Luận văn định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng

Đặc biệt là việc mở rộng các kết quả đã biết đối với đạo hàm cổ điển sang cho các đạo hàm suy rộng này xem [3], [4], [6], [7].Các định lý giá trị trung bình cổ điển Định lý Rolle, Lagran

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn th àn h luận văn, tác giả

đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp, người thân, các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng sau đại học và các thầy cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn t ấ t cả mọi người đã hỗ trợ tôi hoàn th àn h Luận văn này

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS Trần Văn Bằng, người thầy đã định hướng

và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn th àn h Luận văn này

Tôi xin trâ n trọng cảm ơn !

Hà Nội, 15 tháng 7 năm 2015

Tác giả

H o à n g T u y ết N h u n g

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn này là kết quả của bản th ân tôi đ ạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các thầy, cô trong khoa Toán trường ĐHSP

Hà nội 2 và các thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy

Trong quá trình nghiên cứu, hoàn th àn h luận văn này tôi đã th am khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài Đ ịn h lý g iá tr ị tr u n g b ìn h

x ấ p x ỉ và ứ n g d ụ n g không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài

khác

Hà Nội, 15 tháng 1 năm 2015

Tác giả

H o à n g T u y ết N h u n g

M ục lục

1.1 Một số khái niệm về không gian B a n a c h 10

1.2 Hàm trên không gian B a n a c h 12

1.3 Dưới vi phân F r é c h e t 15

1.4 Quy tắc tổng mờ 19

1.5 Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng 28

2 Đ ịn h lý g iá trị tr u n g b ìn h x ấ p x ỉ và ứng d ụ n g 30 2.1 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ 30

2.2 ứ n g dụng 33

2.2.1 T ính L i p s c h i t z 33

2.2.2 Tính đơn điệu theo nón và tính đơn điệu yếu 34

2.2.3 Tính tự a lồi và tính l ồ i 36

2.2.4 Tính đơn điệu cực đ ạ i 39

ánh xạ đi từ X vào Rmiền hữu hiệu của /trên đồ thị của /

đạo hàm của / tại X

gradient của / tại X

ma trận Hessian của / tại X

không gian liên hợp của E phần trong của Ả

bao đóng của A đạo hàm Fréchet của / tại X dưới vi phân của / tại X

chuẩn trong không gian Banach

Cho tới nay đã có khá nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đã được đưa ra và thường được gọi với cái tên “dưới vi phân” như: dưới vi phân suy rộng Clarke, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đ ặt ra Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm hiểu và khai thác Đặc biệt là việc mở rộng các kết quả đã biết đối với đạo hàm cổ điển sang cho các đạo hàm suy rộng này (xem [3], [4], [6], [7]).

Các định lý giá trị trung bình cổ điển (Định lý Rolle, Lagrange, Cauchy)

là những kết quả quan trọng của Giải tích toán học Đó là những “cây cầu” kết nối các tính chất của hàm số khả vi với đạo hàm Năm 1988, D Zagrodny [7] đã đưa ra một kết quả mở rộng của định lý giá trị trung bình

cho các hàm không khả vi và gọi là định lý giá trị trung bình xấp xỉ Kết quả đó được coi là m ột trong những công cụ then chốt (theo đánh giá của J.M Borwein và Q J Zhu [4]) có vai trò tương đương với qui tắc tổng mờ

và nguyên lý cực trị, để nghiên cứu các hàm không trơn

Được sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:

’’Đ ịn h lý giá tr ị tr u n g b ìn h x ấ p x ỉ và ứ ng d ụ n g ”

2 M ụ c đ ích n g h iên cứu

Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm số không trơn như: tính Lipschitz, tính đơn điệu, tính lồ i,

3 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

-Tìm hiểu về dưới vi phân Fréchet và các tính chất của dưới vi phân -Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình xấp xỉ

-Tìm hiểu khả năng ứng dụng của định lý giá trị trung bình xấp xỉ

4 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

- Đối tượng: Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng

- Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới

5 P h ư ơ n g p h á p n g h iên cứu

Tổng hợp kiến thức thu th ập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và giải tích

8

1.1 M ột số khái niệm về không gian B anach

Trong luận văn này, khi nói tới không gian Banach chúng ta luôn hiểu

đó là một không gian Banach thực, thường kí hiệu là X , với chuẩn ||.||x hay đơn giản là ||.|| Cho X là không gian Banach Kí hiệu hình cầu đơn

vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X lần lượt là các tập hợp

tính L p(íì) (1 < p < oo) t ấ t cả các hàm số thực đo được X = x ( t )

trên íì sao cho f fì \x(t)\pdt < oo với chuẩn \\x\\ = ( f fì \ x ị t ) ^ d£Ỷ^v là

không gian Banach Không gian tuyến tính L°°(Í2) t ấ t cả các hàm số

thực đo được X = x ị t ) trên íỉ sao cho esssup^ \x(t)\ < + 0 0 với chuẩn

Ị|xỊ| = su p n \x(t)\ là không gian Banach.

3 Không gian tuyến tính lp (1 < p < 00) t ấ t cả các dãy số thực X =

(x(i)) sao cho chuỗi Ỵ2 hội tụ với chuẩn ||:c|| = Ị )

là không gian Banach Không gian tuyến tính z ° ° tấ t cả các dãy số

thực X = {x(i)) sao cho supỂ Ị^c(ỉ)Ị < + 0 0 với chuẩn |Ị:cỊ| = supi |rc(i)I

là không gian Banach

4 Không gian tuyến tính C[a,b] các hàm thực liên tục trên một đoạn

[a, 6] với chuẩn ||a:|| = m ax |a;(í)| là không gian Banach

Với không gian định chuẩn X , kí hiệu X * là tập hợp t ấ t cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và gọi là không gian đối ngẫu của X Nếu

X* € X * và X € X thì giá trị của X* tại X được kí hiệu là {x*,x}

Đ ị n h lý 1.2 ([1], Định lý 2.6, trang 78) Không gian đối ngẫu X * của

không gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi

V í d ụ 1.3 ([1], trang 108, 110) Không gian đối ngẫu của L p(fì,),lp (1 <

p < oo) lần lượt là không gian L q(íì), l9 với q là số mũ liên hợp của p, tức

là 1 / p + 1 / q = 1 Đặc biệt không gian đối ngẫu của L1(Í2) , / 1 tương ứng

là L°°((ì), l°°.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.4 Không gian liên hợp của không gian X * gọi là không

gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X ** Như

Theo Định lý 1.2, nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.7 Không gian Banach X được gọi là tách được nếu nó có

m ột tập con đếm được trù mật

V í d ụ 1.8 ([6], trang 103) Các không gian L p (1 < p < oo),C[a,b] là

không gian tách được; các không gian L °°(íỉ) , / 00 không tách được

1.2 H àm trên không gian B anach

Cho X , Y là các không gian Banach, / : X —>■ y là m ột ánh xạ.

12

Đ ị n h n g h ĩ a 1.9 Ánh xạ / được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản là khả

vi) tại X E X nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục A : X* —¥ Y*

Khi Y = R thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm / được xác định bởi

m ột phần tử của X* G X * và biểu thức định nghĩa thường được viết là:

Đ ịn h lý 1.12 (Smulyan, [7], Định lý 1.4, trang 3) Cho (X , II II) là khồng

gian Banach với không gian đối ngẫu X * Khi đó chuẩn ||.|| khả vi Fréchet tại X e S x khi và chỉ khi với mọi dẫy f n, gn e S x *, fn{%) 1 và gn ( x) —>

1 ta đều có II f n - gn II 0

V í dụ 1.1 3 Chuẩn ||x|| = Ỵ^iL 1 trong không gian Banach l1 không

trơn Fréchet

T h ậ t vậy, với mọi X = (a?(ỉ)) G Sịi Ta định nghĩa f n:gn G Sị°° bởi:

Khi đó f n (x) -*■ 1 , g n{x) -*■ 1 và ||/„ - gn ||ỉoo = 2 Theo Định lý 1.12 chuẩn trên l1 không khả vi Fréchet tại X. T ừ đây ta có điều phải chứng minh

Đ ị n h lý 1.14 ([7], Hệ quả 3.3, trang 51) Cho X là không gian Banach

tách được Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi X * tách được.

V í d ụ 1.15 Các không gian L P(Q) (1 < p < oo) là không gian có

chuẩn tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó tách được.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được đều có chuẩn tương đương trơn Fréchet

sign(a:(z)), nếu i Ỷ n

nếu ỉ 7^ n nếu ỉ = n.

1.3 Dưới vi phân Eréchet

Từ đây về sau ta luôn giả thiết X là không gian Banach có chuẩn tương đương trơn Frechet và trên X ta luôn giả thiết chuẩn nói đến là chuẩn trơn Frechet Do vậy, ta nói X là không gian có chuẩn trơn Frechet Hơn nữa

chúng ta cũng xét các hàm với giá trị thực mở rộng, tức là có giá trị trong

K := K u {-ị-ooỊ-

Cho hàm f : X Ta gọi

d o m / := { x G X : f ( x ) G K},

e p i / := {(a:, A) E X x l : x ẽ I , Ằ > f ( x )}

tương ứng là mi ền hữu hiệu và trên đồ thị của /

Hàm / được gọi là chính thường (proper) nếu d o m / Ỷ

0-Đ ị n h n g h ĩ a 1.16 ([6], trang 10) Hàm / : X —> K được gọi là nửa liên

tục dưới (l.s.c.) nếu với mọi A G M, tập { x G l : f { x ) ^ là tậ p đóng

Đ ịn h lý 1 17 ([6], trang 10) Cho X là không gian Banach, f là hàm

chính thường trên X Khi đó ta có các khẳng định a) -d) sau đây là tương đương

a) Hàm f nửa liên tục dưới.

b) Trên đồ thị epi/ là tập đóng trong X X R.

15

c) Với mọi X G X , với mọi £ > 0 đều tồn tại một lân cận V của X sao

cho f ( y) > f ( x) — £ với mọ i y G V.

d) Với mọi dãy ( x n) hội tụ tới X trong X ta đều có liminfjj^oo f ( x n) >

e) Nếu / i , /2 nửa liên tục dưới thì /1 + /2 cũng nửa liên tục dưới.

f) Nếu (fi)i£j là một họ các hàm l.s.c thì f ( x ) = supi£i f i { x) cũng I.S.C

g) Nếu f l.s.c và E с X là tập compact thì f đạt giá trị lớn nhất trên

nửa liên tục dưới khi và chỉ khi a < 4.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.19 ([4], trang 4, Định nghĩa 1.3) Cho / : X —¥ M là hàm

l.s.c, s С X là tậ p con đóng Ta nói, / là dưới khả vi Fréchet với dưới đạo

hàm Fréchet X* tại X nếu tồn tại с 1 - hàm, lõm g sao cho V g( x) = X* và

ĩ — g đ ạt cực tiểu địa phương tại X Tập mọi dưới đạo hàm Fréchet gọi là dưới vi phân Fréchet của / tại X và ký hiệu là D~ f ( x )

Nón pháp Fréchet của s tại X là tập hợp

trong đó ỗs là hàm chỉ của tập s , xác định bởi

Ỗ s { x ) ' - \ + o o , nếu x ị s

Đ ị n h lý 1.20 ([4], trang 5) Cho X là không gian Banach với chuẩn trơn

Frechet, f là hàm l.s.c trên X Khi đó X* G D~ f ( x ) khi và chỉ khi

l i m i n í n x + h ) - f ( f - {x' ' h ) > 0

||Ä||->0 II h |Ị

N h ậ n x é t 1.21 Khái niệm dưới vi phân trong Định nghĩa 1.19 được gọi

là định nghĩa theo nghĩa nhớt Định lý 1.20 cho thấy, trong lớp không gian Banach với chuẩn trơn Frechet thì định nghĩa đó tương đương với định nghĩa dưới vi phân theo giới hạn trong [4] Do vậy theo [6] chúng ta có rất nhiều tính chất của dưới vi phân Frechet, mối liên hệ của dưới vi phân Frechet và các loại dưới vi phân khác như dưới vi phân Gâteaux, dưới vi phân Clarke, Chẳng hạn

i) Nếu / khả vi Frechet tại X thì D~ f ( x ) = { D f ( x ) } ]

ii) Nếu / lồi trên X thì

D ~ f ( x ) = {x* e X * : f ( y ) - f ( x ) - (x*, y - x) > 0, Vy e X }

V í d ụ 1.22 i) Cho hàm f ( x ) = \ x\ , x G R Khi đó, tại X > 0 thì

/ khả vi nên D ~ f ( x ) = { D f ( x )} = {1}; tại X < 0 thì / khả vi nên

D ~ f ( x ) = { D f ( x ) } = { — 1} Tại X = 0 hàm / không khả vi Do / lồi

nên ta có thể sử dụng Nhận xét 1.21 ii) để tính dưới vi phân Cụ thể

D~f(Q) = {p e K : \y \ -py > 0, Vy e

K}-17

Chọn y = — 1 và у = 1 ta suy ra —1 < p < 1 Với p G [—1,1] ta luôn có

ii) Tương tự ta có nếu X là không gian Hilbert và f ( x ) = IlXII thì ta cũng có

Đ ị n h lý 1.23 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, [4], trang 5,

Định lý 1.6) Cho f : X Ш l.s.c, £ > 0 và A > 0 Giả sử и £ X thoả mãn:

N h ậ n x é t 1.24 Ta hình dung и là điểm cực tiểu của / (hoặc thuộc

m ột dãy cực tiểu) Khi đó có thể nhiễu / bởi một hàm lồi, trơn, nhỏ do

(II V<7(v) |Ị< у ) thì ta nhận được một điểm V bên cạnh и (vì Ị| u — v Ị|< Л)

là cực tiểu của hàm nhiễu / + g mà giá trị của / tại đó (f ( v )) vẫn không thay đổi so với f ( u ) theo nghĩa

p y < \py\ < \y\ nên D / ( 0 ) = [ - 1 ,1 ]

nếu X Ỷ 0 nếu X = 0.

ii) |Ịw - г>|| < Л.

i n f / < f ( v ) < £ + inf /

1.4 Q uy tắ c tổ n g mờ

Để p hát triển các công cụ của giải tích qua khái niệm dưới vi phân, ta

có thể dựa trên một kết quả mang tính chất nền tảng đó là quy tắc tổng

mờ Quy tắc này có hai phiên bản: không địa phương và địa phương Kí

hiệu đường kính của tập s с X là số

diam(/S') := sup {||ж — y\I : X, y G S } .

Đ ịn h lý 1.25 (Quy tắc tổng mờ không địa phương, [4], trang 6, Định lý

2.1) Cho / i , / i v '■ X — R là các hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới với

N h ậ n x é t 1.26 Các điều kiện / i , , / j v : X —> M là các hàm bị chặn

không thể thiếu trong quy tắc tổng mờ không địa phương Điều này có thể

chỉ ra thông qua các hàm trên R Hai hàm f i ( x ) = X và /2(2?) = 0 không thỏa m ãn quy tắc tổng mờ không địa phương bởi vì /1 không bị chặn dưới

Hai hàm f i ( x ) = ổ{0}(^) và /2(2;) = cũng không thỏa m ãn quy tắctổng mờ không địa phương bởi vì thiếu điều kiện

Kết quả (1.3) trong quy tắc tổng mờ không địa phương là tương tự như trong quy tắc tổng mờ (địa phương) thông thường Tuy nhiên, kết quả(1.1) chỉ cho chúng ta biết các điểm x n là gần nhau, điều này khác với

quy tắc tổng mờ địa phương, ở đó khẳng định rằng, các điểm này gần với điểm cực tiểu của tổng (với m ột số giả thiết bổ sung) Lưu ý rằng, kết quả(1.1) còn cho phép ta kiểm soát "cỡ" của các dưới đạo hàm th am gia trong tổng Điều này rất hữu ích trong các ứng dụng Kết luận (1.2) cho ta điểm tựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới Trong các ứng dụng, điều này thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các điểm

x n Ta sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau.

V í d ụ 1.27 (Tính trù m ật của tập các điểm dưới khả vi) Cho / : X —> K

là một hàm nửa liên tục dưới, X €E d o m / và £ €E (0,1) Áp dụng Định lý

dưới và

lim in f { /1(2/1) + /2(^2) : \\yi - Ỉ/2II < VÌ < 00•

2.1 đối với /1 = / + àx+Bx và /2 = ổỊa;} ta có: tồn tại Xi và x 2 sao cho

Tiếp theo ta đề cập tới quy tắc tổng mờ địa phương, một kết quả quan

trọng trong lý thuyết các bài toán tối ưu hóa và là cơ sở để xây dựng các quy tắc tính dưới vi phân Như đã đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địa phương cần phải có các giả thiết bổ sung

Đ ị n h n g h ĩ a 1.28 (Nửa liên tục dưới đều, [4], trang 8, Định nghĩa 2.4) Cho / 1, /jv : X —> R là các hàm nửa liên tục dưới và E là một tập con đóng của X Ta nói bộ ( /1, f n) là nửa liên tục dưới đều trên E nếu