Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số frobenius

Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ.... Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta đã xác định được một tác động trái từ R.. Mỗi vành R đều là R – môđu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Thắng

MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ

VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Thắng

MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ

VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: a

PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ aa

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN 2

1.1 Định nghĩa môđun, môđun con 2

1.2 Đồng cấu môđun 3

1.3 Điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm 4

1.4 Môđun Noether và môđun Artin 5

1.5 Vành Noether và vành Artin 5

1.6 Dãy khớp 6

1.7 Môđun xạ ảnh 7

1.8 Môđun đơn, môđun nửa đơn 7

1.9 Vành đơn, vành nửa đơn 8

1.10 Vành nguyên 8

1.11 Vành chia 9

1.12 Vành nguyên thủy 9

1.13 Tập nil , tập lũy linh 9

1.14 Radical Jacobson của một vành 9

1.15 Vành nửa nguyên sơ 11

1.16 Định nghĩa phần tử lũy đẳng 11

1.17 Vành địa phương 11

1.18 Môđun không phân tích được 12

1.19 Vành nửa địa phương 13

1.20 Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng 13

1.21 Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ 14

1.22 Socle của môđun, vành socular 15

1.23 Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện 15

Chương 2 MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS 17

2.1 MÔĐUN NỘI XẠ 17

2.1.1 Định nghĩa 1 về môđun nội xạ 17

2.1.2 Định nghĩa 2 về môđun nội xạ 17

2.1.3 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) 18

2.1.4 Tích trực tiếp họ môđun nội xạ 20

2.1.5 Bổ đề về đơn cấu chẻ ra 21

2.1.6 Mệnh đề về môđun nội xạ 22

2.1.7 Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ 22

2.1.8 Môđun chia được 23

2.1.9 Môđun chia được trên vành chính 23

2.1.10 Môđun nội xạ trên miền nguyên 23

2.1.11 − môđun chia được 24

2.1.12 Hom(R, D) – môđun nội xạ 25

2.1.13 Nhúng một môđun vào môđun nội xạ 26

2.1.14 Các điều kiện tương đương của môđun nội xạ 26

2.1.15 Tổng trực tiếp họ môđun nội xạ 27

2.2 VÀNH TỰ NỘI XẠ 28

2.2.1 Định nghĩa vành tự nội xạ 28

2.2.2 Iđêan trong vành tự nội xạ 30

2.2.3 Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ 31

2.2.4 Vành FDI và tự nội xạ 32

2.2.5 Vành Noether và tự nội xạ 32

2.2.6 Iđêan hữu hạn sinh trong vành tự nội xạ 33

2.2.7 Liên hệ giữa vành Noether và vành tự nội xạ 34

2.2.8 Vành Artin và vành tự nội xạ 34

2.2.9 Liên hệ giữa vành Artin và vành tự nội xạ 35

2.2.10 Môđun không phân tích được vào vành tự nội xạ 35

2.2.11 Các điều kiện tương đương của vành tự nội xạ 36

2.2.12 Liên hệ giữa vành Noether và vành Artin 37

2.3 ĐẠI SỐ FROBENIUS 38

2.3.1 Dạng song tuyến tính không suy biến 38

2.3.2 Dạng song tuyến tính đối xứng 39

2.3.3 Đại số Frobenius 40

2.3.4 Đại số đối xứng 40

2.3.5 Bổ đề về các đẳng cấu từ A→A * 41

2.3.6 Các điều kiện tương đương của đại số Frobenius 42

2.3.7 Tích trực tiếp họ đại số Frobenius 42

2.3.8 Mn( )A – đại số Frobenius 43

2.3.9 Tính chất của đại số Frobenius 44

2.3.10 Đại số tựa Frobenius 46

2.3.11 Liên hệ giữa đại số Frobenius và tựa Frobenius 46

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

ACC Điều kiện dây chuyến tăng

DCC Điều kiện dây chuyến giảm

R R

M ; M Thứ tự là các môđun phải, trái

radR Radical Jacobson của vành R

( ) ( )

l M , r M Thứ tự là linh hóa tử trái, phải của môđun M E(M) Bao nội xạ của môđun M

1

MỞ ĐẦU

Trong sự phát triển chung của toán học, lý thuyết môđun đã có sự phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết vành Ta biết rằng

một vành R là R – môđun trên chính nó nên hiển nhiên một số kết quả trên môđun có thể chuyển sang vành

Môđun xạ ảnh và môđun nội xạ được xem là hai trụ cột của lý thuyết môđun Việc nghiên cứu môđun nội xạ và các mở rộng của nó là một trong những hướng được nhiều người quan tâm hiện nay Luận văn của tôi tập trung nghiên cứu môđun nội xạ, các vành tự nội xạ với các ví dụ cho ta những hình ảnh cụ thể của chúng và về đại số Frobenius như là lớp con của lớp các vành tự nội xạ

Luận văn gồm hai chương : + Chương 1 : Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành và lý thuyết

môđun

+ Chương 2 : Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số Frobenius

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS TS Bùi Tường Trí,

người đã trực tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp

Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi nhiều thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014

Nguyễn Quốc Thắng

2

C hương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT

VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN

Cho R là vành có đơn vị Nhóm cộng Aben (M,+ ) được gọi là một môđun phải trên vành R nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có ánh xạ : M Rµ × →M mà kết quả µ( )x, r ta ký hiệu là xr và gọi là tích của phần tử x với hệ tử r, ngoài ra các tiên đề sau cần được thỏa mãn:

( ) ( )

( )

1 2 3 4

M : x.1 x

M : x rs xr s

M : x y r xr yr

M : x r s xr xs

=

= + = + + = + với mọi r, s R∈ và x, y∈M

Ký hiệu: MR, ta gọi M là R – môđun phải, R là vành hệ tử

Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta

đã xác định được một tác động trái từ R

Cho A, B là các tập con của môđun M và K⊂R (với A, B, K ≠ ∅ ), ta định nghĩa:

A B a b | a A, b B

AK ar | a A, r K

+ = + ∈ ∈

Tập A ≠ ∅ trong M được gọi là bộ phận ổn định của M nếu A+ ⊂A A và

AR ⊂A

Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một R – môđun và ta gọi A là môđun con của môđun M

3

Nhận xét

Mỗi môđun bất kỳ luôn có hai môđun con tầm thường là (0) và chính nó Mỗi vành R đều là R – môđun trái (phải) với các môđun con chính là các iđêan trái (phải) của R

1.1.3 Ann(M)

Cho M là R – môđun, ta định nghĩa ann(M) là tập tất cả các phần tử của vành hệ tử R, linh hóa M Cụ thể:

+ Nếu M là R – môđun phải thì ann M( )= ∈{r R | Mr=( )0 }

+ Nếu M là R – môđun trái thì ann M( )= ∈{r R | rM=( )0 }

1.2 Đồng cấu môđun

1.2.1 Định nghĩa

Cho M, M’ là các R – môđun phải Ánh xạ f : M→M′ được gọi là R – đồng cấu nếu f x r( 1 1+x r2 2) ( )=f x r1 1+f x( )2 r2 với mọi x , x1 2∈M và với mọi

1 2

r , r ∈R

Để giản tiện về mặt ngôn ngữ, các R – đồng cấu được gọi một cách đơn giản là các đồng cấu

Khi f là đồng cấu, ta định nghĩa:

+ Ảnh của f là f M( )={f x | x( ) ∈M}

+ Hạt nhân của f là 1( ) { ( ) }

Kerf =f− 0 = x∈M | f x =0 Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f đồng thời là đơn ánh

Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f đồng thời là toàn ánh

Nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu thì f được gọi là đẳng cấu

1.2.2 Tính chất

4

Cho f : M→M′ là đồng cấu Khi đó nếu N là môđun con của M thì f N ( )

là môđun con của M’, còn nếu N’ là môđun con của M’ thì 1( )

f− N′ là môđun con của M

Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu Tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)

Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = (0)

Nếu f : M→M′ là một đẳng cấu thì 1

f− : M′ →M cũng là một đẳng cấu Nếu f : M→M′ là một toàn cấu thì M Kerf ≅M′

1.2.3 Mệnh đề Cho vành R và Y, X (ii ∈ là các R – I) môđun Khi đó ta có đẳng cấu R( i ) R( i )

Hom X , Y Hom X , Y

Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt:

i i

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆Ci2 ⊆ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại

n∈ sao cho

C =C + =C + =

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại

Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền

vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

5

i i

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(i) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇Ci2 ⊇ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại

n∈ sao cho

C =C + =C + =

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu

1.4.1 Định nghĩa

Cho vành R và M là R – môđun trái (hoặc R – môđun phải) Ta nói M là Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC)

1.4.2 Tính chất

Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

1.5 Vành Noether và vành Artin

1.5.1 Vành Noether

Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại

1.5.2 Vành Artin

Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như

R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng

6

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu

1.5.3 Định lí Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải

1.6 Dãy khớp

Dãy các đồng cấu môđun (hữu hạn hay vô hạn)

( )

→ → → →

được gọi là khớp tại môđun B nếu Imf Kerg=

Dãy đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian

Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng:

( )

0→ A → B → →C 0 2 Nhận xét : Dãy (2) là khớp khi và chỉ khi là f đơn cấu, g là toàn cấu, và

Im f =Kerg

Cho dãy khớp dạng (1) Dãy khớp này được gọi là chẻ ra tại B nếu Imf là hạng tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con B1 sao cho B=Im f ⊕B1

Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian

Dãy khớp ngắn (2) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B

0→ A → B → → , ba phát C 0 biểu sau là tương đương:

(i) Dãy khớp là chẻ ra

(ii) Đồng cấu f có nghịch đảo trái

(iii) Đồng cấu g có nghịch đảo phải

7

→ → → →

  chẻ ra tại B thì ta có

B≅Im f ⊕Im g

1.7 Môđun xạ ảnh

Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu : Bσ →C, mỗi đồng cấu f : P→C, tồn tại đồng cấu : Pϕ → sao cho f = σϕ B

1.7.2 Định lí Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh

1.7.3 Định lí

Tổng trực tiếp của họ môđun i

i I

∈

= ⊕ là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần Pi là xạ ảnh

1.7.4 Định lí Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là tương đương:

(i) P là môđun xạ ảnh

(ii) Mỗi dãy khớp 0→ → → →A B P 0 là chẻ ra

(iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó

1.7.5 Định lí

Khi R là vành chính, R – môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do

1.8.1 Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)

R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ

có hai môđun con tầm thường là (0) và M

P

f ϕ

B→σ C

8

R – môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) nếu M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun đơn

1.8.3 Định lí Đối với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương

(i) M là nửa đơn

(ii) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M

(iii) M là tổng của một họ môđun con đơn

1.8.4 Bổ đề

Cho M là R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn Khi

đó R có iđêan phải (iđêan trái) đẳng cấu với M khi và chỉ khi

M*=Hom M, R ≠ 0

1.9.1 Định nghĩa

Vành R≠ 0 được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa đơn) trên chính nó

1.9.2 Định lí Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là R – môđun phải nửa đơn

(ii) R là R – môđun trái nửa đơn

(iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn

(iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn

1.10 Vành nguyên

Vành R được gọi là vành nguyên nếu R≠0 và ab= ⇒ =0 a 0 hoặc b=0 Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên

9

1.11 Vành chia

Vành R được gọi là vành chia nếu R 0≠ và mọi phần tử khác không trong

R đều khả nghịch

Vành chia giao hoán là trường

R – môđun M được gọi là môđun trung thành nếu ann M( )= 0 Vành R được gọi là vành nguyên thủy trái (phải) nếu có R – môđun trái (phải) bất khả qui trung thành

1.13 Tập nil , tập lũy linh

1.13.1 Định nghĩa

Cho vành R, tập I⊆R

Phần tử x∈R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại n∈ sao cho

n

x =0

I được gọi là tập nil nếu mọi phần tử của I đều lũy linh, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là nil iđêan

I được gọi là tập lũy linh nếu tồn tại n∈ sao cho In =0 , và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là iđêan lũy linh

Tính chất Iđêan lũy linh là nil iđêan

1.13.2 Định lí (J.Levitzki) Nếu R là vành Noether phải thì các nil – iđêan một

phía của nó đều lũy linh

1.14 Radical Jacobson của một vành

1.14.1 Định nghĩa radical Jacobson của một vành

10

Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan phải tối đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan trái tối đại của R) Ký hiệu: radR

Nếu R =( )0 ta định nghĩa radR=( )0 radRlà iđêan của R

Vành R≠0 được gọi là nửa nguyên thủy nếu radR=( )0

1.14.3 Bổ đề Với mỗi y R∈ , các phát biểu sau là tương đương:

(i) y∈radR (ii) 1 xy− khả nghịch phải với mọi x∈R

nhất chứa tất cả các iđêan lũy linh một phía của R

1.14.5 Hệ quả Trong vành Artin, mọi nil iđêan đều lũy linh

1.14.6 Định lí Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là nửa đơn

(ii) R là Artin phải và nửa nguyên thủy

1.14.7 Định lí Hopkins – Levitzki Cho R là vành mà radR lũy linh và

R =R radR là nửa đơn Khi đó, với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương:

(i) M là Noether

(ii) M là Artin

tương đương:

(i) J⊆radR (ii) Với mọi R – môđun trái hữu hạn sinh M, JM=M⇒M=( )0

11

(iii) Với mọi R – môđun trái N⊆M mà M N hữu hạn sinh,

N+JM=M⇒ =N M

1.14.9 Hệ quả Cho R là vành Noether phải Nếu R radR là vành nửa đơn và

radR là nil – iđêan thì R là vành Artin phải

1.15 Vành nửa nguyên sơ

Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và radR lũy linh

Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu 2

e =e

Nhận xét

+ Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là hai phần tử lũy đẳng tầm thường

+ Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1

1.17.1 Định nghĩa

Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan phải tối đại

1.17.2 Mệnh đề Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là vành địa phương

(ii) Nếu a ∈ R thì a hoặc 1 – a khả nghịch

(iii) R có duy nhất một iđêan trái tối đại

(iv) radR là iđêan phải tối đại duy nhất trong R

(v) Tất cả các phần tử không khả nghịch của R lập thành một iđêan

(vi) radR là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R