình: 1 sin x1 cos x2  32

Phân tích: Các Em để ý này đã cùng góc rồi do vậy nhân phân phối và và thu gọn thôi…!

Giải

 32 sinxcosxsin cosx x  1 2 sinxcosxsin cosx x  1 0 

Tới đây các Em làm tiếp pt   như trên nhé….!

1 sin s in +cos 1-sin 0

sin +cos -sin cos =0

Bài 26.Giải các phương trình sau:

a) 3 sin xcosx2sin cosx x 3 0 b) sinxcosx4sin cosx x 4 0

c) 4sin cosx x2 sin xcosx 1 0 d) 2sin2x3 6 sin xcosx 8 0

Bài 27.Giải các phương trình sau:

a) sin2x2 2 sin xcosx 5 0 b) sinxcosx7sin 2x1

c) sin3xcos3x2 sin xcosx1 d) 1 sin 3xcos3x3sin cosx x0

e) 2sin3xsinx2cos3xcosxcos 2x f) cos 2x 5 2 2 cos  xsinxcosx 

g) sin3xcos3xcos 2x h) 2sinxcotx2sin 2x1

i)1 cos 3xsin3xsinx j) cotxtanxsinxcosx

VI Đưa về phương trình tích:

1) Nhóm các góc phù hợp áp dụng công thức biến tổng thành tích hoặc biến tổng thành tích

Ví dụ 34 Giải phương trình: sin 5 + cos 2x xsinx0  34

Phân tích: Các Em để ý góc (5x-x):2=2x nên ta sẽ nhóm sin5x và sinx lại sữ dụng công thức biến tổng

Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng cho dễ nhé…!

Ví dụ 35 Giải phương trình: cos 3 + cosx xsin 4x  35

Phân tích: Các Em để ý cos3x + cosx có chưa cos2x và sin4x Em sử dụng công thức nhân đôi cũng có

chứa cos2x nên ta sẽ có nhân chung là cos2x

Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng cho dễ nhé…!

Ví dụ 36 Giải phương trình: cos + cos 2x xcos 3xcos 4x0  36

Phân tích: Các Em để ý góc 3 4 2

nên ta nghĩ đến việc nhóm cos 3xcosx và 

cos 4xcos 2x để biến đổi thành tích 

cos 2 cos 3 0

cos 3 coscos 3 cos 2

cos 2 cos 2cos 2 sin 2

sin x+sin 3xcos 2xcos 4x 38

Phân tích: Trong phương trình có bậc hai,rất tự nhiên ta thử hạ bậc nâng cung xem

  1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8

sin 2 +sin 4x xsin 6x 39

Phân tích: Trong phương trình này ta không sử dụng công thức hạ bậc nâng hết vì như thế sẽ còn thừa

số tự do và không đặt nhân tử chung được Nên ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc nâng cho

Ví dụ 40 Giải phương trình: 2sin 3 cos 2x xsin 5x  40

Phân tích: Em để ý 2x3x5x nên ta biến đổi tích thành tổng

12sin 3 cos 2 2 sin 5 cos sin 5 cos

Bình luận:Trong bài giải ở trên tại sao khi khai triển sin 2x2sin cosx x ta lại biết kết hợp với

3cosx??? Mà không phải là 2sinx.cosx với sinx??? Vì biểu thức còn lại là 2

2sin xsinx3 ta có thể phân tích được thành nhân tử! Thật ra khi gặp dạng này Em cứ thử kết hợp sin2x với cos thử và kết

hợp với sinx thử và xem biểu thức còn lại có phân tích được thành nhân tử không!!

Hướng Thứ 2:Kết hợp sin 2xsinx2sin cosx xsinxsinx2cosx1 Khi đó biểu thức còn lại

Em phải viết thành bậc 2 theo cosx để phân tích thành nhân tử:

x x x x x x Vậy có nhân tử chung rồi

nhé2 cosx1…! Vậy chọn hướng thứ 2 nhé…!

Giải

2

42 sin 2 sin 2 cos 7 cos 3 0 2sin cos sin 2 cos 1 cos 3 0

sin 2 cos 1 2 cos 1 cos 3 0 2 cos 1 sin cos 3 0

Ví dụ 43 Giải phương trình: sin 2xcos 2x3sinx5cosx 4 0  43

Phân tích: sin 2x2sin cos ;cos 2x x xcos2xsin2x2cos2x  1 1 2sin2x

Hướng Thứ 1: Nếu kết hợp sin 2x5cosx2sin cosx x5cosxcosx2sinx5 Khi đó biểu

thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn

2cos 2x 1 2sin x

Thế này thì không có nhân tử chung rồi, phải đổi hướng khác thôi…!

Hướng Thứ 2: Nếu kết hợp sin 2x3sinx2sin cosx x3sinxsinx2cosx3 Khi đó biểu thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo cosx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn

2cos 2x2cos x1

Bình luận:Ta có thể tổng quát dạng này như sau:

Dạng: a sin 2x b cos 2x c sinx d cosx e 0

Cách giải:

Hướng Thứ 1: Nếu kết hợp a sin 2x d cosx2 sin cosa x x d cosxcosx2 sina x d  Khi đó

biểu thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn

2cos 2x 1 2sin x

 2  2

b cos 2x c sinx e b 1 2sin x csinx e  2 sinb x c sinx e b Tiếp theo Em phân tích  

xem có nhân tử chung không!!!

Hướng Thứ 2: Nếu kết hợp a sin 2x c sinx2 sin cosa x x c sinxsinx2 cosa x c Khi đó biểu  thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn

2cos 2x2cos x1

b cos 2x d cosx e b 2cos x 1 dcosx e 2 sinb x d cosx e b  0 Tiếp theo Em phân tích xem có nhân tử chung không!!!

Hai hướng trên nếu có nhân tử chung thì chỉ có thể là2 sina x d hoặc   2 cosa x c  

Ví dụ 44 Giải phương trình: sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0  44 (ĐH-Khối D-2009)

Phân tích:

Hướng Thứ 1: Thử kết hợp sin 2xcosx2sin cosx xcosxcosx2sinx1 Khi đó biểu thức

còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn

2cos 2x 1 2sin x

Ví dụ 45 Giải phương trình: 2cosx1 2sin xcosxsin 2xsinx  45 (ĐH-Khối D-2004)

Phân tích: Đừng vội biến đổi vế trái vì đã là tích của hai biểu thức rồi Thử biến đổi vế phải:

45 2 cos 1 2sin cos 2sin cos sin 2 cos 1 2sin cos sin 2 cos 1

2 cos 1 sin cos 0

3) Một số biểu thức có nhân tử chung thường gặp:

Nhóm các biểu thức thường gặp Nhân tử chung

1 sin 2 ;cos 2 ;1 tan ;1 cot ; tan cot ;sin ;cos

2 2 3 3

1 sin x;cos x;cos x;1 sin x;cos 2xsinx 1 sin x1 sin x

Ví dụ 46 Giải phương trình: 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0  46 (ĐH-Khối B-2005)

Phân tích:

Cách 1 :sinxcos ;1 sin 2 ;cos 2x  x x có nhân tử chung sinxcosx Thật ra thì các Em cũng không cần quá lo lắng vì Bảng trên qua nhiều không nhớ Khi làm quen rồi thì các Em cũng không cần phải nhớ…!

Cách 2 :Em cứ xem đây là dạng a sin 2x b cos 2x c sinx d cosx e 0,khi đó nhân tử chung có

thể là 2 cosx1hoặc 2sinx1 giải như trên

sin cos 2 cos 1 0

Cách 1 : 3 sin 2 ;cos 2x x1;cosx có nhân tử chung cos x

Cách 2 :Em cứ xem đây là dạng a sin 2x b cos 2x c sinx d cosx e 0,khi đó nhân tử chung có

thể là cos x hoặc 2 3 sinx1 và giải như trên

Giải

2

47 2 3 sin cos 1 cos 2 2 cos 0

2 3 sin cos 2 cos 2 cos 0 2 cos 3 sin cos 1 0

48 sin 2 cos 2 tan 2 2 2 cot 1 0

sin 2 cos sin 2 cos