Luận văn tập hút TOÀN cục với PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES TRÊN MIỀN KHÔNG bị CHẶN latex

Tập hút toàn cục đối với phương trình NavierStokes hai chiều được nghiên cứu đầu tiên trên miền bị chặn bởi Ladyzhenskaya 1,và Foias và Temam 2. Số chiều hữu hạn của tập hút toàn cục đã được chỉ ra theo nghĩa Hausdorff. Đối với miền không bị chặn, nó được nghiên cứu bởi Abergel 3 và Babin 4, nhưng yếu tố cưỡng bức được yêu cầu nằm trong một không gian trọng thích hợp. Tuy nhiên, việc ước lượng số chiều của tập hút toàn cục trong trường hợp này không phụ thuộc vào chuẩn của yếu tố cưỡng bức trong không gian trọng. Đó là lý do để ta hy vọng tồn tại tập hút toàn cục trong trường hợp tổng quát hơn và cũng là mục đích của bản luận văn rằng chỉ ra Tập hút toàn cục tồn tại đối với các yếu tố cưỡng bức tổng quát hơn của phương trình Navier Stokes hai chiều, hơn nữa, nó nằm trong không gian đối ngẫu V. Tính hữu hạn chiều của tập hút và ước lượng của nó trong trường hợp này cũng đã được nghiên cứu. Một yêu cầu khác trong kết quả của Abergel 3,5 và Babin 4 là tính trơn của biên đối với miền xác định. Điều này sẽ không được yêu cầu và miền xác định trong trường hợp của ta có thể là tập mở tùy ý miền rằng bất đẳng thức Poincare được thỏa mãn.Ngoài ra, khi xem xét sự tồn tại của tập hút toàn cục, chúng ta cần chỉ ra tính compact tiệm cận cái mà thông thường chúng ta nhận được bởi tính chính quy của phương trình ban đầu và phép nhúng compact trong không gian Sobolev. Hướng tiếp cận này chỉ phù hợp cho miền bị chặn vì phép nhúng không còn compact nữa đối với miền không bị chặn. Một giải pháp đã được áp dụng để xử lý vấn đề là ta xem xét các không gian trọng, nhưng nhược điểm của nó yếu tố cưỡng bức , ngay cả điều kiện ban đầu, phải được hạn chế đối với các không gian trọng. Mục đích của chúng ta trong bài này là tránh nhược điểm này bằng cách xem xét phương trình năng lượng phù hợp để nhận được tính compact tiệm cận đối với nửa nhóm sinh bởi bài toán giá trị biên ban đầu. Luận văn này gồm ba phần chính. Phần 3 Phương trình Navier Stokes trên miền không bị chặn tập trung vào việc xây dựng bài toán, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán và nửa nhóm liên tục. Phần 4 Tập hút toàn cục xoay quanh việc chỉ ra sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa nhóm liên tục. Phần 5 Số chiều của tập hút toàn cục nhằm đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục được chỉ ra ở phần trước. Cuối cùng, tôi xin liệt kê tất cả các tài liệu tôi đã sử dụng cho luận văn này.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————————————–

NGUYỄN TRUNG THÀNH

TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————– * ———————

NGUYỄN TRUNG THÀNH

TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS CUNG THẾ ANH

THANH HÓA, 2015

ngày tháng năm của Hiệu trưởng Trường Đại học Sư Phạm Hà

Nội:

Xác nhận của người hướng dẫn

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của hội đồng

(ký ghi rõ họ tên)

Sở hữu file LaTeX của tài liệu, liên hệ email: saoluuemails@gmail.com

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn,

luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Nguyễn Trung Thành

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự

hướng dẫn của Thầy PGS.TS Cung Thế Anh Tôi xin chân thành bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc tới sự chỉ dạy của Thầy Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô đãgiảng dạy tôi và cảm ơn tất cả bạn bè vì sự giúp đỡ chân tình của mọi người.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà

Nội đã giúp đỡ về mặt thủ tục để hoàn thiện luận văn này

Thanh Hóa, tháng 9 năm 2015

Nguyễn Trung Thành

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

CÁC KÝ HIỆU iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian L2(Ω) 3

1.2 Không gian Sobolev 4

1.3 Hệ động lực và tập hút toàn cục 8

Chương 2 : TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER -STOKES TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN 10

2.1 Phương trình Navier - Stokes trên miền không bị chặn 10

2.2 Tập hút toàn cục 15

2.3 Số chiều của tập hút toàn cục 19

Tài liệu tham khảo 24

CÁC KÝ HIỆU

Trong toàn bộ luận văn trừ các trường hợp đặc biệt được nói rõ ở mỗi mục, còn

lại sử dụng các ký hiệu sau:

∂ x1

, , ∂ u

∂ xn)

n

∑i=1

∂2u

∂ x2i

MỞ ĐẦU

Tập hút toàn cục đối với phương trình Navier-Stokes hai chiều được nghiên

cứu đầu tiên trên miền bị chặn bởi Ladyzhenskaya [1],và Foias vàTemam [2] Số chiều hữu hạn của tập hút toàn cục đã được chỉ ra theonghĩa Hausdorff Đối với miền không bị chặn, nó được nghiên cứu bởiAbergel [3] và Babin [4], nhưng yếu tố cưỡng bức được yêu cầu nằmtrong một không gian trọng thích hợp Tuy nhiên, việc ước lượng sốchiều của tập hút toàn cục trong trường hợp này không phụ thuộc vàochuẩn của yếu tố cưỡng bức trong không gian trọng Đó là lý do để ta

hy vọng tồn tại tập hút toàn cục trong trường hợp tổng quát hơn và cũng

là mục đích của bản luận văn rằng chỉ ra ” Tập hút toàn cục tồn tại đốivới các yếu tố cưỡng bức tổng quát hơn của phương trình Navier -

hữu hạn chiều của tập hút và ước lượng của nó trong trường hợp nàycũng đã được nghiên cứu Một yêu cầu khác trong kết quả của Abergel[3,5] và Babin [4] là tính trơn của biên đối với miền xác định Điều này

sẽ không được yêu cầu và miền xác định trong trường hợp của ta có thể

là tập mở tùy ý miền rằng bất đẳng thức Poincare được thỏa mãn.Ngoài

ra, khi xem xét sự tồn tại của tập hút toàn cục, chúng ta cần chỉ ra tínhcompact tiệm cận cái mà thông thường chúng ta nhận được bởi tínhchính quy của phương trình ban đầu và phép nhúng compact trongkhông gian Sobolev Hướng tiếp cận này chỉ phù hợp cho miền bị chặn

vì phép nhúng không còn compact nữa đối với miền không bị chặn.Một giải pháp đã được áp dụng để xử lý vấn đề là ta xem xét các khônggian trọng, nhưng nhược điểm của nó yếu tố cưỡng bức , ngay cả điềukiện ban đầu, phải được hạn chế đối với các không gian trọng Mụcđích của chúng ta trong bài này là tránh nhược điểm này bằng cách xemxét phương trình năng lượng phù hợp để nhận được tính compact tiệmcận đối với nửa nhóm sinh bởi bài toán giá trị biên ban đầu.Luận văn này gồm ba phần chính Phần 3 ” Phương trình Navier - Stokes trên

miền không bị chặn” tập trung vào việc xây dựng bài toán, sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của bài toán và nửa nhóm liên tục Phần 4 ” Tập húttoàn cục” xoay quanh việc chỉ ra sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửanhóm liên tục Phần 5 ” Số chiều của tập hút toàn cục” nhằm đánh giá

số chiều fractal của tập hút toàn cục được chỉ ra ở phần trước Cuốicùng, tôi xin liệt kê tất cả các tài liệu tôi đã sử dụng cho luận văn này

Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ω| f |2dx< ∞ } được gọi là khônggian các hàm bình phương khả tích với chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 ([7])(Hàm lồi) Một hàm f : Rn→ R được gọi là hàm lồi nếu

Bổ đề 1.1.3 ([7]) (Gronwall) (Dạng vi phân) Giả sử η(t) là một hàm liên tục

tuyệt đối không âm trên [ 0; T ] thỏa mãn:

Định lý 1.1.8 ([7]) L2(Ω) là một không gian Banach.

một chuẩn; tiên đề thứ 3 (Bất đẳng thức tam giác) thỏa mãn là kết quả

và || fn− f ||L2 (Ω)≤ || fn− fnj||L2 (Ω)+ || fnj− f ||L2 (Ω)≤ ε

ε

Hilbert với tích vô hướng:

( f , g) =

Z

Ω

1.2 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.2.1 ([7]) Tập Llocp (Ω) = { f : f ∈ Lp(K)} với mọi tập compact

địa phương trên Ω

Định nghĩa 1.2.2 ([7])Cho g ∈ L1loc(Ω) Ta nói f là đạo hàm yếu của g theo

biến xj ký hiệu f = Djg nếu f ∈ L1loc(Ω) và

Ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao theo phương pháp quy nạp:

Định nghĩa 1.2.3 ([7])Tập Wk,p(Ω) = { f : Dα ∈ Lp(Ω)}, với mọi 0 ≤ |α| ≤ k

được gọi là không gian Soblev với chuẩn

|| f ||Wk,p (Ω)=

n

∑0≤|α|≤k

||Dαf||Lpp(Ω)o1/p

Định lý 1.2.4 ([7]) Wk,p(Ω) là không gian Banach tách.

Hệ quả 1.2.5 ([7])Nếu fn → f trong D0(Ω), thì Dαfn → Dαf trong D0(Ω)

với mọi chỉ số α, ở đây D0(Ω) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính

f : C∞

c(Ω) thì f (un) → f (u).

Một trong những không gian quan trọng và thường xuyên được sử dụng là

phần tiếp theo Vì vậy, chúng ta sẽ trình bày một số nội dung quan

(( f , g))Hk (Ω) =



∑0≤|α|≤k

|D fα|21/2

Định nghĩa 1.2.6 ([7])Tập Hk(Ω) là không gian Soblev được xác định bởi

Nhờ bất đẳng thức Pointcaré, ta có thể xác định được một chuẩn khác tương

Chúng ta nói fn→ f trong Hk

Định nghĩa 1.2.10 ([7]) Với 1 ≤ p < ∞ và E là không gian Banach, ta có

giá trị trong E với chuẩn:

Bổ đề 1.2.11 ([7]) Với 1 ≤ p < ∞ tồn tại một hằng số co(Ω, 1) thỏa mãn với

mỗi ϕ ∈ W1.p(Ω)

|Γ|

Z

Γϕ