skkn một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Bảng 3: Bảng điều tra thực trạng dạy toán cực trị hình học trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOA LƯ

TRƯỜNG THCS ĐINH TIÊN HOÀNG

S NG N

MỘT SỐ B ỆN PH P NHẰM PH T TR ỂN TƯ DUY S NG TẠO CHO HỌC S NH THCS THÔNG QUA DẠY HỌC G Ả

TO N CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Tác giả:

Dương Đặng Phương Hoa- Phó Hiệu trưởng, Cử nhân Toán học Mai Thị Loan- Giáo viên, Cử nhân Toán học

Đặng Thị Tuyết- Giáo viên, Cử nhân Toán học

Vũ Thị Hương- Giáo viên, Cử nhân Toán

Đơn vị:Trường THCS Đinh Tiên Hoàng

T hị trấn Thiên Tôn, Huyện Hoa Lư, Tỉnh Ninh Bình

Hoa lư tháng 5 năm 2016

MỤC LỤC

I Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến 1

II Đồng tác giả 1

III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng 1

IV Nội dung sáng kiến 1

1 Giải pháp cũ thường làm 1

1.1 Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp đại trà 1

1.2 Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi 3

1.3 Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có toán cực trị 4

2 Giải pháp mới thực hiện 6

2.1 Một số kiến thức thường dùng để giải bài toán cực trị hình học 6

2.1.1 Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu 6

2.1.2 Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc các điểm 7

2.1.3 Bất đẳng thức trong đường tròn 7

2.1.4 Bất đẳng thức đại số 7

2.1.5 Hệ thức lượng trong tam giác 7

2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho hs bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học 16

2.2.1 Biện pháp 1: Xác định các hướng tiếp cận khác nhau để giải bài toán cực trị hình học 16

2.2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 16

2.2.2.1 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp bài toán 16

2.2.2.2 Rèn luyện khả năng kiểm tra lời giải bài toán 16

2.2.2.3 Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải bài toán mang tính tổng quát hơn 17

2.2.3 Biện pháp 3 : Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới 20

2.2.3.1 Rèn luyện khả năng nhận biết, tìm tòi và phát hiện các bài toán liên quan và sáng tạo bài toán mới 20

2.2.3.2 Rèn luyện khả năng nhìn nhận và giải bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau 23

2.2.3.3 Rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn 26

3 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 29

3.1 Tổ chức thực nghiệm 29

3.2 Nội dung thực nghiệm 30

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 32

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm: 33

V Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được 33

1 Hiệu quả kinh tế 33

2 Hiệu quả xã hội 34

VI Điều kiện và khả năng áp dụng 34

Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Ninh Bình

II Đồng tác giả

Số

TT Họ và tên

Ngày tháng năm sinh

Nơi công tác Chức

danh

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ(%) đóng góp vào việc tạo

ra sáng kiến

1 Dương Đặng Phương Hoa 27/4/1975 THCS Đinh

Tiên Hoàng PHT

ĐH Toán 35%

2 Đặng Thị Tuyết 23/05/198

3

THCS Đinh Tiên Hoàng

Giáo viên

ĐH Toán 25%

3 Mai Thị Loan 14/11/196

1

THCS Đinh Tiên Hoàng

Giáo viên

ĐH Toán 20%

4 Vũ Thị Hương 15/11/197

7

THCS Đinh Tiên Hoàng

Giáo viên

ĐH Toán 20%

1.1 Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp đại trà

Bảng 1: Bảng thống kê mức độ dạy toán cực trị hình học

Thithoảng chữa

08 gv

Không chữa

Mở rộng, nâng cao, khai thác, phát

triển bài toán

Thường xuyên

03 gv

Không thường xuyên

05 gv

Không thực hiện

01 hs

Ít khi

05 hs

Không bao giờ

114 hs

Mạnh dạn trao đổi với thày cô

Thường xuyên

Qua số liệu ở bảng 1 và bảng 2 chúng tôi thấy việc dạy toán cực trị trong trường THCS chưa được quan tâm đúng mức Đối với các lớp dạy đại trà phần lớn việc dạy lí thuyết dừng ở mức giới thiệu hoặc giao cho học sinh về nhà đọc Việc chữa bài còn rất ít thậm trí có giáo viên không giao bài và không chữa bài tập phần này Một số giáo viên chỉ dừng lại ở việc chữa bài hoặc hướng dẫn cho học sinh khá giỏi về nhà làm chứ chưa quan tâm đến việc khai thác, phát triển bài toán Đặc biệt trong các bài kiểm tra định kỳ rất ít khi có nội dung cực trị hình học

Đối với học sinh đa số học sinh không thích học và sợ học toán cực trị Nhiều em không học và không làm bài tập giao về nhà Số lượng học sinh mạnh dạn trao đổi với thày cô và tìm tòi, đề xuất bài toán mới còn rất ít, hầu như không có

1.2 Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi

Bảng 3: Bảng điều tra thực trạng dạy toán cực trị hình học trong các chuyên đề bồi

dưỡng học sinh giỏi cấp THCS

Hệ thống nội dung kiến thức lý thuyết

sử dụng

Có hệ thống lại

7 gv

Nhắc lại trong quá trình chữa bài

5 gv

Không dạy

6 gv

Dạy bài tập

Sử dụng nhiều phương pháp

3 gv

không thường xuyên

8 gv

Chỉ chữa bài

7 gv

Liên hệ với thực tế

Thường xuyên

8 gv

Ít khi

6 gv

Không liên hệ

4 gv

Mở rộng, nâng cao, khai thác, phát

triển bài toán

Thường xuyên

5 gv

Không thường xuyên

5 gv

Không thực hiện

8 gv

8 hs

Phát triển bài toán

Thường xuyên

4 hs

Ít khi

15 hs

Không bao giờ

11 hs

Mạnh dạn trao đổi với thày cô

Thường xuyên

8 hs

Ít khi

12 hs

Không liên hệ

10 hs

Từ kết quả của bảng 3 chúng tôi thấy việc dạy chuyên đề toán cực trị hình học cho học sinh giỏi vẫn chưa thực sự có hiệu quả Số lượng giáo viên dạy bài bản, quan tâm đến việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh còn rất ít Nhiều giáo viên không dạy phần này

Đối với học sinh giỏi, số lượng các em đam mê, tìm tòi, khám phá chưa nhiều, nhiều em chỉ làm cho xong chưa nghĩ đến tìm cách giải khác Còn một bộ phận không nhỏ các em không làm bài

1.3 Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có toán cực trị

dạy

7 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên,

giữa đường xiên và hình chiếu

Như vậy, qua khảo sát chúng tôi nhận thấy:

- Do số tiết học ở trên lớp còn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi

- Trong chương trình toán THCS, số lượng các dạng toán về phần cực trị hình học còn đề cập rất hạn chế, nó chỉ nằm rải rác ở một bộ phận sách tham khảo, hơn nữa các bài toán về phần cực trị hình học là một chủ đề toán khó thường chỉ hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi Do đó học sinh và giáo viên cũng ít được tiếp cận với dạng toán này và có thể nói một thực tế giáo viên còn thờ ơ trong việc thực hiện dạy học chủ đề đó Điều này dẫn đến việc giải các bài tập cực trị hình học học sinh còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ năng giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của học sinh,

từ đó học sinh tiếp thu kiến thức một cách hình thức và hời hợt Việc tiến hành bồi dưỡng cho đội ngũ học sinh khá và giỏi chưa được tiến hành một cách thường xuyên ngay từ đầu Chính vì vậy quá trình bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao của chủ đề cực trị hình học cho HS chưa được liên mạch

và chưa có hệ thống, chỉ khi nào có những kỳ thi như thi vào trường chuyên, lớp chọn, HS giỏi thì giáo viên và học sinh mới thực sự nhảy vào cuộc Chính điều

đó làm cho HS dễ hụt hẫng về kiến thức, sự khai thác một bài toán còn gặp

để phục vụ cho công tác dạy và học Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay

là GV với tư cách là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng với cách dạy như vậy GV cũng thấy chưa thoả mãn bài dạy của mình, HS cũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc, làm cho các em có ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìm tòi cái mới

2 Giải pháp mới thực hiện

2.1 Một số kiến thức thường dùng để giải bài toán cực trị hình học

2.1.1 Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu

Trong các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường thẳng

- Đường vuông góc là đường ngắn nhất

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn, hình chiếu nào lớn hơn thì

có đường xiên lớn hơn

2.1.2 Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc các điểm

- Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại

- Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại

- Qui tắc các điểm: cho n điểm A1, A2 ,… An

Ta có: A1 An  A1 A2 + A2 A3 +… + An-1 An, dấu “=” xảy ra  A1, A2… Anthẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó

2.1.3 Bất đẳng thức trong đường tròn

- Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

- Trong một đường tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách đến tâm lớn hơn và ngược lại

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn

- Trong hai cung nhỏ một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn

2.1.4 Bất đẳng thức đại số

- Giả sử ta có a

b với a > 0, nếu a không đổi, a

b đạt giá trị lớn nhất nếu b đạt giá trị nhỏ nhất, a

b đạt giá trị nhỏ nhất nếu b đạt giá trị lớn nhất

  

 Dấu “=” xảy ra  a1 = a2 = … = an

- Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho 4 số thực: a, b, x, y ta có:

(ax + by)2 (a2 + b2) (x2 +y2) Dấu “=” xảy ra  ay = bx

2.1.5 Hệ thức lượng trong tam giác

- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông: Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc cos góc kề hoặc bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cotg góc kề

- Định ký Pitago: Trong một tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông

2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho hs bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học

2.2.1 Biện pháp 1: Xác định các hướng tiếp cận khác nhau để giải bài toán cực trị hình học

Hướng 1

Ta vẽ một hình có chứa các đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng bằng các đại lượng tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, nhưng đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn,

8

nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm, từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị)

Thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng:

“Tìm một hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán”

Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích tam giác nào có chu

vi nhỏ nhất ?

Lời giải (Hình 1)

Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và

có cùng diện tích là S Gọi AH là đường cao

tương ứng với đáy BC Ta có:

S = 1

2 AH BC  AH =

BC

2S = a

2S (không đổi)

Suy ra: A di động trên đường thẳng d //BC và cách BC một khoảng bằng

a

2S

 Ta cần xác định vị trí của A trên đường thẳng d để chu vi  ABC có giá trị nhỏ nhất Chu vi  ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a Vì a không đổi nên chu vi  ABC nhỏ nhất  AB + AC nhỏ nhất

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d, B’C cắt d tại A’

Xét  AB’C ta có: AB’ + AC ≥ B’C (1)

Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có:

AB + AC ≥ A’B + A’C (2) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B’, A, C thẳng hàng Khi đó A  A’

Vì A’B = A’B’ = A’C nên  A’BC cân tại A’

Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất

Nhận xét: Khi giải bài toán đã cho ta đã thay các điều kiện của bài toán bằng các

điều kiện tương đương và tìm được tam giác cân thoả mãn điều kiện cực trị của bài toán

Hướng 2

Ta đưa ra một hình vẽ (theo yêu cầu của đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác

có chứa các yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa

Thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài

Ví dụ 2: Chứng mình rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam

giác cân có chu vi nhỏ nhất?

Phân tích bài toán: Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 1, nhưng ở đây đầu bài đã nói rõ hình phải chứng minh là một tam giác cân, nên đưa ra một tam giác cân A’BC (Hình 1) rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh

A chạy trên đường thẳng d // BC, ta chỉ việc chứng minh: Chu vi  ABC ≥ chu

vi  A’BC tứclà AB + AC ≥ A’B + A’C

Hướng 3

Thay việc tìm cực đại của một đại lượng hình học này bằng việc tìm cực tiểu của một đại lượng khác và ngược lại

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam

giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất

Lời giải (Hình 2)

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của  ABC, r là bán kính

đường tròn nội tiếp, S là diện tích  ABC.Ta có:

S = SAIB + SBIC + SCIA = 1

a+ b+ c Vì S không đổi, ta suy ra r lớn nhất

 (a + b + c) có giá trị nhỏ nhất, theo kết quả ở ví dụ 2, đó là tam giác cân

10

Nhận xét: Để chứng minh bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác cân là lớn

nhất, ta đưa về việc đi chứng minh chu vi của tam giác đó là nhỏ nhất (ví dụ 2) bằng cách biểu thị bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân qua diện tích và chu vi của nó

Hướng 4

Trong các bài toán cực trị, thường có các điểm di chuyển trên các hình nhất định các hình đó có khi được cho ngay trong đề bài, có khi được tìm ra bởi một bài toán quỹ tích Đó chính là: Vận dụng quỹ tích để giải bài toán cực trị

Ví dụ 4: Cho các tam giác ABC có BC = a, =  Tam giác nào có diện tích lớn nhất?

Lời giải (Hình 3)

Xét các tam giác ABC có BC = a, =  Khi

đó A nằm trên cung chứa góc  dựng trên cạnh BC

của tam giác ABC Gọi A’ là điểm chính giữa của

cung chứa góc nói trên Kẻ AH  BC, A’H’  BC

Hiển nhiên AH  A’H’ Do đó SABC  SA BC ' Vậy

trong các tam giác nói trên tam giác cân có diện tích

lớn nhất

Hướng 5

Trong các bài toán cực trị hình học giải bằng phương pháp đại số, ta thường chọn một đại lượng làm biến (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỷ số lượng giác của một góc ), cũng có trường hợp ta nên chọn hai biến, đồng thời chú ý đến các đại lượng không đổi để làm biến cho hợp lý

Tiếp cận theo hướng này ta gọi là: Chọn biến để giải các bài toán cực trị hình học

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc B, C nhọn, BC = a, đường cao AH = h, xét hình

chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  BC, N  AC, P, Q  BC Hình chữ nhật MNPQ ở vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất?

o

a

Hình 3

Chú ý:

Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia đại lượng A thành

tổng của nhiều đại lương khác Chẳng hạn như A = B + C +

Lúc này việc đi tìm cực trị của đại lượng A ta đi tìm cực trị của B và C rồi từ

đó phải chỉ ra được B, C đạt cực trị thì A cũng đồng thời đạt cực trị và ngược

lại

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường

tròn có đường kính AB, AC Một nửa đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa

đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A)

Hãy xác định hai điểm M, N sao cho chu

12

Khi x = y thì điểm M là điểm chính giữa của cung AB, khi đó  AMB vuông cân Suy ra: = 45o hay = 45o (vì M, A, N thẳng hàng)

 N là điểm chính giữa của cung AC

Vậy chu vi tứ giác BCMN lớn nhất khi M, N đồng thời là điểm chính giữa của các cung AB, AC

Nhận xét: Ta phải xác định vị trí của M, N để chu vi tứ giác BCMN lớn nhất, mà

chu vi  ABC không đổi nên chỉ phụ thuộc vào chu vi của hai tam giác AMB và

tam giác ANC, tức là phụ thuộc vào các đại lượng x + y và z + t Từ đó ta xác

định được vị trí của M, N để thoả mãn điều kiện cực trị của bài toán

2.2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Tư duy là một quá trình nhận thức lý tính, học tập là một nhận thức tích cực mà đặc trưng chính là quá trình tư duy Vì vậy để phát triển năng lực học tập ban đầu thì đầu tiên phải phát triển tư duy cho HS Điều này là cả một quá trình

để vươn tới tư duy sáng tạo cho HS Việc bồi dưỡng các yếu tố đặc trưng nhất của tư duy sáng tạo như tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo thông qua dạy học giải bài tập “Cực trị hình học” đòi hỏi phải thực hiện các thao tác trí tuệ như: phân tích và tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá trong đó phép phân tích và tổng hợp vẫn là nền tảng Do vậy để bồi dưỡng một

số yếu tố về tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học hình học nói chung và dạy học giải bài tập “Cực trị hình học” nói riêng chúng ta cần quan tâm bồi dưỡng cho HS một số hoạt động trí tuệ cơ bản qua đó tạo cho HS tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần tạo

ra tính mềm dẽo, tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy

2.2.2.1 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp bài toán

- Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của các toàn thể hoặc chia các toàn thể ra thành từng phần, là phương pháp suy luận

đi từ cái chưa biết đến cái đã biết Trái lại tổng hợp là dùng trí óc để kết hợp lại vài thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể Do đó là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất trong tư duy, đó là hai thao tác trái ngược nhau

Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp để xem bài toán đó thuộc loại gì, cần huy động những loại kiến thức thuộc vùng nào và

có thể sử dụng những phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm ra lời giải Sau khi tìm được lời giải của các bài toán bộ phận phải tổng hợp lại để được lời giải của các bài toán đang xét Thông thường khi tìm tòi lời giải, ta thường dùng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta dùng phương pháp tổng hợp cho ngắn gọn, dù đôi khi có vẽ thiếu tự nhiên trong lúc giải bài toán

Các kiến thức trong SGK thường được trình bày theo phương pháp tổng hợp để đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng song khi thực hiện bài dạy lúc giảng bài, GV cần có những câu hỏi gợi mở dẫn dắt HS đi đến những kết luận đó sao cho quá trình lý luận càng tự nhiên càng tốt từ dễ đến khó không áp đặt, không đột ngột,

đó chính là dùng phương pháp phân tích

Ví dụ 7: Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó Tìm các điểm B, C tương ứng trên Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất?

Phân tích bài toán:

a GV yêu cầu HS tìm hiểu nội dung bài toán

- Đọc đề bài, xác định giả thiết, kết luận, vẽ hình

- Bài toán yêu cầu gì? Tìm các điểm B, C tương ứng trên Ox và Oy sao cho tổng

+ Bài toán yêu cầu cần gì? Dựng điểm B, C

+ Phương pháp? Quỹ tích tương giao (muốn dựng một điểm ta cần biến hai quỹ

tích của nó) Ta thấy quỹ tích thứ nhất của B là Ox và quỹ tích của C là Oy Bây

giờ ta phải đi tìm quỹ tích thứ hai của B và C Trong bài toán những yếu tố gì chưa dùng? Đó là chu vi tam giác bằng tổng độ dài các cạnh

Chu vi tam giác ngắn nhất  tổng các đoạn thẳng (độ dài đường gấp khúc) ngắn nhất Độ dài đường gấp khúc ngắn nhất nếu điểm đầu và điểm cuối cố định và các điểm thẳng hàng Với bài toán cụ thể này, đường gấp khúc là 2p = AB + BC + CA có điểm đầu trùng với điểm cuối và tất nhiên là cố định rồi, nên ta không

sử dụng trực tiếp được Do vậy ta cần biến đổi tương đương độ dài 2p thành đường gấp khúc, sao cho điểm đầu, điểm cuối cố định Trong chương trình toán

đường thẳng DE (1) Trong bài toán còn

giả thiết gì chưa dùng? Đó là B, C tương

b GV yêu cầu HS tổng hợp những điều

đã phân tích, xây dựng một chương trình

giải cho bài toán

Bước 1: Phân tích, tìm ra 2 điểm D, E, từ đó xác định được đường thẳng DE,

dẫn đến xác định được hai điểm B và C

Bước 2: Cách dựng: Dựng điểm D, E tương ứng là đối xứng của A qua oy, ox Dựng đường thẳng DE, dựng B =Ox  DE và C = Oy  DE

Bước 3: Chứng minh điểm B, C dựng được thoả mãn bài toán

Bước 4: Biện luận (theo cách dựng) số nghiệm của bài toán

Bước 5: Kết luận

c GV yêu cầu thực hiện một chương trình giải cho bài toán Đây là bài làm của

HS

- Gọi D, E tương ứng là điểm đối xứng của A qua Oy, Ox Khi đó ta có CD =

CA và BA = BE Từ đó AB + BC + CA = DC + CB + BE  DE Do đó chu vi tam giác ngắn nhất

- Cách dựng: Dựng D đối xứng của A qua Oy

Dựng E đối xứng của A qua Ox

Hình 6

Dựng đường thẳng DE

Dựng B = Ox  DE Dựng C = Oy  DE

- Chứng minh: Với bất kỳ 2 điểm M, N tương ứng trên Ox, Oy ta có:

AM + MN + NA = DM + MN + NE  DE = DC + CB + BE = AC + CB + BA

Tức là chu vi tam giác ABC ngắn nhất Như vậy các điểm B, C dựng được thoả mãn yêu cầu bài toán

Biện luận: Mỗi bước trong cách dựng cho ta một cách giải duy nhất, nên điểm

B, C tương ứng xác định duy nhất Từ đó bài toán có một nghiệm hình

d GV yêu cầu HS kiểm tra và nghiên cứu lời giải bài toán vừa thực hiện xong

- Ta sẽ giải được bài toán nếu nắm được thực chất của bài toán Đó là tìm độ dài ngắn nhất của đường gấp khúc Kiến thức cần có là: Độ dài được gấp khúc có hai đầu mút cố định sẽ ngắn nhất khi các điểm thẳng hàng

- Khi tiến hành các bước như trên, tức là đã phân tích để tìm ra cách xác định các điểm cần dựng, rồi tiến hành các bước cần dựng Từ đó dễ dàng chứng minh được các điểm cần dựng thoả mãn yêu cầu của bài toán

Như vậy sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại các yếu tố đã phân tích trong bài toán Việc giải bài toán đòi hỏi HS phải biết phân tích các trường hợp khác nhau của nó, chia bài toán lớn thành bài toán nhỏ Giải các bài toán nhỏ và kết hợp lại thành bài toán lớn Trong nhiều bài toán, HS phải biết tách các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rẽ tổng hợp lại, từ đó rút ra cách giải Như vậy qua giải bài toán ta thấy rằng, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau, nhưng đôi khi được thực hiện chủ yếu hướng phân tích hoặc hướng tổng hợp Khi bài toán đã được hiểu trên toàn bộ,

đã tìm được mục đích, ý chủ đạo thì cần phải đi vào chi tiết Đặc biệt, nếu gặp bài toán khó khăn trong cách giải thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xa hơn nữa việc phân chia, khảo sát chi tiết hơn Tóm lại cần phải rèn luyện cho HS khả năng phân tích bài toán để từ đó định hình được phương pháp giải Do đó nhiệm

vụ của người GV cần làm là thông qua hoạt động toán học nhằm rèn luyện khả năng tư duy cho HS, để từ đó HS có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn

đề cần giải quyết GV cần làm cho lời giải bài toán đến với HS như một quá trình suy luận

16

2.2.2.2 Rèn luyện khả năng kiểm tra lời giải bài toán

Quá trình được tiến hành theo 2 bước:

- Kiểm tra kết quả về mặt định tính: Là việc xác định lại tính đúng đắn của việc lựa chọn phương hướng và công cụ đã thích hợp hay chưa

- Kiểm tra kết quả về mặt định lượng: Là việc rà soát lại quá trình thao tác đã dùng khi giải toán góp phần vào giải việc giải quyết vấn đề mới

Ví dụ 8: Xét bài toán

Bài toán 1: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O, R), M là điểm trên

cung BC Xác định vị trí của M để tổng: MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất? Đây là bài toán cực trị hình học lớp 9 rất quen thuộc đối với HS khá và giỏi Có nhiều cách giải cho bài toán này nhưng thông thường GV

thường hướng dẫn cho HS giải theo hai cách sau:

Cách giải 1 ( Hình 7)

Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB Suy ra

MBD là tam giác đều và  BDA =  BMC (c.g.c)

 AD = MC

Do đó MA + MB + MC = 2MA  4R

Dấu “=” xảy ra  M là điểm chính giữa của cung BC

Cách giải 2:Gọi I là giao điểm của AM và BC MBI ~  MAC

(vì = , = )



AB

IC MA

MC AC

IC AC

BI MA

tương

j

O I

A

M D

Hình 7