Đề cương môn Toán học kỳ I lớp 11 Lê Văn Đoàn

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG 1.. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác O sinx cosx IV III 2.. Cung góc liên kết Cung đ i nhau Cung bù nhau Cung ph nhau... Công thứ

TRUNG TÂM HOÀNG GIA

A'

E

D

C B

A

S

H

E F

I G

PHẦN i Giải tích

Chương 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

O

sinx

cosx IV

III

2 Công thức lượng giác cơ bản

tan cot  1 sin2cos21 1 tan2 12

3 Cung góc liên kết

Cung đ i nhau Cung bù nhau Cung ph nhau

tan(   a) tana tan cot

4 Công thức cộng cung

x x

sin 3 3 sin 4 sin

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

sin cos 2sin 2cos

§ 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

3 2

 Hàm s y tanx tu n hoàn v i chu kìT o   y  tan(ax b) tu n hoàn v i chu

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác



m

sin

x y

x y

Ví d Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a ( ) sin6 cos6 2, ;

BT Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s l ng giác sau

a y  sin2x cosx 2 b y sin4x 2 cos2x 1

c y cos2x 2 sinx 2 d y sin4x cos4x 4

i y 2 sin2x cos 2 x j y 2 sin 2 (sin 2x x 4 cos 2 ).x

k y  3 sin2x 5 cos2x4 cos 2 x l y 4 sin2x  5 sin 2x 3

o y  1 (sin 2x cos 2 ) x 3 p y  5 sinx 12 cosx 10 

 Ta th ng s d ng cung gĩc liên k t d ng cung đ i trong d ng tốn này c th

cos( a) cos , sin(a   a) sin , tan(a   a) tan , cot(a   a) cot a

e yf x( ) sin (3 3 x5 ) cot(2  x7 ). f y  f x( )cot(4x 5 )tan(2 x3 ).

Cố gắng hết sức ở giây phút này sẽ đặt bạn vào vị trí tuyệt vời nhất ở những khoảng khắc sau

O Winfrey

§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác

1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đ i nhau Cung bù nhau Cung ph nhau

sinx (k2 )   sinx cosx (k2 )   cosx

Ví d Gi i ph ng trình l ng giác sau gi s đi u ki n đ c xác đ nh

 Mu n bi n đ i sin thành cos tan thành cot và ng c l i ta s làm nh th nào

 Hãy vi t các công th c cung góc liên k t d ng cung góc ph nhau

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau gi s đi u ki n đ c xác đ nh

a cos(3x 45 )0  cos x b cos 2 cos

 Mu n b d u  tr c sin cos tan cotan ta s làm nh th nào

 Hãy vi t cơng th c cung gĩc liên k t d ng cung đ i nhau

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

2 Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

Ví d Gi i ph ng trình sin 5x sin 3x sinx 0.

a sinx sin 2x sin 3x 0 b cosx cos 3x cos 5x 0

c 1 sin x cos2x sin 3x 0 d cosx cos 2x cos 3x cos 4x 0

e sin 3x cos 2x sinx 0 f sinx 4 cosx sin 3x 0

g cos 3x 2 sin 2x cosx 0 h cosx cos 2x sin 3 x

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

c cos 3x2 sin 2x cosx sinx 1 d 4 sin 3x sin 5x 2 sin cos2x x 0

e sin5x sin3x 2cosx  1 sin 4 x f cos2xsin3xcos5x sin10x cos 8 x

g 1 sin x cos 3x cosx sin 2x cos2 x

h sinx sin 2x sin 3x cosx cos2x cos 3 x

3 Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

2 và cung gĩc tăng g p đơi

M c đích c a vi c h b c h b c đ tri t tiêu h ng s khơng mong mu n và nhĩm

h ng t thích h p đ sau khi áp d ng cơng th c t ng thành tích sau khi h b c s

xu t hi n nhân t chung ho c làm bài tốn đ n gi n h n

Ví d Gi i ph ng trình sin 22 cos 82 1cos10

2

2

c 2 sin 22 x sin 7x  1 sin x d cos2x cos 22 x cos 32 x cos 42 x 2.

g sin 32 xcos 42 x sin 52 xcos 6 2 x h tan2x sin 22 x 4 cos 2x

4 Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

Đa s đ thi ki m tra th ng là nh ng ph ng trình đ a v tích s Do đĩ tr c khi gi i

ta ph i quan sát xem chúng cĩ nh ng l ng nhân t chung nào sau đĩ đ nh h ng đ

Ví d Gi i ph ng trình 2 cosx  3 sinx sin 2x  3.

a sin 2x  3 sinx 0 b (sinx cos )x 2  1 cos x

c sinx cosx cos 2 x d cos2x  (1 2 cos )(sinx xcos )x 0

e (tanx 1)sin2x cos 2x 0 f sin (1x cos2 )x sin 2x  1 cos x

a 2 sin2x 3 sin cosx x cos2x 1 b 4sin2 sinx x2sin2x2sinx 4 4cos 2x

c 4 sin2x 3 3 sin 2x 2 cos2x 4 d (cosx1)(cos2x 2cos ) 2sinx  2x 0

e (2cosx1)(sin2x2sinx 2) 4cos2x1 f (2sinx1)(2cos2x2sinx 3) 4sin2x1

g (2sinx1)(2sin2x 1) 4cos2x 3 h (2sinx1)(2cos2x2sinx  1) 3 4cos 2x

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

a sinx 4 cosx  2 sin 2 x b sin 2x  3 2 cosx  3 sin x

e sin 2x 2 cosx sinx  1 0 f sin 2x 2 sinx 2 cosx  2 0

g sin 2x  1 6 sinx cos 2 x h sin 2x cos2x 2 sinx 1

i sin 2x 2 sinx  1 cos 2 x j sin (1x cos 2 )x sin 2x  1 cos x

l sin 2xsinx 2 cos 2x 1 m (2cosx1)(2sinxcos ) sin2x  xsin x

n tanx cotx 2(sin 2x cos 2 ).x o (1 sin )cos 2x x (1 cos )sin2x x 1 sin2 x

r cos 3x cosx 2 sin cos 2 x x s 2 sin2x sin 2x sinx cosx 1

t cosx tanx  1 tan sin x x u tanx sin 2x 2 cot2 x

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

a cosx2sin (1 cos )x  x 2  2 2sin x b 2(cosxsin2 ) 1 4 sin (1 cos2 ).x   x  x

4

l sin 2x cos 2x 2 sinx 0 m tan 2x cotx  8 cos 2x

III Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng th c bi n đ i đ đ a ph ng trình v cùng m t hàm l ng giáccùng sin ho c cùng cos ho c cùng tan ho c cùng cot v i cung gĩc gi ng nhau ch ng h n

i tan2x 2 3 tanx  3 0 j 2 tan2x2 3 tanx  3 0.

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

c 34 cos2x sin (2 sinx x 1) d sin2x3 cosx  3 0

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

a 2 cos2x 8 cosx  5 0 b 1 cos2 x 2 cos x

e 3 sinx cos 2x 2 f 2 cos 2x 8 sinx  5 0

2

x

h sin2x cos 2x cosx 2 k cos2x cos2x sinx  2 0.

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

2

coscos

x x

x x

x x

x x



l sin 3x cos2x  1 2 sin cos 2 x x m 2 cos 5 cos 3x x sinx cos 8 x

n 4(sin6x cos )6x 4 sin 2 x o sin 4x  2 cos 3x 4 sinx cos x

c (2 tan2x1)cosx  2 cos2 x d 2cos2x3cosx2cos3x 4sin sin2 x x

e 4 sinx  3 2(1 sin )tan  x 2x f 2sin3x 3 (3sin2x2sinx3)tan x

2 Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)

D ng t ng quát asinx bcosx c ( ) , ,  a b \ 0  

Đi u ki n cĩ nghi m c a ph ng trình a2 b2 c2, ki m tra tr c khi gi i

e 3 sin 3x cos 3x  2 f cos 7x  3 sin 7x   2.

p 2 sin2x  3 sin 2x  2 0 q cos7 cos5x x 3 sin2x  1 sin7 sin5 x x

t 3 sin 2x cos2x 2 cosx1 u 2 sin2x sin 2x 3 sinx cosx 2

c sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2 x d sinx cosx 2 2 sin cos x x

e 2 cos 3x  3 sinx cosx 0 f (sinxcos )x 2 3 cos2x  1 2 cos x

g 2 cos 2x sinx cosx 0 g sin 3x  3 cos 3x 2 sinx 0

l sinx 3 cosx  2 4 cos 2x m 4 sin2x sinx  2 3 cos x

p 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x x sin x q 2(cos6xcos4 )x  3(1 cos2 ) sin2  x  x

r 3 sin 7x 2 sin 4 sin 3x x cos x s 2sin (cosx 2xsin )2x sinx  3 cos3 x

t sin2 sin2 2 sin sin 3

a sin 2x cosx cos 2x sin x b cos2x 3 sin 2x  3 sinx cos x

a sin 2x 2 3 cos2x 2 cos x b 3 sin 2x  1 cos2x 2 cos x

c sin 2x cosx sinx 1 d cos2x 2 sinx  1 3 sin 2 x

e 3 sin 2x cos2x 4 sinx1 f 2sin6x2sin4x 3cos2x  3 sin2  x

x x

3 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

D ng t ng quát a.sin2X b.sinX cosX c.cos2X d (1) , , , a b c d 

D u hi u nh n d ng Đ ng b c ho c l ch nhau hai b c c a hàm sin ho c cosin

tan và cotan đ c xem là b c

Ví d Gi i ph ng trình sin (tan2x x  1) 3 sin (cosx x sin )x 3.

Gi i

BÀI T P V N D NG

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

a 2 sin2x 3 3 sin cosx x cos2x 2

c cos2x  3 sin 2x  1 sin 2x

d 2 cos2x 3 3 sin 2x  4 4 sin 2x

m sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2xcos x

n 4sin4x4cos4x5sin2 cos2x xcos 22 x6 o 3 cot2x 2 2 sin2x (23 2)cos x

4 Phương trình lượng giác đối xứng

PP

L u khi đ tt  sinx cosx thì đi u ki n là 0 t 2

 D ng a(tan2x cot )2x  b (tanx cot )x  c 0

PP

c sinx cosx sin cosx x 1 d (1 2)(sinxcos ) 2sin cosx  x x 1 2

5 Một số phương trình lượng giác dạng khác

 Ta luơn vi t sin 2x 2 sin cos ,x x cịn

2 2 2

 N u thi u sin 2x ta s bi n đ i cos2x theo(1) và lúc này th ng s đ a đ c

1 2

at bt  c a tt tt v i

1, 2

t t là hai nghi m c a at2 bt  c 0 đ xác đ nh l ng nhân t chung

Ví d Gi i ph ng trình cos2x cosx 3 sinx  2 0

Gi i

Ví d Gi i ph ng trình 2 sin2x cos 2x 7 sinx 2 cosx 4.

g cosx sinxsin 2xcos2x 1 g sin2xcosx2sinx cos2x3sin 2x

k sin 2x cos 2x 3 sinx cosx 1 l sin 2x cos 2x 3 cosx  2 sin x

D ng Ph ng trình có ch a R( , tan , cot , sin 2 , cos 2 , tan 2 , ),X X X X X sao cho cung

c a sin cos g p đôi cung c a tan ho c cotan Lúc đó đ t t tanX và s bi n đ i

Ví d Gi i ph ng trình sin 2x 2 tanx 3.

Gi i

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

a 1 3 tan x 2 sin 2 x b cos2x tanx 1

c sin 2x 2 tanx  3 d (1 tan )(1 x sin 2 )x  1 tan x

x x

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau đ t n ph t b i cung ph c t p

u v

u v

u v

u v

b 4 cos2x 4 cosx 3 tan2x 2 3 tanx  2 0.

c 2 sin2x 3 tan2x 6 tanx 2 2 sinx  4 0

f 4 sin2x sin 32 x 4 sin sin 3 x 2 x

g 5 sin2x 3 cos2x  3 sin 2x 2 3 cosx 2 sinx  2 0

i 4 cos2x 3 tan2x 2 3 tanx 4 sinx 6

j 8 cos 4 cos 2x 2 x  1 cos 3 x  1 0

e (cos2x sin )sin 52x x  1 0 f (cosx sin )(sin 2x x cos 2 ) 2x  0

i sin3x cos3x 1 j sin5x cos3x 1

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

e (cos2x sin )sin 52x x  1 0 f (cosx sin )(sin 2x x cos 2 ) 2x  0

i sin3x cos3x 1 j sin5x cos3x 1

  b 2cosx 2 sin10x 3 2 2cos28 sin  x x

sin cos2 cos 3



e (cos 2x cos 4 )x 2  6 2 sin 3 x f sin4x cos4x  sinx  cos x

4

x

i cos2x cos 4x cos 6x cos cos 2 cos 3x x x 2.

BT Tìm tham s m đ các ph ng trình sau đây có nghi m

a cos(2x 15 )0 2m2 m b mcosx  1 3 cosx 2 m

e msinx 2 cosx 1 f mcos 2x (m 1)sin 2x m2

m (m2)cos2x msin 2x (m1)sin2x m2

n sin2x (2m2)sin cosx x  (1 m)cos2x m

BT Cho ph ng trình cos2x(2m1)cosx m 1 0

§ 3 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 1

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

b 1 sin x cosx sin 2x cos2x 0 ĐH kh i B năm

a (1sin )cos2x x  (1 cos )sin2x x  1 sin 2 x ĐH kh i A năm

b sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2xcos x ĐH kh i B năm

c 3 cos 5x 2 sin 3 cos 2x x sinx 0 ĐH kh i D năm

c sin 2x cos 2x 3 sinx cosx  1 0 ĐH kh i D năm

b sin 2 cosx x sin cosx x cos 2x sinx cos x ĐH kh i B năm

c sin 3x cos 3x sinx cosx  2 cos2 x ĐH kh i D năm

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

BT Gi i ph ng trình 2 sin2x 7 sinx 4 0 TN THPT QG năm

BT Gi i các ph ng trình l ng giác sau

a cos cos 3x x sin 2 sin 6x x sin 4 sin 6x x 0

2

c cotx cos2x sinx  sin 2 cotx x cos cot x x

f 2 cos cos2 cos 3x x x  5 7 cos2 x

g sin (4 cos2x 2x  1) cos (sinx x cosx sin 3 ).x

o (tanx 1)sin2x cos 2x  2 3(cosx sin )sin x x

t 2 cos 2x sin2xcosx sin cosx 2x 2(sinx cos ).x

Chương 2 : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

§ 1 CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

Ví d Gi s t t nh A đ n t nh B cĩ th đi b ng các ph ng ti n ơ tơ tàu h a ho c

máy bay M i ngày cĩ 10 chuy n ơ tơ 5 chuy n tàu h a và 3 chuy n máy bay H i cĩ bao

nhiêu cách l a ch n chuy n đi t t nh A đ n t nh B

Gi i

 T ng quát

Gi s m t nhi m v X nào đó đ c hoàn thành l n l t qua k giai đo n A A1, , ,2 A k :

Giai đo n A1 có n1 cách làm giai đo n A2 có n2 cách làm giai đo n A3 cón3 cách làm

Ví d Trong m t h p có 6 bi đ 5 bi tr ng và 4 bi vàng Có bao nhiêu cách l y 3 viên

bi t h p này sao cho chúng không đ ba màu

Bài toàn 2 : Đ m nh ng đ i t ng th a ,a không th a b

Do đó k t qu bài toán  k t qu bài toán 1  k t qu bài toán 2

 L u

 N u bài toán chia ra t ng tr ng h p không trùng l p đ hoàn thành công vi c thì dùng

qui t c c ng n u bài toán chia ra t ng giai đo n th c hi n thì ta dùng qui t c nhân

Trong nhi u bài toán ta k t h p gi a hai qui t c này l i v i nhau đ gi i mà c n ph i

phân bi t khi nào c ng khi nào nhân khi nào tr

 N u cho t p h p h u h n b t k A và B giao nhau khác r ng Khi đó thì s ph n t c a

A B b ng s ph n t c a A c ng v i s ph n t c a B r i tr đi s ph n t c a A B ,

t c là n A B(  )n A( )n B( )n A B(  )" Đó là quy t c c ng m r ng  Khi gi i các

bài toán đ m liên quan đ n tìm s sao cho các s đó là s ch n s l s chia h t ta nên

u tiên vi c th c hi n ch n chúng tr c và n u ch a s 0 nên chia tr ng h p nh m

BT M t h p đ ng 12 viên bi tr ng 10 viên bi xanh và 8 viên bi đ M t em bé mu n

ch n 1 viên bi đ ch i H i có bao nhiêu cách ch n

BT Ch B n Thành có 4 c ng ra vào H i m t ng i đi ch

a Có m y cách vào và ra ch

b Có m y cách vào và ra ch b ng 2 c ng khác nhau

BT Có 8 quy n sách Toán 7 quy n sách Lí 5 quy n sách Hóa M t h c sinh ch n 1

quy n trong b t kì trong 3 lo i trên H i có bao nhiêu cách ch n

BT Cho s đ m ch đi n nh hình

v bên c nh H i có bao nhiêu

cách đóng m công t c đ có

đ c dòng đi n đi t A đ n B

BT Đ thi h c kì môn Hóa g m hai ph n tr c nghi m và t lu n Trong ngân hàng đ thi

có 15 đ tr c nghi m và 8 đ t lu n H i có bao nhiêu cách ra đ

BT M t ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái qu n trong đó có 18 áo màu xanh và 12 áo màu đ

12 qu n xanh và 8 qu n đ Có bao nhiêu cách ch n m t b qu n áo khác màu đ

ng i ca sĩ này đi trình di n

BT Trong l p 11A có 39 h c sinh trong đó có h c sinh tên Chi n l p 11B có 32 h c

sinh trong đó có h c sinh tên Tranh Có bao nhiêu cách ch n m t t g m 2 h c sinhkhác l p mà không có m t Chi n và Tranh cùng lúc

BT Trong l p 11A có 50 h c sinh trong đó có 2 h c sinh tên u và Tiên Có bao nhiêu

cách ch n ra 2 h c sinh đi thi mà trong đó có m t ít nh t 1 trong 2 h c sinh tên u

và tên Tiên

BT Có 20 bông hoa trong đó có bông h ng 7 bông cúc 5 bông đào Ch n ng u nhiên

4 bông h i có bao nhiêu cách ch n đ trong đó hoa đ c ch n có đ c ba lo i

BT Có 12 h c sinh gi i g m 3 h c sinh kh i 12, 4 h c sinh kh i 11, 5 h c sinh kh i 10

H i có bao nhiêu cách ch n ra 6 h c sinh sao cho m i kh i có ít nh t 1 h c sinh

BT Có bao nhiêu bi n s xe g m hai ch cái đ u (26 ch cái và 4 ch s theo sau ch

s đ u không nh t thi t khác 0 và ch s cu i khác 0), sao cho

a S ch cái tùy và b n ch s tùy chia h t cho 2 theo sau

b S ch cái khác nhau và 4 ch s đôi khác nhau chia h t cho 5 ti p theo sau

BT Ng i ta có th ghi nhãn cho nh ng chi c gh trong m t gi ng đ ng Đ i h c b ng

m t ch cái (26 ch cái và m t s nguyên d ng theo sau mà không v t quá s

100 B ng cách ghi nh v y nhi u nh t có bao nhiêu chi c gh có th đ c ghi nhãn

khác nhau

BT Cho t p h p A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Có bao nhiêu s t nhiên g m năm

ch s đ c l y t t p A, sao cho các ch s này

Tùy

Khác nhau t ng đôi m t

Khác nhau t ng đôi m t và năm ch s này t o thành m t s l

Khác nhau t ng đôi m t và năm ch s này t o thành m t s chia h t cho 5

Khác nhau t ng đôi m t và năm ch s này t o thành m t s chia h t cho 2

BT T các ch s 0, 1, 2, , 9 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n g m năm ch

s khác nhau đôi m t và ch s chính gi a luôn là s 2

BT Cho t p h p X 0;1;2; 3; 4;5;6;7 Có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m năm

ch s khác nhau đôi m t t X, sao cho m t trong ba ch s đ u tiên ph i b ng 1

BT Cho sáu s 1; 2; 3; 4; 5; 6 Có th t o ra bao nhiêu s g m b n ch s khác nhau

Trong đó có bao nhiêu s chia h t cho 5

BT Cho t p A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Có bao nhiêu s g m sáu ch s có nghĩa đôi

m t khác nhau chia h t cho 5 và luôn có ch s 0 đ c l y t t p A

BT Có bao nhiêu s t nhiên g m năm ch s đôi m t khác nhau trong đó ch s 1 ph i

BT Cho các s 1; 2; 5; 7; 8 có bao nhiêu cách l p ra m t s g m ba ch s khác nhau t

năm ch s trên sao cho s t o thành là m t s nh h n 278

BT T các s : 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có th l p đ c bao nhiêu s l có ba ch s khác nhau

nh h n 400