Tính toán dao động riêng của hệ lưới dây

TS Phạm Văn Trung Tóm tắt: Hệ kết cấu dây hai lớp được sử dụng rộng rãi trong các công trình nhịp lớn như: công trình công nghiệp, công trình văn hóa, công trình bảo tàng, công trình cô

Tính toán dao động riêng của hệ lưới dây.

Calculate the vibration of the wire grid

TS Phạm Văn Trung Tóm tắt: Hệ kết cấu dây hai lớp được sử dụng rộng rãi trong các công trình nhịp lớn như: công

trình công nghiệp, công trình văn hóa, công trình bảo tàng, công trình công cộng Các phương pháp tính toán dao động riêng lưới dây hiện này đều dùng phương pháp tương tự vỏ phi mômen và có độ võng nhỏ Bài báo này trình bầy về một phương pháp mới tính toán dao động riêng hệ kết cấu lưới dây hai lớp theo theo nguyên lý cực trị Gauss với các khối lượng được quy về tập trung tại các mắt lưới.

1 Tổng quan về dao động riêng hệ lưới dây hai lớp

Qua nghiên cứu về tính toán động lực học kết cấu dây các tác giả [4]; [5] trước đây đã xây dựng các phương trình vi phân cân bằng động lực học chung cho các kết cấu trên cơ sở lý thuyết phi tuyến của cơ hệ môi trường liên tục và chỉ ra rằng: Các phương trình cân bằng động lực học của lưới dây có thể nhận được từ phương trình cân bằng động lực học của vỏ phi mômen bằng cách cho ứng suất cắt trong vỏ bằng không Dựa vào những kết quả nghiên cứu này có thể đánh giá được tính chất làm việc động của kết cấu dây nói chung và lưới dây (mái treo) nói riêng

Để thấy rõ hơn tính chất của bài toán qua phương trình cân bằng của dây đơn thoải có chiều dài 2l [6, tr 42]

2

2 2

2 2

2

f l

x g

q fdx l

x l

x lH

EAq x

f H

l

∂













=

























−

∂

∂

∫

−

λ λ

λ

(1) Trong đó: H - lực căng ngang trong dây ở trạng thái cân bằng tĩnh;

f - Độ võng của dây;

EA- Độ cứng chịu kéo của dây;

λ













=

l

x q x

g

x q x

cũng phân bố đều

Phương trình (1) nhận được khi xem đường biến dạng dây thoải (tỉ lệ độ võng lớn nhất so với nhịp nhỏ thua 1/10 đối với dây và 1/5 đối với vỏ), nghĩa là bỏ qua các thành phần phi tuyến của chuyển vị đứng W

Các tác giả với một vài biến đổi đã tìm được lời giải của phương trình vi phân (1) dưới dạng Bessell với chỉ số là phân số cộng với một đại lượng khác Lời giải cho thấy tần số dao động riêng của dây phụ thuộc vào biên độ dao động

Trong nội dung nghiên cứu này xin trình bầy về một phương pháp mới tính toán dao động riêng của hệ lưới dây theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss

2 Xây dựng và giải bài toán tìm trị riêng của hệ lưới dây

Xét một hệ lưới dây gồm hai nhóm (nhóm I có a dây, nhóm 2 có b dây) dây đặt theo hai phương khác nhau (Hình 1), Mỗi dây được tính từ điểm liên kết đầu đến điểm liên kết cuối vào biên cứng, khoảng cách giữa hai điểm liên kết gọi là nhịp của dây và ký hiệu là L Biên cứng có thể là một hệ kết cấu bằng BTCT hoặc thép có chu vi kín và có độ cứng lớn Các biên cứng này có thể tụa lên kết cấu móng và các trụ đỡ Trong nghiên cứu này ta chưa xét dến độ biến dạng của biên Các nhóm dây này được liên kết với nhau tại các điểm được gọi là điểm nút của lưới dây và được đánh số theo các số tự nhiên n, số điểm liên kết của dây với biên cứng là r=2(a+b) Khoảng cách liên tiếp giữa hai điểm nút của một dây gọi là một đoạn dây, gọi số đoạn dây là n Gọi E là môduyn đàn hồi của vật liệu làm dây, A là

về tập trung tại nút i

i mi

Hình 1 Mô hình bài toán tìm trị riêng của hệ lưới dây

của dây về tập trung tại nút của lưới dây Như vậy ta có n khối lượng tập trung tại

n nút lưới

giống như bài toán tĩnh [3] trong đó lực quán tính được coi như là lực ngoài khi lấy các đạo hàm riêng

lưới dây sẽ dao động nhiệm vụ là cần xác định tần số và dạng dao động này

t i i id

t i i id

t i i id

e w z

e v y

e u x

ω ω ω

.

=

=

=

(2)

t i i i i

i z m

t i i i i

i m

t i i i i

i m

e w m z

m f

e v m y

m f

e u m x

m f

i iy ix

ω ω ω

ω ω ω

2 2 2

−

=

=

−

=

=

−

=

=







(3)

Khớ xõy dựng bài toỏn tỡm tần số dao động riờng ta coi lực quỏn tớnh này như tải trọng ngoài và thực hiện như bài toỏn tĩnh

{Pxi Pyi Pzi} {f m kx f m ky f m k z}

biến dạng và có vị trí mới, đoạn ik là i’k’ Lúc này tọa độ của các nút i’ và k’ trong sơ đồ biến dạng là xi’, yi’, zi’ và xk’, yk’, zk’ (Hình 2)

i'(x i ,y i ,z i ) O

z

y

x

f mzi

myi

mxi

i(x i ,y i ,z i )

f

f

Hỡnh 2 Lực quỏn tớnh tỏc dụng lờn khối lượng

Để thiết lập cụng thức cơ bản của bài toỏn ta xột một đoạn dõy ik nối giữa

hai điểm nỳt i và k liờn tiếp trờn một dõy ban đầu và sau khi chịu tải cú vị trớ mới là

x 0k , y 0k , z 0k Gọi tọa độ sau khi chịu tải của cỏc điểm nỳt i’ và k’ trờn hệ trục tọa độ

là x i , y i , z i và x k , y k , z k như hỡnh 3.

O

z

y

x

i

k k'

i'

x x x x

y y i k k' i'

y y

z z z z

i

i

i'

i'

k

k

k' k'

Hỡnh 3 Mụ hỡnh tớnh toỏn chiều dài đoạn dõy khi dao động

Ta có công thức tính chiều dài ban dầu Sik và chiều dài sau khi dao động Lik

của dây theo tọa độ bằng sơ đồ hình học như sau:

;

;

;

ik ik ik

ik

Thay (5) vào (7) ta có

ik

(8)

Chuyển vị của các điểm nút tương ứng theo các phương của trục tọa độ Ox,

0

0

0

, ,

i i i

i i i

i i i

= −

= −

= −

(9)

Lượng cưỡng bức của bài toán hệ lưới dây theo phương pháp nguyên lý Gauss với m ẩn số là lực căng trong dây theo [3] có thể viết như sau:

2

ik

ik xi i yi i zi i

T

EA

−

Thay (8) và (9) vào (10) ta có:

Lượng cưỡng bức của bài toán tìm dao động riêng của lưới dây theo phương pháp nguyên lý Gauss với các ẩn số là tọa độ của các điểm đặt lực có thể viết như sau:

2

1

1

1

1

2

n

i

n

i

=

−

=

∑

∑

(11)

Bài toán tìm tần số dao động riêng là bài toán có vô số nghiệm Để chuẩn hóa cho bộ nghiệm ta cho trước biên độ dao động của một khối lượng thứ k nào

đó, tức là ta bổ sung vào phiếm hàm (11) một điều kiện ràng buộc:

g v= −k v; (12)

Trong đó v là một giá trị bất kỳ cho trước, trong các bài toán tìm trị riêng thường chọn v bằng đơn vị

Giải bài toán bằng phương pháp biến thiên thừa số Lagrange bằng cách dùng phiếm hàm mở rộng F:

;

Điều kiện cực trị của (13) là các đạo hàm riêng bằng không ta có được hệ 3n+1

0;

0;

0;

0;

i i i

Z x Z y Z z Z

λ

∂ =

∂

∂ =

∂

∂ =

∂

∂ =

∂

(14)

Lưu ý rằng thục tế các lực quán tính f mxi, f myi và f mzi là một hàm của tọa độ nhưng khi lấy đạo hàm của (13) theo (14) ta coi lực quán tính như tải trọng ngoài Tức là ta vẫn để:

;

;

0 0 0

i i z m

i i m

i i m

z z P f

y y P f

x x P f

k ky kx

−

=

−

=

−

=

(15)

và coi là hằng số

Sau khi lấy đạo hàm ta mới thay các lực quán tính theo (3) vào phương trình đạo hàm riêng ta được hệ phương trình Giải hệ phương trình này ta được các tần

số dao động riêng và biên độ dao động riêng tương ứng

Các phương trình của (14) viết cho một điểm lưới i với các điểm lân cận m,

n, j, và k như sau

1 2

, ,

2 0 0

2 0 0

2 0 0

2 2

2

xi k

j n

m

r

r i r

i r

i r

i

r i r

i r

i

r i r

i r

i

ir i

P x

x z

z y

y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

EA x

Z

−

































−

− +

− +

−

−

− +

− +

−

− +

− +

−

=

∂

=

( ) ( ) ( )

1 2

, ,

2 0 0

2 0 0

2 0 0

2 2

2

yi k

j n

m

r

r i r

i r

i r

i

r i r

i r

i

r i r

i r

i

ir i

P y

y z

z y

y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

EA y

Z

−

































−

− +

− +

−

−

− +

− +

−

− +

− +

−

=

∂

=

(16)

1 2

, ,

2 0 0

2 0 0

2 0 0

2 2

2

zi k

j n

m

r

r i r

i r

i r

i

r i r

i r

i

r i r

i r

i

ir i

P z

z z

z y

y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

EA z

Z

−

































−

− +

− +

−

−

− +

− +

−

− +

− +

−

=

∂

=

tác dụng P trong (15) bằng lực quán tính theo (2) vào (16) và rút gọn ta có:

1

0 2

,

2 0 0

2 0 0

2 0 0

2 2

2

=

− +

































−

− +

− +

−

−

− +

− +

−

− +

− +

−

∑

=

t i i i i k

j

n

m

r

r i r

i r i r

i

r i r

i r

i

r i r i r

i

z z y

y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

1

0 2

,

2 0 0

2 0 0

2 0 0

2 2

2

=

− +

































−

− +

− +

−

−

− +

− +

−

− +

− +

−

∑

=

t i i i i k

j

n

m

r

r i r

i r i r

i

r i r

i r

i

r i r i r i

z z y y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

1

0 2

,

2 0 0

2 0 0

2 0 0

2 2

2

=

− +

































−

− +

− +

−

−

− +

− +

−

− +

− +

−

∑

=

t i i i i k

j

n

m

r

r i r

i r i r

i

r i r

i r

i

r i r i r

i

z z y

y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

Thuật toán để xác định tần số dao động riêng và dạng dao động:

thức (11)

trình đạo hàm riêng (14) Khí lấy đạo hàm ta coi lực quán tính như là tải trọng ngoài (coi là hằng số)

• Bước 3 Thay lực quán tính vào ta được hệ phương trình (17).

động Để tính các tần số và dạng dao động tiếp theo ta thực hiện chu trình lặp

dạng số liệu kết quả, vẽ dạng dao động

Sơ đồ khối chương trình

Bắt đầu

Thiết lập Hàm Myfun Khai báo biến Matlab

Kết thúc

Vẽ sơ dạng dao động

mesh(X, Y, Z).

Định dạng file kết quả

Giải hệ phương trình

[x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options)

Nhập số liệu đầu vào

(các hằng)

Thiết lập hệ phương trình đạo hàm riêng (16) Thiết lập Hàm Z (12)

Thiết lập công thức tính S, S’ T Khai báo các hằng và biến

Ví dụ Cho một mái treo kết cấu dây mềm dạng kết cấu hypa như hình vẽ

nhóm dây chịu tải có tiết diện A1=0,0040m2; nhóm dây ổn định có tiết diện

lượng mi tại các nút dây Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của mái

-600 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20

30

40

50

60

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Hình 4 công trình và sơ đồ tính hệ lưới

Quá trình tính lặp trong Matlab.

Norm of First-order Trust-region

Iteration Func-count f(x) step optimality radius

0 218 8.99818e+010 2.63e+009 1

1 436 7.07502e+010 1 2.18e+009 1

2 654 3.88678e+010 2.5 1.51e+009 2.5

3 872 1.43806e+010 5.28489 1.04e+009 6.25

4 1090 8.72469e+009 1.76692 4.78e+008 13.2

5 1308 6.7655e+009 1.25555 3.61e+008 13.2

6 1526 5.57696e+009 0.726741 2.75e+008 13.2

7 1744 4.86075e+009 0.660732 2.41e+008 13.2

8 1962 4.31507e+009 0.477293 2.11e+008 13.2

9 2180 3.90323e+009 0.479758 1.78e+008 13.2

10 2398 3.56648e+009 0.36816 1.74e+008 13.2

11 2616 3.2908e+009 0.38472 1.46e+008 13.2

12 2834 3.05434e+009 0.30732 1.48e+008 13.2

13 3052 2.85141e+009 0.328372 1.25e+008 13.2

14 3270 2.67244e+009 0.267672 1.28e+008 13.2

15 3488 2.51482e+009 0.289228 1.09e+008 13.2

16 3706 2.37328e+009 0.23847 1.12e+008 13.2

17 3924 2.2465e+009 0.259608 9.64e+007 13.2

18 4142 2.13117e+009 0.215567 1e+008 13.2

19 4360 2.02662e+009 0.236093 8.67e+007 13.2

20 4578 1.93059e+009 0.196893 9.04e+007 13.2

21 4579 1.93059e+009 13.2122 9.04e+007 13.2

22 4797 1.88903e+009 3.30306 8.01e+007 3.3

23 5015 1.70623e+009 3.30306 7.93e+007 3.3

24 5233 1.41571e+009 8.25765 6.49e+007 8.26

25 5451 8.27654e+008 20.6441 4.18e+007 20.6

26 5669 3.22042e+008 19.2322 1.12e+008 20.6

27 5887 2.15891e+007 6.87282 5.5e+007 20.6

28 6105 7.36738e+006 4.12207 3.22e+007 20.6

29 6323 115989 1.08813 5e+006 20.6

30 6541 289.003 3.71767 6.65e+004 20.6

31 6759 18.3448 2.54803 1.53e+004 20.6

32 6977 0.515499 1.77885 268 20.6

33 7195 0.013727 1.378 10.9 20.6

34 7413 0.000247285 0.875095 0.758 20.6

35 7631 8.99322e-007 0.314657 0.0277 20.6

36 7849 4.09974e-011 0.0319266 0.000296 20.6

37 8067 1.88036e-018 0.000268286 2.25e-005 20.6

38 8285 1.30355e-018 1.77591e-008 2.33e-005 20.6 Optimization terminated: relative function value changing by less

than max(options.TolFun^2,eps) and sum-of-squares of function values is less than sqrt(options.TolFun).

Kết quả tính toán

1 Dạng dao động thứ 1 ω = 0.0039

 Lực căng khi dao động của nhóm dây lớp 1 ( N1; N2 )

 Biên độ dao động (U1; V1; W1)

30 40 50 60 70

80 90 100

110 120 130 -40

-30 -20 -10

0

10

20

30

40

50

60

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

2 Dạng dao động thứ 2 ω = 0.4863

3 Dạng dao động thứ 3 ω = 0.7936

Dạng dao động: dạng không gian và đường cùng biên độ

4 Dạng dao động thứ 4 ω = 3.7598

Dạng dao động: dạng không gian và đường cùng biên độ

-60

-40

-20

0

20

40

60

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x 10 -4

-60

-40

-20

0

20

40

60

3 Kết luận

Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss đã xây dựng được bài toán và lời giải chính xác cho bài toán dao động riêng của hệ lưới dây khi khối lượng tập trung tại nút lưới

Tần số dao động riêng của hệ dây phụ thuộc vào biên độ dao động Khi chi những biên

độ khác nhau ta nhận được những dạng dao động riêng như nhau nhưng có tần số khác nhau.

Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss đã xây dựng được bài toán và lời giải chính xác cho bài toán dao động riêng của hệ lưới dây với độ võng bất kỳ Cách xây dựng này không sử dụng đến giã thiết độ võng nhỏ, không dùng cách tương tự như vỏ phi mômen Nghiên cứu này đã xây dựng được chương trình tính toán để tính toán ví dụ và có thể

áp dụng vào thực tế Có thể áp dụng bài toán trên cơ sở lý thuyết vào bài toán thực tiễn cho kết cấu dây trong hệ dây võng trên cơ sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss.

Hướng nghiên cứu tiếp là bài toán dao động của vỏ trên cơ sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss.

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Thừa Hợp (2001), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học quốc gia, Hà

Nội.

2 Lều Thọ Trình (1985), Cách tính hệ dây theo sơ đồ biến dạng, NXB KH&KT, Hà

Nội.

3 Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp mới tính hệ kết cấu dây và mái treo, Luận án

tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội.

4 Lin T Y and Yong B W (1965), Two large shells of posttensioned precast concrete,

Civil Engineering, ASCE 35.

5 Paul Lew I Thomas Z Scarangello, Structural Engineering Handbook, Fourth

Edition Section 27.

6.Ивович В А., Покровский Л Н (1989) Динамический расчет висячих покрытий Москва Стройиздат pp 138.