TIỂU LUẬN sác XUẤT THỐNG kê, đại học CÔNG NGHIỆP TPHCM

Biến cố ngẩu nhiên Phép thử và biến cố - phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm nào đó hay quan sát một hiện tượng nào đó để xem có xảy ra hay không.. Hiện tượng có xảy ra hay không tr

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN SÁC XUẤT THỐNG KÊ

TIỂU LUẬN:

Nhóm thực hiện: nhóm 9 Lớp: B211301106

Khóa: 2007-2011 Giáo viên hướng dẫn: GV PHAN MINH CHÍNH

TPHCM, Ngày 07 tháng 06 năm 2009

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN SÁC XUẤT THỐNG KÊ

Nhóm thực hiện: nhóm 9 Lớp: B211301106

Khóa: 2007-2011 Giáo viên hướng dẫn: GV PHAN MINH CHÍNH

TPHCM, Ngày 07 tháng 06 năm 2009

A Các khái niệm cơ bản của xát suất

1 Biến cố ngẩu nhiên

Phép thử và biến cố

- phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm nào đó hay quan sát một hiện

tượng nào đó để xem có xảy ra hay không Hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử được gọi là biến cố ngẩu nhiên Biến cố ngẩu nhiên được ký hiệu A,B,C…

Các loại biến cố.

- Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra được gọi là không gian mẩu ký hiệu là Ω

- Mỗi phân tử ω ∈ Ω không thể phân nhỏ thành hai biến cố được gọi là biến cố sơ cấp

a) Biến cố chắc chắn trong một phép thử , biến cố nhất định xảy ra

2) Phải có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra nghĩa là A ∪ B = Ω

II XÁT SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.1.Định nghĩa xát suất dạng cổ điên

Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng , trong đó có m khả năng thuận lợi cho biến cố A xuất hiện thì xát suất của A là :

2.2 Định nghĩa theo thống kê

- Quan sát biến cố A trong 1 phép thử nào đó , lặp lại phép thử n lần với điều kiện như nhau Gọi m là số lần xuất hiện thì tần suất của A trong n phép thử là fn(A)=.

- Xát suất của biến cố A là P(A) = lim fn (A) Trong thực hành , với n đủ lớn thì

P(A)

≈ fn (A)

Ưu điểm và hạn chế

-Ưu điểm : không đòi hỏi phép thử có hữu hạn các biến cố và biến

cố đồng khả năng mà dựa trên quan sát thực tế , vì vậy định nghĩa này được ứng dụng rộng rãi

P(A) = =

- Hạn chế : Đòi hỏi phải lăp lại phép thử nhiều lần , Trong thực tế có nhiều bài toán không cho phép do diều kiện và kinh phí làm phép thử.

2.3.Định nghĩa theo hình học

Cho miền Ω Gọi độ đo của Ω là độ dài , diện tích ,thể tích ( ứng với Ω là

đường cong, miền phẳng khối ) Gọi A là biến cố điểm M ∈ S ⊂ b Ω

Ta có P(A) = .

2.4 Tính chất của xác suất

i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , với mọi biến cố A ; ii) P( ∅ ) = 0 iii) P(Ω)=1

2.5 Ý nghĩa của xát suất

Xát suất là số đo mức độ tin chắc , thường xuyên xảy ra của 1 biển cố trong phép thử.

Chú ý : Xát suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử

III CÔNG THỨC TÍNH XÁT SUẤT

3.1 Công thức cộng xát suất

a) Biến cố xung khắc

-A và B xung khắc thì : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

- Họ { Ai} (i=1,2,…,n) thì : P ( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An )=P(A1) + P(A2) + …+ P(An).

b) Biến cố tùy ý

- A và B là hai biến cố tùy ý thì : P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(AB).

- Họ {Ai} ( i = 1,2,…,n) các biến cố tùy ý thì :

Ai P

1 ) ( - ∑

<j i

AiAj

P( ) + ∑

<

<j k i

AiAjAk

P( ) + …+ (-1)n-1P(A1A2….An ).

c) Biến cố đối lập :

P (A) = 1 - P(A)

1.3 Công thức cộng

i A, B xung khắc, tức AB= ∅ P(A ∩ B)=P(A)+P(B)

Mở rộng: A,B,C xung khắc từng đôi: P(A ∩ B ∩ C)=P(A)+P(B)+P(C)

ii A, B bất kỳ:

P(A ∩ B)=P(A)+P(B)-P(AB)

iii P(Ā)=1-P(A).

1.4 Công thức nhân xác suất

1.4.1 Xác suất có điều kiện:

Định nghĩa:

Cho 2 biến cố A và B Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, ký hiệu P(A/B), là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra.

Công thức tính:

1.4.2 Biến cố độc lập, công thức nhân:

Biến cố độc lập: 2 biến cố A và B gọi là độc lập nếu P(A/B)=P(A) (hoặc

P(B/A)=P(B)), tức là sự xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia.

P(A)

+ Việc kiểm tra tính độc lập của các biến cố thường dựa vào thực

1.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

1.5.1 Hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi

Hệ các biến cố: được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu trong phép

thử bắt buộc có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra

1.5.2 Công thức xác suất đầy đủ, công thức giả thiết Bayes:

Nếu trong một phép thử có biến cố B và một hệ đầy đủ các biến cố xung

khắc từng đôi

-Công thức xác suất đầy đủ:

- Công thức Bayes (giả thiết):

II Biến ngẩu nhiên và luật phân phối xác suất

1.1 Khái niệm và phân loại biến ngẩu nhiên

P(B) P(A )P(B/ A )

=

∑

- Một biến số được gọi là ngẩu nhiên nếu trong kêtd quả của phép thử nó nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẩu nhiên.

- các biến cố ngẩu nhiên được gọi là:X,Y,Z còn các giá trị của chúng là:x,y,x

b phân loại biến ngẩu nhiên:

- Biên ngẩu nhiên (bnn) được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể lập nên 1 tập hợp hữu hạn hoặc điếm được.

1.2 Luật phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên

- Luật phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên là một cách biểu diễn quan

hệ giữa các giá trị của biến ngẩu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị đó.

1.2.1 Phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên

Trường hợp biến ngẩu nhiên liên tục thi phân phối xác suất được gọi là

hàm độ xác suất cho biến ngẩu nhiên liên tục X.Hàm f(x), x R được gọi

là hàm mật độ xác suất của X nếu thỏa:

X x1 x2 xn

p2 pn

= )

- Nếu f(x) thỏa f(x) 0, x R và thì f(x) là hàm xác suất của bnn nào đó

1.2.2 Hàm phân phối xác suất

- Hàm phân phôi xác suất của biến ngẩu nhiên X ,kí hiệu F(x) hoặc Fx(x),

là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x (với x là số thực bất kì F(x)

=P{ X<x} x R.

+hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái của số x.

+Với biên ngẩu nhiên rời rạc X = { x1, x2,…xn} :

- giả sử x1<x2<…<xn , ta có hàm phân phối xác suất của X :

p1 nếu x1 < x ≤ x2 p1 + p2 nếu x2 < x ≤ x3

p1+p2 + …+pn-1 nếu xn-1 < x ≤ xn

2.2 ĐLNN liên tục

2.2.1 Định nghĩa

Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó

2.2.2 Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất f(x) được định nghĩa

2.2.3 Một số tính chất cơ bản

i liên tục và

2.3 Một số luật phân phối

2.3.1 Loại rời rạc

2.3.1.1 Phân phối siêu bội

Định nghĩa: Ta nói X có phân phối siêu bội với xs tương ứng

2.3.1.2 Phân phối nhị thức:

* Dãy phép thử Bernoulli

Là dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện

+ các phép thử độc lập với nhau.

+ trong mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến bc A nào đó Nếu A xảy

ra thì phép thử gọi là thắng lợi, ngược lại phép thử gọi là thất bại.

C C P[X k] , k 0,1, ,n

C

−

−

+ xs xuất hiện A trong mỗi phép thử là như nhau và

Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là số lần xuất hiện bc thắng lợi A

trong dãy n phép thử Bernoulli, với P(A)=p Hãy tìm luật phân phối của X

Định nghĩa: Ta nói X có phân phối nhị thức với xs tương ứng

2.3.1.3 Phân phối Poisson:

Cho ĐLNN rời rạc X Ta nói X có phân phối Poisson với tham số , nếu

X nhận các giá trị 0, 1, 2,… với xs tương ứng

2.3.2 Loại liên tục

2.3.2.1 Phân phối chuẩn:

ĐLNN X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ ppxs có dạng

trong đó là các tham số,

Ký hiệu

2.3.2.2 Xs của ĐLNN X có phân phối chuẩn

i Phân phối chuẩn đơn giản:

+ Hàm mật độ ppxs của T:

+ Với thì

k k n k n

P[X k] C p q = = − , k 0,1, ,n =

k

eP[X k] , k 0,1,2,

k!

−λλ

2 2

( x ) 2

=

σ π

2,

2 X

X ∈ µ σ ⇒ = N( , ) T −µ ∈ N(0,1)

σ

1 2

m

x x x M

m

p p p M

+ rời rạc nếu X và Y rời rạc

+ liên tục nếu X và Y liên tục

2.4.2 Luật pp của vectơ ngẫu nhiên

X x x x1 2 m

p p pX

P

YYP

Phần hai : BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một khẩu pháo là 0,6 biết rằng mục

tiêu bị tiêu diệt khi bị 3 quả đạn pháo bắn trúng Gọi X là số đạn bắn đến khi mục tiêu bị diệt Tìm

a) P( K = x) với x = 3; 4; 5;6

b) Tìm E(x)

Giải a) Gọi X là số đạn bắn trúng khi mục tiêu bị tiêu diệt theo đề bài X nhận các giá trị x = 3, 4, 5, 6

Vậy số viên đạn mà khẩu pháo bắn ra là 6 viên trong đó xác suất trúng mỗi viên là 0,6 Nên có thể xem đây là 1 dãy có 6 phép thử độc lập với xác suất mỗi phép thử là 0,6

X có phân phối nhị thức X ~ B (6 ; 0,6)

6 ( 3) (0,6) (0, 4) 0, 27648

Câu 2: Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

với kì vọng 42tạ/ha và δ =3tạ/ha Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2 thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha

Giải Gọi X là năng suất của lúa ở một địa phương có phân phối chuẩn X ~ N (µ δ , 2)

Với kì vọng (năng suất trung bình) E X( ) = =µ 42tạ/ha và δ =3tạ/ha

2000 ( ) 0.

b) E(X) =

100

3 100

2000 ( ) .0 .

Câu 4: Ba học sinh cùng làm bài thi Xác suất làm được bài của sinh viên A là

0,8 Của sinh viên B là 0,7 Của sinh viên C là 0,6 Tìm xác suất của biến cố sau:

a) Có 2 sinh viên làm được bài

b) Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không làm được bài

Giải:

a) Gọi E là biến cố của 2 sinh viên làm được bài thì E =

ABC ∪ AB ∪ ABC mà A,B,C độc lập và xung khắc từng đôi 1

P(E)=P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)

Câu 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi

trúng mục tiêu hoặc hết cả 4 viên thì thôi Gọi X là số viên đạn đã bắn Mốt Mod [X] ?

Giải:

Gọi xác suất bắn trúng của xạ thủ đó là p thì ( p )

Gọi X là số viên đạn đã bắn Thì X nhận các giá trị x = 1, 2, 3, 4

P(X=1) = p

P(X=2) = qp ( q = 1- p)

Hay bảng phân phối của Z là:

Câu 9 :Hai biến cố A, B có

?

Giải

Câu 10/ Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu , mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1 lựa chọn đúng Mỗi câu sinh viên làm đúng được 1 điểm Tính sác xuất để sinh viên làm được đúng 5 điểm

Giải

Đề thi có 10 câu mỗi câu có 4 lựa chọn trong đó chỉ có 1 lựa chọn đúng Vậy

trong 10 câu thì tỉ lệ đúng mỗi câu là = 0,25

Gọi X là sỗ câu đúng đánh được ( cũng chính là số điểm đạt được)

Đây là một hệ đầy đủ

a)

Câu 14: Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ chính phẩm 0,95 Tìm

xác suất để số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong khoảng từ 900 đến 980

900−

) = (4,35) - (-7,25)

= 0,49999 + 0,5 = 0,99999

Câu 15: Có 2 lô hàng, mỗi lô gồm 10000 sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm loại I của

lô thứ nhất, thứ hai tương ứng là 70% , 80% Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra

10 sản phẩm để kiểm tra (lấy không hoàn lại) Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô hàng đó

a) Tìm xác suất để lô hàng thứ nhất được mua

b) Tìm xác suất để ít nhất một lô hàng được mua

A1 là biến cố lô hàng thứ nhất được mua

A2 là biến cố lô hàng thứ hai được mua

Xi là số sản phẩm lấy ra để kiểm tra

Theo đề bài thì lô hàng thứ nhất và thứ hai có quy luật phân bố siêu bội

.(lấy không hoàn lại)

XI ~ H(10000;7000;10)

XII ~ H(1000;8000;10)

Nhưng vì số tổng sản phẩm là N = 10000 rất lớn trong khi đó số sản phẩm lấy

ra n = 10 rất nhỏ nên có thể coi 2 lô hàn có quy luật phân phối nhị thức

Gọi A là biến cố có ít nhất một lô hàng được mua

⇒ là biến cố không có lô hàng nào được mua

P(A) = 1 - P(A− ) = 1 – P(A− 1 −

A2) = 1 - P(A− 1).P(A− 2)

= 1- (1-0,382).(1-0,677) 0,8

Câu 16: Một lô hàng gồm 10000 sản phẩm , trong đó có 40000 sản phẩm loại II

Chọn ngẫu nhiên 2400 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại để kiểm tra.a) Tính xác suất để trong số 2400 sản phẩm chọn ra kiểm tra có không quá 960 sản phẩm loại II

b) Tính số sản phẩm loại II trung bình có trong 2400 sản phẩm được chọn Nếu chọn theo phương thức không hoàn lại thì kết quả thay đổi thế nào?

9604,0.2400

b/ Số sản phẩm trung bình trong số 2400 sản phẩm được chọn kiểm tra là:

Câu 17: Trong ngày lễ quân đội, người ta đưa hai khẩu súng A và B Xạ thủ

M vào chơi sẽ được rút ngẫu nhiên 4 cây bài trong 52 cây (trong đó có 4 cây A t

) Nếu có ít nhất 1 cây A t thì M lấy được súng A, ngược lại sẽ lấy được súng B Sau đó bắn 100 viên đạn Người ta biết rằng với M thì xác suất bắn trúng bia bằng súng A là 0,8 và bằng súng B là 0,7 Nếu trong 100 viên đạn đó trúng 80 viên thì được thưởng 1 tivi, có 50 viên trúng thì được thưởng 1 catxet Nếu có trên 80 viên trúng thì được 1 đồng hồ treo tường Nếu dưới 40 viên thì phát 50 ngàn đồng Tính xác suất của các biến cố

a) Được thưởng tivi

b) Được thưởng catxet

c) Được thưởng đồng hồ tường

d) Bị phạt 50 ngàn đồng

Giải:

Gọi X là số lá át mà xạ thủ M rút được:

Gọi A1 là biến cố xạ thủ M rút được khẩu súng A

Gọi A2 là biến cố xạ thủ M rút được khẩu súng B

P(A1) = 1 P(A2)

Mà

P(A1) = 1 0.72 = 0.28

Vậy: P(A1) =0.28 ;

Gọi XA là số đạn bắt trúng của xạ thủ M khi dùng khẩu súng A

vì n=100 khá lớn và pA=0.8 không quá gần 0 và 1 nên có thể xem 1 cách gần

đúng XA có phân phối chuẩn là : với

c/ Gọi T3 là biến cố mà xạ thủ M được thưởng đồng hồ tường:

Câu 19: X,Y là hai BNN có hàm mật độ đồng thời là:

1

x

x y x

x

x x

x 1

1 2

1

2 ln2

dx du

1

Ta có: ⇒ +∞∫ −

1

2

f( , ) = 1 ⇒ f (x,y) là hàm mật độ đồng thời của x,y

b/ f X (x) = +∞−∫∞f(x,y)dy = ∫x

x

dy y x

1 2 2

1

=

x x

y

ln 2

1

= ln2

x x

1

dx y

y

y x

2 ln 2 1

x x

y x

17

4081,30959

,

17

.160,

s s

30160

= 2,35

⇒ Khoảng ước lượng là (x n −ε;x n+ε) hay ( 59,9625 ; 64,6625 )

Vậy ước lượng nước mắm trung bình bán trong một ngày là : ( 59,9625 ; 64,6625 )

= 3,6

⇒ Khoảng ước lượng là (x n −ε; x n +ε) hay ( 58,7125 ; 65,9125 )

Vậy ước lượng nước mắm trung bình bán trong một ngày là : ( 58,7125 ; 65,9125 )

b/ Nếu mỗi lít nước mắm có giá là 6 ngàn đồng thì cửa hàng cần phải dự trữ món tiền trung bình trong một ngày để lấy nước mắm cung cấp cho khách hàng

= 251,54

915,196

49532

=

)2(

= 390,41

87,126

⇒ Khoảng ước lượng là : ( 251,54 ; 390,41 ).

Câu21 Cân thử trọng lượng 15 con gia súc ở một trại chăn nuôi khi xuất

chuồng, ta được các kết quả sau:

b) Giám đốc trại tuyên bố trọng lượng trung bình của các con gia súc khi xuất chuồng là 3,5 Kg thì có thể tin lời tuyên bố đó không? (với α =

1%)

c) Giả sử người ta dùng một loại thức ăn mới và trọng lượng trung bình của giống gia súc này khi xuất chuồng là 3,9 kg Cho kết luận về loại thức ăn này (với α = 1%)

khoảng ước lượng: hay kg

Vậy ta chấp nhận trọng lượng trung bình của gia súc là 3.9 kg

Câu 22 Tại một nông trường, để điều tra trọng lượng một loại trái cây, người

ta cân thử một số trái cây được kết quả cho trong bảng sau

Trọng lượng 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5

a) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây ở nông trường với độ

tin cậy 99%

b) Để ước lượng trung bình của một loại trái cây ở nông trường với độ tin

cậy 99% và độ chính xác 0,22g thì cần cân them bao nhiêu trái cây nữa?

c) Người ta quy ước những trái cây có trọng lượng nhỏ hơn 60g là thuộc

loại II Hãy ước lượng tỉ lệ trái cây loái II với độ tin cậy 95%

d) Sau đợt kiểm tra, người ta bón them một loại phân hóa học mới làm cho

trọng lượng trung bình một trái cây là 70g Hãy cho kết luận về tác dụng

của loại phân này với mức ý nghĩa 1%

tổng số trái cậy phải điều tra là

số trái cây cần phải điều tra thêm là

c những trái cây có trộng lượng <60(g)

Trọng lượng(<60g) 42.5 52.5 57.5

tổng số trái cây loại II là

Trong tổng số trái cây là

Tức trọng lượng trung bình của trái cây là < 70(g)

Câu 23: Người ta dùng phương sai hay độ lệch tiêu chuẩn làm độ đo đánh giá

sự rủi ro của cổ phiếu Điều tra NN giá cổ phiếu công ty A trong 25 ngày tính được 2

1 6,52

s = , của công ty B trong 22 ngày tính được 2

2 3, 47

s = Với mức ý