Dạy học bất phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông

Lí do ch ọn đề tài Thực tế giảng dạy ở lớp 12 cho thấy, khi học khái niệm bất phương trình mũ và logarit, học sinh thường gặp nhiều khó khăn và phạm phải một số sai lầm khi giải các bài

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Ngôn

DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MŨ VÀ LOGARIT

Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Ngôn

DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MŨ VÀ LOGARIT

Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS.NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnTS.Nguyễn Ái Quốc, thầy đã nhiệt tình hướng dẫn khoa học và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô: PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS.Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình giảng dạy và cung cấp cho tôi những tri thức khoa học về Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn đến:

nhất cho chúng tôi

- Tập thể học sinh, sinh viên trường Đại học Tiền Giang đã giúp tôi hoàn thành thực nghiệm

- Các bạn học viên lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 23 đã chia

sẻ những khó khăn và luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên

cứu khoa học

- Gia đình và những người thân đã quan tâm và giúp đỡ cho tôi trong suốt thời gian học tập

Lê Văn Ngôn

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Ái Quốc, tôi không sao chép lại luận văn của người khác Nếu lời cam đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật

Người viết cam đoan

Lê Văn Ngôn

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Danh mục các thuật ngữ viết tắt

Danh mục các bảng

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 7

1.Bất phương trình mũ và logarit trong thể chế dạy học ở THPT 7

1.1 Phân tích chương trình 7

1.2.Phân tích sách giáo khoa 9

1.2.1.Bất phương trình mũ cơ bản 9

1.2.2.Bất phương trình mũ đơn giản 13

1.2.3.Phân tích các TCTH liên quan đến BPT mũ 15

1.2.4.Bất phương trình logarit cơ bản 42

1.2.5.Bất phương trình logarit đơn giản 45

1.2.6.Phân tích các TCTH liên quan đến BPT logarit 46

2.Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài tập BPT mũ và logarit 69

2.1 Sai lầm có tính hệ thống và có thể dự đoán trước được 69

2.1.1 Không xác định đúng TXĐ của hàm số mũ và logarit: 69

2.1.2 Học sinh không quan tâm đến TXĐ của BPT logarit 71

2.1.3 Khi giải những bài toán BPT logarit, HS thường xuyên mắc phải các sai lầm trong quá trình biến đổi BPT đã cho về dạng cơ bản hoặc BPT đại số khi không tuân thủ các qui tắc tính logarit 71

2.2 Sai lầm do quan niệm 74

2.3 Sai lầm do tồn tại qui tắc hành động 76

Kết luận chương 1 78

Chương 2 THỰC NGHIỆM 83

2.1 Giới thiệu thực nghiệm 83

2.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) 84

2.3.Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm 97

K ẾT LUẬN 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

PH Ụ LỤC

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

(Chủ biên), Nxb Giáo dục

G1 Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần

Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục

Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục

0

DANH MỤC CÁC BẢNG

M Ở ĐẦU

1 Lí do ch ọn đề tài

Thực tế giảng dạy ở lớp 12 cho thấy, khi học khái niệm bất phương trình mũ và logarit, học sinh thường gặp nhiều khó khăn và phạm phải một số sai lầm khi giải các bài tập liên quan đến khái niệm này Những sai lầm này thường xuyên xảy ra và

lặp đi lặp lại nhiều lần ở một số học sinh Chẳng hạn, sau đây là hai ví dụ về sai lầm

mà chúng tôi ghi nhận được:

Sai lầm 1:

>

    ⇔5x− > + ⇔ >7 x 1 x 2 Sai lầm 2: log (2 1) log0.5 x+ > 0.5x⇔2 1x+ > ⇔ > −x x 1

Chúng tôi tự hỏi những sai lầm này có nguồn gốc từ đâu? Có phải do ảnh hưởng

của những kiến thức liên quan đến khái niệm phương trình mũ và logarit mà trong

đó khi lũy thừa hay logarit hai vế có cùng cơ số dương khác 1 thì hai số mũ ở lũy

thừa bằng nhau, hay từ một nguyên nhân nào khác?

Xuất phát từ hiện tượng trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau:

Q ' 1:Trong hệ thống dạy học,BPT mũ và logarit được trình bày như thế nào? Với cách trình bày như vậy có gây ra khó khăn và sai lầm cho HS khi giải bài tập BPT

mũ và logarit?

Q ' 2:Dạy học BPT mũ và logarit thừa hưởng những kiến thức, nội dung gì từ dạy học phương trình mũ và logarit? Giữa chúng có mối liên hệ gì?Những dạng toán nào

gắn liền với hai đối tượng này?

Q ' 3:HS thường mắc phải những sai lầm gì khi học về BPT mũ và logarit? Đâu là nguyên nhân dẫn đến những sai lầm này?

Trong đề tài “Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán

ở bậc trung học phổ thông” củatác giả Nguyễn Viết Hiếu – luận văn thạc sĩ 2013

đã nghiên cứu được:

+ Logarit xuất hiện đầu tiên trong lịch sử với vai trò công cụ đơn giản hóa nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương Trong định nghĩa ban đầu, logarit thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử CSN và CSC, logarit tác động vào các phần tử CSN và biến chúng thành phần tử CSC tương ứng

Từ đó nhân, chia, khai căn trên các phần tử CSN được thực hiện qua cộng, trừ, chia hai, chia ba các phần tử CSC

+ Theo tiến trình lịch sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước

và được sử dụng để định nghĩa khái niệm lũy thừa với số mũ thực

+ Có hai cách tiếp cận khái niệm logarit: giá trị của hàm số logarit tại một điểm và định nghĩa trực tiếp Từ các cách tiếp cận, khái niệm logarit tồn tại bốn nghĩa sau:

• Nghĩa một, logarit cơ số a c ủa b là giá trị của hàm số y = logax t ại điểm x

b ằng b

• Nghĩa hai, logarit cơ số a c ủa b với 0 < ≠a 1,b> 0 là s ố thực α th ỏa

aα =b

• Nghĩa ba, logarit cơ số a c ủa b là nghiệm của PT x

a =b

• Nghĩa bốn, logab là t ỉ số giữa hai tích phân

1

1

b dx x

∫ và

1

1

a dx x

∫ (hay

logab là t ỉ số giữa hai diện tích có dấu

1

1

b dx x

1

1

a dx x

+ Logarit được ứng dụng để: giải các PT mũ f x( )

a =b , f x( ) g x( )

a =b ; tính độ

pH dung dịch; đo độ chấn động các trận động đất; đo độ lớn âm thanh; tính

số các chữ số của một số nguyên dương, tính giới hạn vô định dạng

0 0

1 , 0 ,∞ ∞ ; tính đạo hàm của các hàm số có dạng ( )

( )g x

( ) ( ) ( )

1 2 n

n

y= fα x fα x fα x và chuyển các hàm lũy thừa, mũ về các hàm tuyến tính và bán tuyến tính Từ các ứng dụng trên, logarit thể hiện ba vai trò công

cụ sau:

• Công c ụ đơn giản các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương, lũy

th ừa về các biểu thức đơn giản hơn

• Công c ụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước

• Công c ụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hay quá hẹp về phạm

vi có th ể kiểm soát được

Qua phân tích ở trên chúng tôi thấy một nghiên cứu đầy đủ về việc dạy học BPT mũ

và logarit ở cấp THPT là thật sự cần thiết.Vì lí đó nên chúng tôi chọn “Dạy học bất

phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông ” làm tên đề tài nghiên cứu

của mình

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán Cụ thể là thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương trình và sách giáo khoa.Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm có thể tồn tại nơi học sinh

Liên quan đến sai lầm của HS, didactic toán thừa nhận quan điểm: không phải mọi sai lầm đều là ngẫu nhiên, tùy tiện mà có những sai lầm có thể dự đoán trước được.Sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích, nhưng không còn đúng, hoặc không còn phù hợp nữa trong tình huống mới, tổng quát hơn.Hiện tượng này sinh ra do cách học bằng thích nghi: ở đây, kiến thức được xây

dựng qua tình huống nên nó thường mang tính chất địa phương.Việc xây dựng một

kiến thức tổng quát hơn đòi hỏi phải loại bỏ kiến thức cũ.Kiến thức cũ ấy có thể dẫn đến một quan niệm hay một cách thức hành động chỉ đúng trong một lớp tình huống nào đó.Thừa nhận luận điểm này, didactic toán đưa ra ba mô hình để giải thích

những sai lầm liên quan đến một tri thức cụ thể đó là: sai lầm có tính hệ thống và có

thể dự đoán trước được; sai lầm do quan niệm; sai lầm do tồn tại qui tắc hành động,

hợp đồng dạy học.Vấn đề là các qui tắc hành động, quan niệm, hợp đồng dạy học liên quan đến đối tượng tri thức O thường được hình thành từ quan hệ của thể chế

dạy học đối với đối tượng tri thức O

 Thuy ết nhân học

Quan hệ thể chế là một khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học trong diactic

toán.Theo thuyết nhân học, R(I,O) - mối quan hệ của thể chế I với đối tượng tri thức

O là tập hợp các tác động qua lại mà I có với O.Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như

thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, trong I

Mối quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O) là tập hợp các tác động qua lại mà X có với O.Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào, thao tác O

ra sao

Trong thể chế I mà cá nhân X tồn tại và hoạt động, R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O).Từ ràng buộc của thể chế, cá nhân X chỉ phô bày công khai những gì làm với O mà cá nhân đánh giá là phù hợp với thể chế

Câu hỏi mấu chốt là làm thế nào để nghiên cứu R(I,O) và R(X,O)? Khái niệm

praxéologie là chìa khóa giúp tr ả lời câu hỏi này.Mỗi praxéologie là một bộ tứ

/ / /

 , trong đó T là kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ kỹ thuật τ,θ là yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật,Θlà yếu tố lí thuyết giải thích cho công nghệ θ

đến O cho phép ta xác định R(I,O) vì R(I,O) hình thành và biến đổi bởi một tập hợp

những nhiệm vụ mà cá nhân phải thực hiện nhờ vào những kĩ thuật xác định.Đồng

thời, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân với cùng đối tượng O này đã nảy sinh trong lúc thực hiện những nhiệm vụ trong thể chế

 Qui t ắc hành động

Qui tắc hành động được sử dụng để giải thích sai lầm của HS.Một cách cụ thể hơn, qui tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những

kiến thức mà HS đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định

Nếu như hợp đồng dạy học có nguồn gốc là quan hệ thể chế với đối tượng tri

thức mà ta đang bàn đến thì các qui tắc hành động được hình thành từ những kiến

thức địa phương đã từng có ích.Như vậy, các qui tắc đó có phạm vi hợp thức của nó.Câu trả lời sai có thể đến từ việc áp dụng một qui tắc hành động ở ngoài phạm vi

hợp thức.(Những yếu tố cơ bản của Didactic toán (2009),tr 81)

Điều quan trọng là cần phải làm rõ sự cần thiết phải vận dụng những yếu tố

nêu trên vào trong luận văn này.Trước hết cần xác định luận văn xem xét đối tượng tri thức O - BPT mũ và logarit, I là thể chế dạy học toán lớp 12, cá nhân X thâm

nhập vào trong I ở vị trí HS

Câu hỏi về sai lầm của HS đòi hỏi phải nghiên cứu R(X,O).Nhưng quan hệ của

cá nhân X đối với một đối tượng tri thức lại chịu ảnh hưởng nhiều của quan hệ mà

thể chế duy trì với đối tượng này, nên việc nghiên cứu R(X,O) là điều cần thiết Điều đó được thực hiện thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan đến O Việc xác định các mối liên hệ giữa các kỹ thuật giải, sự ưu tiên hay vắng mặt

của các kỹ thuật giúp xác định được đặc trưng của thể chế với việc dạy học O : thể

chế qui định dạy những gì liên quan đến đối tượng và dạy như thế nào, Từ đó ta có

thể tìm thấy nguồn gốc của một số sai lầm của HS

Do đó,chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán Cụ thể

là thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương trình và sách giáo khoa.Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm

có thể tồn tại nơi học sinh Trên cơ sở phạm vi lý thuyết lựa chọn, chúng tôi đặt lại câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q 1 :Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy,BPT mũ và logarit được trình bày như thế nào?

Với cách trình bày như vậy có gây ra những khó khăn, sai lầm cho HS khi học về BPT mũ và logarit?

Q 2 :Mối quan hệ thể chế giữa hai đối tượng PT với BPT mũ và logarit được xây

dựng như thế nào ở cấp trung học phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học

gắn liền với hai đối tượng này?Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài

tập về BPT mũ và logarit ở cấp THPT?

Q 3 :Những quan niệm,những qui tắc hành động nào dẫn đến các sai lầm mà HS gặp

phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến BPT mũ và logarit?

3 M ục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Đi tìm lời giải đáp cho những câu hỏi trên là mục tiêu nghiên cứu của luận văn này.Để hiện thực hóa mục tiêu đó chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:

 Phân tích chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên toán lớp 12 ban cơ bản

và các tổ chức toán học liên quan đến PT, BPT mũ và logarit ở cấp THPT để tìm

cách trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2

 Phân tích sách giáo viên toán 12 và tổng hợp các bài báo chuyên môn để dự đoán những sai lầm của học sinh gắn liền với đối tượng BPT và cố gắng giải thích những sai lầm này theo quan điểm của thuyết nhân học Sau đó tiến hành

một thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết đưa ra Thực hiện những phương pháp này là tìm cách trả lời cho câu hỏi Q3

4 C ấu trúc luận văn

Luận văn được chia làm các phần:

- Phần mở đầu

- Chương 1: Mối quan hệ thể chế đối với bất phương trình mũ và logarit

- Chương 2: Thực nghiệm

- Phần kết luận

Chương 1 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI

Để trả lời ba câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa Việt Nam hiện hành.Trước khi tiến hành phân tích, chúng tôi đưa ra một số qui ước sau đây:

M1: Sách giáo khoa Giải Tích 12 ban cơ bản

E1: Sách bài tập Giải Tích 12 ban cơ bản

G1: Sách giáo viên Giải Tích 12 ban cơ bản

1 B ất phương trình mũ và logarit trong thể chế dạy học ở THPT

1.1 Phân tích chương trình

Bất phương trình mũ và logarit được đưa vào giảng dạy ở lớp 12, chương trình chuẩn và nâng cao.Ở đây chúng tôi phân tích sách giải tích 12 ban cơ bản

Chương trình của môn giải tích 12 (chương trình cơ bản) gồm 4 chương:

Chương I.Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II.Hàm số lũy thừa.Hàm số mũ và hàm số logarit

Chương III.Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng

Chương IV.Số phức

Bất phương trình mũ và logarit được trình bày trong chương II.Hàm số lũy

thừa.Hàm số mũ và hàm số logarit.(22 tiết)

Nội dung của chương II bao gồm các bài:

§1.Lũy thừa

§2.Hàm số lũy thừa

§3.Lôgarit

§4.Hàm số mũ.Hàm số lôgarit

§5.Phương trình mũ và phương trình lôgarit

§6.Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Theo sách G1 thì mục tiêu, nội dung, yêu cầu của chương II như sau:

 Mục tiêu

Gi ới thiệu lũy thừa với số mũ nguyên, căn bậc n, lũy thừa với số mũ hữu tỉ, vô tỉ

và các tính ch ất của lũy thừa

Trình bày khái ni ệm logarit và các qui tắc tính logarit

Kh ảo sát hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Gi ải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản

[G1, tr.69]

Như vậy, G1 có đưa ra mục tiêu “Giải các phương trình, bất phương trình mũ và

logarit đơn giản.” liên quan đến thể chế mà chúng tôi nghiên cứu đó là: “Dạy học

b ất phương trình mũ và logarit”

 Nội dung

Chương trình không cho phép trình bày tổng quát về hàm số ngược nên hàm số lôgarit được định nghĩa độc lập với hàm số mũ, dựa vào khái niệm logarit.Phép toán l ấy logarit được xem như là phép toán ngược của phép nâng lên lũy thừa Hàm s ố lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit được trình bày sau khi học sinh

đã biết cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bằng đạo hàm, nên các hàm s ố này đều được nghiên cứu theo trình tự : nêu định nghĩa, công thức tính đạo hàm, sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Theo yêu c ầu của chương trình, sách giáo khoa chỉ giới thiệu các phương trình,b ất phương trình mũ và logarit đơn giản, không chứa ẩn ở cơ số và không

có tham s ố

Để học sinh có thể hình dung được tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình mũ cơ bản, sách giáo khoa có phần minh họa bằng đồ thị khi giải bài t ập

[G1, tr.69]

Như vậy, nội dung của chương có liên quan đến đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu

là theo yêu cầu của chương trình, sách giáo khoa chỉ giới thiệu các PT, BPT mũ và

logarit đơn giản, không chứa ẩn ở cơ số và không có tham số.Để học sinh có thể hình dung được tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình mũ cơ bản, sách giáo khoa có phần minh họa bằng đồ thị khi giải bài tập