Sự tồn tại điểm bất động của toán tử uo lõm chính quy đều tác dụng trong không gian banach với nón h cực trị

Tôi xin cam đoan luận văn: “Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị” là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN

S ự TÔN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG • • •

CỦA TOÁN TỬ K0 - LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

VỚI NÓN h - cực TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN

Để hoàn thành luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy - người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2; các thầy, cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lòi cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Trương Thị Hải Duyên

Tôi xin cam đoan luận văn: “Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị” là công

trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Trương Thị Hải Duyên

Mở đ ầ u 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach nửa sắp thứ t ự 4

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian 4 B anach

1.1.2 Dãy đơn điệu, cận ừên đúng và cận dưới đúng của một 8 tập họp

1.2 Quan hệ thông ước giữa các phần t ử 10

1.3 M0 - chuẩn trên không gian Eu 11

1.4 Nón chuẩn tắc và nón h - cực t r i 15

1.4.1 Nón chuẩn tắc và tính c h ấ t 15

1.4.2 Nón h - cực ttị và tính ch ấ t 18

1.5 Các không gian Banach nửa sắp thứ tự: M i 20

1.5.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự M 20

1.5.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự i 27

Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quỵ đều trong không gian Banach với nón h - cực trị 2.1 Khái niệm toán tử M0 - lõm chính quy đều và tính c h ấ t 37

2.1.1 Khái niệm toán tử u0 - lõm chính quy đ ề u 37

2.1.2 Một số tính c h ấ t 38

2.2 Toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong một số không gian Banach 39

2.2.2 Toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng ttong không

gian Banach £ 42

2.3 Sự mở rộng định lí tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đ ề u 44

2.4 Áp dụn g 48

Kết lu â n 50

Tài liệu tham khảo 51

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm dương của các phương trình toán tử (1962).

GS - TSKH Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không gian tuyến tính với các toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm (1984)

Các tác giả Kraxnoxelxki, Bakhtin đã nghiên cứu và công bố những kết quả

về lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach vói một nón cố định

hoặc hai nón cố định, các toán tử được xét có chung tính chất u0 - đo được.

Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về điểm bất động của

toán tử lõm chính quy và các điểm bất động của toán tử ( к , и 0) ~ lõm chính

quy (2012) Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm cho lớp toán tử lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với một nón cố

định, nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được.

Để xét sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm hay lõm chính quy, các tác giả kể ừên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán tử

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy giáo, PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi chọn

nghiên cứu đề tài: “ Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach vói nón h - cực trị”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lý về sự tồn tại điểm bất

động của toán tử u0 - lõm chính quy đều theo hướng bổ sung điều kiện cho

nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiều về không gian Banach nửa sắp thứ tự

Tìm hiểu về nón chuẩn tắc và nón h - cực trị.

Tìm hiểu về nón trong không gian Banach M t .

lìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử

u0 - lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy

đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị.

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước có liên quan

đến điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị.

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị.

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày tổng quát về không gian Banach nửa sắp thứ tự, một số

tính chất về toán tử u0 - lõm chính quy đều, toán tử u0 - lõm chính quy đều

tác dụng trong các không gian i ể , sự mở rộng định lý tồn tại điểm bất động của toán tử M0 - lõm chính quy đều Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp toán tử khác Hy vọng luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ•

1.1 Không gian Banach nửa sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con của

không gian E khác rỗng Tập K được gọi là một nón của không gian E ,

nếu:

i, K là tập đóng trong không gian E ;

ii, V x t h ì a x + Py e K;

iii, Vxe K : x ^ 6 thì - x £ K

(ớ là phần tử không trong không gian E )

Định lí 1.1.2 Giao của hai nón (chứa phàn tử khác ớ) là một nón.

Vì KỈ,K2 là nón trong không gian E nên —X Ể Kv —X Ể ^ 2 => —X Ể K.

Vậy giao của hai nón (chứa phần tử khác ớ) là một nón □

Định lí 1.1.3 Giả sử F là tập con của không gian E khác rỗng, lồi, đóng, bị

chặn và không chứa phần tử không 0 của E Khi đó, tập:

K ( F ) = ịz - t x : X G F,t > 0} là một nón trong không gian E

Ta có F bị chặn nên tồn tại số M > 0 sao cho: ||z|| < M , Z ^ F

Nếu inf|M |=0=>3dãy { z T с F để lim |z j = 0 nên limz = в trong E

Khi ấy Ớ G F do F đóng, trái giả thiết F không chứa о

Do đó i n f |Ы| ф 0, giả sử i n f ||z|| — m> 0=> llzll ^ inf llzll => llzll ^ m, Vz e F.

z e F 11 11 z e F 11 11 11 11 z e F 11 11 11 11

Bây giờ ta đi chứng minh tập K(F) là tập đóng.

Ta có nhận xét phàn tử không 9 G K(F) vì в = O.JE với x e F

Lấy môt dãy bất kì {un}°° cz K(F) sao cho lim« = и trong E Nếu и — в

*• ' w_1 n— > 0О п

(3n0 e N sao cho Vw>w0 có: \\un - u ị < — ||m||.

^ * ớ e F Trái giả thiết F không chứa 0

Nếu íj + 12 = 0 thì íj = í2 = 0 => u0 = 0, không đúng giả thiết.

Vậy, - u 0 e K ( F )

Do đó K ( F ) là nón ừong không gian định chuẩn E u

Định nghĩa 1.1.4.

Với hai phần tử X,y G E ta viết X < y (hoặc y > *), nếuy - x e K

Vậy quan hệ "<" xác định trong định nghĩa 1.1.4 ở trên là một quan hệ sắp

thứ tự trong không gian E vói nón K □

Khi đó ta nói E là không gian Banach nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón к

Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach thực E cùng vói quan hệ sắp thứ tự

xác định trong định nghĩa 1.1.4 gọi là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón к Œ Ê

1.1.2 Dãy đơn điệu, cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập họp

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón к Œ E

Định nghĩa 1.1.7 Dãy điểm (л; )°°= <z E gọi là dãy không giảm, nếu

Dãy điểm ( j ) ”=1 с E gọi là dãy không tăng, nếu ^ > > yn >

Các dãy không tăng, dãy không giảm gọi là dãy đơn điệu.

Định nghĩa 1.1.8 Tập con M a E gọi là bị chặn trên bởi phần tử и G E , nếu

(V ig M )jc > v ; tập M gọi là bị chặn trong không gian E, nếu ( э « > 0 )

+ Cận trên đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất:

Giả sử zv z2 G E là các cận ừên đúng của M Khi đó:

zỉ,z2 GẼvầ thỏa mãn Vjc <E M đều có x < z 1 và x< z2 nên theo định nghĩa

cận trên đúng thì z2 < Z1 và zl < z2, do đó z1 = z2.

Vậy cận trên đúng (nếu tồn tại) của một tập họp là duy nhất

+ Cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất:

Giả sử wv w2 G E là các cận dưới đúng của M Khi đó:

wv w 2 <=E và thỏa mãn V x g M đều có X > Wj và X > w2 nên theo định nghĩa

cận dưới đúng thi w2 >wl ,wl >w2^ w 1- w 2.

Vậy cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất □

1.2 Quan hệ thông ước giữa các phần tử

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón к Œ E.

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, y G E Phần tử X được gọi là thông ước vói phần

tử y nếu tồn tại hai số dương a - a ( X, y),j3 - ß { x , y) sao cho a y < X < ßy.

Định lí 1.2.2 Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không

thông ước với X.

+ Tính chất bắc cầu: Giả sử x , y , z ^ E trong đó X thông ước với y và y thông ước với z Ta chứng minh X thông ước vói z Khi đó tồn tại các số

ocly < x < ß 1y , a 2z < y < ß 2z ^ > a,a2z < x < ß xß 2z.

Đặt a = Oi^a^ß = Д Д Khi đó a z < x < ß z , với а > Q,ß > 0.

Nên, JC thông ước với z.

Vậy quan hệ thông ước trên không gian E là một quan hệ tương đương trên không gian E n

Kí hiệu K(u0) là tập hợp tất cả phàn tử X ^ E thông ước với phần tử

X thông ước với Uq => З а р Д sao cho: oụi0 < х< Ди0

Giả sử X G К(и0) ta sẽ chứng minh x ^ ù v ầ X<E к Thật vậy:

хе.йГ(и0)=>(Е1аг>0,EỰ?>0) sao cho au0 < x < ß u 0^ x ^ 9 , x - a u 0 e K và

auữ e ^XỊớ}.

=>x = x — auữ + auữ & K \ {ớ}.

=>jce/s:\{0} □

1.3 u0 - chuẩn trên không gian Eu

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón к cz E,

Định nghĩa 1.3.1 Phàn tử gọi là M0 - đo được, nếu tồn tại các số

không âm S ị , s2 sao cho — 5,м0 < x < S 2U0.

f liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ vói

một số thực trên không gian E Khi đó, do к là tập đóng trong không gian

Giả sử inf = -00 => 3(t Ỵ_ а M sao cho lim f ( t ) = -00

Cho « —» 00 ta được - u 0 € K, mâu thuẫn với tính chất của к

Điều đó chứng tỏ 3inf f ~ \ K ) > ^ o v à 3inf f - \ K ) G

Xét tập {í > 0 : JC + tuữ e к }, hiển nhiên Sj e {í > о : X + tu0 e ÆT}

=> 3inf {í > 0 : X + tu0 e ÆT} = а = a(x) > 0

và nghĩa là X + auữ > 0 hay - a u 0 < X.

Tương tự g liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ với một số thực trên không gian E Khi đó, do K là tập đóng ừong không gian E , nên g l(K) là tập đóng ừong R vói chuẩn thông thường.

Giả sử inf g~l(K) = -00 => 3(t y° c: M sao cho lim g(ín) = -V /71—1 M_VQO 00

Cho n —»00 ta được —uữ e K, mâu thuẫn với tính chất của K

Điều đó chứng tỏ 3inf > -00 và 3inf g-1^ ) e

Xét tập [t > 0: tuữ - X e K \ , hiển nhiên Sị e [t > 0: tu0 - X e Ẵ'}

=> 3inf {í > 0: —X + tu0 e K} = p = p { x ) > 0,

nghĩa là Ị3uữ - X > 0 hay X < J3u0.n

Định lí 1.3.3 Eu là không gian tuyến tính con của không gian E

Chứng minh:

+ Với mọi x,y g E u ta chứng minh x + y e E

Do X, y G Eu nên tồn tại các số thực , í2, í3, í4 G K sao cho

- t xuữ < x < t 2u0 và - t 3u0 < y < t 4uữ,

Neu Я > 0 thì -ẲtịU0 <ĂX< Ẳt2uũ inf /ừ, — /linf íị = /Uar(jt)

và inf Ẫt2 = Ầinf t2 = Ẩyỡ(je).

inf (-Ắtị ) = -Ắ inf í, = -Ầa(x)

nên suy ra

||/Lc|| =тах|(-А)/?(л;)Д-А)а(л;)| = (-Я)тах|/?(л:),а(;с)| = (-Л<)||л:|| =|^||| jc ||

Tóm lại, V x e Eu ,V A eK ta có \\ảx\\_ = |A|||jc|L“o’ II II«0 I III II«0

+ \ / x ,y & E ta sẽ chứng minh II x+ y II < Ibcll + |Ы|

Do X,y GE =>3tv t2,t3,t4 GM < x< t2u0,—t3u0 < x < t4u0,

Suy ra -(ij + t3)u0 < (x + y) < (i2 + t4)u0.

Vây ||jc|| = m a x |a(jt),/?(;c )j, Vjc G E xác định một chuẩn trong Eu □

Chuẩn ||.| xác định trong định lí 1.3.4 gọi là u0 - chuẩn.

1.4 Nón chuẩn tắc và nón h - cực trị

1.4.1 Nón chuẩn tắc và tính chất

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón к œ E ,

uữ G ^T\{ớ}.

9 r r

Định lí 1.4.2 Các mệnh đề sau là tương đương:

a) K là nón chuẩn tắc;

b) 3M >0 saocho V yeẪ ^Ịớ} và \ / x & E y thì 1*1 < m |jc | ||j|| ; c) 3N > 0 sao cho Vx,ỵ € K :x< y thì ịxị < iVll^ll

Chứng minh:

Giả sử K là nón chuẩn tắc, nhưng không tìm được số dương M để có mệnh

đề b), nghĩa là Vn e N sao cho 3yn E l K \ jớ} và 3xn G Ey sao cho:

n \ \ E

n -\\yn\\E x„

Giả sử mệĩứi đề b) được thỏa mãn và X, y e K ,x < y Ta có:

• Nếu y = ỡ, thì x - 0 và ||jc|| = ||;y 1 = 0 Chọn N - M > 0 ta được

'ýeỉ,e2 E K sao cho 1^1 = ||e2|| =1, ta có: ex& -KXỊớ}, eỉ,e2 & K \ ị 9 } ,

Lấy một dãy cơ bản bất kì (jc Ỵ c= E theo u0 - chuẩn:

Hệ thức trên chứng tỏ, dãy điểm (*„)" là dãy cơ bản trong không gian

Banach E , nên limX = x e E trong không gian E

71— >00

Cho m —> 00 trong hệ thức (1.6), ta được

—£U0 < x n —x < £U0, V n > n 0 => ||jcb — jc|| < s , V « > n0 , X — Xn G E ^

và X = (X — x„) + x„ e E„ \ n J n w0Vậy Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn □

1.4.2 Nón h - cực trị và tính chất

Định nghĩa 1.4.4 Nón K được gọi là h - cực trị, nếu vói mỗi dãy điểm

không giảm (jt )"=1 <- K và bị chặn trên bởi phần tử UG K , nghĩa là

xl <x2< <x < < и; vói mỗi dãy điểm không tăng ( у Ỵ Œ к và bị chặn

Vậy, nếu K là nón h - cực trị thì K là nón chuẩn tắc □

1.5 Các không gian Banach nửa sắp thứ tự: M £

1.5.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự R

1.5.1.1 Không gian tuyến tính thực №

tuyến tính thực với phần tử không là 6 - (0,0, ,0).

1.5.1.2 Không gian định chuẩn thực ỉ

Ta đưa vào không gian tuyến tính thực ĨR chuẩn của phần tử

a x = ịa x ỉ,a x 1, ,axn}

(1.7)Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiện của chuẩn:

1.5.1.З Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự M.

M là không gian Banach thực với chuẩn (1.7)

Thật vậy, giả sử dãy cơ bản <=R với =ị^xịm\ x ^ n\ , x ^ Ỵ

m = 1,2, là một dãy cơ bản tùy ý trong M

Khi đó theo định nghĩa dãy cơ bản ta có:

V f > 0 , 3 n 0 e N > n,0’ x {m) - x {p) c s h a y j Ẽ ( xím) ~ xíp))2 <£-

V k=1

Suy ra: r M _ r(p) лк лк < Е , У т , р > n0, k = l , п.

Chứng tỏ với mỗi k - ì, n dãy I jc[m)} là dãy số thực cơ bản nên tồn tại giới

Do đó M là không gian Banach □

> Nón trong không gian к

là dãy hội tụ tới X = (xk Ỵ trong không gian к .