Luận văn nguyên lí biến phân trên không gian metric nón

Ekeland đã chứng minh định lý về sự tồn tại điểm cực tiểu xấp xỉ của hàm số nửa liên tục dưới trên không gian metric đầy đủ... Sau đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm và kết quả về điểm b

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn

đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn

đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Ngô Mạnh Hùng

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.

Tôi xin cam đoan luận văn: “N g u y ên lý biến phân trên không

gian m etric nón” do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức

Vượng

Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Ngô Mạnh Hùng

B ản g kí h i ệ u 1

M ở đ ầ u 2

Chương 1 K iến thức chuẩn b ị 6

1.1 Không gian m e tric 6

1.2 Sự hội tụ trong không gian m etric 7

1.3 Định lý Caristi và nguyên lý biến phân E keland 12

Chương 2 N g u y ên lý biến phân Ekeland tron g không gian m etric nón 19

2.1 Các định nghĩa và ví d ụ 19

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric n ó n 22

2.3 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón 34 K ết lu ậ n 46

Tài liệu tham k h ả o 47

M ở đầu

1 Lý do chọn đề tà i

Năm 1974, I Ekeland đã chứng minh định lý về sự tồn tại điểm cực tiểu xấp xỉ của hàm số nửa liên tục dưới trên không gian metric đầy đủ

Tức là với không gian metric đầy đủ (X, d), hàm tp : X —»• (—oo, +00] là

nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Khi đó với mọi £ > 0 tồn tại x e £ X sao cho \/y G X , y Ỷ x s ta có:

ip(x£) - ed(x£, y ) < <p(y).

Năm 1976, Caristi đã chứng minh một kết quả tương đương với

kết quả của Ekeland Đó là định lý điểm bất động Caristi: Cho (X, d)

là không gian metric đầy đủ, hàm If : X —ỳ’ (—00, +00] là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới

về điểm bất động của ánh xạ co trong lớp không gian này

Sau đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm và kết quả về điểm bất động trong lớp không gian này đã lần lượt được công bố.

Năm 2012, Seong Hoon Cho và Jong Sook Bae đã công bố kết quả

về sự mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland trên không gian metric

nón qua bài báo “Variational Principles on Cone Metric Spaces”.

Năm 2013, cũng chính tác giả Seong Hoon Cho đã công bố kết quả về sự mở rộng định lý điểm bất động Caristi trên không gian metric

nón qua bài báo “Some Generalizations of Caristi’s Fixed Point Theorem

with Applications”.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về Nguyên lý biến phân trên không gian metric nón, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:

“N gu yên lý biến phân trên không gian m etric nón”

2 M ục đích n gh iên cứu

Nghiên cứu về nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Nghiên cứu về không gian metric, không gian metric nón, nguyên

lý biến phân Ekeland trong không gian metric và nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón

Nghiên cứu về Nguyên lý biến phân trong không gian metric nón dựa trên 3 bài báo:

1 “Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Map­

pings” của Huang Long Guang và Zhang Xian.

2 “Variational Principles on Cone Metric Spaces” của Seong Hoon

Cho và Jong Sook Bae

3 “Some Generalizations of Caristi’s Fixed Point Theorem with Ap ­

plications” của Seong Hoon Cho.

5 P hư ơng pháp ngh iên cứu

Sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích hàm và lý thuyết điểm bất động

6 N h ữ n g đóng góp của luận văn

Luận văn là bài tổng quan về Nguyên lý biến phân trong không gian metric nón Luận văn được trình bày với hai chương nội dung

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric, không gian metric đầy

đủ Tiếp theo chúng tôi trình bày về Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric

Chương 2 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về nón, không gian metric nón và các ví dụ minh họa Sau đó là sự hội tụ trong không gian metric nón, dãy Cauchy trong không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ và cuối cùng là Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón.

C hương 1

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric, không gian metric đầy đủ và cuối cùng là Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland

1.1 K h ôn g gian m etric

Đ ịn h nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp 1 ^ 0 cùng

với một ánh xạ d : thỏa mãn các điều kiện sau:

1) d ( x , y ) > 0, d ( x , y ) = 0 X = y, \/x,y € X \ (tiên đề đồng nhất)

2) d ( x , y ) = d(y,x), V x , y e X ; (tiên đề đối xứng)

3) d(x, y ) < d(x, z ) + d(z, y ), Vx, y , z £ X \ (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên X

Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên

đề metric

Không gian metric được ký hiệu là (X, d).

V í d ụ 1.1.1 Với hai phần tử bất kỳ x , y e M ta đặt:

Ta sẽ gọi metric (1.1.1) là metric tự nhiên trên K.

V í dụ 1.1.2.

Cho Cịa 6] là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, 6] , ta đặt

d( x, y) = max \x(t) — y(t)\

a < t < b

với mọi X = x(t), y = y(t) € C[aM

Khi đó (Cịab],d) là một không gian metric.

với mọi X = x(t), y = y(t) e C[ajb].

Khi đó (Cịab],d) là một không gian metric.

N hận x é t 1.1.1.

Trên cùng một tập hợp X , ta có thể trang bị các metric khác nhau và

nhận được các không gian metric khác nhau

1.2 Sự hội tụ tron g không gian m etric

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 [1] Cho không gian metric ( x , d ) , dãy {x n} c X,

điểm XQ £ X Dãy {x n} được gọi là hội tụ đến điểm XQ khi n —>• oo nếu với Ve > 0,

3nữ € N*, với Vn > n 0 thì d(xn, x o) < £ Hay lim d(xn, x o) = 0.

n —>oo

Ký hiệu lim x n = Xo hay x n —)■ x 0, n —)■ 00

Tl— ^oo

Điểm x 0 được gọi là giới hạn của dãy { x n} trong X.

Đ ịn h nghĩa 1.2.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {a^n} c X

được gọi là dãy Cauchy, nếu với Ve: > 0 ,3nữ G N*,Vn, m > n0 thì

Chứng minh.

Do đó {xn} là dãy Cauchy trong (ơ[oi],d) □

Đ ịn h nghĩa 1.2.3 [1] Không gian metric (X , d) được gọi là không gian

metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X.

V í dụ 1.2.2 Không gian Euclide R* là không gian metric đầy đủ.

V í dụ 1.2.3 Không gian Cịab] với metric d ( x , y ) = max \x(t) — y(t) I là

không gian metric đầy đủ

V í dụ 1.2.4 Cho X là tập hợp tấ t cả các hàm số x ( t ) liên tục trên

K, sao cho xịt) = 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này phụ thuộc vào từng hàm số x(t)).

Với hai hàm số bất kỳ x(t), y(t ) e X ta đặt

Khi đó (X , d) là không gian metric không đầy đủ.

Chứng minh.

T hật vậy, ta xét dãy { x n} = { x n(t)} c X được xác định như sau:

Ta thấy {£„} là dãy các hàm số liên tục và bằng 0 ngoài đoạn [ — n,n] Hiển nhiên (X, d) là một không gian metric Bây giờ ta chứng minh

(X , d) là không gian metric không đầy đủ.

n 2 + 1

Mà lim —T——

Ti^-OO Tl + 1 = 0 nên ta suy ra lim d(xn+p, x n) = 0.

Vậy {£„} là dãy Cauchy trong X

Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằng phản

Vậy x 0(t) ị X là điều mâu thuẫn.

Chứng tỏ tồn tại dãy Cauchy trong (X , d) mà không hội tụ đến phần tử trong (X, d) Do đó (X, d) là không gian metric không đầy đủ □

1.3 Đ ịn h lý C aristi và ngu yên lý biến phân Ekeland

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 [3] Với hai không gian tôpô X và Y , ánh xạ

T : X —> Y được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous) tại

x ữ e X nếu với mọi tập mở G chứa T x ữ đều tồn tại lân cận u của x ữ

tục dưới trên X

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2 [3] Cho X là không gian tôpô, Xo £ X Ánh xạ

T : X —> K được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x 0 nếu với mọi £ > 0,

tồn tại lân cận u của x ữ sao cho Mx e u ta có

TX > TXQ — £

Hàm số T được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi

điểm thuộc miền xác định

N hận x ét 1.3.1 Hàm số T là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi với mọi

ữ ẽ R , tập mức dưới {x e X : T x < ot} là một tập đóng.

Đ ịn h lý 1.3.1 [2] (Carỉstỉ, 1976) Cho (X, d) là không gian metric đầy

đủ, hàm <p : X —)■ (—oo,+oo] là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Ánh

xạ T : X —> X thỏa mẫn:

d ( x , T x ) < ip(x) — tp(Tx), \/x £ X (1.3.1)

Khi đó, T có điểm bất động trong X

Chứng minh.

Trước khi chứng minh định lý này, chúng ta sẽ chỉ rằng mọi ánh xạ

co T đều thỏa mãn điều kiện (1.3.1).

T hật vậy, với mọi X ta có

d(X, T X) = díỉ ^ - - kd^ ^

1 — k 1 — /c

Khi đó ta có

d ( x , T x ) < ụ>(x) — (p{Tx).

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý Caristi

Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự trên X như sau:

X ^ y khi và chỉ khi d ( x , y ) < <p(x) — tp(y).

Dễ kiểm tra ^ chính là một quan hệ thứ tự và tp là một hàm không tăng theo quan hệ thứ tự này, tức là nếu X ^ y thì <f(y) < <p(x).

Ta sẽ chứng minh rằng trong (X, J^_) tồn tại phần tử cực đại V Lấy Xị G X tùy ý và đặt

S{xi) = {y G X : X ^ y}

= {y e X : d(x,y) < (p{xí) - ụ>(yi)}

= {y G X : d{xu y ) + ụ>(y) < ip(xx)}

Vì d liên tục và ip nửa liên tục dưới nên S ( x i) là tập đóng.

Đặt ữi = inf {(p{y) : y £ S'(a:i)} Khi đó, tồn tại x 2 £ S(xi ) mà

ip(x2) < 0 1 + 1

Lại đặt S ( x 2) = {y £ S ( x 2) : x 2 ^ < y } Khi đó,

S ( x2) là tập đóng và S ( x2) c S(xi).

Tiếp tục quá trình trên, chúng ta sẽ nhận được dãy { x n} với ba tính

Lấy x , y tùy ý trong S ( x n) Vì x n ^ x , x n ^ y nên ta có

dn(xn, x ) < ip{xn) - ip{x), dn(xn,y) < ip(xn) - ip(y).

Vậy dn(x, ỳ) < 2ip(xn) - [ip{x) + ip{y)].

Mặt khác, theo định nghĩa của các an và x n ta có

Do đó

hay dn —> 0 khi n —> oo.

Vì X là không gian đầy đủ, {S(;cn)} là dãy tập đóng th ắ t dần nên theo

T hật vậy, vì V ^ w nên Xị ^ w, vậy w €E S(:ri) Vì V ^ w nên x 2 ^ w,

mà w £ S(xi) nên w £ S(x2) Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được

w G P l S ( x n) = {ĩ;} ,

n=1

tức là w = V là một phần tử cực đại

Cuối cùng ta chỉ ra rằng V là điểm bất động của T.

Theo giả thiết, ta có

Đ ịn h lý 1.3.2 [2] (Ekeland, 1974 ) Cho (x,d) là không gian metric đầy

đủ và (p : X —>• (—00, + 00] là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.

Khi đó với mọi £ > 0 tồn tại x e e X sao cho với mọi y G X và khác x e

ta có

ip(x£) - ed(xe, y) < ip(y).

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử có £ > 0 để với mọi X G X đều tồn tại y Ỷ x sao cho

y{x) - ed{ x, y) > y{y).

Do ip(x) là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới nên Ip(x) cũng là hàm

nửa liên tục dưới và bị chặn dưới

Để chứng minh sự tương đương giữa định lý Caristi và định lý Ekeland,

ta chỉ cần chỉ ra rằng từ định lý Ekeland suy ra được định lý Caristi

C hương 2

N g u y ê n lý biến phân E keland tron g

không gian m etric nón

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm về metric nón, không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ, sự hội tụ trong không gian metric nón và các khái niệm về nón chính quy, nón đầy đủ

và nón liên tục Cuối cùng là nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón

2.1 Các định ngh ĩa và v í dụ

Đ ịn h nghĩa 2.1.1 [4] Cho E là không gian Banach thực, tập con p

của E được gọi là một nón khi và chỉ khi:

1 p là đóng, khác rỗng và p Ỷ {0} 5

2 a, b G M, a, b > 0 và X, y E p =>• ax + by G -P;

Đ ịn h nghĩa 2.1.2 [4] Cho E là không gian Banach thực, p là một

nón trong E Khi đó trên E ta xây dựng quan hệ thứ tự “ < p ” xác định

bởi nón p như sau:

X <p y nếu và chỉ nếu y — X £ p ,

X <p y nếu X <p y và X Ỷ Vi

X «Cp y nếu y — X €E int p,

trong đó int p là phần trong của nón p

Đ ịn h n g h ĩa 2.1.3 [4] Cho E là không gian Banach thực, p là một nón trong E Nón p được gọi là nón chuẩn tắc (normal cone) nếu có một số K > 0 sao cho Vx, y & E ta có

0 <p X <p y o |Ịx|Ị < K |Ịy|Ị

Số thực dương nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là hằng số

chuẩn tắc (normal constant) của p Khi đó ta cũng nói p là nón chuẩn tắc với hằng số K.

V í d ụ 2.1.1 Cho E = M2 là không gian Banach thực và tập hợp

nên nó cũng là không gian tuyến tính thực.

Khi đó dp được gọi là metric nón trên X , và cặp (X, dp) được gọi là

không gian metric nón

V í d ụ 2 1 2 C h o E = M2 v à p = { (x , y) G E : X, y > 0 } c M2, X = M

và ánh xạ dp : X X X —»■ i? xác định bởi

d (z,y ) = (|z - y| , a \x - 3/1), Va;, 2/ G Xtrong đó a > 0 là hằng số

Khi đó (X , dp) là không gian metric nón.

T hật vậy, ta kiểm tra lần lượt 3 điều kiện