liên hợp và dồn căn giải phương trình và hệ phương trình

ÉP TÍCH NHIỀU CĂN THỨC BẰNG KỸ THUẬT ĐẢO LIÊN HỢP VÀ DỒN CĂN I.. Vì vậy trong quá trình làm bài cần chắc chắn nghiệm ngoại lai trên sẽ bị loại bỏ bởi một trong các yếu tố: Điều kiện hoặ

ÉP TÍCH NHIỀU CĂN THỨC BẰNG KỸ THUẬT ĐẢO LIÊN HỢP

VÀ DỒN CĂN

I Kỹ thuật Đảo liên hợp:

Nếu liên hợp có cùng giá trị:









2 2

Khi đó muốn biến nhân tử (x− x+ 2) thành (x+ − 2 5x+ 6)

ta sử dụng kỹ thuật ĐẢO CĂN như sau:

(x− x+ 2)+F x( )= 0 ⇔(x− x+ 2)(x+ x+ 2) (+ x+ x+ 2)F x( )= 0

⇔ x2 − −x 2 + x+ x+ 2 F x = 0

⇔ x+ − 2 5x+ 6 x+ + 2 5x+ 6 + x+ x+ 2 F x = 0

CHÚ Ý:

• Khi nhân cả 2 vế với (x+ x+ 2), ta đã làm xuất hiện nghiệm ngoại lai Vì vậy trong quá trình làm bài cần chắc chắn nghiệm ngoại lai trên sẽ bị loại bỏ bởi một trong

các yếu tố: Điều kiện hoặc Nghiệm không thỏa mãn

II Kỹ thuật dồn căn:

Để kết nối hai căn thức, ta có thể sử dụng các biến đổi như sau:







2 3

III Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giải phương trình: x2 + 4x+ = 3 (x+ 1 8) x+ + 5 6x+ 2

Phân tích

Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm x ≈4.236067978

Khi đó ta có các nhân tử: (x+ − 2 8x+ 5 ,) (x+ − 1 6x+ 2)









2 2

Bài giải

Điều kiện: x≥ − ⇒ + >1 x 1 0

Ta có: x2 + 4x+ = 3 (x+ 1 8) x+ + 5 6x+ 2

(x+ 1) (x+ − 2 8x+ 5) (+ x+ − 1 6x+ 2)= 0

⇔

⇔ x 1 x 1 6x 2 x 2 8x 5 + x+ − 1 6x+ 2 x+ + 1 6x+ 2 = 0

( + ) ( + + + )( + − + ) ( )

⇔ x 1 x 1 6x 2 x 2 8x 5 + x2 − 4x− = 1 0

( + ) ( + + + )( + − + ) ( )( )

⇔ x 1 x 1 6x 2 x 2 8x 5 + x+ − 2 8x+ 5 x+ + 2 8x+ 5 = 0

( + − + ) ( ( + ) ( + + + )+ + + + )=

Vì x≥ − ⇒1 (x+ 1) (x+ + 1 6x+ 2)+ + +x 2 8x+ > 5 0

Do đó: x+ = 2 8x+ 5 ⇒x2 − 4x 1 0 − = ⇒x= 2 ± 5

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±2 5

Bài 2: Giải phương trình: x2 − − =x 2 3 − +x x

Phân tích

Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm x≈ 2,618033989

Khi đó ta có các nhân tử: (x− − 2 3 −x) và (x− − 1 x)









2 2

Bài giải

Cách 1: Liên hợp ngược và đảo căn:

Điều kiện:  − − ≥ ⇒ ≤ ≤

≤ ≤



x

Ta có: x2 − − =x 2 3 − +x x

⇔x2 − 3x+ + 1 x− − 2 3 −x + x− − 1 x = 0

⇔ x− − 2 3 −x x− + 2 3 −x x− + 1 x + x− − 2 3 −x x− + 1 x

+ x− − 1 x x− + 1 x = 0

⇔ x− − 2 3 −x x− + 2 3 −x x− + 1 x + − +x 1 x +x2 − 3x+ = 1 0

⇔ x− − 2 3 −x x− + 2 3 −x x− + 1 x + − +x 1 x

+ x− − 2 3 −x x− + 2 3 −x = 0

⇔ x− − 2 3 −x x− + 2 3 −x x− + 1 x + − +x 1 x x+ − + 2 3 −x = 0

⇔ x− − 2 3 −x x− + 2 3 −x x− + 1 x + 2x− + 3 x+ 3 −x = 0

Vì 2 ≤ ≤ ⇒x 3 (x− + 2 3 −x x)( − + 1 x)+ 2x− + 3 x+ 3 − >x 0

Do đó: − =2 3− ⇒ = 3+ 5

2

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất = 3+ 5

2

x

Cách 2: Kỹ thuật dồn căn:

Điều kiện:  − − ≥ ⇒ ≤ ≤

≤ ≤



x

(x2 3x 1) (2x 3 5)  5 3 2 3x x2  0

(x2 3x 1 2) ( x 3 5) 4(x2 3x 1)  5 3 2 3x x2  0

(1 3x x2 ) (2x 1 5)  5 3 2 3x x2  0

2

2

2

Bài 3: Giải bất phương trình: x3 + 3x2 + + ≥x 2 2x x2 + + 4 2x+ 11

Phân tích

Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm x 1.828427124≈

Khi đó ta có các nhân tử: (x+ − 3 2 x+ 4) và (x+ − 2 2x+ 11)









2 2

Vậy ta có nhận xét sau:

(x+ − 3 2 x+ 4)(x+ − 3 2 x+ 4)=x2 + 2x− = 7 (x+ − 2 2x+ 11)(x+ + 2 2x+ 11)

Bài giải

Điều kiện:  ≥ − 3 + 2 + ≥ − > − ⇒ ≥ − +( ) ( 2 + )> ⇒ > −

4 4

3

x x

x

Ta có: x3 + 3x2 + + ≥x 2 2x x2 + + 4 2x+ 11

⇔x3 + 3x2 + + −x 2 2x x2 + − 4 2x+ 11 0 ≥

⇔x x2 + − 3 2 x+ 4 + x+ − 2 2x+ 11 ≥ 0

⇔ x x2 + − 3 2 x+ 4 x+ + 3 2 x+ 4 + x+ + 3 2 x+ 4 x+ − 2 2x+ 11 ≥ 0

⇔x x2 2 + 2x− 7 + x+ + 3 2 x+ 4 x+ − 2 2x+ 11 ≥ 0

⇔x x2 + − 2 2x+ 11 x+ + 2 2x+ 11 + x+ + 3 2 x+ 4 x+ − 2 2x+ 11 ≥ 0

⇔ x+ − 2 2x+ 11 x x2 + + 2 2x+ 11 + + +x 3 2 x+ 4 ≥ 0

Vì > − ⇒  + + + ≥ >

+ + + ≥ − + >



3

x

Do đó: x x2( + + 2 2x+ 11)+ + +x 3 2 x+ > 4 0

Vậy  + ≥ + ⇒ ≥ − +

> −



3

Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm ∈ − + +∞)

 1 2 2;

Bài 4: Giải bất phương trình: x2 + x− 2x+ ≥ 2 3x+ + 1 2 3( x+ 1)

Phân tích

Sử dụng máy tính CASIO ta tìm được nghiệm x 4.236067977≈

Khi đó ta có nhân tử:  − + − 

 x 2x 2 1  và(x+ − 1 2 3( x+ 1) )

 − + −  − + − = − − +







2 2

Vậy ta có nhận xét như sau:

(x+ − 1 2 3x+ 1 ) (x+ + 1 2 3( x+ 1) )=x2 − 4x− 1

= x− − 1 2x+ 2 x− + 1 2x+ 2

Bài giải

Điều kiện:





2

3

x x

x

Ta có: x2 + x− 2x+ ≥ 2 3x+ + 1 2 3( x+ 1)

⇔x2 − 3x− + 1 x− 2x+ − 2 2 3x+ 1 ≥ 0

2

2

2

2

+ x2 − 4x− ≥ 1 0

⇔ x+ − 1 2 3x+ 1 x+ + 1 2 3x+ 1 + x+ + 2 2 3x+ 1 A ≥ 0

(Với ( − + + ) − + + =

Mặt khác với x≥ + 1 3 ta có: x+ + 1 2 3( x+ 1)+(x+ + 2 2 3( x+ 1) )A> 0

Do đó  + ≥ ( + )

⇒ ≥ +



 ≥ +



x

Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm ∈ + +∞)

2 5;

x

Bài 5: Giải phương trình: 2x+ 4x2 − 5x+ = 2 8x− + 1 3x+ 1

Phân tích

Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm x 1.866025404≈

Khi đó ta có các nhân tử: ( 4x2 − 5x+ − 2 3x+ 1) và (2x− 8x− 1)







2

Bài giải

Điều kiện: ≥ 1

8

x Ta có: 2x+ 4x2 − 5x+ = 2 8x− + 1 3x+ 1

⇔ 4x2 − 5x+ − 2 3x+ 1 + 2x− 8x− 1 = 0

⇔ 4x2 − 5x+ − 2 3x+ 1 2x+ 8x− 1 + 2x+ 8x− 1 2x− 8x− 1 = 0

⇔ 4x2 − 5x+ − 2 3x+ 1 2x+ 8x− 1 + 4x2 − 8x+ = 1 0

⇔ 4x2 − 5x+ − 2 3x+ 1 2x+ 8x− + 1 4x2 − 5x+ + 2 3x+ 1 = 0

Vì ≥ ⇒ 1 2 + 8 − +1 4 2 −5 + +2 3 + >1 0

8

Do đó 4 2 −5 + =2 3 + ⇒ =1 2± 3

2

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là = 2± 3

2

Bài 6: Giải phương trình: 5x2 − 5x+ − 3 7x− + 2 4x2 − 6x+ = 1 0

Phân tích

Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm x 1.390388203≈

Với ngghiệm x 1.390388203≈ thay vào căn thức ta được:

2

7 2 2.780776406 2







Vậy các nhân tử cần tìm là ( 5x2 − 5x+ − 3 (x+ 1) ) và (2x− 7x− 2)







2

Bài giải

Điều kiện: 2

7

x ≥ Ta có: 5x2 − 5x+ − 3 7x− + 2 4x2 − 6x+ = 1 0

⇔ 5x2 − 5x+ − − 3 x 1 2x+ 7x− 2 + 4x2 − 7x+ 2 +(4x2 − 7x+ 2 2) ( x+ 7x− 2)= 0

⇔ 5x2 − 5x+ − − 3 x 1 2x+ 7x− 2 + 4x2 − 7x+ 2 2x+ + 1 7x− 2 = 0

( )( ) ( )

⇔ 5x2 − 5x+ − − 3 x 1 5x2 − 5x+ + + 3 x 1 2x+ + 1 7x− 2

+ 5x2 − 5x+ − − 3 x 1 2x+ 7x− 2 = 0

⇔ 5x2 − 5x+ − − 3 x 1 A+ 2x+ 7x− 2 = 0

(Trong đó ( 5x2 − 5x+ + + 3 x 1 2) ( x+ + 1 7x− 2)=A)

Vì ≥ ⇒ 2 +2 + 7 − >2 0

7

x A x x Do đó 5x2 − 5x+ = + 3 x 1 ⇒ = 7± 17

8

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là 7 17

8

Bài 7: Giải phương trình: 2 + +x 2 − +x 4 −x2 = 2x2 + 2x− 2

Phân tích

Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm x 1.322875656≈

Thay x 1.322875656≈ vào các căn thức của phương trình ban đầu ta được:





1

2 1.822875656

1

2 0.822875656

2

Vậy phương trình có nhân tử: (2x− 2 + −x 2 −x)

Xét liên hợp:

(2x− 2 + −x 2 −x)(2x+ 2 + +x 2 −x)= 4x2 − − 4 2 4 −x2

Bài giải

Điều kiện: − ≤ ≤ 2 x 2 Ta có: 2 + +x 2 − +x 4 −x2 = 2x2 + 2x− 2

⇔ 2 2 + +x 2 2 − +x 2 4 −x2 = 4x2 + 4x− 4

⇔ 4x2 − − 4 2 4 −x2 + 2 2x− 2 + −x 2 −x = 0

⇔ 2x− 2 + −x 2 −x 2x+ 2 + +x 2 −x + 2 2x− 2 + −x 2 −x = 0

⇔ 2x− 2 + −x 2 −x 2x+ + 2 2 + +x 2 −x = 0

• Với = + − ⇔  ≤ ≤



2

x



2

x

• Với + − = −( + )⇔ − ≤ ≤ −



2

x

( )

− ≤ ≤ −





x

x x x x ⇔ − ≤ ≤ − + ( + − − )=



x

Vì 2 2x + −x 2 − < ∀ − ≤ ≤ − ⇒x 0 2 x 1 2 + = ⇔ = −x 0 x 2

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = −2 và 7

2

Bài tập tự luyện:

1) x− + 3 5 − ≥x x2 − 8x+ 18

2) 2x x2 2 − + + −x 1 1 2( x x) 4 + ≤ − 3 (1 x)1 −x

=

2